北京海淀區(qū)北京一零一中學2023年高一上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題含解析

北京海淀區(qū)北京一零一中學2023年高一上數(shù)學期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設(shè)全集U=N*，集合A={1，2，5}，B={2，4，6}，則圖中的陰影部分表示的集合為（）A. B.4，C. D.3，2．已知實數(shù)，且，則的最小值是（）A.6 B.C. D.3．如圖，以為直徑在正方形內(nèi)部作半圓，為半圓上與不重合的一動點，下面關(guān)于的說法正確的是A.無最大值，但有最小值B.既有最大值，又有最小值C.有最大值，但無最小值D.既無最大值，又無最小值4．下列函數(shù)中，最小正周期為且圖象關(guān)于原點對稱的函數(shù)是（）A. B.C. D.5．函數(shù)f（x）=lnx+3x-7的零點所在的區(qū)間是（）A. B.C. D.6．的分數(shù)指數(shù)冪表示為（）A. B.C. D.都不對7．已知，若，則A.1 B.2C.3 D.48．若集合，則集合的所有子集個數(shù)是A.1 B.2C.3 D.49．下列函數(shù)中，能用二分法求零點的是（）A. B.C. D.10．已知在正四面體ABCD中，E是AD的中點，P是棱AC上的一動點，BP＋PE的最小值為，則該四面體內(nèi)切球的體積為（）A.π B.πC.4π D.π二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，是相互獨立事件，且，，則______12．某時鐘的秒針端點到中心點的距離為6cm，秒針均勻地繞點旋轉(zhuǎn)，當時間時，點與鐘面上標12的點重合，將，兩點的距離表示成的函數(shù)，則_______，其中13．已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點（16，4)，則k-a的值為___________14．已知函數(shù)，若方程有四個不同的實根，滿足，則值為__________.15．冪函數(shù)的圖像過點，則___________.16．函數(shù)的部分圖象如圖所示．若，且，則_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)的對稱軸和對稱中心.18．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù).（1）求函數(shù)的解析式，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若存在實數(shù)，使成立，求實數(shù)的取值范圍.19．求函數(shù)的最小正周期20．已知圓過三個點.（1）求圓的方程；（2）過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，求線段的中點的軌跡.21．如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點.（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】由集合，，結(jié)合圖形即可寫出陰影部分表示的集合【詳解】解：根據(jù)條件及圖形，即可得出陰影部分表示的集合為，故選．【點睛】考查列舉法的定義，以及圖表示集合的方法,屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】構(gòu)造，利用均值不等式即得解【詳解】，當且僅當，即，時等號成立故選：B【點睛】本題考查了均值不等式在最值問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學運算能力，屬于中檔題3、D【解析】設(shè)正方形的邊長為2，如圖建立平面直角坐標系，則D（-1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）,∵cosθ∈（-1，1），∴∈（4，16）.故選D.點睛：本題考查了向量的加法及向量模的計算，利用建系的方法，引入三角函數(shù)來解決使得思路清晰，計算簡便，遇見正方形，圓，等邊三角形，直角三角形等特殊圖形常用建系的方法.4、A【解析】求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可【詳解】解：y＝cos（2x）＝﹣sin2x，是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：π，滿足題意，所以A正確y＝sin（2x）＝cos2x，函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：π，不滿足題意，所以B不正確；y＝sin2x+cos2xsin（2x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為π，所以C不正確；y＝sinx+cosxsin（x），函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2π，所以D不正確；故選A考點：三角函數(shù)的性質(zhì).5、C【解析】由函數(shù)的解析式求得f（2）f（3）＜0，再根據(jù)根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間【詳解】∵函數(shù)f（x）=lnx+3x-7在其定義域上單調(diào)遞增，∴f（2）=ln2+2×3-7=ln2-1＜0，f（3）=ln3+9-7=ln3+2＞0，∴f（2）f（3）＜0.根據(jù)函數(shù)零點的判定定理可得函數(shù)f（x）的零點所在的區(qū)間是（2，3），故選C【點睛】本題主要考查求函數(shù)的值，函數(shù)零點的判定定理，屬于基礎(chǔ)題6、B【解析】直接由根式化為分數(shù)指數(shù)冪即可【詳解】解：故選：B【點睛】本題考查了根式與分數(shù)指數(shù)冪的互化，屬基礎(chǔ)題.7、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，則為奇函數(shù)，根據(jù)可求得，進而可得到【詳解】令，則為奇函數(shù)，且，由題意得，∴，∴，∴.故選A【點睛】本題考查運用奇函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在解題中的應用，同時也考查觀察、構(gòu)造的能力，屬于基礎(chǔ)題8、D【解析】根據(jù)題意，集合的所有子集個數(shù)，選9、D【解析】利用零點判定定理以及函數(shù)的圖象，判斷選項即可【詳解】由題意以及零點判定定理可知：只有選項D能夠應用二分法求解函數(shù)的零點，故選D【點睛】本題考查了零點判定定理的應用和二分法求解函數(shù)的零點，是基本知識的考查10、D【解析】首先設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，根據(jù)題意得到的最小值為，從而得到，根據(jù)等體積轉(zhuǎn)化得到內(nèi)切球半徑，再計算其體積即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為，將側(cè)面和沿邊展開成平面圖形，如圖所示：則的最小值為，解得.如圖所示：為正四面體的高，，正四面體高.所以正四面體的體積.設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為，半徑為，如圖所示：則到正四面體四個面的距離相等，都等于，所以正四面體的體積，解得.所以內(nèi)切球的體積.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由相互獨立事件的性質(zhì)和定義求解即可【詳解】因為，是相互獨立事件，所以，也是相互獨立事件，因為，，所以，故答案為：12、【解析】設(shè)函數(shù)解析式為，由題意將、代入求出參數(shù)值，即可得解析式.【詳解】設(shè)，由題意知：，當時，，則，，令得；當時，，則，，令得，所以.故答案為：.13、【解析】根據(jù)冪函數(shù)的定義得到，代入點，得到的值，從而得到答案.【詳解】因為為冪函數(shù)，所以，即代入點，得，即，所以，所以.故答案為：.14、11【解析】畫出函數(shù)圖像，利用對數(shù)運算及二次函數(shù)的對稱性可得答案.【詳解】函數(shù)的圖像如圖：若方程有四個不同的實根，滿足，則必有，得，.故答案為：11.15、【解析】先設(shè)，再由已知條件求出，即，然后求即可.【詳解】解：由為冪函數(shù)，則可設(shè)，又函數(shù)的圖像過點，則，則，即，則，故答案為：.【點睛】本題考查了冪函數(shù)的解析式的求法，重點考查了冪函數(shù)求值問題，屬基礎(chǔ)題.16、##【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出該函數(shù)的解析式，結(jié)合圖象可知，點、關(guān)于直線對稱，進而得出.【詳解】由圖象可知，，即，則，此時，，由于，所以，即.，且，由圖象可知，，則.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為：;(2)對稱中心為：,對稱軸方程為：.【解析】詳解】試題分析：（1）將看作一個整體，根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可．（2）將看作一個整體，根據(jù)余弦函數(shù)的對稱中心和對稱軸建立方程可求得函數(shù)的對稱軸和對稱中心試題解析：（1）由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；由，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）令，得，∴函數(shù)圖象的對稱軸方程為：.令，得，∴函數(shù)圖象的對稱中心為.18、（1），函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明見解析（2）【解析】（1）由為奇函數(shù)且定義域為R,則,即可求得,進而得到解析式；設(shè),代入解析式中證得即可；（2）由奇函數(shù),可將問題轉(zhuǎn)化為,再利用單調(diào)性可得存在實數(shù),使成立,即為存在實數(shù),使成立,進而求解即可【詳解】解：（1）為奇函數(shù)且定義域為R,所以,即,所以,所以,所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減,設(shè),則,因為,所以,即,所以,所以,即,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.（2）存在實數(shù),使成立.由題,則存在實數(shù)，使成立,因為為奇函數(shù),所以成立,又因為函數(shù)在R上單調(diào)遞減,所以存在實數(shù),使成立,即存在實數(shù),使成立,而當時,,所以的取值范圍是【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性求解析式,考查定義法證明函數(shù)單調(diào)性,考查已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)問題,考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力19、【解析】利用三角函數(shù)恒等變換的應用化簡函數(shù)解析式為，利用余弦函數(shù)的周期公式即可計算得解【詳解】先證明出，.因為，同理可證.，，因此，原函數(shù)的最小正周期【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查余弦型函數(shù)最小正周期的求解，求解的關(guān)鍵就是利用三角恒等變換思想化簡函數(shù)解析式，本題中用到了積化和差公式，，在解題時應先給與證明.20、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓的方程為，列出方程組，求得的值，即可求得圓的方程；（2）根據(jù)題意得到，得出在以為直徑的圓上，得到以為直徑的圓的方程，再聯(lián)立兩圓的方程組，求得交點坐標，即可得到點的軌跡方程.【小問1詳解】解：設(shè)圓的方程為，因為圓過三個點，可得，解得，所以圓的方程為，即.【小問2詳解】解：因為為線段的中點，且，所以在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，聯(lián)立方程組，解得或，所以點的軌跡方程為.21、（1）證明略（2）【解析】（Ⅰ）要證平面，由已知平面，已經(jīng)有，因此在直角梯形中證明即可，通過計算得，而是中點，則有；（Ⅱ）PB與平面ABCD所成的角是，下面關(guān)鍵是作出PB與平面PAE所成的角，由（Ⅰ）作，分別與相交于，連接，則是PB與平面PAE所成的角，由這兩個角相等，可得，同樣在直角梯形中可計算出，也即四棱錐P-ABCD的高，體積可得．另外也可建立空間直角坐標系，通過空間向量法求得結(jié)論，第（Ⅱ）小題中關(guān)鍵是求點的坐標，注意這里直線與平面所成的角相等轉(zhuǎn)化為直線與平面的法向量的夾角相等試題解析：解法1（Ⅰ如圖（1）），連接AC，由AB=4，，是的中點，所以所以而內(nèi)的兩條相交直線，所以CD⊥平面PAE（Ⅱ）過點Ｂ作由（Ⅰ）CD⊥平面PAE知，ＢＧ⊥平面PAE．于是