2022年高考數(shù)學(xué)：解析幾何及答案

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考試參考習(xí)題一系統(tǒng)復(fù)習(xí)

備考題庫訓(xùn)練一習(xí)題強(qiáng)化

考前模擬測試一模擬演練

通關(guān)寶典梳理一真題體驗(yàn)

技巧提升沖刺一技能技巧

注：文本內(nèi)容應(yīng)以實(shí)際為準(zhǔn)，下載前需仔細(xì)預(yù)覽

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2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)解析幾何及答案

精研考綱M納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

2022新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)09解析幾何

，命題趨勢

從新高考的考杏情況來看，解析幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)：①直線與圓的位置關(guān)

系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關(guān)系：②橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、

幾何性質(zhì)，其中離心率與漸近線、通徑等是考試的熱點(diǎn)；③求曲線的軌跡方程，多在解答題

第（1）問中出現(xiàn)：④直線與橢網(wǎng)、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系，常與向量、圓、三角形等

知識(shí)綜合考查，多以解答題的形式出現(xiàn),難度中等偏上。主要考查考生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，

提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、立觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸思想等核心素養(yǎng)。

）滿分技巧）

1、解析幾何中的弦長問題：

（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為我的直線/與圓錐曲線C相交于&玉,乂）出（~/2）兩

個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長

⑷=&-句2+CFJ-JI）2='ATP|不一引=Jl+pIM-必I（左w0）

（3）當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.

2、解析幾何中的定值、定點(diǎn)問題：

定點(diǎn)、定值問題多以直線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過

定點(diǎn)、定值等問題的證明.解決此類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參變量表示所求問題，根據(jù)等式的恒

成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的最.

3、解析幾何中的最值（范圍）問題：

1）處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何

法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性質(zhì)等進(jìn)行求解：二是利用

代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利

用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

2）解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等吊:

關(guān)系.

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

（4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

4、解析幾何中的軌跡方程問題：

1）直接法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量:的等量

關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)T列式-化簡一檢驗(yàn).

2）定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線間的等

量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出

其方程.

注意：利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，

如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量X或y進(jìn)行限制.

3）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求軌跡方程的四步驟：

第一步H；

0................................................................................................

第二步HPg,居已55,￡Q（x',yf涵吳系；

4丁......................

。

第三步H還立P0防圣麻間的賣家，舁蓑示晨\了i

0

‘第四步H落v花大百H或3港市花高罡露；

熱點(diǎn)i.求離心率（范圍）

離心率在圓錐曲線問題中有著重要應(yīng)用，它的變化會(huì)直接導(dǎo)致曲線類型和形狀的變化,

同時(shí)它又是圓錐曲線統(tǒng)一定義中的三要素之有關(guān)求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高

考試卷中均有出現(xiàn).

關(guān)于圓錐曲線離心率（范圍）問題處理的主體思想是：建立關(guān)于一個(gè)a,0,c的方程（或

不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應(yīng)該是齊次式.一殷建

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立方程有兩種辦法：力利用圓錐曲線的定義解決；a利用題中的幾何關(guān)系來解決問題。

另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件（橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不

一致），否則很容易產(chǎn)生增根或者擴(kuò)大所求離心率的取值范圍.

熱點(diǎn)2.求軌跡方程

應(yīng)用圓錐曲線的定義或由已知條件求曲線方程或軌跡方程是本節(jié)的命題熱點(diǎn)，題型以解

答題為主，難度中等偏I(xiàn)-..考查知識(shí)點(diǎn)較多，能力要求較高.

熱點(diǎn)3.直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題

直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題（特別是?些經(jīng)典問題，如：定值與定點(diǎn)、最值與取值

范圍、探索性問題）一直是高考熱點(diǎn)問題.常常與向量、圓等知識(shí)交匯在一起命題，多以解

答題形式出現(xiàn)，難度較大.

■-----------------HUBV

［限時(shí)檢測

A卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2021?福建?三模）如圖，拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射，通過聚光獲取熱最進(jìn)行炊

事烹飪食物的一種裝置.由于太陽光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽灶（旋轉(zhuǎn)拋物面）的主光

軸指向太陽的時(shí)候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反

射光線都從它的焦點(diǎn)處通過，在這里形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它的主光

軸上.現(xiàn)有一拋物線型太陽灶，灶口直徑A8為24”，灶深為0.5m,則焦點(diǎn)到灶底（拋物

線的頂點(diǎn)）的距離為（）

D.0.75m

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓片和雙曲線4在X軸上具有相同的焦點(diǎn)A,

6,設(shè)雙曲線弓與橢圓目的卜.半部分交于A，B兩點(diǎn),線段AK與雙曲線&交于點(diǎn)C.若

|A用=2忸閭=3|C閭，則橢圓耳的離心率是（）

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3

3.（2021?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)6

發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)6.我國首先研制成功的

“雙曲線新聞燈”,就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的

22

一部分，如圖②，其方程為*?-親?=1（“>0*>0）,。6為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)人

3

發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)8反射后，滿足,。=90。，口必雇=-“則該雙

D.Vio

4.（2021?天津市實(shí)驗(yàn)中學(xué)濱海學(xué)校高三期中）“立線《：奴+（l-a）y=3與

/2：（。-1江+（24+3）），=2互相垂直”是“4=-3”的（）

A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)直線3*+今-5=0與圓匕：/+）,2=9交于人，B兩點(diǎn),

若圓G的圓心在線段A3上，且圓C?與圓J相切，切點(diǎn)在圓G的劣弧A8上，則圓G的半

徑的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

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6.（2021?遼寧?模擬預(yù)測）已知點(diǎn)A（-5,0）、B（5,0）,動(dòng)點(diǎn)「（，”,〃）滿足：直線PA的斜率與

直線PB的斜率之積為一黑，貝IJ4M+1的取值范圍為（）

A.[16,100]B.[25,100]C.[16,100）D.（25,100）

7.（2021?河南?鄭州市高三期中）已知拋物線C：V=4x,過C內(nèi)一點(diǎn)A（l.l）作直線/交拋物

線C于B,C兩點(diǎn)，過點(diǎn)B,C的拋物線的兩條切線交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P的軌跡方程為（）

A.2x-y=0B.2x-y+2=0C.x-y+2=0D.2x-y-2=0

8.（2021?天津市第四十七中學(xué)高三期中）過原點(diǎn)的直線交雙曲線E:￡y2

=1（。>b>0）于

于AC兩點(diǎn)，A在第一象限，月人分別為E的左、右焦點(diǎn)，連接A用交雙曲線E右支于點(diǎn)8,

若|。4|=|0段,2仁用=3怛用，則雙曲線E的離心率為（）

A2714R2而「3"n屈

5455

9.（2021?湖北武漢?高三期中）已知雙曲線￡-￡=l（a>0⑦>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,鳥,

過耳且斜率為-3將的直線與雙曲線在第二象限的交點(diǎn)為4若（片6+「灑）"；4=0,則此

雙曲線的漸近線為（）

A.y=±xB.y=±\[2xC.y=±^-xD.y=±-J?>x

二、多選題

10.（2021?河北邯鄲?高三期末）己知A,B是拋物線C:y2=2px（p>0）上兩點(diǎn)，焦點(diǎn)為F,

拋物線上存在一點(diǎn)M（3,。到準(zhǔn)線的距離為4,則卜列說法正確的是（）

A.p=2B.若O4_LQ3,則直線A8

恒過定點(diǎn)（4,0）

3we?燈

C.若VAOF外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，則該圓半徑為]D.若AF=3FB，則直線

AB的斜率為6

11.（2021?江蘇?南京市中華中學(xué)高三期中）己知曲線C：=1,則（）

4—〃？2+m

A.〃?=2時(shí)，則C的焦點(diǎn)是4（0.啦），/=；（0,-72）B.當(dāng)”;=6時(shí)，則C的漸近線方程為

y=±2x

C.當(dāng)C表示雙曲線時(shí)，則，"的取值范圍為，〃<-2D.存在團(tuán)，使C表示圓

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12.（2021?河北?衡水市冀州區(qū)第一中學(xué)高三期末）已知橢圓C:￡+親人>0）的右焦

點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓C上，點(diǎn)Q在圓E:（x+3）2+（y-4）2=4上，且圓E上的所有點(diǎn)均在橢

圓C外，若IPQI-IP/I的最小值為2石-6,且橢圓C的長軸長恰與圓E的直徑長相等，則

下列說法正確的是（）

A.橢圓C的焦距為2B.橢圓C的短軸長為退

C.IPQI+IP用的最小值為2石D.過點(diǎn)尸的圓E的切線斜率為三誓

13.（2021?江蘇徐州?高三期中）已知圓M:V+y2+4x-1=0,點(diǎn)尸（4,〃）是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，

則（）

A.圓M關(guān)于直線x+3y+2=0對(duì)稱B,直線x+y=0與圓M相交所得弦長為6

C.的最大值為:D./+從的最小值為逐一2

三、填空題

14.（2020?山東費(fèi)縣?高三期末）拋物線C:9=2x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是；經(jīng)過點(diǎn)P（4,l）的直

線/與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)尸恰為A8的中點(diǎn)，尸為拋物線的焦點(diǎn)，則

網(wǎng)+陽=.

15.（2021?江蘇徐州?高三期中）已知拋物線C:.y2=8x的焦點(diǎn)為￡P(guān)為C上一點(diǎn)，若4-2,0）,

|PA|

則鑄的最大值為.

x2y2

16.（2021?浙江省三門中學(xué)高三期中）設(shè)橢圓KF=1（“>8>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡、尸2,

戶是橢圓上一點(diǎn)，歸用=川產(chǎn)可，ZFtPF2=^,則橢圓離心率的取值范圍為

17.（2021?湖北武漢?高三期中）已知橢圓的方程為6為橢圓的

左右焦點(diǎn)，P為橢圓上在第，象限的一點(diǎn)，/為△P6E的內(nèi)心，直線P/與x軸交于點(diǎn)Q,

ULUUU

橢圓的離心率為若PQ=2/Q,則2的值為.

18.（2022?全國?高三專題練習(xí)）P是雙曲線二-二=1右支在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，耳，八分別

45

為其左、右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，如圖圓C是△「月鳥的內(nèi)切圓，設(shè)圓與尸《，分別切于

點(diǎn)。，E,當(dāng)圓C的面積為4兀時(shí)，直線尸6的斜率為.

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四、解答題

19.(2021?四川南充?一模))已知橢圓C：￡+看■=1.＞人＞0)的離心率為當(dāng)，橢圓C的

卜,頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為B,,B2,且|4因=2,過點(diǎn)P(0,2)且斜率為k的直線/與橢網(wǎng)C交

于M,N兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)&=1時(shí)，求AOMN的面積：(3)求證：直線4M與直

線員N的交點(diǎn)7恒在一條定直線上.

20.(2021?上海金山?一模)己知尸(0,1)為橢圓C：三+二=1內(nèi)一定點(diǎn)，。為直線/：y=3

43

上一動(dòng)點(diǎn)，直線PQ與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)8位于尸、。兩點(diǎn)之間)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)當(dāng)宜線尸Q的傾斜角為.時(shí)，求直線。。的斜率；(2)當(dāng)VAOB的面積為|時(shí)，求點(diǎn)

Q的橫坐標(biāo)；

UUUULVUUUUUU

(3)設(shè)AP=/l戶8，AB=〃BQ,試問2-〃是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值：若不是，

請(qǐng)說明理由.

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21.（2021?江蘇連云港?高三期中）已知離心率為;的橢圓C：W+4=im>b>0）與直線

x+2y4=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)過點(diǎn)P（0,-2）的動(dòng)直

線/與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)。位于以48為直徑的圓外時(shí)，求直線/斜率

的取值范圍.

22.（2021?河北石家莊?模擬預(yù)測）已知橢圓C:5+，=l（a>b>0）的離心率為冬且點(diǎn)

P1,孝在C上.

\7

（1）求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)4，鳥為橢圓C的左，右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)人的直線/

交橢圓C于A,8兩點(diǎn)，若VAB耳內(nèi)切圓的半徑為走，求直線/的方程.

23.（2021?北京市第三十五中學(xué)高三期中）已知橢網(wǎng)E:=+y2=i（”>i）.（1）若橢圓E的

a-

焦距為2,求實(shí)數(shù)a的值：（2）點(diǎn)A,B,C位于橢圓E上，且A,B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.若橢圓

E上存在等邊VA8C,求a的取值范圍.

24.（2021?浙江?臺(tái)州一中高三期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，己知拋物線C：

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丁=20，5>0）的焦點(diǎn)為F（0,￡|,過點(diǎn)尸的直線交C于A,B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A位于第一象

限），設(shè)點(diǎn)￡是拋物線C上的一點(diǎn)，且滿足OEJLOA,連接E4,￡8.（1）求拋物線C的標(biāo)

準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程；（2）記AABE,Y4。尸的面積分別為S，邑，求與與的最小值及此時(shí)

點(diǎn)A的坐標(biāo).

B卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2021?浙江?臺(tái)州一中高三期中）如圖，￡,鳥分別是雙曲線三-親■=1（“>0/>0）的左、

右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線與圓Y+y2=/+〃在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)Q在雙曲線上，且

UUUUULU

F2Q=2F}P,則雙曲線的離心率為（）

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叵D.也

2.（2021?河北邯鄲?高三期末）已知雙曲線C:J-*l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為￡,

F2,A,B是雙曲線右支上兩點(diǎn)，且=38A,設(shè)△"口的內(nèi)切圓圓心為4，△△/;；鳥的內(nèi)

UULAUULU

切圓圓心為右，直線/人與線段耳鳥交于點(diǎn)P,且4P=3P/"則雙曲線C的離心率為（）

A.此B.巫C.75D.V10

22

3.（2021?福建?福州三中模擬預(yù)測）己知雙曲線cJ-￡=l（a>0.6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為月,

F2,實(shí)軸長為4,點(diǎn)〃在C的左支上，過點(diǎn)M作C的一條漸近線的垂線，垂足為N,則當(dāng)

周+|MN|取最小值12時(shí)，該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±-xB.y=±xC.y=±2xD.y=±4x

4

4.（202卜浙江?慈溪中學(xué)高三期中）已知雙曲線。：，一￡=1（“>0./，>0）的左右焦點(diǎn)分別為

tuuuuuIXUU

耳，鳥，過鳥的直線/交雙曲線的右支于48兩點(diǎn).點(diǎn)M滿足A8+AP；=2AM,且

UUUUULA1

AMBFt=0.若cos/A^Buj,則雙曲線C的離心率是（）

A.手B.6C.2D.石

5.（2021?浙江?模擬預(yù)測）已知橢圓二+:=1（“>〃>0）右頂點(diǎn)為42,0）,上頂點(diǎn)為8,該

橢圓上一點(diǎn)尸與A的連線的斜率4=-；,4P的中點(diǎn)為E,記OE的斜率為心￡,且滿足

期￡+4仁=0,若C、。分別是X軸、y軸負(fù)半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且四邊形A8C。的面積為2,則

三角形C。。面積的最大值是（）

A.3-242B.3+20C.2一夜D.，一個(gè)

■）,）

6.（2021?浙江?模擬預(yù)測）如圖，已知橢網(wǎng)三+二=1的長軸端點(diǎn)為A，4,短軸端點(diǎn)為4,

43

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精研考綱歸納核心題海訓(xùn)練歸納總結(jié)體驗(yàn)實(shí)戰(zhàn)梳理復(fù)習(xí)

為，焦點(diǎn)為"，巴,現(xiàn)將左邊半個(gè)橢圓沿短軸進(jìn)行翻折，則在翻折過程中（不共面），以下

說法不正確的是（）

A.存在某個(gè)位置，使A約，A?與B.存在某個(gè)位置，使二面角82-A4-鳥的平面角

%

C.時(shí)任意位置，都有44〃平面82GBD.異面直線與耳與8區(qū)所成角的取值范圍是（0,夕

7.（2021?浙江?高二期中）己知定點(diǎn)氣，”，0）,動(dòng)點(diǎn)。在圓。：x2+y2=\6h,PQ的垂直平

分線交直線OQ于例點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)例的軌跡是雙曲線，則，”的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

8.（2021?遼寧?凌源市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)）己知拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F,過

尸且傾斜角為（的直線/與拋物線相交于A.8兩點(diǎn)，|AB|=8,過48兩點(diǎn)分別作拋物線的切

線，交于點(diǎn)Q.下列說法不正確的是（）

A.QA±QBB.VAO8（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為2&

C.向+向=2D.若〃（1,1）,P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則|P"|+|PF|的最小值為2

二、多選題

9.（2021?江蘇?高三期中）設(shè)，直線〃a-y-3m+l=0與直線x+切-3，w-l=0相交于

點(diǎn)P（x,y）,線段AB是圓C：（x+2）2+（y+4=4的一條動(dòng)弦,。為弦AB的中點(diǎn)，|A8|=2后，

下列說法正確的是（）

A.點(diǎn)P在定圓（工一22+（?-2）2=8B.點(diǎn)P在圓C外

C.線段PQ長的最大值為6+應(yīng)D.防.防的最小值為15-80

10.（2022?全國?高三專題練習(xí)）雙曲線C:=1的左右焦點(diǎn)分別為￡，鳥，傾斜角為60。

a2b2

UUUU

的直線/過雙曲線C的右焦點(diǎn)K，與雙曲線c右支交于4B兩點(diǎn)，且A^=5EB,則（）

A.雙曲線C的離心率為2B.AA耳人與內(nèi)切圓半徑比為3:1

C.AA耳人與△8百人周長之比為4:1D.AA耳人與面積之比為5:1

11.（2021?山東省青島第十七中學(xué)高三期中）瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在年提出定理：三角形的

外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線若VA8C滿足

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AC=BC,頂點(diǎn)A0.O)、8(-1,2),且其“歐拉線”與圓M:(x-3)?+/=產(chǎn)相切，則下列結(jié)

論正確的是()

A.圓M上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為3+0B.圓M上存在三個(gè)點(diǎn)到直線x-y-l=O

的距離為夜

C.若點(diǎn)(x,y)在圓M上，則色的最小值是一&D.若圓M與圓f+(y-a)2=2有公共

點(diǎn),則a+3,3]

12.(2021?江蘇?高三開學(xué)考試)占希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A,

8的距離之比為定值4(/1#1)的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓在平面直角坐

P41

標(biāo)系xOy中，A(-2,o),8(4,0)，點(diǎn)尸滿足畫>=5.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C,則().

,,\PD1

A.軌跡C的方程為(x+4)-+y?=9B.在X軸上存在異于A,B的兩點(diǎn)O,E,使得片=不

\rLZ

C.當(dāng)A,B,P三點(diǎn)不共線時(shí)，射線PO是4P8的角平分線D.在C上存在點(diǎn)也，使得

\M0\=2\MA\

三、填空題

13.(2021?全國?模擬預(yù)測)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,B,在拋物線C：

V=-2py(p>0)上，且直線PA與直線P8關(guān)于直線x=l對(duì)稱，則直線A8的斜率為

;若直線48在丫軸上的截距為正數(shù)，則VAOB面積的最大值為.

14.(2021?浙江省杭州第二中學(xué)高三期中)已知圓C：f+y2=8與圓c”

f+y2+x+y-a=0相交于A,B兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的取值范圍為；若圓G上存在點(diǎn)P,

使得ZXABP為等腰直角三角形，則實(shí)數(shù)。的值為.

22

15.(2021?浙江省杭州第二中學(xué)高三期中)已知雙曲線C：鼻■-#=1(〃>0*>0)的左、右

焦點(diǎn)分別是￡、區(qū),直線/與雙曲線C的左、右支分別交于P,Q(P,。均在x軸上方).

若直線QE的斜率為枝，且四邊形1的面積為4病2.則雙曲線C的離心率為

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2

16.（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知雙曲線==1（。>0力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為

a~b~

片,F2,斜率大于0的直線/經(jīng)過點(diǎn)6與C的右支交于A,B兩點(diǎn)，若八46鳥與6鳥的

內(nèi)切圓面積之比為9,則直線/的斜率為.

17.（2021?河南?正陽縣高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測）已知片，鳥是雙曲線C：5-左=1（〃/>0）的

左、右焦點(diǎn)，過人的直線交雙曲線的右支于A,B兩點(diǎn)，且|A用=2|4用，44￡八=/月8人，

則雙曲線C的離心率為.

四、解答題

18.（2021?河北衡水中學(xué)模擬預(yù)測）已知橢圓C:，+/=l（a>〃>0）過點(diǎn)Q（2,夜），焦點(diǎn)分

別為居（c,0）.短軸端點(diǎn)分別為q，B,,4=4.（1）求橢圓C的方程；（2）過

b

點(diǎn)的直線/與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn)，當(dāng)線段"N的中點(diǎn)落在四邊形々耳人鳥

內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線/的斜率的取值范圍.

19.（2021?四川?樹德中學(xué)高三期中）己知拋物線C：/=2外5>0）的焦點(diǎn)為尸，P為C上

的動(dòng)點(diǎn)，。為P在動(dòng)直線），=4/<0）上的投影.當(dāng)△尸。尸為等邊三角形時(shí)，其面積為46.（1）

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求C的方程；（2）設(shè)。為原點(diǎn)，過點(diǎn)尸的直線/與C相切，且與橢圓三+±=1交于A,B兩

42

點(diǎn)，直線與線段交于點(diǎn)M.試問：是否存在人使得△QMA和AOMB的面積相等恒

成立？若存在，求,的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

20.（2021?上海浦東新?一模）已知斜率為上的直線/經(jīng)過拋物線C：y?：?的焦點(diǎn)尸，且

與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)A（x「x）、B（x2,y2）.（1）若點(diǎn)A和8到拋物線準(zhǔn)線的距離分別

為1和3,求|AB|；（2）^\AF\+\AB\=2\RF\,求k的值；（3）點(diǎn)M（f,O）,r>0,對(duì)任意

確定的實(shí)數(shù)人,若V4WB是以A8為斜邊的直角三角形，判斷符合條件的點(diǎn)M有幾個(gè)，并說

明理由.

21.（2021?江蘇海安?高三期中）已知過點(diǎn)?（一2,0）的直線/與拋物線八y2=2px（p>0）相

切于點(diǎn)T（xo,2）.（1）求p,沏；（2）設(shè)直線，”：丫=!》+，（，#0）與「相交于點(diǎn)4,B,射線

PA,PB與「的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C,。，問：直線CQ是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的

坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由.

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22.（2021?浙江省杭州第二中學(xué)高三期中）如圖，已知拋物線C：x2=4y,斜率為1的直

線/與拋物線C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B,過A，分別作拋物線C的切線，交于點(diǎn)（1）

求點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；（2）已知尸為拋物線C的焦點(diǎn)，連接欣，F(xiàn)B,FM,記VAFM面積為

7BFM面積為邑，記VA8W面積為$,求卓的最小值.

*

23.（2021?湖南?衡陽市八中模擬預(yù)測）己知雙曲線C:￡-￡=l的左、右焦點(diǎn)分別為小￡,

其離心率為白，且過點(diǎn)尸卜庭,2應(yīng)）（1）求雙曲線C的方程（2）過￡的兩條相互垂直的

交雙曲線于AB和C,￡）,M,N分別為A8,C￡＞的中點(diǎn)，連接MN,過坐標(biāo)原點(diǎn)。作MN的垂

線，垂足為“，是否存在定點(diǎn)G,使得IG"|為定值，若存在，求此定點(diǎn)G.若不存在，請(qǐng)說

明理由.

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熱點(diǎn)09解析幾何

._____?

!命題趨勢）

從新高考的考查情況來看，解析幾何是高考必考內(nèi)容，考查重點(diǎn)：①直線與圓的位置關(guān)

系、弦長問題、切線問題、圓與圓的位置關(guān)系；②橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、

幾何性質(zhì)，其中離心率與漸近線、通徑等是考試的熱點(diǎn)；③求曲線的軌跡方程，多在解答題

第（1）問中出現(xiàn)：④直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關(guān)系，常與向量、圓、三角形等

知識(shí)綜合考充，多以解答題的形式出現(xiàn)，難度中等偏匕主要考杳考生數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，

提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理、轉(zhuǎn)化與化歸思想等核心素養(yǎng)。

［-滿--------分---------技---S巧HMBA］

1、解析幾何中的弦長問題：

（1）當(dāng)弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)易求時(shí)，可直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求解：

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，斜率為k的直線/與圓錐曲線C相交于/兩

個(gè)不同的點(diǎn)，則弦長

=兇尸=&+好1圖-引=^^1穌一%1（左/°）

（3）當(dāng)弦過焦點(diǎn)時(shí)，可結(jié)合焦半徑公式求解弦長.

2、解析幾何中的定值、定點(diǎn)問題：

定點(diǎn)、定值問題多以亢線與圓錐曲線為背景，常與函數(shù)與方程、向量等知識(shí)交匯，形成了過

定點(diǎn)、定值等問題的證明.解決此類問題的關(guān)鍵是引進(jìn)參變量表示所求問題，根據(jù)等式的恒

成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量.

3、解析幾何中的最值（范圍）問題：

1）處理圓錐曲線最值問題的求解方法

圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何

法，即通過利用曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理、性順等進(jìn)行求解：二是利用

代數(shù)法，即把耍求最值的幾何量或代數(shù)表達(dá)式表示為某個(gè)（些）參數(shù)的函數(shù)（解析式），然后利

用函數(shù)方法、不等式方法等進(jìn)行求解.

2）解決圓錐曲線中的取值范圍問題應(yīng)考慮的五個(gè)方面

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

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（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等吊:

關(guān)系.

（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

（4）利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

（5）利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的

取值范圍.

4、解析幾何中的軌跡方程問題：

1）直接法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟：若曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足的條件是一些幾何量:的等量

關(guān)系，則可用直接法，其一般步驟是：設(shè)點(diǎn)T列式-化簡一檢驗(yàn).

2）定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線間的等

量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出

其方程.

注意：利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，

如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量X或y進(jìn)行限制.

3）相關(guān)點(diǎn)法（代入法）求軌跡方程的四步驟：

第一步H；

0................................................................................................

第二步HPg,居已55,￡Q（x',yf涵吳系；

4丁......................

。

第三步H還立P0防圣麻間的賣家，舁蓑示晨\了i

0

‘第四步H落v花大百H或3港市花高罡露；

熱點(diǎn)i.求離心率（范圍）

離心率在圓錐曲線問題中有著重要應(yīng)用，它的變化會(huì)直接導(dǎo)致曲線類型和形狀的變化,

同時(shí)它又是圓錐曲線統(tǒng)一定義中的三要素之有關(guān)求解圓錐曲線離心率的試題在歷年高

考試卷中均有出現(xiàn).

關(guān)于圓錐曲線離心率（范圍）問題處理的主體思想是：建立關(guān)于一個(gè)a,0,c的方程（或

不等式），然后再解方程或不等式，要注意的是建立的方程或不等式應(yīng)該是齊次式.一殷建

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立方程有兩種辦法：小利用圓錐曲線的定義解決；a利用題中的幾何關(guān)系來解決問題。

另外，不能忽略了圓錐曲線離心率的自身限制條件（橢圓、雙曲線離心率的取值范圍不

一致），否則很容易產(chǎn)生增根或者擴(kuò)大所求離心率的取值范圍.

熱點(diǎn)2.求軌跡方程

應(yīng)用圓錐曲線的定義或由已知條件求曲線方程或軌跡方程是本節(jié)的命題熱點(diǎn)，題型以解

答題為主，難度中等偏上，考查知識(shí)點(diǎn)較多，能力要求較高.

熱點(diǎn)3.直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題

直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題（特別是?些經(jīng)典問題，如：定值與定點(diǎn)、最值與取值

范圍、探索性問題）一直是高考熱點(diǎn)問題.常常與向量、圓等知識(shí)交匯在一起命題，多以解

答題形式出現(xiàn)，難度較大.

限時(shí)檢測

A卷（建議用時(shí)90分鐘）

一、單選題

1.（2021?福建?三模）如圖，拋物線型太陽灶是利用太陽能輻射，通過聚光獲取熱最進(jìn)行炊

事烹飪食物的一種裝置.由于太陽光基本上屬于平行光線，所以當(dāng)太陽灶（旋轉(zhuǎn)拋物面）的主光

軸指向太陽的時(shí)候，平行的太陽光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過反光材料的反射，這些反

射光線都從它的焦點(diǎn)處通過，在這里形成太陽光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)就在它的主光

軸上.現(xiàn)有一拋物線型太陽灶，灶口直徑AB為26，〃，灶深8為0.5m,則焦點(diǎn)到灶底（拋物

線的頂點(diǎn)）的距離為（）

D.0.75m

【答案】B

【分析】如圖建系，設(shè)出拋物線的方程，由題意得4的坐標(biāo)，將A點(diǎn)的坐標(biāo)代入求出〃值,

進(jìn)而可得答案.

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【詳解】解：由題意建立如圖所示的平而有角坐標(biāo)系.O與C重合:

設(shè)拋物線的方程為V=2px（p>0）,由題意可得,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的方程

可得：3=2px；,

,o),即go).

解得P=3,所以拋物線的方程為：/=6x,焦點(diǎn)的坐標(biāo)為p_

2

所以焦點(diǎn)到灶底（拋物線的頂點(diǎn)）的距離為T=15”.故選：B.

2.（2022?全國?高三專題練習(xí)）如圖，已知橢圓月和雙曲線外在X軸上具有相同的焦點(diǎn)

區(qū),設(shè)雙曲線區(qū)與橢圓目的上半部分交于A,B兩點(diǎn),線段A鳥與雙曲線當(dāng)交于點(diǎn)C.若

\AF2\=2\BF2\=3\CF2\,則橢圓月的離心率是（）

A.-B.1C.立D.B

3232

【答案】C

【分析】設(shè)I和|=2|愿|=3|Cg|=6,可得|明|-"珥1=2。=3,（"為則雙曲線與的實(shí)半軸），

CF,\=5,又Ak+Ad=W,44，4外，則|丹5|=疹怎=3有，即可求橢圓片的離心率.

【詳解】解：如圖,設(shè)IA巴42|愿|=3|C-|=6,則|A耳目8人|=3,14cl=4,

Q隹上明|=6,.??|%|一|%|=2a=3,（a為則雙曲線馬的實(shí)半軸）,

根據(jù)雙曲線定義可得|C￡ITC61=2=3,IC/-|=5,在△Af；C中，滿足A片+AC?=,

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??.AF^AF^

則1661=疹用'=3右，則橢圓6的庚心率是/與=噂=與.故選：C.

/巧+tir293

3.（2021?河南?南陽中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)人

發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點(diǎn)￡.我國首先研制成功的

“雙曲線新聞燈〕就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈的軸截面是雙曲線的

一部分，如圖②，其方程為「?-（=1（。>02>0）,6為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)人

3

發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)8反射后，滿足/84。=90。，tan48C=-：,則該雙