清華大學(xué)微積分(高等數(shù)學(xué))課件第21講-簡單常微分方程(一)

作業(yè)P227習(xí)題8.11(2)(4)(6)(8).4.P236習(xí)題8.21(2)(4)(6).12/11/20231第二十一講簡單常微分方程(一)一、微分方程的根本概念二、一階常微分方程12/11/20232十七世紀(jì)末，力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)及工程技術(shù)提出大量需要尋求函數(shù)關(guān)系的問題。在這些問題中，函數(shù)關(guān)系不能直接寫出來，而要根據(jù)具體問題的條件和某些物理定律，首先得到一個或幾個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，即微分方程，然后由微分方程和某些條件把未知函數(shù)求出來。一、微分方程的根本概念12/11/20233重力切向分力[解]12/11/20234根據(jù)牛頓第二定律,得到注意到從而有微分方程初始條件定解條件定解問題12/11/20235

定義1:含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程稱為微分方程.未知函數(shù)是一元函數(shù),含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為常微分方程.未知函數(shù)是多元函數(shù),含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程稱為偏微分方程.例如12/11/20236例如二階未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.定義2:(微分方程的階)12/11/20237未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)都是一次整式的微分方程稱為線性微分方程.定義3:(線性與非線性)12/11/20238定義4:(微分方程的解)稱為微分方程的通解.微分方程的通解：12/11/2023912/11/202310微分方程的特解：一個常微分方程的滿足定解條件的解稱為微分方程的特解通解有時也寫成隱式形式稱為微分方程的通積分12/11/20231112/11/202312有n個定解條件12/11/202313定義5:(積分曲線與積分曲線族)積分曲線族12/11/202314二、一階常微分方程的初等積分法所謂初等解法,就是用不定積分的方法求解常微分方程.初等解法只適用于假設(shè)干非常簡單的一階常微分方程,以及某些特殊類型的二階常微分方程.12/11/202315(一)變量可別離型(三)一階線性方程(二)可化為可別離變量(五)全微分方程(四)伯努利(Bernoulli)方程(六)積分因子12/11/202316兩邊積分通解別離變量這兩個方程的共同特點是變量可別離型(一)別離變量法12/11/202317(1)[解]兩邊積分別離變量即12/11/202318(別離變量時,這個解被丟掉了!)于是得到方程通解12/11/202319(2)[解]別離變量兩端積分,得通解奇異解12/11/202320(二)可化為可別離變量這兩個方程的共同特點是什麼?可化為齊次型方程12/11/202321求解方法這是什麼方程？可別離變量方程！12/11/202322別離變量兩端積分12/11/202323取指數(shù)并且脫去絕對值由此又得到通解12/11/20232412/11/202325兩端積分得通解12/11/20232612/11/202327(三)一階線性微分方程12/11/202328性質(zhì)1：性質(zhì)2：性質(zhì)3：12/11/202329性質(zhì)4：性質(zhì)5：12/11/202330(1)如何解齊次方程？非齊次齊次可別離型！標(biāo)準(zhǔn)形式：什麼類型？一階線性微分方程12/11/202331別離變量是p(x)一個原函數(shù)不是不定積分！齊次通解解得注意：齊次通解的結(jié)構(gòu)：12/11/202332(2)用常數(shù)變異法解非齊次方程假定(1)的解具有形式將這個解代入(1),經(jīng)計算得到12/11/202333化簡得到即12/11/202334積分從而得到非齊次方程(1)的通解非齊次通解或12/11/202335非齊次通解的結(jié)構(gòu)：特解非齊次特解12/11/20233612/11/202337這是線性方程嗎？是關(guān)于函數(shù)x=x(y)的一階線性方程！[