二分法與求方程近似解高一上學(xué)期數(shù)學(xué)蘇教版（2019）必修第一冊

第8章函數(shù)應(yīng)用8.1二分法與求方程近似解函數(shù)是研究事物變化過程的數(shù)學(xué)模型，而方程刻畫的則是相等關(guān)系成立的某種狀態(tài).我們可以從事物變化過程中考察某個狀態(tài)，也可以通過對若干狀態(tài)的考察來認(rèn)識變化的過程，這樣就產(chǎn)生了函數(shù)與方程的思想.本節(jié)將著重研究函數(shù)與方程的關(guān)系.●函數(shù)與方程有什么關(guān)系?●如何運用函數(shù)的知識研究方程的解?8.1.1函數(shù)的零點前面我們學(xué)習(xí)過，使二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R，a≠0)的值為0的實數(shù)x稱為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點.因此，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的零點就是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的實數(shù)解，也是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象與x

軸交點的橫坐標(biāo).一、函數(shù)的零點(1)概念：一般地，我們把使函數(shù)y＝f(x)的值為0的_______稱為函數(shù)y＝f(x)的零點.實數(shù)x零點、圖象與x軸的交點、方程實數(shù)解的關(guān)系：函數(shù)y＝f(x)的零點就是方程f(x)＝0的實數(shù)解從圖象上看，函數(shù)y＝f(x)的零點，就是它的圖象與軸交點的橫坐標(biāo).(2)本質(zhì)：方程f(x)＝0的根、函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸的公共點的橫坐標(biāo).(3)應(yīng)用：利用零點、圖象與x軸的交點、方程實數(shù)解的關(guān)系，實現(xiàn)三種問題的相互轉(zhuǎn)化.【思考】函數(shù)的零點是點嗎?提示：不是，是使f(x)＝0的實數(shù)x，是方程f(x)＝0的根.對于函數(shù)f(x)＝x2－2x－1在區(qū)間(2，3)上是否存在零點這個問題，可以通過解方程或觀察函數(shù)圖象的方法來解決，我們還可以進行下面的思考：如圖，因為f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，而二次函數(shù)f(x)＝x2－2x－1在區(qū)間[2，3]上的圖象是不間斷的，這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2，3)上一定穿過x軸，即函數(shù)在區(qū)間(2，3)上存在零點.二、函數(shù)零點范圍的判定(1)條件：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條不

間斷的曲線，且有_____________；(2)結(jié)論：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點.(3)本質(zhì)：利用函數(shù)的性質(zhì)判斷零點的存在性.(4)應(yīng)用：判斷零點的存在性、求參數(shù)的范圍等.f(a)f(b)＜0【思考】函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上有零點，是不是一定有f(a)f(b)＜0？提示：不一定，如f(x)＝x2在區(qū)間(－1，1)上有零點0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1＞0.例1證明：函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋1在區(qū)間(－2，－1)上存在零點.解：因為f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3＜0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1＞0.且函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，－1]上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(－2，－1)上存在零點.例2求證：函數(shù)f(x)＝2x＋2x－3有零點.解：因為f(0)＝20＋2×0－3＝－2＜0，f(1)＝21＋2×1－3＝1＞0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的圖象是不間斷的，所以函數(shù)f(x)＝2x＋2x－3在區(qū)間(0，1)上有零點，從而函數(shù)f(x)＝2x＋2x－3有零點.思考如果x0

是二次函數(shù)y＝f(x)的零點，且m＜x0＜n，那么f(m)f(n)＜0一定成立嗎?【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)

(1)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f(a)f(b)＜0，則函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有唯一的零點. (

)(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上f(a)·f(b)＞0，則在區(qū)間(a，b)內(nèi)一定沒有零點. (

)(3)函數(shù)f(x)＝x2－x＋1有零點.(

)???2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)的，且其中的四組對應(yīng)值如表，那么在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)不一定存在零點的是 (

)A.(1，2) B.[1，3] C.[2，5) D.(3，5)x1235f(x)3－120D解析解析：由題表可知，f(1)＝3，f(2)＝－1，f(3)＝2，f(5)＝0.由f(1)?f(2)＜0，可知函數(shù)f(x)在(1，2)上一定有零點；則函數(shù)f(x)在[1，3]上一定有零點；由f(2)?f(3)＜0，可知函數(shù)f(x)在(2，3)上一定有零點，則函數(shù)f(x)在[2，5)上一定有零點；由f(3)＞0，f(5)＝0，可知f(x)在(3，5)上不一定有零點.所以函數(shù)f(x)不一定存在零點的區(qū)間是(3，5).3.函數(shù)f(x)＝lnx－6的零點是________.

e6解析：令f(x)＝lnx－6＝0，則lnx＝6，解得x＝e6.解析【跟蹤訓(xùn)練】1.函數(shù)f(x)＝log2(2x＋1)的零點是 (

)A.1 B.0 C.(0，0)

D.(1，1)B解析：令log2(2x＋1)＝0，解得x＝0.解析

B

解析

B解析4.函數(shù)y＝x2－bx＋1有一個零點，則b＝________.

±2解析：因為函數(shù)有一個零點，所以Δ＝b2－4＝0，

所以b＝±2.解析

5.已知函數(shù)f(x)＝|x2－5|－2，則函數(shù)F(x)＝xf(x)－1的零

點的個數(shù)為________.

解析5練習(xí)1.畫出函數(shù)y＝x2＋x－2的圖象，并指出函數(shù)y＝x2＋x－2的零點.

畫出函數(shù)大致草圖如下：由圖象可知：

函數(shù)

y＝x2＋x－2的零點為x＝1或x＝－2.2.求下列函數(shù)的零點：(1)y＝2x＋3；

(2)y＝x2＋4x；解

由

y＝0

得

x2＋4x＝0，解得

x＝0或x＝－4，所以函數(shù)的零點是0或－4.解

由

y＝0

得3x－9＝0，解得

x＝2，所以函數(shù)的零點是2.(3)y＝3x－9；(4)y＝logx.

解

由

y＝0

得logx＝0，解得

x＝1，所以函數(shù)的零點是1.

3.已知數(shù)f(x)＝3x－x2，那么方程f(x)＝0在區(qū)間[－1，0]

上有實數(shù)解嗎?為什么?4.證明：(1)函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋4有兩個不同的零點；證明：方程x2＋6x＋4＝0的判別式?＝62－4×4＝20＞0，∴方程f(x)＝0有兩個不同的實數(shù)解，

∴函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋4有兩個不同的零點.(2)函數(shù)f(x)＝x3＋3x－1在區(qū)間(0，1)上有零點.證明：∵f(0)＝03＋3×0－1＝－1＜0，

f(1)＝13＋3×1－1＝3＞0，

且函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的圖象是不間斷的，∴f(x)在區(qū)間(0，1)上有零點.5.函數(shù)f(x)＝4x3＋x－15在區(qū)間[1，2]上是否存在零點?

為什么?解函數(shù)f(x)＝4x3＋x－15在區(qū)間[1，2]上存在零點，

∵f(1)＝－10＜0，f(2)＝19＞0.∴f(1)f(2)＜0又∵函數(shù)f(x)＝4x3＋x－15的圖象在區(qū)間[1，2]上是一條連續(xù)不斷的曲線∴函數(shù)f(x)＝4x3＋x－15在區(qū)間[1，2]上存在零點.6.求證：函數(shù)f(x)＝2x＋x

在R

上有零點.8.1.2用二分法求方程的近似解對于方程lgx＝3－x，要求出這個方程的解是較為困難的.我們能否求出這個方程的近似解呢?讓我們先從熟悉的一元二次方程開始研究.例如，求方程x2－2x－1＝0的實數(shù)解就是求函數(shù)f(x)＝x2－2x－1的零點.根據(jù)圖8-1-2，我們發(fā)現(xiàn)f(2)＜0，f(3)＞0.這表明此函數(shù)圖象在區(qū)間(2，3)上有零點，即方程f(x)＝0在區(qū)間(2，3)上有實數(shù)解.又因為在區(qū)間(2，3)上函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以方程x2－2x－1＝0在區(qū)間(2，3)上有唯一實數(shù)解x1.

思考你能把此方程的一個根x1

限制在更小的區(qū)間內(nèi)嗎?下面我們利用計算工具來求方程x2－2x－1＝0的一個近似解(精確到0.1).設(shè)f(x)＝x2－2x－1，先畫出函數(shù)的圖象.▲圖中負(fù)號“－”表示此點所對應(yīng)的函數(shù)值為負(fù)，正號“＋”表示此點所對應(yīng)的函數(shù)值為正，下同.因為f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，所以在區(qū)間(2，3)上，方程x2－2x－1＝0有一解，記為x1.取2與3的平均數(shù)2.5.因為f(2.5)＝0.25＞0，所以2＜x＜2.5.再取2與2.5的平均數(shù)2.25.因為f(2.25)＝－0.43750，所以2.25＜

x1＜2.5.如此繼續(xù)下去，得f(2)＜0，f(3)＞0

?

x1∈(2，3)，f(2)＜0，f(2.5)＞0

?

x1∈(2，2.5)，f(2.25)＜0，f(2.5)＞0

?

x1∈(2.25，2.5)，f(2.375)＜0，f(2.5)＞0

?

x1∈(2.375，2.5)，f(2.375)＜0，f(2.4375)＞0

?

x1∈(2.375，2.4375).因為2.375與2.4375精確到0.1的近似值都為2.4，所以此方程的近似解為x1≈2.4.利用同樣的方法，還可以求出方程的另一個近似解.二分法像上面這種求方程近似解的方法稱為二分法，它是求一元方程近似解的常用方法.運用二分法的前提是要先判斷某解所在的區(qū)間.例3利用計算器，求方程lgx＝3－x

的近似解(精確到0.1).分析求方程lgx＝3－x的解可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f(x)＝lgx＋x－3的零點，故可以利用二分法求出題中方程的近似解.解分別畫出函數(shù)y＝lgx和y＝3－x

的圖象，如圖所示.在兩個函數(shù)圖象的交點處，函數(shù)值相等.因此，這個點的橫坐標(biāo)就是方程lgx＝3－x的解由函數(shù)y＝lgx

與y＝3－x

的圖象可以發(fā)現(xiàn)，方程lgx＝3－x

有唯一解，記為x1，并這個解在區(qū)間(2，3)內(nèi).設(shè)f(x)＝lgx＋x－3，用計算器計算，得f(2)＜0，f(3)＞0?x1∈(2，3)，f(2.5)＜0，f(3)＞0?x1∈(2.5，3)，f(2.5)＜0，f(2.75)＞0

?x1∈(2.5，2.75)，f(2.5)<0，f(2.625)＞0?x1∈(2.5，2.625),f(2.5625)＜0，f(2.625)＞0?

x1∈(2.5625，2.625).因為2.5625與2.625精確到0.1的近似值都為2.6，以原方程的近似解為x1≈2.6.例4利用計算器，求方程sinx＝1－x的近似解(精確到0.1)解：因為方程sinx＝1－x

可化為x＋sinx－1＝0，所以原方程的解即函數(shù)f(x)＝x＋sinx－1的零點.先畫出函數(shù)y＝sinx與函數(shù)y＝1－x的圖象，如圖8-1-4所示.觀察圖象，因為f(0)＝－1＜0，f(1)＝sin1＞0，所以函數(shù)f(x)的零點在區(qū)間(0，1)內(nèi)，記為x0.取0和1的平均數(shù)0.5，因為f(0.5)＝sin0.5－0.5＝－0.02057＜0，所以動x0∈(0.5，1).取0.5和1的平均數(shù)0.75，因為f(0.75)－sin0.75－0.25＝0.43164＞0，所以x0∈(0.5，0.75).取0.5和0.75的平均數(shù)0.625，因為f(0.625)＝sin0.625－0.375＝0.21010＞0，所以x0∈(0.5，0.625).取0.5和0.625的平均數(shù)0.5625，因為f(0.5625)＝sin0.5625－0.4375＝0.09580＞0，所以x0∈(0.5，0.5625).取0.5和0.5625的平均數(shù)0.53125，因為f(0.53125)＝sin0.53125－0.6875＝0.03786＞0，所以x0∈(0.5，0.53125).因為0.5和0.53125精確到0.1的近似數(shù)都是0.5，所以區(qū)間(0.5，0.53125)內(nèi)的所有數(shù)精確到0.1的近似數(shù)都是0.5，從而x0≈0.5.因此，方程sinx＝1－x

的近似解(精確到0.1)為0.5.用二分法求方程的一個近似解的操作流程是：在以上操作過程中，如果存在c，使得f(x)＝0，那么c

就是方程f(x)＝0的一個精確解.【基礎(chǔ)小測】1.辨析記憶(對的打“?”，錯的打“?”)

(1)任何函數(shù)的零點都可以用二分法求得. (

)(2)用二分法求出的函數(shù)零點就是精確值. (

)??2.下列圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求函數(shù)零點的是 (

)A解析：只有A中圖象與x軸交點兩側(cè)的函數(shù)值不變號，都是正值，因此不能用二分法.解析3.若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－2x－2的一個零點(正數(shù))附近的函數(shù)值用二分法逐次計算，參考數(shù)據(jù)如表：x11.51.251.3751.4375f(x)－20.625－0.984－0.2600.162則方程x3＋x2－2x－2＝0的一個近似解(精確到0.1)為________.

x≈1.4解析解析因為f(1)f(1.5)＜0，所以x0∈(1，1.5)；因為f(1.4375)≈0.162＞0，

又f(1.375)≈－0.260＜0，所以x0∈(1.375，1.4375)，

因為1.375與1.4375精確到0.1的近似值都是1.4，

所以原方程的近似解為x≈1.4.【跟蹤訓(xùn)練】

B解析

2.用二分法求函數(shù)f(x)＝3x－x－4的一個零點，其參考數(shù)據(jù)如下：f(1.6000)≈0.200f(1.5875)≈0.133f(1.5750)≈0.067f(1.5625)≈0.003f(1.5562)≈－0.029f(1.5500)≈－0.060據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3x－x－4＝0的一個近似解(精確到0.01)為________.x≈1.56解析解析f(1.5625)≈0.003＞0，f(1.5562)≈－0.029＜0，

方程3x－x－4＝0的一個近似解在(1.5562，1.5625)上，所以精確到0.01的近似解為x≈1.56.3.用二分法求方程x3－2x－5＝0在區(qū)間[2，3]內(nèi)的實根，

取區(qū)間中點x0＝2.5，那么下一個有根區(qū)間為_______.

(2，2.5)解析：因為f(2)＜0，f(2.5)＞0，f(3)＞0，

所以f(2)f(2.5)＜0，f(2.5)f(3)＞0.所以下一個有根區(qū)間應(yīng)為(2，2.5).解析練習(xí)1.利用計算器，求方程x3＋3x

－1＝0在區(qū)間(0，1)上的近似解(精確到0.1).

因為f(0.31)＝0.313＋3×0.0.31－1＞－0.04＜0，所以f(0.31)·f(0.375)＜0，因為∣0.31－0.375∣＝0.065＜0.1，又因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(0.31，0.375)上連續(xù)，所以方程x3＋3x－1＝0在區(qū)間(0，1)上的近似解為0.3.2.利用計算器，求方程lgx＝1－2x的近似解(精確到0.1).

3.用自己的語言敘述用二分法求方程近似解的基本步驟.

4.用兩種方法解方程2x2＝3x－1.5.利用計算器，求方程x3＝2x＋1的近似解(精確到0.1).因為－0.625≈－0.6，－0.5625≈－0.6，所以取x2＝－0.6因為1.5625≈1.6，所以取x3≈1.6.綜上，方程x3＝2x＋1的近似解是x1＝1.0，x2≈－0.6，x3≈1.6.6.利用計算器，求方程x－cosx＝0的近似解(精確到0.1).解：設(shè)f(x)＝x－cosx，方程的解為x0，用計算器計算得

f(0)＜0，f(1)＞0?x0∈(0，1)，

f(0.5)＜0，f(1)＞0?x0∈(0.5，1)，

f(0.5)＜0，f(0.75)＞0?

x0∈(0.5，0.75)，

f(0.625)＜0，f(0.75)＞0?

x0∈(0.625，0.75)，

f(0.6875)＜0，f(0.75)＞0?

x0∈(0.6875，0.75)，

f(0.71875)＜0，f(0.75)＞0?

x0∈(0.71875，0.75)，f(0.734375)＜0，f(0.75)＞0?x0∈(0.734375，0.75)，f(0.734375)＜0，f(0.7421875)＞0?x0∈(0.734375，0.7421875)∵0.734375和0.7421875精確到0.1的近似值都是0.7，∴x≈0.7.習(xí)題8.1感受·理解1.說明下列函數(shù)在給定的區(qū)間上存在零點：(1)f(x)＝

lgx＋2x－5，(1，3)；(2)f(x)＝2x＋x2－7，(1，2)；(3)f(x)＝

x3＋x－1，(0，1)；(4)f(x)＝2x＋sinx－l，(0，π).(1)f(x)＝

lgx＋2x－5，(1，3)；(2)f(x)＝2x＋x2－7，(1，2)；(3)f(x)＝

x3＋x－1，(0，1)；(4)f(x)＝2x＋sinx－l，(0，π).2.求證：方程x2＋x＋1＝0沒有實數(shù)根.3.設(shè)m為實數(shù)若函數(shù)y＝mx2－6x＋2的圖象與x軸只有1個

公共點，求m的值.4.設(shè)k

為實數(shù)，若方程4(x2－3x)＋k－3＝0沒有實數(shù)根，

求的取值范圍.5.求證：方程5x2＋7x－1＝0的根一個在區(qū)間(－2，－1)

內(nèi)，另一個在區(qū)間(0，1)內(nèi).證明：設(shè)f(x)＝5x2＋7x－1，則二次函數(shù)f(x)是定義域R上的連續(xù)函數(shù)，計算f(－2)·f(－1)＝(20－14－1)×(5－7－1)＜0，所以f(x)的一個零點在區(qū)間(－2，1)內(nèi)，

計算f(0)·f(1)＝(0＋0－1)×(5＋7－1)＜0，所以f(x)的一個零點在區(qū)間(0，1)內(nèi)；所以方程5x2＋7x－1＝0的根一個在區(qū)間(－2，－1)內(nèi)，另一個在區(qū)間(0，1)內(nèi).6.利用計算器，求方程x2－2x－2＝0的近似解(精確到0.1).解由條件x2－2x－2＝0兩個根設(shè)為x1，x2，則x1＋x2＝2，

設(shè)函數(shù)為f(x)＝x2－2x－2，設(shè)函數(shù)的零點為x0，

因為f(0)＝－2＜0，f(－1)＝1＞0，

則x0∈(－1，0)，取(－1，0)的中間值－0.5，所以f(－0.5)＝－0.75＜0，則f(－0.5)f(－1)＜0，則x0∈(－1，－0.5)，取(－1，－0.5)中間值－0.75，計算得f(－0.75)＝0.0625＞0，所以f(－0.75)f(－0.5)＜0，則x0∈(－0.75，

－0.5)，取(－0.75，－0.5)中間值－0.625，計算得f(－0.625)＝－0.3594＜0，所以f(－0.75)f(－0.625)＜0，則x0∈(－0.75，－0.625)，取(－0.75，－0.625)中間值－0.6875，計算得f(－0.6875)＝－0.1523＜0，所以f(－0.75)f(－0.6875)＜0，則x0∈(－0.75，－0.6875)，因為∣－0.75－(－0.6875)∣＝0.0625＜0.1，則方程x2－2x－2＝0的近似解為x1≈－0.7，同理可得方程另一個近似解為x2≈2.7，則方程兩個近似解為－0.7和2.7.7.用多種方法解方程x2＝3x＋10.解法1：方程x2＝3x＋10可化為x2－3x－10＝0，

即(x＋2)(x－5)＝0，∴x1＝－2，x2＝5.解法2：方程x2＝3x＋10可化為

x2－3x－10＝0，∴?＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－10)

＝9＋40＝49，

思考·運用8.設(shè)m

為實數(shù)，若方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一

個根在區(qū)間(0，1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，

求m

的取值范圍.解設(shè)f(x)＝7x2－(m＋13)x－m－2，∵方程7x2－(m＋13)x－m－2＝0的一個根在區(qū)間(0，1)內(nèi)，另一個根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，解得－4＜m＜－2，∴m的取值范圍是(－4，－2).9.設(shè)k為實數(shù)，若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋k

在區(qū)間[－1，0]

上有零點，求k的取值范圍.解

f(x)＝0等價于k＝2x－x2，

構(gòu)造函數(shù)g(x)＝2x－x2，x∈[－1，0]，

故只需要k的范圍是函數(shù)g(x)的值域，

即原函數(shù)f(