湖南省衡陽(yáng)市高三上學(xué)期11月質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)

2024屆高三11月質(zhì)量檢測(cè)試題數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)。全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷和答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如有改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案；回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A. B. C. D.a，b是空間兩條不同直線，則“a與b無(wú)公共點(diǎn)”是“a與b是異面直線”的（）的圖象大致為（）A. B.C. D.，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.6.如圖是一坐山峰的示意圖，山峰大致呈圓錐形，峰底呈圓形，其半徑為，峰底A到峰頂?shù)木嚯x為，B是山坡的中點(diǎn).為了發(fā)展當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)，現(xiàn)要建設(shè)一條從A到B的環(huán)山觀光公路，當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，公路距山頂?shù)淖罱嚯x為（）A. B. C. D.滿足，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有成立，則（）A. B. ，函數(shù)與的圖象在上最多有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.a，，則下列命題正確的是（）且，則 ，則，則 ，則y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)藏溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k，b為常數(shù)）.若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是192小時(shí)，在14℃的保鮮時(shí)間是48小時(shí)，則下列說(shuō)法正確的是（）參考數(shù)據(jù)：，A.℃，則它的保鮮時(shí)間是16小時(shí)C.D.若該食品保鮮時(shí)間超過(guò)96小時(shí)，則它的儲(chǔ)藏溫度不高于7℃的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)（公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)稱為互質(zhì)整數(shù)），例如：，，則（）A. n為奇數(shù)時(shí)，為等比數(shù)列 的前n項(xiàng)和小于的棱長(zhǎng)為2，P是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且，記點(diǎn)P形成的軌跡為，則下列結(jié)論正確的是（）A.，， B.，，C.的長(zhǎng)度是8 D.的長(zhǎng)度是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.的前n項(xiàng)和為，若，，則______.和圓都相切的一條直線的方程______.x的不等式恰有一個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.則方程的解的個(gè)數(shù)是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)和在處有相同的導(dǎo)數(shù).（1）求；（2）設(shè)是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn)，求的值.18.（本小題滿分12分）如圖，在斜四棱柱中，底面正方形的中心是O，且平面.（1）證明：平面平面；（2）若該四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為1，求二面角的余弦值.19.（本小題滿分12分）x和年研發(fā)投入y（單位：億元）的散點(diǎn)圖，其中年份代碼1～10分別對(duì)應(yīng)年份2013～2022.圖1圖2根據(jù)散點(diǎn)圖，分別用模型①，②作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型，并進(jìn)行殘差分析，得到圖2所示的殘差圖.結(jié)合數(shù)據(jù)，計(jì)算得到如下表所示的一些統(tǒng)計(jì)量的值：75120表中，.（1）根據(jù)殘差圖，判斷模型①和模型②哪一個(gè)更適宜作為年研發(fā)投入y（單位：億元）關(guān)于年份代碼x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程模型?并說(shuō)明理由；（2）（i）根據(jù)（1）中所選模型，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；（ii）設(shè)該科技公司的年利潤(rùn)（單位：億元）和年研發(fā)投入y（單位：億元）滿足（且），問(wèn)該科技公司哪一年的年利潤(rùn)最大?附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，…，，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.20.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，已知，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列滿足，求的值；（3）若數(shù)列滿足，求證：.21.（本小題滿分12分）在中，為邊