2023屆高考文科數(shù)學(xué)模擬預(yù)熱卷 全國卷(含答案)

2023屆高考文科數(shù)學(xué)模擬預(yù)熱卷全國卷

學(xué)校：姓名：班級：考號：

一、選擇題

1、已知U=R,集合A={x[2<x<4},B={x|(x-5)(x-3)>0},則A獻)=()

A.{x|2<x<5}B.{x|2<x<3}

C.{x|xN5或xv4}D.{x|3<x<4}

2、已知復(fù)數(shù)z滿足3+iz=2z—i,則|z|=()

A.lB.及C.6D.2

22

3、橢圓二+與=l(a>b>0)的上、下頂點分別為B、,右焦點為尸，若△48,F為等邊三角

a'b"

形，則橢圓的離心率為()

4、為了提高學(xué)習(xí)興趣，某數(shù)學(xué)老師把《九章算術(shù)》與《孫子算經(jīng)》這兩本數(shù)學(xué)著作推薦給學(xué)生進

行課外閱讀，若該班甲、乙兩名同學(xué)每人至少閱讀其中的一本，則每本書都被同學(xué)閱讀的概率為

5、已知等差數(shù)列{4}的前〃項和為S“，且%+4=T0，，則、0=()

A.6B.10C.12D.20

6、若cosj四一a]=3,則sin2a=()

7117

一

一5-5-

2525

7、由于某地人們健康水平的不斷提高，某種疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率

低于當前患病率的;，則至少需要經(jīng)過時間.(參考數(shù)據(jù)：1g2=0.3,lg3?0.48)()

A.4年B.5年C.6年D.7年

8、如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，。是Ag與AB的交點，。是AC的中點，

A4,=A5=2AC=4,AB±AC,給出下列結(jié)論.

①AB與BQ是相交直線；

②。?！ㄆ矫鍭gG；

③平面A。。//平面BB?C；

④AOJ_平面,

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.③④C.②③D.②④

9、在V43C中，角A,B,C的對邊分別為a,A,c,且gc=6cosA+（a-c）cos8,62-a2-c?=Y，則

V/U5C的面積為（）

A.&B.—C.2D忑

2

10、已知雙曲線犬-丫2=/他＞0）的左、右焦點分別為耳,鳥，過點心作斜率為6的直線交雙曲

線的右支于48兩點，則AAAB的內(nèi)切圓半徑為（）

A.巴B上

26

「瓜口瓜

C.——D.——a

36

11、甲、乙兩個圓錐的母線長相等，側(cè)面展開圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲

和S乙，體積分別為%和勿.若含=2,則白=（）

S乙Y乙

A.75B.2忘C.VlOD.獨^

4

12、已知函數(shù)/（幻=（￡一儂一加上+2加（加＞-2,e是自然對數(shù)的底數(shù)）有極小值0,則其極大

值是（）

A.4e-2或（4+In2）e-2+21n2B.4e-2或（4+In2）e2+21n2

C.4e-2或（4+In2）e'2-21n2D.4e2或（4+In2）e2-21n2

二、填空題

13、已知向量a=(l,2),Z>=(3,附，且a_L(2a-b),則|“一2切=.

14、已知函數(shù)/(x)為定義在R上的偶函數(shù)，且當xNO時，f(x)=x+2e‘，則函數(shù)/(x)在x=-1處

的切線斜率為.

15、已知直線/經(jīng)過點M(2,4)且與圓(x-l)2+(y-3)2=10相交于A,B兩點，若|A例=6,則直線/

的方程為.

16、對于函數(shù)/(x)=cos(xr-]),下列結(jié)論中正確的有.(填序號)

①/(x)的圖象是由g(x)=cos7tr的圖象向右平移g個單位而得到的；

②f(x)的圖象過點L-亭j;

\/

③F(x)的圖象關(guān)于點(Q)對稱；

④f(x)的圖象關(guān)于直線x=-|對稱.

三、解答題

A+C

17、418。的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為“，h,c,已知“sin-----=AsinA.

2

⑴求B.

(2)若△ABC為銳角三角形，且c=l,求43。面積的取值范圍.

18、已知在四棱錐S-/1BCD中,S4_L底面"CD,且NADC=30。，AC_L

CD,E,E分別為SO,SC的中點.

⑴求證:平面平面SAC',

(II)若AD=2必=2,求三棱錐C-的體積.

19、2021年5月22日10時40分，“祝融號”火星車己安全駛離著陸平臺，到達火星

表面，開始巡視探測.為了增強學(xué)生的科技意識，某學(xué)校進行了一次專題講座，講座結(jié)

束后，進行了一次專題測試(滿分：100分)，其中理科學(xué)生有600名學(xué)生參與測試，其

得分都在［50,100］內(nèi)，得分情況繪制成頻率分布直方圖如下，在區(qū)間［70,80),160,70),［80,90)

的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列.

若規(guī)定得分不低于80分者為優(yōu)秀，文科生有400名學(xué)生參與測試，其中得分優(yōu)秀的學(xué)

生有50名.

⑴若以每組數(shù)據(jù)的中間值代替本組數(shù)據(jù)，求理科學(xué)生得分的平均值；

(2)請根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并說明是否有99.9%以上的把握認為，得分是

否優(yōu)秀與文理科有關(guān)？

優(yōu)秀不優(yōu)秀合計

理科生

文科生

合計1000

附：犬=(〃++」)，其中〃j+b+c+小

而北)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

20、已知產(chǎn)為拋物線丁=2px(p>0)的焦點，過尸且傾斜角為45。的直線交拋物線于A,8兩點，

\AB|=8.

(1)求拋物線的方程；

(2)已知P(/,-l)為拋物線上一點，M,N為拋物線上異于P的兩點，且滿足心,“?％出=-2,試

探究直線是否過一定點？若是，求出此定點；若不是，說明理由.

21、已知函數(shù)f(x)=《色二2(其中e為自然對數(shù)的底數(shù),aeR).

e<a

(1)當。=1時，求曲線y=/(x)在點(2J(2))處的切線方程；

⑵若a>0,方程/(x+l)-a=0有兩個不同的實數(shù)根%,々,求證：X；>2e.

22、在平面直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為F=fc°sa(夕為參數(shù)).以坐標原點為

y=V3sin?

極點，x正半軸為極軸建立極坐標系，直線/的極坐標方程為Qcose-°sine+l=0.

(I)求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標方程；

(H)直線/與曲線C相交于不同的兩點A,B,直線/與)，軸交于點求的值.

23、設(shè)函數(shù)f(x)=|x-5a|-|x-a|.

⑴當a=1時，求不等式/(x)<2的解集；

(II)若存在xeR，使f(x)>8成立,求實數(shù)a的取值范圍.

參考答案

1、答案：D

解析：由(x—5)(x—3)N0得xN5或xK3,則8={x|x?5或x<3},故

={x[3<x<5},

故A@3)={x[3<x<4}.故選D.

2、答案：B

解析:解法一：由已知得(2—i)z=3+i,.?.|2-i||z|=|3+i|,即有|z|=J16,二|2|=四.

解法二：由已知得(2-i)z=3+i,1二言(3+i)(2+i)5+5Z

(2-i)(2+i)=^-

zi=Jr+/=-JT,.

3、答案：C

22

解析：橢圓,+￡=1(。>〃>0)的上、下頂點坐標分別為用(0,3，B2(0-b),右焦點坐標為

F(c?,0)>△用鳥尸為等邊三角形，/.c=c?=SA?=3/—3c?,解得/=:，即禺心率

e=B,故選C.

2

4、答案：D

解析：記這兩本書分別為A,B,則甲、乙閱讀這兩本圖書的所有可能情況有

(AA),(B,g),(AB),(B,A),(AB,A),(AB,B),(AA8),(8,AB),(AB,AB)共9種不同的情況,其中兩本書

都有同學(xué)閱讀的情況有7種，故所求概率P=N,故選D.

9

5、答案：B

解析：由題意，設(shè)數(shù)列公差為d,因為4+4=24+6d=-10,56+15J=-42,

解得q=-17,4=4,所以S10=10q+45d=770+45x4=10.

故選：B.

6、答案：D

解析：本題考查誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式的應(yīng)用.cos(:-&)=|,

?3/九八、A、入2,兀、，入9.7

sin2a—cos(2a)—cos21ex,—2cos-CL—1—2x---1=----.

2(4J(4J2525

7、答案：B

解析：假設(shè)至少需要經(jīng)過的時間為x(單位：年)，由題意得兩邊同時取以［為底的對數(shù)

得log/。］>log41,X>log41.

因為log4，=-二也3—=--------------------=^2_=4.8,所以x>4.8,即x=5.故選B.

53lg4-lg521g2-(l-lg2)31g2-l

8、答案：D

解析：本題考查空間線面間的位置關(guān)系.對于①，在直三棱柱ABC-AqG中，根據(jù)異

面直線的定義知A8與與G是異面直線，所以①錯誤；對于②，AC的中點為。，且。

是A4與的交點，所以。是A1的中點，連接0。，則O￡>〃B?,因為耳Gu平面

A4C，仁平面A4G，所以平面A4G，所以②正確；對于③，因為AO

平面囪5℃=瓦，所以平面A0。與平面相交，所以③錯誤；對于④，因為在

直三棱柱ABC-AB|G中，A\=AB,所以四邊形ABB八是正方形，■1?平面

ABB.A,,因為=A，所以AO_L平面A^G，所以④正確，故選D.

9、答案：B

解析：Q-c=i>cosA+(a-c)cosjB,—^―=—^―=

3sinAsinB

c1

----sinC=sinBcos4+(sinA-sin。cosB,

sinC3

r.gsinC=sin(A+B)-sinCcosB,又C=兀一(A+B),gsinC=sinC-sinCcosB.又

22222

sinC*0,;.cosB=2,;.sin3=^.由余弦定理得=a+c-laccosBa+c-b=2accos3.又

33

212

b-a-c=Y,;.4=2acxg,;.ac=3SV4BC=gacsin8=gx3x。=當.故選B.

10、答案:C

解析：解法一：不妨設(shè)A在第一象限，4(4,乂)，

過點A作AM軸于點

易知月(、歷a,0),則

22

=6(-&“)應(yīng)°)+x,-a=2xf-+O=^J2x}-aj,

所以|AE|=0X|-

易知ZAF2M=60°,貝11AF2\COS600=\F2M\=xt-,

即%=g|AE|+JL,代入（*）式得=用+&■1-4,

得|AE|=（2+&）4,同理忸周=（2-0）a,則黑卯=g|百印」A例sin60。=2病2,

故△A耳8的內(nèi)切圓半徑r滿足；（忻A|+1耳回+1A3|）r=S^A,.H,

又忻川+忻8|=|A8|+4“=8a,

解法二：由題意得招（缶,0）,則直線A8的方程為丫=石（x-@）,

代入雙曲線方程，得2f-60or+la2=0,

7

設(shè)/4（3,乂）,3（犬2，）'2），貝I」X1+馬=3應(yīng)。，%赴=—a2,

則|AB\=J1+（后?Ja+々）2-4g=2J（3伍）2-4x1a2=4a,

則耳周I48網(wǎng)1160。=2扁2,故的內(nèi)切圓半徑r滿足

；（舊A|+|K8|+|A8|）r=5,

△MB

又田川+閨叫=|A81+4〃=8a,所以gxl2axr=2#/,得八='^々.

11、答案：c

解析：解法一：因為甲、乙兩個圓錐的母線長相等，所以結(jié)合薩=2可知，甲、乙兩

個圓錐側(cè)面展開圖的圓心角之比是2:1.不妨設(shè)兩個圓錐的母線長為/=3,甲、乙兩個

圓錐的底面半徑分別為口弓，高分別為4,h2,則由題意知，兩個圓錐的側(cè)面展開

圖剛好可以拼成一個周長為6無的圓，所以2叫=4兀，2出=2兀，得4=2,弓=1.由勾

股定理得，%=J/?-展=石，州=J/?一>=2及,所以及-----=&g=Ji6.故

V乙加42點

選C.

解法二：設(shè)兩圓錐的母線長為/,甲、乙兩圓錐的底面半徑分別為個與，高分別為

兀尸

%,%,側(cè)面展開圖的圓心角分別為4,〃,，則由業(yè)=2眩=鼻=2,得

__S乙隊/%兀尸

2K

二=叢=2.由題意知勺+%=2兀，所以勺=色，所以2%=色/,

r2n2333

2jir2-,得｛=：/,&二;/.由勾股定理得，%=J/?-1=-^Z,

I_[TiF_2^?.所以地=獸1=華

~~r2=加.故選c.

吃]r池2a

12、答案:A

解析：由題意知,/'(x)=[x?+(2-機)x-2〃?]e*=(x+2)(x-〃z)e*.由/'(x)=0得x=-2或x=〃?.因

為m>—2,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-oo,-2)和(也+8)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(-2,附內(nèi)單調(diào)遞減.于是函

數(shù)/(x)的極小值為/(，〃)=0,即(而2—nr—/n)e"'+2m=0,(2—e"'=0,解得〃z=0或m=ln2.

當,"=0時，/(x)的極大值為f(-2)=4e-2；當機=ln2時，/(尤)的極大值為

/(-2)=(4+ln2)-e-+21n2.故選A.

13、答案：5點

解析：由題意得2a—6=(—1,4—㈤.

7

又因為a_L(2a—方)，可得—1+8—2/〃=0,解得/??=—,

2

所以a-2)=(-5,-5),[a-2b1=50.

14^答案：—1—2e

解析：Qf(x)=x+2ex,f'(x)=l+2ex,f'(l)=1+2e.

Q函數(shù)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，

函數(shù)f(x)在x=-1處的切線斜率與函數(shù)/(X)在X=1處的切線斜率互為相反數(shù),

r(-l)=-r(l)=-l-2e.

15、答案：x=2或y=4

解析：若直線/的斜率不存在，

則其方程為x=2,

此時可得A(2,0),8(2,6)或42,6),8(2,0),滿足|AB|=6；

若直線/的斜率存在，

設(shè)其方程為y-4=%(x-2),即"-y+4-2%=0,

依題意有J"一昔；”+(2=^，解得

此時直線方程為y=4.

故符合要求的直線/的方程為x=2或y=4.

16、答案：③④

解析：將g(x)=cosQ-的圖象向右平移;個單位，所得圖象的函數(shù)解析式為

y=cos兀(x-1)=cos，故①錯誤；當x=l時/⑴=cos(；r-1)=-；,故②錯誤；當

*=需時/(￡]=cos傳-捫0,所以函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于點(1,0)稱，故③正確；當x=-1時

/^=COS^-y-1j=-l,所以函數(shù)f(X)的圖象關(guān)于直線X=-|對稱，故④正確.綜上可得，

③④正確.

17、答案：(1)3=60。

噌由

AA-C

解析：⑴由題設(shè)及正弦定理得sinAsin-----=sinBsinA.

2

A4-C

因為sinAw0,所以sin-----=sinB.

2

由A+3+C=180。，可得sin"C=cosO,

22

齡BBB

rixcos—=2、s.in—cos—.

222

因為cosOwO,故sing='，因此3=60。.

222

(2)由題設(shè)及(1)知ZVRC的面積S小8c=]〃.

由正弦定理得”=24=sm(120°-0)=&_+」

2tanC2

由于AABC為銳角三角形，故0。＜4＜90。,0。＜。＜90。，

由(1)知A+C=120。，所以30。＜。＜90。，故一v〃v2,

2

從而與<S^ABC<4,

oL

因此，△TWC面積的取值范圍是［學(xué)，苧J.

18、答案：⑴見解析

(H)W

解析：⑴證明:QS4_L平面ABCRCOu平面ABCD

.-.SArCD.

又AC_LCD,且SAIAC=A.

.?.C￡)_L平面SAC.

QE,F分別為SD,SC的中點，

EFUCD,

.?.EF_L平面SAC.

又￡Fu平面

平面型'1.平面SAC.

(II)由⑴得￡F_L平面SAC,

則EF即為三棱錐E-ACF的高，且EF=-CD.

2

在RtAv4a)中,AC_L8,ZADC=30。,AD=2,

:.AC=1,CD=^,

...Er=--.

2

又S4=l,尸為SC的中點，

.一△心=gs.c=gx；xSAxAC=；,

則V：.棱錐C-W=丫二:棱錐月-ACF

19、答案：(1)理科學(xué)生得分的平均值為73分.

(2)表格見解析，有99.9%以上的把握認為得分是否優(yōu)秀與文理科有關(guān).

解析：(1)由第三、二、四組的頻率依次構(gòu)成等差數(shù)列可得2“=%+0.015.

又頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為1,則(O.(n5+〃+m+O.O15+O.O1O)xlO=l,

解得機=0.035,“=0.025,

二理科學(xué)生得分的平均值為

(55x0.015+65x0.025+75x0.035+85x0.015+95x0.010)x10=73(分).

(2)理科學(xué)生優(yōu)秀的人數(shù)為(0.015+0.010)x10x600=150,

補全2X2列聯(lián)表如表所示,

優(yōu)秀不優(yōu)秀合計

理科生150450600

文科生50350400

合計2008001000

長、1000x(150x350-450x50)2)？3.4375>10,828,

600x400x200x800

??.有99.9%以上的把握認為得分是否優(yōu)秀與文理科有關(guān).

20、答案：(1)丁;人

(2)直線MN過定點

解析：(1)已知尸(5,0),則直線A8的方程為y=x-],

y2=2px,2

聯(lián)立1〃消去y,得Y_3px+2=0,

y=x--4

I2

所以/+/=3p,

因為|A6|=x.+/+P=4〃=8,所以2P=4,

所以拋物線的方程為4

(2)將P(x0,T)代入V=4x可得

不妨設(shè)直線MN的方程為x=rNd，%)，

聯(lián)立-4五'消去x,得了2_4畋-4「=0,

[X=my+1,

貝!|到+>2=4”，yxy2=-4t,△=16，/+16r,

y+1%+1_44

由題意得kpM,kf>N-----7------;--=-2

x」X,--M-1%-1%必一（y+必）+1

,4^4

化簡可得，t=——my

4

代入△=16m2+161=16；川+。

4

2

=16|A27--I+32>0,

I2

Q

此時直線MN的方程為了=加(丫-1)+^，

所以直線MN過定點停,1).

21、答案：(Dy」

e

(2)見解析

解析：(1)當。=1時,/(*)=與乜，

e

則ra)=y2,-/r(2)=L1,

ee

因此尸(2)=0,

故曲線y=/(x)在點(2,7(2))處的切線方程為y=L

e

(2)由題意知方程疣"-。=0有兩個不同的實數(shù)根%,馬.

對于函數(shù)y=心一Q-a(a>0),/=e-av(l-ax),

令y'=e-m(l—or)>0,解得x<,，

a

令V=e"(1-or)<0,解得x>-,

a

則函數(shù)y=在區(qū)間(-00，)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(：,+00)上單調(diào)遞減，

所以，-「〃>(),得

ae

又當x<0時，祀㈤-。<0,所以方程比e-。=0的兩個不同的實數(shù)根片均大于0.

1lnfl

當x>0時，方程雙一"-a=0即方程e-=e,

則原問題等價于Inx-ax=Ina有兩個不同的正實數(shù)根/.

令g(x)=Inx-ax-Ina(x>0),

則gr(x)=--tz(x>0),

x

所以g5)在m上單調(diào)遞增，在(j+8)上單調(diào)遞減，

不妨設(shè)玉<x,,貝|JO<X<—<x.

a2

令G(x)=g(x)-g]1-x),xe(0,1),

22

則G'(x)