第10講 探索與表達(dá)規(guī)律（解析版）

第10講探索與表達(dá)規(guī)律1.初步掌握規(guī)探索的方法，并能對(duì)簡(jiǎn)單的規(guī)律進(jìn)行用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述；2.培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)和字母應(yīng)用的理解，從而拓展學(xué)生的視野；3.掌握從特殊到一般、從個(gè)體到整體地觀察。分析問(wèn)題的方法，嘗試從不同角度探究問(wèn)題，培養(yǎng)應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)知識(shí)點(diǎn)1：規(guī)律類(lèi)：數(shù)字變化型一、等差規(guī)律：前后兩項(xiàng)差幾寫(xiě)成幾×n，令n=1，在通過(guò)加減來(lái)湊第一個(gè)數(shù)。例如：上面的第（3）列數(shù)，相差3，則先得到3n，而第1項(xiàng)是4，當(dāng)n=1時(shí)，3n=3，3+1=4，所有第n項(xiàng)表示為3n+1.拓展延申：知識(shí)點(diǎn)2：規(guī)律型：圖形變化類(lèi)1.基本思想：圖形規(guī)律數(shù)字規(guī)律2.基本方法：（1）從具體的實(shí)際問(wèn)題出發(fā),觀察各個(gè)數(shù)量的特點(diǎn)及相互之間的變化規(guī)律.（2）由此及彼,合理聯(lián)想,大膽猜想（3）善于類(lèi)比,從不同事物中發(fā)現(xiàn)相似或相同點(diǎn)；（4）總結(jié)規(guī)律,得出結(jié)論,并驗(yàn)證結(jié)論正確與否;考點(diǎn)1：數(shù)字變化類(lèi)例1.（2023?紅河州二模）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：3a2，﹣5a4，7a6，﹣9a8，…，第13個(gè)單項(xiàng)式為（）A．27a26 B．﹣27a26 C．25a26 D．﹣25a25【答案】A【解答】解：觀察這列單項(xiàng)式，可以發(fā)現(xiàn)系數(shù)的絕對(duì)值是從3開(kāi)始的奇數(shù)，可表示為：（﹣1）n+1?（2n+1），字母a的指數(shù)為連續(xù)的偶數(shù)，可表示為：a2n，因此第n個(gè)單項(xiàng)式為：（﹣1）n+1?（2n+1）a2n，∴第13個(gè)單項(xiàng)式為：27a26，故選：A．【變式1】（2023?雙柏縣模擬）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：﹣x，5x2，﹣9x3，13x4，﹣17x5，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．（5n﹣4）（﹣x）n B．（5n﹣4）xn C．（4n﹣3）xn D．（4n﹣3）（﹣x）n【答案】D【解答】解：第n個(gè)單項(xiàng)式為：（4n﹣3）（﹣x）n．故選：D．例2.（2023?安徽模擬）觀察以下等式：第1個(gè)等式：1×（2+4）+4×2＝2×5+4，第2個(gè)等式：2×（6+4）+4×5＝3×8+16，第3個(gè)等式：3×（12+4）+4×10＝4×13+36，第4個(gè)等式：4×（20+4）+4×17＝5×20+64，…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：5×（30+4）+4×26＝6×29+100；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2（用含n的代數(shù)式表示），并證明．【答案】（1）5（30+4）+4×26＝629+100；（2）n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，證明見(jiàn)解答．【解答】解：（1）根據(jù)已給四個(gè)等式，可得第5個(gè)等式為：5（30+4）+4×26＝629+100；（2）等式左邊由兩部分組成，第一部分是序號(hào)與比序號(hào)大1的數(shù)的積再加上4的和的序號(hào)倍，第二部分為序號(hào)的平方加1的和的4倍，可表示為：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]，等式右邊也有兩部分組成，第一部分為比序號(hào)大1的數(shù)乘以序號(hào)的平方與4的和，第二部分為序號(hào)平方的4倍，可表示為：（n+1）（n2+4）+4n2，因此猜想第n個(gè)等式為：n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2，證明：左邊＝n[n2+n+4]+4n2+4＝n3+n2+4n+4n2+4＝n3+5n2+4n+4，右邊＝n3+4n+n2+4+4n2＝n3+5n2+4n+4，∵左邊＝右邊，∴n[n（n+1）+4]+4（n2+1]＝（n+1）（n2+4）+4n2．【變式2-1】（2023?霍邱縣一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：22﹣12＝2×1+1，第2個(gè)等式：32﹣22＝2×2+1，第3個(gè)等式：42﹣32＝2×3+1，第4個(gè)等式：52﹣42＝2×4+1，按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：..．（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：72﹣62＝2×6+1．（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：（n+1）2﹣n2＝2n+1（用含n的等式表示），并證明．【答案】（1）72﹣62＝2×6+1；（2）（n+1）2﹣n2＝2n+1．【解答】解：（1）第6個(gè)等式是72﹣62＝2×6+1，故答案為：72﹣62＝2×6+1；（2）猜想：第n個(gè)等式是（n+1）2﹣n2＝2n+1，證明：∵（n+1）2﹣n2＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，∴（n+1）2﹣n2＝2n+1成立．故答案為：（n+1）2﹣n2＝2n+1．【變式2-2】（2023?無(wú)為市三模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：，第2個(gè)等式：，第3個(gè)等式：，第4個(gè)等式：，……解決下列問(wèn)題：（1）按照以上規(guī)律，寫(xiě)出第6個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明；（3）利用上述規(guī)律，直接寫(xiě)出結(jié)果：＝4850．【答案】（1）；（2）；證明見(jiàn)解析；（3）4850．【解答】解：（1）第6個(gè)等式為，故答案為：；（2）第n個(gè)等式為，證明：左邊＝，右邊＝，∴左邊＝右邊，∴等式成立；故答案為：；（3）＝﹣×97＝2++3++4++…+98+﹣×97＝2+3+4+…+98＝4850；故答案為：4850．例3.（2023?渦陽(yáng)縣二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．【答案】（1）；（2），證明見(jiàn)解析．【解答】解：（1）由題意可得，第5個(gè)等式為．故答案為：．（2）．證明：左邊＝＝＝，右邊＝，∵左邊＝右邊，∴等式成立．【變式3】（2023?明光市一模）觀察下列等式：①；②；③；④；…（1）寫(xiě)出第n個(gè)等式，并證明你的結(jié)論；（2）運(yùn)用（1）中的結(jié)論計(jì)算．【答案】（1），證明見(jiàn)解析過(guò)程；（2）．【解答】解：（1）∵①；②；③；④；…∴第n個(gè)等式為，理由：左邊＝＝＝＝，右邊＝，∴左邊＝右邊，∴；（2）＝＝＝＝．例4.（2023春?邳州市期中）給出下列算式：32﹣12＝8＝8×1；52﹣32＝16＝8×2；72﹣52＝24＝8×3；92﹣72＝32＝8×4；52﹣32＝16＝8×2，……（1）用含n的式子（n為正整數(shù)）表示上述規(guī)律并用所學(xué)的知識(shí)驗(yàn)證這個(gè)規(guī)律的正確性．（2）借助你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：1412﹣1392＝560．（3）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計(jì)算：8×1+8×2+8×3+?+8×49+8×50＝1012﹣1（或10200）．【答案】（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，驗(yàn)證見(jiàn)解析；（2）141；139；（3）1012﹣1（或10200）．【解答】解：（1）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，驗(yàn)證：∵左邊＝（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝（4n2+4n+1）﹣（4n2﹣4n+1）＝8n，右邊＝8n，∴左邊＝右邊，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（2）由（1）可知，∵8n＝560，∴n＝70，2×70+1＝141，2×70﹣1＝139，故答案為：141；139；（3）由（1）可知：當(dāng)n＝49時(shí)，2×49+1＝99，2×49﹣1＝97，n＝50，2×50+1＝101，2×50﹣1＝99，∴8×1+8×2+8×3+?+8×49+8×50＝（32﹣12）+（52﹣32）+（72﹣52）+?+（992﹣972）+（1012﹣992）＝32﹣12+52﹣32+72﹣52+?+992﹣972+1012﹣992＝1012﹣1．故答案為：1012﹣1（或10200）．【變式4】（2023?長(zhǎng)豐縣模擬）觀察下列等式的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：第1個(gè)等式：12+22+32＝3×22+2．第2個(gè)等式：22+32+42＝3×32+2第3個(gè)等式：32+42+52＝3×42+2．第4個(gè)等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）請(qǐng)你寫(xiě)出第5個(gè)等式：52+62+72＝3×62+2．（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】（1）52+62+72＝3×62+2；（2）第n個(gè)等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】解：（1）由題意得：第5個(gè)等式為：52+62+72＝3×62+2．故答案為：52+62+72＝3×62+2；（2）猜想的第n個(gè)等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，證明：左邊＝n2+n2+2n+1+n2+4n+4＝3n2+6n+5，右邊＝3（n2+2n+1）+2＝3n2+6n+5，∴左邊＝右邊，∴猜想成立．考點(diǎn)2：圖形變化類(lèi)例5.（2023?碭山縣二模）某校教學(xué)樓前走廊用同樣規(guī)格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚來(lái)鋪設(shè)地面，圖1表示地面的瓷磚排列方式．【觀察思考】當(dāng)黑色瓷磚有1塊時(shí)，瓷磚的總數(shù)有9塊（如圖2）；當(dāng)黑色瓷磚有2塊時(shí)，瓷磚的總數(shù)有15塊（如圖3）；當(dāng)黑色瓷磚有3塊時(shí)，瓷磚的總數(shù)有21塊（如圖4）；…；以此類(lèi)推．【規(guī)律總結(jié)】（1）若該走廊每增加1塊黑色瓷磚，則瓷磚的總數(shù)增加6塊；（2）若這樣的走廊一共有n（n為正整數(shù)）塊黑色瓷磚，則瓷磚的總數(shù)為（6n+3）塊；（用含n的代數(shù)式表示）【問(wèn)題解決】（3）現(xiàn)總共有2025塊瓷磚，若按此規(guī)律再建一條走廊，則黑色瓷磚有多少塊？【答案】（1）6；（2）（6n+3）；（3）黑色瓷磚有337塊．【解答】解：（1）由題意知，每增加1塊黑色瓷磚，則白色瓷磚增加5塊，∴瓷磚的總數(shù)增加1+5＝6（塊），故答案為：6；（2）由題意知，有1塊黑色瓷磚時(shí)，瓷磚的總數(shù)為9塊；有2塊黑色瓷磚時(shí)，瓷磚的總數(shù)為9+6＝15塊；有3塊黑色瓷磚時(shí)，瓷磚的總數(shù)為9+6×2＝21塊；有4塊黑色瓷磚時(shí)，瓷磚的總數(shù)為9+6×3＝27塊；∴一般性規(guī)律：有n塊黑色瓷磚，瓷磚的總數(shù)為9+6×（n﹣1）＝（6n+3）塊；故答案為：（6n+3）；（3）令6n+3＝2025，解得n＝337，∴黑色瓷磚有337塊．【變式5-1】（2023?全椒縣二模）如圖，某鏈條每節(jié)長(zhǎng)為2.8cm，每?jī)晒?jié)鏈條相連接部分重疊的圓的直徑為1cm，按這種連接方式，完成下面各題．（1）2節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為4.6cm；3節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為6.4cm；4節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為8.2cm；（2）根據(jù)上述規(guī)律，n節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為多少cm；（用含n的式子表示，不用說(shuō)理）（3）一根鏈條的總長(zhǎng)度能否為73cm？若能，請(qǐng)求出該鏈條由幾節(jié)組成；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）4.6；6.4；8.2；（2）（1.8n+1）cm；（3）能，由40節(jié)組成．【解答】解：（1）由題意得：1節(jié)鏈條的長(zhǎng)度＝2.8cm，2節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度＝[2.8+（2.8﹣1）]＝4.6cm，3節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度＝[2.8+（2.8﹣1）×2]＝6.4cm，4節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度＝[2.8+（2.8﹣1）×3]＝8.2cm，故答案為：4.6；6.4；8.2；（2）根據(jù)（1）可得，n節(jié)鏈條的總長(zhǎng)度為2.8+（2.8﹣1）（n﹣1）＝（1.8n+1）cm；（3）一根鏈條的總長(zhǎng)度可以為73cm，設(shè)該鏈條由x節(jié)組成，根據(jù)題意得1.8x+1＝73，解得x＝40，∴總長(zhǎng)度為73cm的鏈條由40節(jié)組成．【變式5-2】（2023?包河區(qū)二模）某旅游景區(qū)走廊的中間部分是用邊長(zhǎng)為1米的白色正方形地磚和彩色正方形（圖中陰影部分）地磚鋪成的，圖案如圖所示，根據(jù)圖示排列規(guī)律，解答以下問(wèn)題．（1）第4個(gè)圖案L（4）有白色地磚15塊地磚；第n個(gè)圖案L（n）有白色地磚塊（3n+3）地磚（用含n的代數(shù)式表示）；（2）已知L（1）的長(zhǎng)度為3米，L（2）的長(zhǎng)度為5米，…，L（n）的長(zhǎng)度為2023米，求圖案L（n）中白色正方形地磚有多少塊．【答案】（1）15，（3n+3）；（2）3036．【解答】解：（1）∵第1個(gè)圖案L（1）的白色地磚塊數(shù)為：6，第2個(gè)圖案L（2）的白色地磚塊數(shù)為：6+3＝6+3×1，第3個(gè)圖案L（3）的白色地磚塊數(shù)為：6+3+3＝6+3×2，第4個(gè)圖案L（4）的白色地磚塊數(shù)為：6+3×3＝15，…，第n個(gè)圖案L（n）的白色地磚塊數(shù)為：6+3（n﹣1）＝3n+3，故答案為：15，（3n+3）；（2）∵L（1）的長(zhǎng)度為3米，L（2）的長(zhǎng)度為5米，…，∴L（n）的長(zhǎng)度為：（2n+1）米，∴當(dāng)2n+1＝2023時(shí)，解得：n＝1011，∴L（1011）中白色地磚的塊數(shù)為：3n+3＝3×1011+3＝3036．【變式5-3】（2023?安徽模擬）如圖，下列圖案都是由同樣大小的基本圖形⊙按一定規(guī)律所組成的，其中：第1個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：1+2×2＝5，第2個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：2+2×3＝8，第3個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：3+2×4＝11，第4個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：4+2×5＝14，…．按此規(guī)律排列，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：17；（2）如果第n個(gè)圖案中有2024個(gè)基本圖形，求n的值．【答案】（1）17；（2）n＝674．【解答】解：（1）由題意得：第5個(gè)圖案中基本圖形的個(gè)數(shù)：5+2×6＝17，故答案為：17；（2）由題意得：第n個(gè)圖形中基本圖形的個(gè)數(shù)為：n+2（n+1）＝3n+2，∵第n個(gè)圖案中有2024個(gè)基本圖形，∴3n+2＝2024，解得：n＝674．【變式5-4】（2023?金寨縣一模）為了渲染新年喜慶氛圍，某人民廣場(chǎng)用鮮花擺出不同的造型，小明同學(xué)把每盆花用點(diǎn)在紙上表示出來(lái)，如圖所示．[觀察思考]第1個(gè)圖形有4盆花，第2個(gè)圖形有6盆花，第3個(gè)圖形有8盆花，第4個(gè)圖形有10盆花，以此類(lèi)推．[規(guī)律總結(jié)]（1）第5個(gè)圖形有12盆花；（2）第n個(gè)圖形中有（2n+2）盆花（用含n的代數(shù)式表示）；[問(wèn)題解決]（3）現(xiàn)有2023盆花，若按此規(guī)律擺出一個(gè)圖形，要求剩余花盆數(shù)最少，則可擺出第幾個(gè)圖形？【答案】（1）12；（2）（2n+2）；（3）1010．【解答】解：第1個(gè)圖形有（1+1）×2＝4盆花，第2個(gè)圖形有（2+1）×2＝6盆花，第3個(gè)圖形有（3+1）×2＝8盆花，第4個(gè)圖形有（4+1）×2＝10盆花，第5個(gè)圖形有（5+1）×2＝12盆花，……第n個(gè)圖形有（n+1）×2＝（2n+2）盆花，（1）第5個(gè)圖形有12盆花，故答案為：12；（2）第n個(gè)圖形有（2n+2）盆花，故答案：（2n+2）；（3）2n+2≤2023，解得：n≤1010.5，當(dāng)n＝1010時(shí)，2n+2＝2022，2023﹣2022＝1，所以2023盆花，要求剩余花盆數(shù)最少，則可擺出第1010個(gè)圖形．例6.（2022秋?黔江區(qū)期末）（1）為了計(jì)算1+2+3+?+8的值，我們構(gòu)造圖形（圖1），共8行，每行依次比上一行多一個(gè)點(diǎn)．此圖形共有（1+2+3+?+8）個(gè)點(diǎn)．如圖2，添出圖形的另一半，此時(shí)共8行9列，有8×9＝72個(gè)點(diǎn)，由此可得1+2+3+?+8＝×（1+8）×9＝36．用此方法，可求得1+2+3+?+20＝210（直接寫(xiě)結(jié)果）．（2）觀察下面的點(diǎn)陣圖（如圖3），解答問(wèn)題：填空：①1+3+5+?+49＝625；②1+3+5+?+（2n+1）＝（n+1）2．（3）請(qǐng)構(gòu)造一圖形，求（畫(huà)出示意圖，寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果）．【答案】（1）210；（2）625；（n+1）2；（3）1﹣．【解答】解：（1）1+2+3+…+20＝（1+20）×20＝21×10＝210；故答案為：210；（2）由點(diǎn)陣圖可知：一個(gè)數(shù)時(shí)和為1＝12，2個(gè)數(shù)時(shí)和為4＝22，3個(gè)數(shù)時(shí)和為9＝32，…，n個(gè)數(shù)時(shí)和為n2．①∵1+3+5+…+49中有25個(gè)數(shù)，∴1+3+5+…+49＝252＝625．②∵1+3+5…+（2n+1）中有（n+1）個(gè)數(shù)，∴1+3+5…+（2n+1）＝（n+1）2．故答案為：625，（n+1）2；（3）由題意畫(huà)出圖形如下：假定正方形的面積為1，由圖可知＝1﹣．【變式6-1】（2023?五華縣校級(jí)開(kāi)學(xué)）如圖，把一個(gè)面積為1的正方形等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，接著把其中一個(gè)面積為的長(zhǎng)方形等分成兩個(gè)面積為的正方形，再把其中一個(gè)面積為的正方形等分成兩個(gè)面積為的長(zhǎng)方形，如此進(jìn)行下去，…．（1）試?yán)脠D形揭示規(guī)律，計(jì)算：＝，并使用代數(shù)方法說(shuō)明你的結(jié)論正確；（2）請(qǐng)你再設(shè)計(jì)一個(gè)能求出的值的幾何圖形．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解答．【解答】解：（1）由圖可知，+…＝1﹣＝；證明如下：+…＝+++...+＝＝＝＝＝；（2）如下圖：【變式6-2】（2022秋?雙牌縣期末）【閱讀】求值1+2+22+23+24+…+210解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+210①將等式①的兩邊同時(shí)乘以2得：2S＝2+22+23+24+25+…+211②由②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1即：S＝1+2＝22+23+24+…+210＝211﹣1【運(yùn)用】仿照此法計(jì)算：（1）1+3+32+33+34+…+350；（2）1++++…+．（3）【延伸】如圖，將邊長(zhǎng)為1的正方形分成4個(gè)完全一樣的小正方形，得到左上角一個(gè)小正方形為S1，選取右下角的小正方形進(jìn)行第二次操作，又得到左上角更小的正方形S2，依次操作2022次，依次得到小正方形S1、S2、S3、…、S2022．完成下列問(wèn)題：①小正方形S2022的面積等于；②求正方形S1、S2、S3、…、S2022的面積和．【答案】（1）；（2）2﹣；（3）①；②．【解答】解：（1）設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+350①，①×3，得：3S＝3+32+33+34+35+…+351②，②﹣①，得：2S＝351﹣1，則S＝，即1+3+32+33+34+…+350＝；（2）設(shè)S＝1++++…+①，①×，得：S＝++++…+②，②﹣①，得：﹣S＝﹣1，∴S＝2（1﹣）＝2﹣，即1++++…+＝2﹣；（3）∵S1＝（）2＝，S2＝S1＝，S3＝S2＝，…，∴S2022＝，故答案為：；②設(shè)S＝S1+S2+S3+…+S2022＝+++…+①，①×，得：S＝+++…+②，①﹣②，得：S＝﹣，∴S＝（﹣）＝，即S1+S2+S3+…+S2022＝．例7.（2022秋?達(dá)川區(qū)期末）五一期間，某人民廣場(chǎng)的一個(gè)公共區(qū)域用盆栽進(jìn)行了美化，盆栽按如圖的方式擺放，圖中的盆栽被折線隔開(kāi)分成若干層，第一層有1個(gè)盆栽，第二層有3個(gè)盆栽，第三層有5個(gè)盆栽，第四層有7個(gè)盆栽，…，以此類(lèi)推，請(qǐng)觀察圖形規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）計(jì)算：1+3+5+…+99＝2500；（2）拓展應(yīng)用：求101+103+105+…+999的值．【答案】（1）2500；（2）247500．【解答】解：（1）根據(jù)題意可得，1+3+5+…+99＝502＝2500，故答案為：2500；（2）1+3+5+…+101+103+105+…+999＝5002＝250000，1+3+5+…+99＝502＝2500，101+103+105+…+999＝1+3+5+…+101+103+105+…+999﹣（1+3+5+…+99）＝250000﹣2500＝247500，∴101+103+105+…+999的值為247500．【變式7-1】（2023?定遠(yuǎn)縣一模）圖1是由若干個(gè)小圓圈推成的一個(gè)形如等邊三角形的圖案，最上面一層有一個(gè)圓圈，以下各層均比上一層多一個(gè)圓圈，一共推了n層．將圖1倒置后與原圖1排成圖2的形狀，這樣圖2中每一行的圓圈數(shù)都是n+1．我們可以利用“倒序相加法”算出圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：．（1）按照?qǐng)D1的規(guī)則擺放到第12層時(shí)，求共用了多少個(gè)圓圈；（2）按照?qǐng)D1的規(guī)則擺放到第19層，每個(gè)圓圈都按圖3的方式填上一串連續(xù)的正整數(shù)：1，2，3，4，……，則第19層從左邊數(shù)第二個(gè)圓圈中的數(shù)字是173．【答案】（1）78個(gè)；（2）173．【解答】解：（1）圖1中所有圓圈的個(gè)數(shù)為：（個(gè)），當(dāng)n＝12時(shí)，（個(gè)），答：擺放到第12層時(shí)，求共用了78個(gè)圓圈；（2）圖3中，第18層最右邊的數(shù)字是：＝171（個(gè)），則圖3中第19層從左邊數(shù)第二個(gè)圓圈中的數(shù)字是是：171+2＝173（個(gè)），故答案為：173．【變式7-2】（2023?蕭縣一模）觀察如圖中用小黑點(diǎn)擺成的三角形，并根據(jù)圖中規(guī)律回答相關(guān)問(wèn)題．（1）第4個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式為1+2+3+4+5＝；（2）若第n個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的黑點(diǎn)總數(shù)為66個(gè)，求n的值．【答案】（1）1+2+3+4+5＝；（2）10．【解答】解：（1）由題意得：第4個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式為：1+2+3+4+5＝，故答案為：1+2+3+4+5＝；（2）由題意得：第n個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式為：1+2+3+…+（n+1）＝，∴，解得：n＝10．1．（2023?安徽）【觀察思考】【規(guī)律發(fā)現(xiàn)】請(qǐng)用含n的式子填空：（1）第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為3n；（2）第1個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第2個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第3個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，第4個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為，……，第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為．【規(guī)律應(yīng)用】（3）結(jié)合圖案中“★”的排列方式及上述規(guī)律，求正整數(shù)n，使得連續(xù)的正整數(shù)之和1+2+3+……+n等于第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)的2倍．【答案】（1）3n；（2）；（3）11．【解答】解：（1）∵第1個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為：3＝1+2，第2個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為：6＝1+2+2+1，第2個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)為：6＝1+2+2+3+1，…，∴第n個(gè)圖案中“◎”的個(gè)數(shù)：1+2（n﹣1）+n+1＝3n，故答案為：3n；（2）由題意得：第n個(gè)圖案中“★”的個(gè)數(shù)可表示為：；故答案為：；（3）由題意得：＝2×3n，解得：n＝11或n＝0（不符合題意）．2．（2023?浙江）觀察下面的等式：32﹣12＝8×1，52﹣32＝8×2，72﹣52＝8×3，92﹣72＝8×4，…（1）寫(xiě)出192﹣172的結(jié)果；（2）按上面的規(guī)律歸納出一個(gè)一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）；（3）請(qǐng)運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，推理說(shuō)明這個(gè)結(jié)論是正確的．【答案】（1）72；（2）（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）見(jiàn)解答．【解答】解：（1）∵17＝2×9﹣1，∴192﹣172＝8×9＝72；（2）由題意可得，（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n；（3）∵（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝[（2n+1）+（2n﹣1）][（2n+1）﹣（2n﹣1）]＝（2n+1+2n﹣1）（2n+1﹣2n+1）＝4n×2＝8n，∴（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n正確．3．（2022?嘉興）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．（1）嘗試：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100+25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100+25；③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝3×4×100+25；……（2）歸納：與100a（a+1）+25有怎樣的大小關(guān)系？試說(shuō)明理由．（3）運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．【答案】（1）3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由見(jiàn)解答過(guò)程；（3）5．【解答】解：（1）∵①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100+25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100+25；∴③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝3×4×100+25，故答案為：3×4×100+25；（2）＝100a（a+1）+25，理由如下：＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25；（3）由題知，﹣100a＝2525，即100a2+100a+25﹣100a＝2525，解得a＝5或﹣5（舍去），∴a的值為5．4．（2022?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，……按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】（1）（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，（2）（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，證明過(guò)程見(jiàn)解答．【解答】解：（1）因?yàn)榈?個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，第5個(gè)等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，故答案為：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；（2）第n個(gè)等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，證明：左邊＝4n2+4n+1，右邊＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2＝4n2+4n+1，∴左邊＝右邊．∴等式成立．5．（2020?安徽）觀察以下等式：第1個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第2個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第3個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，第4個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．第5個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第6個(gè)等式：×（1+）＝2﹣；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式：×（1+）＝2﹣（用含n的等式表示），并證明．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）第6個(gè)等式：×（1+）＝2﹣；（2）猜想的第n個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．證明：∵左邊＝×＝＝2﹣＝右邊，∴等式成立．故答案為：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．1．（2023?安徽二模）觀察下列等式：第1個(gè)等式：1×2+1＝3；第2個(gè)等式：2×3+2＝8；第3個(gè)等式：3×4+3＝15；第4個(gè)等式：4×5+4＝24；…按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：5×6+5＝35；（2）寫(xiě)出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示，n≥1，且為整數(shù)），并證明．【答案】（1）5×6+5＝35；（2）n（n+1）+n＝n（n+2）．證明見(jiàn)解析．【解答】解：（1）∵第1個(gè)等式：1×2+1＝3；第2個(gè)等式：2×3+2＝8；第3個(gè)等式：3×4+3＝15；第4個(gè)等式：4×5+4＝24；∴第5個(gè)等式：5×6+5＝35；故答案為：5×6+5＝35；（2）根據(jù)（1）猜想第n個(gè)等式：n（n+1）+n＝n（n+2）．證明：∵等式左邊＝n2+n+n＝n2+2n，等式右邊＝n2+2n，∴左邊＝右邊，∴n（n+1）+n＝n（n+2）．2．（2022秋?南票區(qū)期中）觀察下列等式．第一個(gè)等式：1﹣＝×；第二個(gè)等式：1﹣＝×；第三個(gè)等式：1﹣＝×；……按上述規(guī)律，回答下列問(wèn)題：（1）請(qǐng)寫(xiě)出第四個(gè)等式：1﹣＝×；（2）計(jì)算：（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．【答案】（1）1﹣＝×；（2）．【解答】解：（1）1﹣＝×，故答案為：1﹣＝×；（2）（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝××××…××××＝．3．（2022秋?大連月考）觀察下列三行數(shù)：第一行：2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…第二行：4，﹣2，10，﹣14，34，﹣62，…第三行：1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…（1）第一行數(shù)的第9個(gè)數(shù)為512，第二行數(shù)的第9個(gè)數(shù)為514，第三行數(shù)的第9個(gè)數(shù)為256；（2）第二、三行數(shù)與第一行相對(duì)應(yīng)的數(shù)分別有什么關(guān)系；（3）第一行是否存在連續(xù)的三個(gè)數(shù)使得三個(gè)數(shù)的和是﹣384？若存在，求出這三個(gè)數(shù)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）512，514，256；（2）第二行的每一個(gè)數(shù)是第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)加2，第三行的每一個(gè)數(shù)是第二行的對(duì)應(yīng)數(shù)的；（3）不存在．【解答】解：（1）∵2，﹣4，8，﹣16，32，﹣64，…，∴第一行的第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n+1?2n，∴第9個(gè)數(shù)是29＝512，第二行的每一個(gè)數(shù)是第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)加2，∴第二行的第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n+1?2n+2，∴第二行的第9個(gè)數(shù)是514，第三行的每一個(gè)數(shù)是第二行的對(duì)應(yīng)數(shù)的，∴第三行的第n個(gè)數(shù)是（﹣1）n+1?2n﹣1，∴第三行的第9個(gè)數(shù)是256，故答案為：512，514，256；（2）由（1）可得第二行的每一個(gè)數(shù)是第一行的對(duì)應(yīng)數(shù)加2，第三行的每一個(gè)數(shù)是第二行的對(duì)應(yīng)數(shù)的；（3）不存在連續(xù)的三個(gè)數(shù)使得三個(gè)數(shù)的和是﹣384，理由如下：設(shè)三個(gè)連續(xù)的數(shù)是（﹣1）n?2n﹣1，（﹣1）n+1?2n，（﹣1）n+2?2n+1，∴（﹣1）n?2n﹣1+（﹣1）n+1?2n+（﹣1）n+2?2n+1＝﹣384，∴3×（﹣1）n?2n﹣1＝﹣384，∴n﹣1＝7，∴n＝8，∵n是奇數(shù)，∴不存在連續(xù)的三個(gè)數(shù)使得三個(gè)數(shù)的和是﹣384．4．（2023?合肥模擬）將從1開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：請(qǐng)根據(jù)上述規(guī)律解答下面的問(wèn)題：（1）第6行有11個(gè)數(shù)；第n行有（2n﹣1）個(gè)數(shù)（用含n的式子表示）；（2）若有序數(shù)對(duì)（n，m）表示第n行，從左到右第m個(gè)數(shù)，如（3，2）表示6．①求（11，20）表示的數(shù)；②求表示2023的有序數(shù)對(duì)．【答案】（1）11，2n﹣1；（2）①120；②（45，87）．【解答】解：（1）第6行有：2×6﹣1＝11個(gè)數(shù)；第n行有（2n﹣1）個(gè)數(shù)，故答案為：11，2n﹣1；（2）①∵第11行有2×11﹣1＝21個(gè)數(shù)，且最末尾的數(shù)是112＝121，而（11，20）表示第11行的第20個(gè)數(shù)，∴（11，20）表示的數(shù)是121﹣1＝120；②∵442＝1936，452＝2025，∴442＜2023＜452，∴2023位于第45行，∵第45行有45×2﹣1＝89個(gè)數(shù)，而2023與2025相差2個(gè)數(shù)，∴2023位于第45行的第87個(gè)數(shù)，∴表示2023的有序數(shù)對(duì)是（45，87）．5．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）從2開(kāi)始，連續(xù)的偶數(shù)相加，觀察下列各式：2＝12+1．2+4＝22+2．2+4+6＝32+3．2+4+6+8＝42+4．…根據(jù)規(guī)律，解答下列問(wèn)題：（1）寫(xiě)出第5個(gè)等式：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①寫(xiě)出第n個(gè)等式：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；（用n表示）②計(jì)算：102+104+106+…+198+200．【答案】（1）2+4+6+8+10＝52+5；（2）①2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②7550．【解答】解：（1）由題意得：第5個(gè)等式為：2+4+6+8+10＝52+5，故答案為：2+4+6+8+10＝52+5；（2）①由題意得：第n個(gè)等式為：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n，故答案為：2+4+6+…+2n﹣2+2n＝n2+n；②102+104+106+…+198+200＝2+4+6+…+198+200﹣（2+4+6+…+100）＝1002+100﹣（502+50）＝10000+100﹣2500﹣50＝7550．6．（2023春?邗江區(qū)月考）閱讀材料：求1+2+22+23+24+…+22019的值．解：設(shè)S＝1+2+22+23+24+…+22018+22019…①則2S＝2+22+23+24+25+…+22019+22020…②②﹣①，得2S﹣S＝22020﹣1即S＝22020﹣1∴1+2+22+23+24+…+22019＝22020﹣1仿照此法計(jì)算：（1）計(jì)算：1+3+32+33+34+…+32023．（2）計(jì)算：1++++…++＝2﹣（直接寫(xiě)答案）．【答案】（1）＝；（2）2﹣．【解答】解：（1）設(shè)S＝1+3+32+33+34+…+32023①，則3S＝3+32+33+34+…+32023+32024②，②﹣①，得：3S﹣S＝32024﹣1，即S＝，∴1+3+32+33+34+…+32023＝；（2）設(shè)S＝1++++…++①，則S＝+++…+++②，①﹣②，得：S﹣S＝1﹣，即S＝2﹣，∴+++…++＝2﹣．故答案為：2﹣．7．（2023?安徽模擬）【數(shù)學(xué)閱讀】計(jì)算：1+2+3+…+100．解：設(shè)S＝1+2+3+6+…+100，①則S＝100+99+98+…+1，②①+②（即左右兩邊分別相加），得：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，所以1+2+3+…+100＝5050．【問(wèn)題解決】利用上面的方法解答下面的問(wèn)題：（1）猜想：1+2+3+…+n＝（用含n的式子表示）；（2）利用（1）中的結(jié)論，計(jì)算：1001+1002+…+2000．【答案】（1）；（2）1500500．【解答】解；（1）設(shè)S＝1+2+3+?+n，①則S＝n+?+3+2+1，②①+②得2S＝n+1+?+n+1+n+1，所以，故答案為：；（2）由（1）可知．8．（2023?瑤海區(qū)校級(jí)模擬）觀察下列等式的規(guī)律，并解決問(wèn)題：第1個(gè)等式：1+．第2個(gè)等式：2+．第3個(gè)等式：3+．……（1）請(qǐng)寫(xiě)出第4個(gè)等式：4+＝52×；（2）請(qǐng)用含n的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并證明．【答案】（1）4+＝52×；（2）規(guī)律：n+，見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】解：（1）第4個(gè)等式為：4+＝52×．故答案為：4+＝52×；（2）規(guī)律：n+，證明：左邊＝＝＝＝（n+1）2×＝右邊，故規(guī)律成立．9．（2022秋?西山區(qū)期末）觀察下列等式：a1＝+＝；a2＝+＝；a3＝+＝；…（1）猜想并寫(xiě)出第6個(gè)等式a6＝．；（2）猜想并寫(xiě)出第n個(gè)等式an＝；（3）證明（2）中你猜想的正確性．【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】解：（1）由題意得：第6個(gè)等式a6＝．故答案為：；（2）由題意得：第n個(gè)等式an＝．故答案為：；（3）（2）中的等式左邊＝＝＝＝＝右邊．故猜想成立．10．（2023?來(lái)安縣二模）如圖，某醫(yī)院廣場(chǎng)上的圖案由紅、白兩色正方形地磚鋪成，這些地磚除顏色外，形狀、大小均相同．當(dāng)中間的紅色地磚只有1塊時(shí)，四周的白色地磚有4塊（如圖1），當(dāng)中間的紅色地磚有4塊時(shí)，四周的白色地磚有8塊（如圖2），以此類(lèi)推．（1）當(dāng)紅色正方形地磚為16塊時(shí)，白色地磚為16塊；（2）當(dāng)白色正方形地磚為n（n為4的整數(shù)倍）時(shí)，紅色地磚為塊；（3）已知該醫(yī)院的另一個(gè)廣場(chǎng)上也按此規(guī)律建圖案，且紅色地磚比白色地磚多用了140塊，求這個(gè)廣場(chǎng)上的圖案分別用紅、白兩色地磚的塊數(shù)．【答案】（1）16；（2）；（3）這個(gè)廣場(chǎng)上的圖案分別用紅、白兩色地磚的塊數(shù)分別為196和56塊．【解答】解：（1）圖1，紅色正方形地磚為1＝12塊，白色地磚為4＝（1×4）塊；圖2，紅色正方形地磚為4＝22塊，白色地磚為8＝（2×4）塊；圖3，紅色正方形地磚為9＝32塊，白色地磚為12＝（3×4）塊；…圖n，紅色正方形地磚為n2塊，白色地磚為4n塊；∵n2＝16，∴n＝4（負(fù)值不符合題意，已舍去），∴白色地磚為4×4＝16；（2）第x個(gè)圖中白色正方形地磚為n，根據(jù)（1）的規(guī)律，得，∴紅色地磚為；（3）設(shè)用紅色地磚的塊數(shù)為x2，則用白色地磚的塊數(shù)為4x，根據(jù)的規(guī)律得：x2﹣4x＝140，解得x＝14，x＝﹣10（不合題意，舍去），∴x2＝142＝196，4x＝4×14＝56，答：這個(gè)廣場(chǎng)上的圖案分別用紅、白兩色地磚的塊數(shù)分別為196和56塊．11．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類(lèi)推．??按照以上規(guī)律，解決下列問(wèn)題：（1）第4個(gè)圖案需要花卉41盆；（2）第n個(gè)圖案需要花卉[n2+（n+1）2]盆（用含n的代數(shù)式表示）；（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．【答案】（1）41；（2）[n2+（n+1）2]；（3）2601．【解答】解：（1）第1個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：5＝1+4＝12+22，第2個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：13＝2×2+3×3＝22+32，第3個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：25＝3×3+4×4＝32+42，第4個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，故答案為：41；（2）由（1）可得：第n個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：n2+（n+1）2；故答案為：[n2+（n+1）2]；（3）設(shè)第m個(gè)花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，由題意得：（m+1）2﹣m2＝101，解得：m＝50，512＝2601，答：該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)為2601．12．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)三模）將若干枚黑白棋子按照一定規(guī)律擺放成三角形陣，前5次擺放的情況如圖所示．如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺放三角形陣，請(qǐng)解決下列問(wèn)題：（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為15，白棋子的個(gè)數(shù)為21；（2）第n個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為，白棋子的個(gè)數(shù)為3n+3；（用含n的式子表示）（3）當(dāng)擺放到第8個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．【答案】（1）15，21；（2），3n+3；（3）8．【解答】解：（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為15，白棋子的個(gè)數(shù)為21；故答案為：15，21；（2）由圖可知，白棋子的變化規(guī)律為每次增加3個(gè)，則第n個(gè)圖案中白棋子的個(gè)數(shù)為3n+3，黑棋子的變化為：n＝1時(shí)，0個(gè)；n＝2時(shí)，0+1＝1個(gè)；n＝3時(shí)，0+1+2＝3個(gè)；n＝4時(shí)，0+1+2+3＝6個(gè)；故第n個(gè)圖案中黑棋子個(gè)數(shù)為0+1+2+3+...+（n﹣1）＝?（n﹣1）＝；故答案為：，3n+3；（3）＝3n+3，n2﹣7n﹣6＝0，解得：n＝，n＝（不符題意，舍去），∴＞3n+3，n＞，∵n取正整數(shù)，且黑棋子第一次比白棋子多，∴n＝8．當(dāng)擺放到第8個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．故答案為：8．13．（2023?蜀山區(qū)一模）如圖中，圖（1）是一個(gè)菱形ABCD，將其作如下劃分：第一次劃分：如圖（2）所示，連接菱形ABCD對(duì)邊中點(diǎn)，共得到5個(gè)菱形；第二次劃分：如圖（3）所示，對(duì)菱形CEFG按上述劃分方式繼續(xù)劃分，共得到9個(gè)菱形；第三次劃分：如圖（4）所示，…依次劃分下去．（1）根據(jù)題意，第四次劃分共得到17個(gè)菱形，第n次劃分共得到（1+4n）個(gè)菱形；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律，請(qǐng)你按上述劃分方式，判斷能否得到2023個(gè)菱形？為什么？【答案】（1）17；（1+4n）；（2）不能，見(jiàn)解答過(guò)程．【解答】解：（1）∵第一次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：5＝1+4，第二次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：9＝1+4+4＝1+4×2，第三次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：13＝1+4+4+4＝1+4×3，∴第四次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：1+4×4＝17（個(gè)），第n次劃分所得到的菱形的個(gè)數(shù)為：（1+4n）個(gè)，故答案為：17；（1+4n）；（2）不能，理由如下：1+4n＝2023，解得：n＝505.5，故不能得到2023個(gè)菱形．14．（2023?蜀山區(qū)校級(jí)模擬）同樣大小的黑色棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：（1）圖5有多少顆黑色棋子？（2）若第（n+2）個(gè)圖形比第n個(gè)圖形中多2021顆棋子，試求n的值．【答案】（1）19；（2）1008．【解答】解：（1）圖1中有1個(gè)黑色棋子；圖2中有（1+2）+1＝4個(gè)黑色棋子，比圖1多3個(gè)；圖3中有（1+2+3）+2＝8個(gè)黑色棋子，比圖2多4個(gè)；圖4中有（1+2+3+4）+3＝13個(gè)黑色棋子，比圖3多5；圖5中有（1+2+3+4+5）+4＝19個(gè)黑色棋子，比圖4多6個(gè)；∴圖5有多少顆黑色棋子19個(gè)；（2）由（1）得：第（n+2）個(gè)圖形比第n個(gè)圖形中多（n+3）+（n+2）＝（2n+5）顆棋子，∴2n+5＝2021，解得：n＝1008，所以n是值為：1008．15．（2023春?萊蕪區(qū)月考）用同樣規(guī)格的黑，白兩種顏色的正方形瓷磚按如圖所示的方式鋪寬為1.5米的小路．（1）鋪第6個(gè)圖形用黑色正方形瓷磚25塊，用白色正方形瓷磚14塊；（2）按照此方式鋪下去，鋪第n個(gè)圖形用黑色正方形瓷磚（4n+1）塊，用白色正方形瓷磚（2n+2）塊（用含n的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若黑，白兩種顏色的瓷磚規(guī)格都為（長(zhǎng)為0.5米×寬0.5米），若按照此方式鋪滿一段總面積為24.75平方米的小路時(shí)，n是多少？【答案】（1）25，14（2）2n+2塊．（3）16．【解答】解：（1）第1個(gè)圖形中有1+4＝5個(gè)黑色正方形瓷磚，有2+2＝4個(gè)白色瓷磚；第2個(gè)圖形中有1+4×2＝9個(gè)黑色正方形瓷磚，有2+2×2＝6個(gè)白色瓷磚；第3個(gè)圖形中有1+4×3＝13個(gè)黑色正方形瓷磚，有2+2×3＝8個(gè)白色瓷磚；……，第n個(gè)圖形中有（1+4n）個(gè)黑色正方形瓷磚，有（2+2n）個(gè)白色瓷磚；4n∴第6個(gè)圖形中有25個(gè)黑色正方形瓷磚，有14個(gè)白色瓷磚；故答案為：19，14；（2）由（1）知：第n個(gè)圖形中有（1+4n）個(gè)黑色正方形瓷磚，有（2+2n）個(gè)白色瓷磚，故答案為：（1+4n），（2+2n）；（3）第n個(gè)圖形中有（1+4n）個(gè)黑色正方形瓷磚，有（2+2n）個(gè)白色瓷磚，故第n個(gè)圖形中有（1+4n）+（2n+2）＝（6n+3）個(gè)正方形瓷磚；∴（6n+3）×0.25＝24.75