重難專題10 折疊問題（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊重難點(diǎn)突破專題10折疊問題如圖，中，，沿折疊，使點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處．若，則等于（）A．69° B．67° C．66° D．42°【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)求出的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出可得答案．【詳解】解：在中，，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∴．故選：A．如圖，將四邊形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在上的點(diǎn)Q處．折痕為；再將，分別沿、折疊，此時(shí)點(diǎn)C、D落在上的同一點(diǎn)R處，則的大小為°．【答案】30【分析】由折疊的性質(zhì)可得，，，，，，由平角的性質(zhì)可得，，可證，由平行線的性質(zhì)可得，即可求解；【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：30如圖，將長方形紙片沿折疊后，點(diǎn)、分別落在、的位置，的延長線交于點(diǎn)．(1)如果，求的度數(shù)；(2)如果已知∠，則__________（用含的式子表示）(3)探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)，理由見解析【分析】（1）由平行線性質(zhì)得到的度數(shù)，再由折疊性質(zhì)得到的度數(shù)，最后根據(jù)平角定義即可求出的度數(shù)；（2）由平行線性質(zhì)和折疊性質(zhì)得到，根據(jù)外角性質(zhì)即可得到的度數(shù)；（3）由平行線性質(zhì)得到和，即可推出最后結(jié)果．【詳解】（1）解：，，由折疊知，，；（2），，由折疊的性質(zhì)可得：，；（3），，，，．一、單選題1．如圖，在中，，，點(diǎn)是上一點(diǎn)，將沿線段翻折，使得點(diǎn)落在處，若，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由直角三角形的兩個(gè)銳角互余求得，由，求得，再由翻折的性質(zhì)得，則．【詳解】解：，，，，，由翻折得，，故選：B．2．如圖所示，在長方形紙片中，點(diǎn)M為邊上的一點(diǎn)，將紙片沿，折疊，使點(diǎn)A落在處，點(diǎn)D落在處．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，從而可得，由此即可得．【詳解】解：，，由折疊的性質(zhì)得：，，，故選：A．3．如圖1，長方形中，E點(diǎn)在上，且．分別以、為折線，將A、D向的方向折過去，如圖2，若圖2中，則度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)長方形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到，，由，進(jìn)而得到，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求出度數(shù)．【詳解】解：四邊形是長方形，，，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，，，故選：D．

4．如圖，圖①是一個(gè)四邊形紙條，其中，分別為邊上的兩個(gè)點(diǎn)，將紙條沿EF折疊得到圖②，再將圖②沿折疊得到圖③，若在圖③中，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)折疊和平行的性質(zhì)求出，再由三角形外角的性質(zhì)求出，結(jié)合折疊和平行的性質(zhì)求出，進(jìn)而可求．【詳解】解：由折疊可知：，，，圖②中，圖③中，，，，故選：C．5．如圖，射線與射線平行，點(diǎn)F為射線上的一定點(diǎn)，作直線，點(diǎn)P是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)C），將沿折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處．若，當(dāng)點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大時(shí)，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由平行線的性質(zhì)得，由，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大，然后可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離最大，如圖，

由折疊可知，，∴，故選B．6．如圖，中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，將沿所在直線折疊得到，點(diǎn)F是點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)，與交于點(diǎn)E，下列結(jié)論一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，，故，根據(jù)全等三角形的平時(shí)和性質(zhì)可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，，即可得到．【詳解】延長交于點(diǎn)，如圖：

∵是沿所在直線折疊得到的∴∴，，∴∴∴∴∴有∵∴故選項(xiàng)B正確故選：B．7．如圖，在四邊形紙片中，，將紙片折疊，使點(diǎn)、落在邊上的點(diǎn)、處，折痕為，則的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可求得：，，利用四邊形的內(nèi)角和求出，由補(bǔ)角的定義可求解．【詳解】解：由折疊可知：，，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．故選：D．8．如圖，長方形中將沿翻折至處，若，，則的度數(shù)為(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)長方形的性質(zhì)可證得，由翻折的性質(zhì)得，，可得，再由平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，可得，，再由三角形外角的性質(zhì)，可得，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵四邊形是長方形，，，，由翻折得，，，，，，，，，故選：B．9．如圖，將四邊形紙片沿折疊，點(diǎn)A、D分別落在點(diǎn)、處．若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)得出的度數(shù)，再由四邊形內(nèi)角和定理得出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，，∴，故選：B．10．現(xiàn)有一直角三角形紙片，先將共一個(gè)侻角折疊（如圖1），?點(diǎn)落在斜邊上的處，折痕與邊交于點(diǎn)．再將另一銳角折疘（如圖2），使也落在斜邊上，折痕與交于點(diǎn)，量得，則點(diǎn)到的距離為（

）A．4 B．3 C．2 D．【答案】C【分析】過P作與M，根據(jù)將其一個(gè)銳角∠ABC折疊，使點(diǎn)A落在斜邊BC上的處，可得，根據(jù)將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，可得是的平分線，即可得，而已知，故，即點(diǎn)P到的距離為2．【詳解】過P作與M，如圖：∵將其一個(gè)銳角折疊，使點(diǎn)A落在斜邊上的處，，，∵將另一銳角折疊，使也落在斜邊上，∴，即是的平分線，∵，∴，∵，∴，∴，即點(diǎn)P到的距離為2，故選：C．二、填空題11．如圖，把一張長方形紙片沿折疊后，與的交點(diǎn)為G，點(diǎn)D、C分別折疊到點(diǎn)M、N的位置上，若，則．【答案】【分析】先根據(jù)四邊形是長方形，得出，得到，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，最后求出的度數(shù)．【詳解】解：∵四邊形是長方形，∴，∴，由折疊的性質(zhì)可得，，又∵與為內(nèi)錯(cuò)角，，∴，故答案為：．12．如圖，將一張白紙一角折過去，使角的頂點(diǎn)落在處，為折痕，再將另一角斜折過去，使邊落在內(nèi)部，折痕為，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，設(shè)，，則的大小為°．【答案】20【分析】根據(jù)角平分線的定義去計(jì)算，的度數(shù)等于與的度數(shù)的和，然后根據(jù)平角的定義，找到等量關(guān)系，列出等式化簡即可．【詳解】解：根據(jù)翻折可知：，，將另一角斜折過去，使邊落在內(nèi)部，折痕為，，，，的大小為．故答案為：20．13．如圖，長方形紙片中，，，且，將長方形紙片沿直線翻折，使點(diǎn)C落在邊上，記作點(diǎn)N，再將沿直線向左翻折，使點(diǎn)D落在射線上，記作點(diǎn)P，若點(diǎn)N，P，A三點(diǎn)中有一點(diǎn)是另外兩點(diǎn)的中點(diǎn)，則的值為．【答案】3或【分析】分兩種情況討論，利用折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：∵將長方形紙片沿直線翻折，∴，將沿直線向左起折，當(dāng)點(diǎn)D落在線段上時(shí)，如圖，

∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)D落在線段的延長線上時(shí)，如圖，

∴，∵點(diǎn)A是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，故答案為：3或．14．如圖，點(diǎn)N是四邊形的邊上一點(diǎn)，沿折疊四邊形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)M處，再沿，折疊這個(gè)四邊形，若點(diǎn)A，D恰好同時(shí)落在上的點(diǎn)P處，則的度數(shù)為．【答案】【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，，可知，進(jìn)一步可得得度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)及同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行得出，從而可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，，進(jìn)一步可得的度數(shù)．【詳解】根據(jù)折疊得性質(zhì)，可得，，由折疊可知，，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可知，故答案為：．15．折紙是一項(xiàng)有趣的活動(dòng)，如圖所示，一張長方形紙片，先將紙片沿折疊，再將折疊后的紙片沿折疊，使得與重合，展開紙片后若，則．【答案】【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由平角定義得到，由軸對稱的性質(zhì)得到：，，，求出，由直角三角形的性質(zhì)求出，由對頂角的性質(zhì)得到，即可求出．【詳解】解：四邊形是矩形，，，，，由題意得：，，，，，，．故答案為：．16．如圖，在四邊形中，，E、F分別是、上的點(diǎn)，將四邊形沿直線翻折，得到四邊形，交于點(diǎn)G，若有兩個(gè)相等的角，則．【答案】或【分析】根據(jù)題意有兩個(gè)角相等，于是有三種情況，分別令不同的兩個(gè)角相等，利用折疊的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和列方程，最后綜合得出答案．【詳解】解：分三種情況：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，，在四邊形中，由內(nèi)角和為得：，∵，∴，解得：；（2）當(dāng)時(shí)，，在四邊形中，由內(nèi)角和為得：，得，顯然不成立，即此種情況不存在；（3）當(dāng)時(shí)，同理有：，∵，∴，解得：；綜上分析可知，的度數(shù)為：或．故答案為：或．17．如圖，在長方形中，E點(diǎn)在上，并且，分別以、為折痕進(jìn)行折疊壓平，如圖，若圖中，則的度數(shù)為．【答案】【分析】求的大小只需根據(jù)折疊規(guī)律、平角知識(shí)和角的和差求出大小即可．【詳解】解：折疊后的圖形如下：∵，∴，∴，又∵，∴，∴故答案為：．18．如圖，是長方形紙片的對角線，E、F分別是邊上的點(diǎn)，連接，將紙片沿翻折，使得A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是，且點(diǎn)在的延長線上，與相交于點(diǎn)G，連接，若恰好平分，且，則的度數(shù)為°．【答案】135【分析】由折疊可知，，推出，所以，在四邊形中，，推出，所以，進(jìn)而求出．【詳解】解：由折疊可知，，∵，∴，∴，在四邊形中，，∵平分，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題19．如圖，在中，點(diǎn)D是邊上的一點(diǎn)，將沿折疊得到，與交于點(diǎn)F．(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，比大，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，然后根據(jù)三角形的外角即可得出答案；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，進(jìn)而求出，再根據(jù)題意求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵沿折疊得到，∴，∵，，∴；（2）解：∵，，∴，∵沿折疊得到，∴，∴，∴，∵比大，，∴，∴，∴，∴．20．如圖1，一張三角形紙片，點(diǎn)D，E分別是邊上兩點(diǎn)．研究（1）：如果沿直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，則與的數(shù)量關(guān)系是；研究（1）：如果折成圖2的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是；研究（3）：如果折成圖3的形狀，猜想，和的數(shù)量關(guān)系是什么，并說明理由．【答案】（1）（2）（3）【分析】研究（1）：翻折問題要在圖形是找著相等的量．圖1中DE為折痕，有，再利用外角的性質(zhì)可得結(jié)論．研究（2）：圖2中與是相等的，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和及互補(bǔ)角的性質(zhì)可得結(jié)論．研究（3）：圖3中由于折疊與是相等的，再兩次運(yùn)用三角形外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】解：（1）∵沿直線折疊，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)處，∴，∵∴．故答案為：．（2）．理由：在四邊形中，，∴∵，∴∴，∵是由沿直線折疊而得，

∴，∴；故答案為：．（3）．理由：交于點(diǎn)F，

∵，∴，∴，∵是由沿直線折疊而得，∴∴，∴．21．已知是一張三角形的紙片．(1)如圖①，沿折疊，使點(diǎn)落在邊上點(diǎn)的位置，與的之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(2)如圖②所示，沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部點(diǎn)的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？(3)如圖③，沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，、與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？為什么？【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，解答即可；（2）根據(jù)翻折的性質(zhì)和平角的定義，用、表示出和，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，列式整理，即可得解；（3）根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，然后根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，列式整理，即可得解．【詳解】（1）解：，理由如下：∵點(diǎn)沿折疊落在點(diǎn)的位置，∴，∵是的外角，∴，∴；（2）解：，理由見如下：∵點(diǎn)沿折疊落在點(diǎn)的位置，∴，，∴，，在中，，∴，整理得：；（3）解：，理由如下：如圖，

∵點(diǎn)沿折疊落在點(diǎn)的位置，∴，∵，，∴，即．22．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．(1)如圖①．點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)如圖②，點(diǎn)落在邊的上方，設(shè)與交于點(diǎn)，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．不需要說明理由．【答案】(1)(2)【分析】（1）數(shù)量關(guān)系：．理由：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系；（2）過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到得，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：，，之間的數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∵沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，∴，∴，∴，，之間的數(shù)量關(guān)系是：．（2）過點(diǎn)作，∴，∵，∴，∴，∵沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，∴，∴，即：，∴，，之間的數(shù)量關(guān)系是：．23．圖①為長方形紙帶，將長方形紙帶的端沿折疊成圖②，點(diǎn)折至、點(diǎn)折至，(1)若，則圖．中的度數(shù)是多少？(2)將紙帶的端沿折疊成圖③，點(diǎn)折至，點(diǎn)折至，若，用表示．【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)長方形的對邊是平行的，所以；在四邊形中，，即可得出；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分類討論，即可求解．【詳解】（1）解：∵，，∴由對折可知：，在四邊形中，，；（2）解：時(shí)，與（1）同理，，，則，∴．當(dāng)∵，，∴由對折可知：，在四邊形中，，∵，，∴．綜上所述或24．在七下的學(xué)習(xí)中，我們研究了雙內(nèi)角平分線的夾角和內(nèi)外角平分線的夾角問題，昆昆同學(xué)在自主探究的過程中又發(fā)現(xiàn)了一類新的問題，他的探究過程如下：【探索研究】：（1）如圖1，在中，平分、平分，相交于點(diǎn)M，若，則______；【初步應(yīng)用】：（2）如圖2，在中，平分、平分，相交于點(diǎn)M，若將沿折疊使得點(diǎn)A與點(diǎn)M重合，若，求的度數(shù)；【拓展延伸】：（3）在四邊形中，，點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P不與C，D兩點(diǎn)重合），連接，的角平分線交于點(diǎn)Q，若，，直接寫出和，之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，；當(dāng)P在D、C之間時(shí)，【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求解即可；（2）先由折疊的性質(zhì)和平角的定義得到，進(jìn)而求出，同（1）即可得到答案；（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，當(dāng)P在D、C之間時(shí)，兩種情況討論求解即可．【詳解】解：（1）∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，即，∴，故答案為：；（2）由折疊的性質(zhì)可得，∵，∴，∴，∴，∴，∴同（1）原理可得，故答案為：；（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，如圖3-1所示，∵，∴，∵平分，平分，∴，∵，∴；

當(dāng)P在D、C之間時(shí)，如圖3-2所示：同理可得，，∴；

綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)D左側(cè)時(shí)，；當(dāng)P在D、C之間時(shí)，．25．在直角三角形ABC中，，點(diǎn)D，E分別在上，將沿翻折，得到．(1)如圖①，若，則______；(2)如圖②，的平分線交線段于點(diǎn)G.若，求證．(3)已知，的平分線交直線于點(diǎn)G.當(dāng)?shù)钠渲幸粭l邊與平行時(shí)，直接寫出的度數(shù)（可用含的式表示）．【答案】(1)40；(2)見解析；(3)或或或【分析】（1）先求出，再利用翻折即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，設(shè)，則，根據(jù)翻折得出，再求出，即可得出結(jié)論；（3）分情況：①當(dāng)，②當(dāng)，③當(dāng)，④當(dāng)時(shí)，在的下方，⑤當(dāng)時(shí)，在的下方，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，∵翻折，∴，∴，故答案為：40；（2）解：∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，設(shè)，∴，∵翻折，∴，∴，∴，∵，∴；

（3）解：①當(dāng)，如圖①所示：

∴，∵，∴，∵翻折，∴，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，∴；②當(dāng)，如圖②所示：

∴，∴，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，∴；③當(dāng)，如圖③所示：

∴，∵翻折，，∴，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∵，∴；④當(dāng)時(shí)，在的下方，如圖④所示：

∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∴；⑤當(dāng)時(shí)，在的下方，如圖⑤所示：

∴，∵翻折，，∴，∵的平分線交線段于點(diǎn)G，∴，∴；綜上所述，或或或．26．如