2.5三角函數(shù)的應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)

第頁(yè)2.5三角函數(shù)的應(yīng)用專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)1．某班同學(xué)在一次綜合實(shí)踐課上，測(cè)量校園內(nèi)一棵樹(shù)的高度．如圖，測(cè)量?jī)x在A處測(cè)得樹(shù)頂D的仰角為45°，C處測(cè)得樹(shù)頂D的仰角為37°（點(diǎn)A，B，C在一條水平直線上），已知測(cè)量?jī)x高度AE＝CF＝1.6米，AC＝28米，求樹(shù)BD的高度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．2．2022年6月5日，“神舟十四號(hào)”載人航天飛船搭載“明星”機(jī)械臂成功發(fā)射．如圖是處于工作狀態(tài)的某型號(hào)手臂機(jī)器人示意圖，OA是垂直于工作臺(tái)的移動(dòng)基座，AB、BC為機(jī)械臂，OA＝1m，AB＝5m，BC＝2m，∠ABC＝143°．機(jī)械臂端點(diǎn)C到工作臺(tái)的距離CD＝6m．（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離；（2）求OD長(zhǎng)．（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈2.24）3．隨著我國(guó)科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，科學(xué)幻想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)．如圖1是我國(guó)自主研發(fā)的某型號(hào)隱形戰(zhàn)斗機(jī)模型，全動(dòng)型后掠翼垂尾是這款戰(zhàn)斗機(jī)亮點(diǎn)之一．圖2是垂尾模型的軸切面，并通過(guò)垂尾模型的外圍測(cè)得如下數(shù)據(jù)，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面積．（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）4．如圖，蓮花山是大連著名的景點(diǎn)之一．游客可以從山底乘坐索道車(chē)到達(dá)山頂，索道車(chē)運(yùn)行的速度是1米/秒．小明要測(cè)量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測(cè)得白塔底部B的仰角約為30°，測(cè)得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車(chē)從A處運(yùn)行到B處所用時(shí)間約為5分鐘．（1）索道車(chē)從A處運(yùn)行到B處的距離約為米；（2）請(qǐng)你利用小明測(cè)量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．（結(jié)果取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)．sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.73）5．如圖，小睿為測(cè)量公園的一涼亭AB的高度，他先在水平地面點(diǎn)E處用高1.5m的測(cè)角儀DE測(cè)得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到達(dá)點(diǎn)G處，在點(diǎn)G處用高1.5m的測(cè)角儀FG測(cè)得∠AFC＝42°．求涼亭AB的高度．（A，C，B三點(diǎn)共線，AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．結(jié)果精確到0.1m）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）6．如圖，小敏在數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，利用所學(xué)知識(shí)對(duì)他所在小區(qū)居民樓AB的高度進(jìn)行測(cè)量，從小敏家陽(yáng)臺(tái)C測(cè)得點(diǎn)A的仰角為33°，測(cè)得點(diǎn)B的俯角為45°，已知觀測(cè)點(diǎn)到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．7．近年來(lái)，無(wú)人機(jī)航拍測(cè)量的應(yīng)用越來(lái)越廣泛．如圖，無(wú)人機(jī)從A處觀測(cè)某建筑物至高點(diǎn)O時(shí)，俯角為37°；繼續(xù)水平前行10米到達(dá)B處，觀測(cè)點(diǎn)O，此時(shí)的俯角為45°，已知無(wú)人機(jī)的水平飛行高度為45米．求這棟樓的高度是多少米．（結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.79，tan37°≈0.75，≈1.41）8．某數(shù)學(xué)興趣小組去測(cè)量一座小山的高度，在小山頂上有一高度為20米的發(fā)射塔AB，如圖所示．在山腳平地上的D處測(cè)得塔底B的仰角為30°，向小山前進(jìn)80米到達(dá)點(diǎn)E處，測(cè)得塔頂A的仰角為60°，求小山BC的高度．9．某數(shù)學(xué)小組要測(cè)量學(xué)校路燈P﹣M﹣N的頂部到地面的距離，他們借助皮尺、測(cè)角儀進(jìn)行測(cè)量，測(cè)量結(jié)果如下：測(cè)量項(xiàng)目測(cè)量數(shù)據(jù)從A處測(cè)得路燈頂部P的仰角αα＝58°從D處測(cè)得路燈頂部P的仰角ββ＝31°測(cè)角儀到地面的距離AB＝DC＝1.6m兩次測(cè)量時(shí)測(cè)角儀之間的水平距離BC＝2m計(jì)算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）10．如圖是某水庫(kù)大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對(duì)水庫(kù)大壩進(jìn)行升級(jí)加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計(jì)人員準(zhǔn)備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新起點(diǎn)A與原起點(diǎn)B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．結(jié)果精確到0.1m）11．交通安全心系千萬(wàn)家，高速公路管理局在某隧道內(nèi)安裝了測(cè)速儀，如圖所示的是該段隧道的截面示意圖．測(cè)速儀C和測(cè)速儀E到路面之間的距離CD＝EF＝7m，測(cè)速儀C和E之間的距離CE＝750m，一輛小汽車(chē)在水平的公路上由西向東勻速行駛，在測(cè)速儀C處測(cè)得小汽車(chē)在隧道入口A點(diǎn)的俯角為25°，在測(cè)速儀E處測(cè)得小汽車(chē)在B點(diǎn)的俯角為60°，小汽車(chē)在隧道中從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B所用的時(shí)間為38s（圖中所有點(diǎn)都在同一平面內(nèi)）．（1）求A，B兩點(diǎn)之間的距離（結(jié)果精確到1m）；（2）若該隧道限速22m/s，判斷小汽車(chē)從點(diǎn)A行駛到點(diǎn)B是否超速？通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1）12．動(dòng)感單車(chē)是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械．圖①是一輛動(dòng)感單車(chē)的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示意圖．△BCD為主車(chē)架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A，B，C在同一直線上．已知BC長(zhǎng)為70cm，∠BCD的度數(shù)為58°．當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）13．圖1是某長(zhǎng)征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知AB∥CD∥FG，A，D，H，G四點(diǎn)在同一直線上，測(cè)得∠FEC＝∠A＝72.9°，AD＝1.6m，EF＝6.2m．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）（1）求證：四邊形DEFG為平行四邊形；（2）求雕塑的高（即點(diǎn)G到AB的距離）．（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°≈0.96，cos72.9°≈0.29，tan72.9°≈3.25）14．每年的11月9日是我國(guó)的“全國(guó)消防安全教育宣傳日”，為了提升全民防災(zāi)減災(zāi)意識(shí)，某消防大隊(duì)進(jìn)行了消防演習(xí)．如圖1，架在消防車(chē)上的云梯AB可伸縮（最長(zhǎng)可伸至20m），且可繞點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng)，其底部B離地面的距離BC為2m，當(dāng)云梯頂端A在建筑物EF所在直線上時(shí)，底部B到EF的距離BD為9m．（1）若∠ABD＝53°，求此時(shí)云梯AB的長(zhǎng)．（2）如圖2，若在建筑物底部E的正上方19m處突發(fā)險(xiǎn)情，請(qǐng)問(wèn)在該消防車(chē)不移動(dòng)位置的前提下，云梯能否伸到險(xiǎn)情處？請(qǐng)說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）15．圭表（如圖1）是我國(guó)古代一種通過(guò)測(cè)量正午日影長(zhǎng)度來(lái)推定節(jié)氣的天文儀器，它包括一根直立的標(biāo)竿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標(biāo)竿垂直的長(zhǎng)尺（稱為“圭”），當(dāng)正午太陽(yáng)照射在表上時(shí)，日影便會(huì)投影在圭面上，圭面上日影長(zhǎng)度最長(zhǎng)的那一天定為冬至，日影長(zhǎng)度最短的那一天定為夏至．圖2是一個(gè)根據(jù)某市地理位置設(shè)計(jì)的圭表平面示意圖，表AC垂直圭BC，已知該市冬至正午太陽(yáng)高度角（即∠ABC）為37°，夏至正午太陽(yáng)高度角（即∠ADC）為84°，圭面上冬至線與夏至線之間的距離（即DB的長(zhǎng)）為4米．（1）求∠BAD的度數(shù)．（2）求表AC的長(zhǎng)（最后結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，tan84°≈）16．某數(shù)學(xué)興趣小組自制測(cè)角儀到公園進(jìn)行實(shí)地測(cè)量，活動(dòng)過(guò)程如下：（1）探究原理制作測(cè)角儀時(shí)，將細(xì)線一端固定在量角器圓心O處，另一端系小重物G．測(cè)量時(shí)，使支桿OM、量角器90°刻度線ON與鉛垂線OG相互重合（如圖①），繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)量角器，使觀測(cè)目標(biāo)P與直徑兩端點(diǎn)A、B共線（如圖②），此時(shí)目標(biāo)P的仰角∠POC＝∠GON．請(qǐng)說(shuō)明這兩個(gè)角相等的理由．（2）實(shí)地測(cè)量如圖③，公園廣場(chǎng)上有一棵樹(shù)，為測(cè)樹(shù)高，同學(xué)們?cè)谟^測(cè)點(diǎn)K處測(cè)得樹(shù)頂端P的仰角∠POQ＝60°，觀測(cè)點(diǎn)與樹(shù)的距離KH為5米，點(diǎn)O到地面的距離OK為1.5米，求樹(shù)高PH．（≈1.73，結(jié)果精確到0.1米）（3）拓展探究公園高臺(tái)上有一涼亭，為測(cè)量涼亭頂端P距地面的高度PH（如圖④），同學(xué)們經(jīng)過(guò)討論，決定先在水平地面上選取觀測(cè)點(diǎn)E、F（E、F、H在同一直線上），分別測(cè)得點(diǎn)P的仰角α、β，再測(cè)得E、F間的距離m，點(diǎn)O1、O2到地面的距離O1E、O2F均為1.5米．求PH（用α、β、m表示）．17．如圖所示，體育場(chǎng)內(nèi)一看臺(tái)與地面所成夾角∠BAC＝30°，看臺(tái)最低點(diǎn)A到最高點(diǎn)B的距離為米，A，B兩點(diǎn)正前方有垂直于地面的旗桿DE．在A，B兩點(diǎn)處用儀器測(cè)量旗桿頂端E的仰角分別為60°和15°（仰角即視線與水平線的夾角）．（1）求AE的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）（2）已知旗桿上有一面旗在離地2米的F點(diǎn)處，這面旗以0.4米/秒的速度勻速上升，求這面旗到達(dá)旗桿頂端需要幾秒？18．圖1是新冠疫情期間測(cè)溫員用“額溫槍”對(duì)居民張阿姨測(cè)溫時(shí)的實(shí)景圖，圖2是其側(cè)面示意圖，其中槍柄CD和手臂BC始終在同一條直線上，槍身DE與額頭F保持垂直．胳膊AB＝24cm，BD＝40cm，肘關(guān)節(jié)B與槍身端點(diǎn)E之間的水平寬度為28cm（即BH的長(zhǎng)度），槍身DE＝8cm．（1）求∠EDC的度數(shù)；（2）測(cè)溫時(shí)規(guī)定槍身端點(diǎn)E與額頭規(guī)定范圍為3cm﹣5cm．在圖2中若∠ABC＝75°，張阿姨與測(cè)溫員之間的距離為48cm．問(wèn)此時(shí)槍身端點(diǎn)E與張阿姨額頭F的距離是否在規(guī)定范圍內(nèi)，并說(shuō)明理由．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位．參考數(shù)據(jù)：）19．圖①是某小區(qū)折疊道閘的實(shí)景圖，圖②是其工作示意圖，道閘由垂直于地面的立柱AB，CD和折疊桿“AE﹣EF”組成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之間的水平距離BD＝2.5m，AE＝1.5m．道閘工作時(shí)，折疊桿“AE﹣EF”可繞點(diǎn)A在一定范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，張角為∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同時(shí)桿EF始終與地面BD保持平行．（參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）（1）當(dāng)張角∠BAE為135°時(shí)，求桿EF與地面BD之間的距離（結(jié)果精確到0.01m）；（2）試通過(guò)計(jì)算判斷寬度為1.8m，高