吉林省長春市重點高中2023-2024學年高三上學期期中考試 數(shù)學

高三數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則（）A或3 B.0 C.3 D.2.若復數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C.1 D.3.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.4.某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導綠色環(huán)保的理念，購人污水過濾系統(tǒng)對污水進行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2個小時過濾掉了污染物的30%，則可計算前6小時共能過濾掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%5.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位6.已知是半徑為的球體表面上的四點，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.7.設函數(shù)，則使成立的x的取值范圍為（）A. B. C. D.8.設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱C.函數(shù)的對稱軸方程為，D.將的圖像向右平移個單位長度后，可以得到的圖像10.對于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設為數(shù)列的前n項和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.11.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.12.已知，且，則（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為3三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設，則函數(shù)的最小值是__________.14.函數(shù)定義域為R，滿足，且當時，，若對任意的，都有，則m的取值范圍是_______15.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_________.16.已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.設數(shù)列的前項和為，已知．（1）求通項公式；（2）設，求數(shù)列的前的項和．18.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）當時，，求的值．19.第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進博會有4000多項新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務.某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)計劃在2022年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預計全年需投入固定成本260萬元，生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且.經(jīng)測算，當生產(chǎn)10千臺空調(diào)時需另投入的資金R=4000萬元.現(xiàn)每臺空調(diào)售價為0.9萬元時，當年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當年能全部銷售完.（1）求2022年該企業(yè)年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤=銷售額-成本.20.如圖，已知三個內(nèi)角，，對邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）是外一點，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求的最大值．21.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）求最大值.22.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設，若，是的兩個極值點，證明：．

高三數(shù)學一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，若，則（）A.或3 B.0 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】由集合相等的含義得，求解并驗證互異性即可.【詳解】，，解得或，當時，，不滿足集合中元素的互異性，舍去.當時，，此時，滿足題意.綜上，.故選：C.2.若復數(shù)滿足，則的虛部是（）A. B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)除法運算求得，進而求得的虛部.【詳解】，故的虛部是.故選：A3.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出命題為真時的充要條件，進一步判斷即可.【詳解】若命題“”為真命題，即恒成立，又，則，故，結(jié)合選項可知，是的一個充分不必有條件，故選：4.某企業(yè)在生產(chǎn)中為倡導綠色環(huán)保理念，購人污水過濾系統(tǒng)對污水進行過濾處理，已知在過濾過程中污水中的剩余污染物數(shù)量N（mg/L）與時間t（h）的關(guān)系為，其中為初始污染物的數(shù)量，k為常數(shù)．若在某次過濾過程中，前2個小時過濾掉了污染物的30%，則可計算前6小時共能過濾掉污染物的（）A.49% B.51% C.65.7% D.72.9%【答案】C【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)模型，結(jié)合已知數(shù)據(jù)列出方程求解作答.【詳解】依題意，前2個小時過濾后剩余污染物數(shù)量為，于是，解得，因此前6小時過濾后剩余污染物數(shù)量為，所以前6小時共能過濾掉污染物的.故選：C5.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位 B.向左平移個單位C.向右平移個單位 D.向右平移個單位【答案】B【解析】【分析】，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換即可求解.【詳解】因為,所以將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得到函數(shù)的圖象.故選:B.6.已知是半徑為的球體表面上的四點，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，證得為中點，平面與平面的夾角即為的余角，解，即可得解.【詳解】設球心為，分別取，的外接圓圓心為，連接，

∵，∴點為中點，則，

由為外心，故，則，

由題意可得平面，

故平面與平面的夾角，即為的余角.

在中，，，

則由正弦定理可得，

由球的半徑為，故，,

由平面，平面，可得，

則中，,即，

故平面與平面的夾角為，故其余弦值為.故選:B7.設函數(shù)，則使成立的x的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】分和兩種情況解不等式即可【詳解】當時，由，得，得，，所以，當時，由，得，得，所以，綜上，，即使成立的x的取值范圍為，故選：B8.設是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的圖像關(guān)于中心對稱C.函數(shù)的對稱軸方程為，D.將的圖像向右平移個單位長度后，可以得到的圖像【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式分別應用對稱軸,對稱中心,單調(diào)性及平移逐個判斷選項即可.【詳解】對于A:,,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;對于B:令,則,故函數(shù)的對稱中心為,故B錯誤;對于C:令,則,故函數(shù)的對稱軸為,故C正確;對于D:將的圖像向右平移個單位長度可得,故D正確.故選:ACD.10.對于數(shù)列，如果為等比數(shù)列，那么就稱為“等和比數(shù)列”．已知數(shù)列，且，，設為數(shù)列的前n項和，且，則下列判斷中正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】由①，則當時有②，兩式相減得．求出后利用累加法求得，判斷AB，利用可得，從而判斷CD，【詳解】根據(jù)題意知，數(shù)列中，有①，則當時有②，①－②可得．又由，，得，則，，，，則，A正確，B錯誤；若，則，，，，則，C正確，D錯誤．故選：AC11.定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，且恒成立，則下列結(jié)論正確的有（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)得出其單調(diào)性，然后由單調(diào)性比較大小，從而判斷各選項．【詳解】令，則．∵在上恒成立，∴，故在單調(diào)遞增．由，得，即，故A正確；由，得，即，故B錯誤；由，得，即，故C正確；由得，即，故D錯誤．故選：AC．12.已知，且，則（）A.ab的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為3【答案】ABC【解析】【分析】利用基本不等式求解判斷【詳解】因為，且，A.，當且僅當時，等號成立，故正確；B.，當且僅當，即時，等號成立，故正確；C.，當且僅當時，等號成立，故正確；D.，當且僅當，即時，等號成立，故錯誤；故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設，則函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】分析】根據(jù)題意，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，則，當且僅當時，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值是最小值為.故答案為：.14.函數(shù)的定義域為R，滿足，且當時，，若對任意的，都有，則m的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件依次得到在附近的區(qū)間，、對應的函數(shù)解析式，然后按其規(guī)律畫出函數(shù)的圖像，再根據(jù)不等式恒成立的意義與函數(shù)圖像即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】當時，，則，當時，，則，當時，，則，由此作出圖象如圖所示，由圖知當時，令，整理得：，解得：或，要使對任意的，都有，必有，所以m的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查函數(shù)的解析式，函數(shù)的圖象，不等式恒成立問題，考查分類討論，數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題.15.三棱錐中，在底面的射影為的內(nèi)心，若，，則四面體的外接球表面積為_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)三棱錐的幾何特征可知內(nèi)切圓半徑為，所以可得四面體外接球球心為在平面射影為中點，根據(jù)勾股定理找出等量關(guān)系可解得外接球半徑，即可求出結(jié)果.【詳解】三棱錐底面為直角三角形，為內(nèi)心，由，可得，以為坐標原點，分別為軸建立平面直角坐標系，如下圖所示：設內(nèi)切圓半徑，易知的周長為，面積為；由等面積可得，解得；設四面體外接球球心為，所以易知在平面射影為中點，易知，則，設，則，且，即，解得，則四面體的外接球表面積為.故答案為：【點睛】方法點睛：求解幾何體外接球半徑問題時，一般是根據(jù)幾何體特征找出外接球球心位置再利用等量關(guān)系解出半徑即可求出結(jié)果.16.已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項和，若，則的最小值為______．【答案】18【解析】【分析】先根據(jù)得到，從而，對進行整理，用含的式子表示，再用基本不等式進行求解最小值.【詳解】由得，所以，，故，解得：或，因為數(shù)列是各項均為正數(shù)，所以，故，所以．當且僅當時取得最小值．故答案為：18四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17.設數(shù)列的前項和為，已知．（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前的項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由，得，兩式相減化簡可得數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，從而可求出其通項公式，（2）由（1）得，然后分別利用分組求和，錯位相減法求出奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和，相加即可.【小問1詳解】由，得，兩式相減得．令數(shù)列是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，【小問2詳解】由題意可得，,①，則②，①②得：,∴,18.已知函數(shù)的最小正周期為．（1）求的解析式；（2）當時，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，利用及即可求出解析式；（2）判斷出，根據(jù)，即可求出的值，進一步可求出的值，根據(jù)二倍角公式，即可求出的值.【小問1詳解】因為，所以，則，，因為，所以，所以，所以，則．【小問2詳解】當時，，且，所以，所以，所以，由，得．19.第四屆中國國際進口博覽會于2021年11月5日至10日在上海舉行.本屆進博會有4000多項新產(chǎn)品?新技術(shù)?新服務.某跨國公司帶來了高端空調(diào)模型參展，通過展會調(diào)研，中國甲企業(yè)計劃在2022年與該跨國公司合資生產(chǎn)此款空調(diào).生產(chǎn)此款空調(diào)預計全年需投入固定成本260萬元，生產(chǎn)x千臺空調(diào)，需另投入資金R萬元，且.經(jīng)測算，當生產(chǎn)10千臺空調(diào)時需另投入的資金R=4000萬元.現(xiàn)每臺空調(diào)售價為0.9萬元時，當年內(nèi)生產(chǎn)的空調(diào)當年能全部銷售完.（1）求2022年該企業(yè)年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式；（2）2022年產(chǎn)量為多少時，該企業(yè)所獲年利潤最大？最大年利潤為多少？注：利潤=銷售額-成本.【答案】（1）（2）當2022年產(chǎn)量為100千臺時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元【解析】【分析】（1）由題意可知時，R=4000，代入函數(shù)中可求出，然后由年利潤等于銷售總額減去投入資金，再減去固定成本，可求出年利潤W（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（千臺）的函數(shù)關(guān)系式，（2）分別當和求出函數(shù)的最大值，比較即可得答案【小問1詳解】由題意知，當時，，所以a=300.當時，；當時，.所以，【小問2詳解】當時，，所以當時，W有最大值，最大值為8740；當時，，當且僅當，即x=100時，W有最大值，最大值為8990.因為，所以當2022年產(chǎn)量為100千臺時，該企業(yè)的年利潤最大，最大年利潤為8990萬元.20.如圖，已知三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且，，．（1）求；（2）是外一點，連接，構(gòu)成平面四邊形，若，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理進行邊角互化，結(jié)合三角恒等變換可得；（2）設，在中利用正弦定理可得，再在中，利用余弦定理可得，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)可得最值.【小問1詳解】由已知，則，所以，化簡可得，又在中，，所以，則，即，又，，所以，，所以；【小問2詳解】由（1）得，設，則，在中，由正弦定理得，即，且，即，在中，由余弦定理得，即，由，所以，所以當，即時，取得最大值為，所以的最大值為.21.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）求的最大值.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）方法1，利用正弦定理邊化角，進而可得，結(jié)合角的范圍即可求解；方法2，利用余弦定理進行邊角的互化，進而可得，結(jié)合角的范圍即可求解；（2）利用正弦定理邊化角，結(jié)合輔助角公式進