江蘇省蘇州市2023-2024學年高一上學期期中摸底數(shù)學試題

2023-2024年第一學期高一年級11月摸底調(diào)研數(shù)學學科（總分：150分；考試時長：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合補集的性質(zhì)直接求解即可【詳解】由于，，所以，故選A2.函數(shù)定義域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)根式與分式的定義域求解即可.【詳解】的定義域滿足，解得.故選：D3.“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)在上為減函數(shù)求出實數(shù)的取值范圍，再利用集合的包含關系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若函數(shù)在上為減函數(shù)，則，解得，又因為，因此，“函數(shù)在上為減函數(shù)”是“”的必要不充分條件.故選：B.4.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點的函數(shù)值排除錯誤選項即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱，選項CD錯誤；當時，，選項B錯誤.故選：A.【點睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項．5.設函數(shù)，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)，先由得，由代入分段函數(shù)可得.【詳解】由題意，因，所以，故選：C6.專家對某地區(qū)新冠肺炎爆發(fā)趨勢進行研究發(fā)現(xiàn)，從確診第一名患者開始累計時間（單位：天）與病情爆發(fā)系數(shù)之間，滿足函數(shù)模型：，當時，標志著疫情將要大面積爆發(fā)，則此時約為（）(參考數(shù)據(jù)：)A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)列式求解即可得答案.【詳解】解：因為，，所以，即，所以，由于，故，所以，所以，解得.故選：B.【點睛】本題解題的關鍵在于根據(jù)題意得，再結(jié)合已知得，進而根據(jù)解方程即可得答案，是基礎題.7.函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則實數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，建立m所滿足的不等式組，求解得結(jié)果.【詳解】因為在上單調(diào)遞增，且，所以有，解得，所以m的取值范圍是，故選A.【點睛】該題考查的是有關抽象函數(shù)的問題，根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合函數(shù)的定義域以及單調(diào)性，建立相應的不等式組，求解即可，在解題的過程中，定義域優(yōu)先原則是關鍵.8.黎曼函數(shù)是由德國數(shù)學家黎曼發(fā)現(xiàn)并提出的，在高等數(shù)學中有著廣泛的應用，在上的定義為：當（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)）時，；當或或為內(nèi)的無理數(shù)時，.已知，，，則（）注：，為互質(zhì)的正整數(shù)，即為已約分的最簡真分數(shù).A.的值域為 B.C. D.以上選項都不對【答案】B【解析】【分析】設，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無理數(shù)}，然后對A選項，根據(jù)黎曼函數(shù)在上的定義分析即可求解；對B、C選項：分①，；②，；③或分析討論即可．【詳解】解：設，（，且，為互質(zhì)的正整數(shù)），B＝{x|x＝0或x＝1或x是[0，1]上的無理數(shù)}，對A選項：由題意，的值域為，其中是大于等于2的正整數(shù)，故選項A錯誤；對B、C選項：①當，，則，；②當，，則，＝0；③當或，則，，所以選項B正確，選項C、D錯誤，故選：B.【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵是牢牢抓住黎曼函數(shù)在上的定義去分析.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.圖中陰影部分用集合表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】由圖可得圖中陰影部分表示為，再根據(jù)集合的運算判斷即可.【詳解】由圖可得圖中陰影部分表示為，又，，，故符合題意的有A、B、C.故選：ABC10.下列命題中假命題有（）A.，B.“且”是“”的充要條件C.，D.函數(shù)的值域為【答案】BC【解析】【分析】由不等式性質(zhì)判斷A；特殊值法并結(jié)合充分、必要性定義判斷B；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判斷C；利用二次函數(shù)性質(zhì)求值域判斷D.【詳解】A：由，則，故，真命題；B：顯然滿足，但此時且不成立，假命題；C：對于，開口向上且，則恒成立，假命題；D：且開口向下，易知其值域為，真命題.故選：BC11.若，，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)和指數(shù)運算規(guī)則逐項分析.【詳解】由條件：，即，A正確；，即，B錯誤，D正確；由，則，C正確；故選：ACD.12.下列說法正確的是（）A.若為正數(shù)，且滿足，則的最小值為B.已知實數(shù)，則表達式的最小值為C.已知實數(shù)且，滿足，則的最小值為D.若兩個不相等的正數(shù)滿足，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)基本不等式、“1”的代換以及二次函數(shù)求最值判斷各選項.【詳解】對于A，若為正數(shù)，，得，解得，所以當時，的最小值為；故A正確.對于B，已知實數(shù)，，當時，即時，的最小值為，故B正確；對于C，已知且，則，，，，所以當時，即，時，取最小值1，但已知，故C錯誤；對于D，已知兩個不相等的正數(shù)，因為，所以，所以，解得，，所以，，當時，，所以當時，有最小值所以的最小值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.命題“”的否定是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)論.【詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，所以原命題的否定是“”.【點睛】本小題主要考查全稱命題的否定是特稱命題，除了形式上的否定外，還要注意否定結(jié)論，屬于基礎題.14.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為___________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合代入法進行求解即可.【詳解】設冪函數(shù)的解析式為，因為冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以有，因此該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為，，故答案為：，15.已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解抽象不等式即可.【詳解】由題知：區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，當時，，，，符合題意，當時，，，，不符合題意，當時，，，，符合題意，當時，，，，不符合題意，綜上的解集為故答案為：16.已知函數(shù)，，為常數(shù)，若對于任意，，且，都有則實數(shù)的取值范圍為________.【答案】[0，2]【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)F（x）＝f（x）﹣g（x），利用F（x）的單調(diào)性求出a【詳解】解：對于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有f（x1）﹣f（x2）＜g（x1）﹣g（x2），即f（x1）﹣g（x1）＜f（x2）﹣g（x2），令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝x2﹣a|x﹣1|，即F（x1）＜F（x2），只需F（x）在[0，2]單調(diào)遞增即可，當x＝1時，F(xiàn)（x）＝0，圖象恒過（1，0）點，當x＞1時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a，當x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a，要使F（x）在[0，2]遞增，則當1＜x≤2時，F(xiàn)（x）＝x2﹣ax+a的對稱軸x＝，即a≤2，當0≤x＜1時，F(xiàn)（x）＝x2+ax﹣a的對稱軸x＝，即a≥0，故a∈[0，2]，故答案為：[0，2]【點睛】考查恒成立問題，函數(shù)的單調(diào)性問題，利用了構(gòu)造函數(shù)法，屬于中檔題．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.（1）求的值；（2）已知，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化簡計算即可；（2）把平方，結(jié)合即可求得，利用可得的值，代入所求的式子即可得答案．【詳解】（1）；（2），，，，．18.已知命題：“，都有不等式成立”是真命題.（1）求實數(shù)的取值集合；（2）設不等式的解集為，若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知在時恒成立，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得實數(shù)的取值集合；（2）分析可知，分、兩種情況討論，求出集合，結(jié)合可得出關于實數(shù)的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】解：由，都有不等式成立，得在時恒成立，所以，因為二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，，所以，當時，，，所以，.【小問2詳解】解：由可得.①當時，可得或，因為是的充分條件，則，則，此時，；②當時，可得或，因為是的充分條件，則，則，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求的值；（2）用單調(diào)性定義證明：函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)求得，再由求得、b的值；（2）利用單調(diào)性的定義，結(jié)合作差法即可證明；（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再利用（2）中結(jié)論去掉即可求【小問1詳解】由題意可知，即，，又，即【小問2詳解】，且，有，由于，即，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.【小問3詳解】因為為奇函數(shù)，所以由，得，又因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以解得，故，所以實數(shù)的取值范圍是20.某公司每月最多生產(chǎn)100臺報警系統(tǒng)裝置，生產(chǎn)臺的收入函數(shù)為（單位：元），其成本函數(shù)為（單位：元），利潤是收入與成本之差．（1）求利潤函數(shù)及利潤函數(shù)最大值；（2）為了促銷，如果每月還需投入500元的宣傳費用，設每臺產(chǎn)品的利潤為，求的最大值及此時的值．【答案】（1）利潤函數(shù)，最大值為（元）（2）當臺時，每臺產(chǎn)品的利潤取到最大值1900元【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到的解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得的最大值；（2）根據(jù)題意得到的解析式，再利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】由題意知，，易得的對稱軸為，所以當或時，取得最大值為（元）．所以利潤函數(shù)，最大值為（元）；【小問2詳解】依題意，得（元）.當且僅當時等號成立，即時，等號成立．所以當臺時，每臺產(chǎn)品的利潤取得最大值元．21.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的解析式；（2）設，若存在使成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）解法一：運用配湊法，然后整體換元得函數(shù)的解析式；解法二：運用換元法，令，則且．代入原式求得的解析式，進而換元得到函數(shù)的解析式；（2）由（1）代入將問題轉(zhuǎn)化為在時有解．再令，由，得，設．根據(jù)二次函數(shù)的最值可得取值范圍.【詳解】（1）解法一：∵，∴．又，∴．解法二：令，則．由于，所以．代入原式有，所以．（2）∵，∴．∵存在使成立，∴在時有解．令，由，得，設．則函數(shù)的圖象的對稱軸方程為，∴當時，函數(shù)取得最小值．∴，即的取值范圍為．22.對于定義域為的函數(shù)，如果存在區(qū)間，同時滿足下列兩個條件：①在區(qū)間上是單調(diào)的；②當定義域是時，的值域也是．則稱是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”．（1）請證明：函數(shù)不存在“黃金區(qū)間”．（2）已知函數(shù)在上存在“黃金區(qū)間”，請求出它的“黃金區(qū)間”．（3）如果是函數(shù)的一個“黃金區(qū)間”，請求出的最大值．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）由為上的增函數(shù)和方程的解的情況可得證；（2）由可得出，再由二次函數(shù)的對稱軸和方程，可求出函數(shù)的“黃金區(qū)間”；（3）化簡得函數(shù)單調(diào)性，由已知是方程的兩個同號的實數(shù)根，再由根的判別式和根與系數(shù)的關系可表示，由或，可得的最大值．【詳解】解：（1）證明：由為上的增函數(shù)，則有