新疆伊犁可克達(dá)拉市鎮(zhèn)江高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

可中20232024學(xué)年高二第一學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)城內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.第I卷（選擇題共60分）一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分；每小題只有一項(xiàng)符合題目要求）1.在平行六面體中，與向量相等的向量共有（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】由圖形及相等空間向量定義可得答案.【詳解】由圖，與向量大小相等，方向相同的向量有共3個(gè).故選：C2.化簡(jiǎn)所得的結(jié)果是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量減法原則，以及相反向量的定義，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量減法原則，，而，故.故選：C.3.給出下列四個(gè)命題，其中正確的有（1）若空間向量，滿足，則；（2）空間任意兩個(gè)單位向量必相等；（3）對(duì)于非零向量，由，則；（4）在向量的數(shù)量積運(yùn)算中．A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.4個(gè)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量相等的定義，單位向量的定義，以及向量的模的定義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于（1），取，，此時(shí)，，但是，故（1）為假命題；對(duì)于（2），取單位向量和，此時(shí)，故（2）為假命題；對(duì)于（3），若空間向量取，，取為零向量，此時(shí)，滿足，但，故（3）為假命題；對(duì)于（4），取，，，則，，所以，故（4）為假命題.故選：A.4.在四棱錐中，底面是正方形，是的中點(diǎn)，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量加減法，和空間向量基本定理直接求解即可.【詳解】.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及向量共線定理，空間向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.5.過，兩點(diǎn)的直線的一個(gè)方向向量為則A. B. C. D.1【答案】C【解析】【分析】解法一：根據(jù)AB坐標(biāo)求得向量，根據(jù)與直線的方向向量共線即可求得結(jié)果.解法二：根據(jù)直線的方向向量求得直線的斜率，結(jié)合兩點(diǎn)的斜率公式即可求得結(jié)果.【詳解】解法一：由直線上的兩點(diǎn)，，得，又直線的一個(gè)方向向量為，因此，∴，解得，故選：C.解法二：由直線的方向向量為得，直線的斜率為，所以，解得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線的斜率與直線的方向向量，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)，屬基礎(chǔ)題.6.如下圖，設(shè)直線的斜率分別為，則用“＜”號(hào)將它們的斜率連接起來后，得到的結(jié)果為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先區(qū)分斜率的正負(fù)，判定傾斜角是銳角還是鈍角，然后根據(jù)在傾斜角都是銳角時(shí)傾斜角越大斜率越大，在傾斜角都是鈍角時(shí)傾斜角越大，斜率越大，得出結(jié)論.【詳解】直線l1、l2的斜率都是正值，傾斜角都是銳角，在傾斜角都是銳角時(shí)傾斜角越大斜率越大，故k2>k1>0；直線l3、l4的斜率都是負(fù)值，傾斜角都是鈍角，在傾斜角都是鈍角時(shí)傾斜角越大，斜率越大，故k3<k4<0,故故選：D.7.已知均為單位向量，它們的夾角為60°，那么（）A.13 B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的模的計(jì)算方法計(jì)算即可.【詳解】解：故選：B.8.“”是“直線互相平行”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】試題分析：直線與互相平行的充要條件為，即或，因此“”是“直線與互相平行”的充分不必要條件，選A.考點(diǎn)：充要關(guān)系【名師點(diǎn)睛】充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件．2．等價(jià)法：利用p?q與非q?非p，q?p與非p?非q，p?q與非q?非p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件．二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共32分；每小題只有一項(xiàng)符合題目要求）9.已知直線與為兩條不重合的直線，則下列命題正確的是（）A.若，則斜率B.若斜率，則C.若傾斜角，則D.若，則傾斜角【答案】BCD【解析】【分析】利用直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，直線的斜率和直線的平行問題的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】A選項(xiàng)，，可能直線與的傾斜角都是，斜率不存在，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.B選項(xiàng)，根據(jù)直線的位置關(guān)系，當(dāng)直線的斜率存在，并且相等，則直線平行，所以B選項(xiàng)正確.C選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線的傾斜角相等時(shí)，直線平行，所以C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，當(dāng)兩條直線平行時(shí)，則傾斜角必相等，所以D選項(xiàng)正確.故選：BCD10.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，是棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論中，正確的是（）A.直線的一個(gè)方向向量為B.直線的一個(gè)方向向量為C.平面的一個(gè)法向量為D.平面的一個(gè)法向量為【答案】AC【解析】【分析】求出即可判斷正誤，求出平面的法向量判斷的正誤，求出平面的法向量判斷的正誤.【詳解】由題意，,,,,,∵，∴向量為直線的一個(gè)方向向量，故正確,不正確；設(shè)平面的法向量為，則,由，得，令得，則正確;設(shè)平面的法向量為，則，由，得，令得，則不正確.故選：.11.設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確是（）A.若，則點(diǎn)M在直線BC上B.若＝＋，則點(diǎn)M是三角形的重心C.若，則點(diǎn)M在邊BC的中線上D.若，且x＋y＝，則△MBC的面積是△ABC面積的【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，根據(jù)題意得到，從而得到三點(diǎn)共線，即可判斷A正確，對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)為的中點(diǎn)，根據(jù)條件得到，即可判斷B正確，對(duì)選項(xiàng)C，根據(jù)題意得到在的平分線上，即可判斷C錯(cuò)誤，對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)，根據(jù)題意得到三點(diǎn)共線，即可判斷D正確.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，，所以，即.所以，又因?yàn)闉楣颤c(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)在直線上，故A正確.對(duì)選項(xiàng)B，設(shè)為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)是的重心，故B正確.對(duì)選項(xiàng)C，因?yàn)椋瑒t在的平分線上，不一定在的中線上，故C錯(cuò)誤.對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)椋?，所以，且，設(shè)，則，且，即三點(diǎn)共線.又因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，如圖所示：所以，故D正確.故選：ABD12.如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.B.與平面所成角的正弦值為C.二面角的余弦值為D.平面截正方體所得的截面周長(zhǎng)為【答案】BD【解析】【分析】利用坐標(biāo)法，對(duì)A，由向量數(shù)量積與垂直的關(guān)系即可判斷；對(duì)B，由向量法求線面角；對(duì)C，由向量法求面面角；對(duì)D，分析得，則平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，即可根據(jù)幾何關(guān)系求周長(zhǎng)，【詳解】以D為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，對(duì)A，，，故與不垂直，A錯(cuò)；對(duì)B，，設(shè)平面AEF的法向量為，則，令，則有，設(shè)與平面AEF所成角為，則，B對(duì)；對(duì)C，平面EFC的一個(gè)法向量為，則，∴二面角的余弦值為，C錯(cuò)；對(duì)D，由，，可得，平面AEF截正方體所得的截面為四邊形，則有，故平面AEF截正方體所得的截面周長(zhǎng)為，D對(duì).故選：BD.三、填空題13.設(shè)異面直線的方向向量分別為，則異面直線所成角的大小為________．【答案】##60°【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解異面直線所成角的余弦值，即可得所成角大小.【詳解】因?yàn)楫惷嬷本€的方向向量分別為，所以，又所以．所以異面直線所成角的大小為．故答案：.14.在正方體中，點(diǎn)O是的中點(diǎn)，且，則的值為________.【答案】【解析】【分析】在正文體中易得，再結(jié)合，利用待定系數(shù)法求解.【詳解】在正方體中得，又因?yàn)樗运?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的表示，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15.已知空間三點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為_____________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.【詳解】易知，則，，故點(diǎn)到直線的距離為．故答案為：.16.如圖，在120°的二面角中，且，垂足分別為A，B，已知，則線段的長(zhǎng)為__________．【答案】12【解析】【分析】利用，兩邊平方計(jì)算，可得線段的長(zhǎng)．【詳解】因?yàn)?，所以．又因?yàn)槎娼堑钠矫娼菫?20°，所以．所以，所以．故答案為：12【點(diǎn)睛】本題考查空間距離的計(jì)算，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．四、解答題17.如圖所示，在平行六面體中，設(shè)，，，分別是，，的中點(diǎn)，試用表示以下各向量：（1）；（2）；（3）【答案】（1）．（2）．（3）．【解析】【分析】（1）（2）（3）利用空間向量的加減法分別求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，，，所以，【小問2詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，，所以，【小問3詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，，所以，，所以.18.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體的棱長(zhǎng)為1，在上，在上，且．（1）求向量，的坐標(biāo)；（2）求與所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)表示求解即可；（2）利用空間向量異面直線夾角的求法即可得解.【小問1詳解】由題意可得，，故．【小問2詳解】由（1）可知，所以．．所以．故與所成角的余弦值為．19.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．求：（1）邊所在直線的方程；（2）邊上的高所在直線的方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解；（2）利用兩直線垂直得到，即可得到高所在直線的斜率，利用直線方程的點(diǎn)斜式，即可求解.【小問1詳解】、，故，邊AC所在直線的方程為：，即為：，【小問2詳解】，故，AC邊上的高所在直線的斜率為，又，故為：，即20.已知點(diǎn)、．（1）當(dāng)時(shí)，直線MN的傾斜角為何值？（2）當(dāng)m取何值時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角、直角、鈍角？【答案】（1）0（2）當(dāng)或時(shí)，直線的傾斜角為銳角；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為直角；當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為鈍角【解析】【分析】⑴利用斜率的公式求斜率；⑵利用，傾斜角為銳角時(shí)斜率大于零，直角時(shí)斜率不存在，鈍角時(shí)斜率小于零，列式求解.【小問1詳解】當(dāng)m=1時(shí)，，，∴，傾斜角為0.【小問2詳解】當(dāng)2m+3=m2，即m=5時(shí)，傾斜角為直角；當(dāng)時(shí)，①，當(dāng)傾斜角為銳角時(shí)，①>0，解得或，當(dāng)傾斜角為鈍角時(shí)，①<0，解得，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，直線MN的傾斜角為銳角；當(dāng)m=5時(shí)，直線MN的傾斜角為直角；當(dāng)時(shí)，直線MN的傾斜角為鈍角.21.如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M、N分別為、AC的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）30°【解析】【分析】（1）以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的法向量，利用空間向量證明即可，（2）求出平面的法向量，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】如圖，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則，，，，，，．所以，因?yàn)槠矫?所以平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面【小?詳解】，，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，則，，所以設(shè)與平面所成角，則．因?yàn)?，所以與平面所成角為30°．22.如圖，在三棱錐中，，為中點(diǎn)．（1）求證：平面（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使二面角的平面角的余弦值為？若存在，確定點(diǎn)位置；若不存在，