湖南省湘東九校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖南省2024屆高三九校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合，則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】分，討論，根據(jù)包含關(guān)系可得.【詳解】由可知，當(dāng)時(shí)，，滿足條件；當(dāng)時(shí)，，要使，只需，或，所以或.綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)取值為，共3個(gè).故選：D2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，是虛數(shù)單位，則（）A.且 B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，即得，從而求解.【詳解】由復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，得解得:.故選:C.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)化簡(jiǎn)已知等式，從而求得.【詳解】因?yàn)?，即，兩邊平方可得，解?故選：A4.某農(nóng)機(jī)合作社于今年初用98萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)一臺(tái)大型聯(lián)合收割機(jī)，并立即投入生產(chǎn).預(yù)計(jì)該機(jī)第一年（今年）的維修保養(yǎng)費(fèi)是12萬(wàn)元，從第二年起，該機(jī)每年的維修保養(yǎng)費(fèi)均比上一年增加4萬(wàn)元.若當(dāng)該機(jī)的年平均耗費(fèi)最小時(shí)將這臺(tái)收割機(jī)報(bào)廢，則這臺(tái)收割機(jī)的使用年限是（）A.6年 B.7年 C.8年 D.9年【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)以及求和公式，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)第年的維修保養(yǎng)費(fèi)為萬(wàn)元，數(shù)列的前項(xiàng)和為，該機(jī)的年平均耗費(fèi)為，據(jù)題意，數(shù)列是首項(xiàng)為12，公差為4的等差數(shù)列.則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值38.所以這臺(tái)冰激凌機(jī)的使用年限是7年.故選:.5.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則當(dāng)時(shí)，的最大值為（）A. B. C. D.0【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)可得，進(jìn)而根據(jù)整體方法求解最值即可.【詳解】在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.故點(diǎn)在的圖象上，從而.當(dāng)時(shí)，，由在上單調(diào)遞減可知：在區(qū)間上的最大值為，故選：B.6.將一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這個(gè)多面體的內(nèi)切球體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】確定正八面體的結(jié)構(gòu)特征，即由棱長(zhǎng)為2的兩個(gè)正四棱錐構(gòu)成，且正四棱錐的底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，求出正四棱錐的高，根據(jù)等體積法求解內(nèi)切球的半徑，即可算出內(nèi)切球的體積.【詳解】由題意知該幾何體為正八面體，且正八面體的棱為原正四面體每個(gè)側(cè)面三角形的中位線，故正八面體由棱長(zhǎng)為2的兩個(gè)正四棱錐構(gòu)成，正四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑R，給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，連接AC和BD交于點(diǎn)O，因?yàn)?，，所以，，又AC和BD交于點(diǎn)O，平面ABCD，所以平面ABCD，所以O(shè)為正八面體的中心，所以O(shè)到八個(gè)面的距離相等，距離即為內(nèi)切球半徑，設(shè)內(nèi)切球與平面EBC切于點(diǎn)H，所以平面EBC，所以O(shè)H即為正八面體內(nèi)切球半徑，所以，因?yàn)檎嗣骟w的棱長(zhǎng)為2，所以，，，所以，，因?yàn)椋?，所以，即，所以正八面體內(nèi)切球的體積為.故選：D.7.在中，點(diǎn)滿足為重心，設(shè)，則可表示為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算、三角形的重心等知識(shí)求得正確答案.【詳解】..故選：C8.如圖，已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，過(guò)的直線與分別在第一?二象限交于兩點(diǎn)，內(nèi)切圓半徑為，若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)雙曲線定義和幾何性質(zhì)，結(jié)合圓的切線長(zhǎng)定理與余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)，內(nèi)切圓圓心為，內(nèi)切圓在上的切點(diǎn)分別為，則，由及雙曲線的定義可知，，故四邊形是正方形，得，于是，故，所以，于，在中，由余弦定理可得，從而，所以.故選：D.二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布：，設(shè)，則的方差B.數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為9C.若樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為8D.用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法從51個(gè)個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布方差公式、百分位數(shù)、平均數(shù)、古典概率等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，易知，而，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，共有7個(gè)數(shù)據(jù)，而，故第60百分位數(shù)為9，B正確；對(duì)于C，若樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為2，則的平均數(shù)為，C正確；對(duì)于D，由古典概型可知：從51個(gè)體中抽取2個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都是，錯(cuò)誤.故選：BC10.已知，則（）A.與均有公共點(diǎn)的直線斜率最大為B.與均有公共點(diǎn)的圓的半徑最大為4C.向引切線，切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)的軌跡是圓D.向引兩切線的夾角與向引兩切線的夾角相等的點(diǎn)的軌跡是圓【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)相似比即可結(jié)合銳角三角函數(shù)求解A，根據(jù)圓的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)距離公式即可求解軌跡方程，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】由題意知，與兩圓均有公共點(diǎn)，且斜率最大的直線恰為那條兩圓斜率為正的內(nèi)公切線，由兩圓半徑之比為，，可知切線與軸交于，設(shè)切線的傾斜角為，選項(xiàng)正確.與均有公共點(diǎn)的圓的圓心不確定，所以半徑可以任意大（無(wú)最大值），選項(xiàng)B錯(cuò)誤.向引切線，設(shè)切線長(zhǎng)相等的點(diǎn)為,則，所以，化簡(jiǎn)得直線，選項(xiàng)錯(cuò)誤.設(shè)的圓心分別為，點(diǎn)對(duì)切線的夾角等于點(diǎn)對(duì)切線的夾角，于是由相似三角形知，設(shè)，則，可得到點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓，選項(xiàng)D正確.故選：AD11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)B.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)C.的所有零點(diǎn)為D.是以為周期的函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義分析證明；對(duì)于B：舉例說(shuō)明即可；對(duì)于C：根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；對(duì)于D：舉例說(shuō)明即可.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于直線軸對(duì)稱(chēng)，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，B錯(cuò)誤.對(duì)于C：因?yàn)?，注意到，令，得，即，故的所有零點(diǎn)為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，所以不是的周期，故D錯(cuò)誤；故選：AC.12.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn).如圖，在橫坐標(biāo)為的點(diǎn)處作的切線，切線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為；用代替重復(fù)上面的過(guò)程得到；一直下去，得到數(shù)列，叫作牛頓數(shù)列.若函數(shù)且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.數(shù)列是遞減數(shù)列C.數(shù)列是等比數(shù)列 D.【答案】ACD【解析】【分析】求導(dǎo)得切點(diǎn)處的切線方程，即可令0判斷A,根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合等差等比數(shù)列的定義即可判斷BC，根據(jù)等比求和公式即可求解D.【詳解】，所以在點(diǎn)處的切線方程為：，令0，得，故A正確.，故，即，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤，C正確，所以，D正確.故選；ACD三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，則_________．【答案】【解析】【分析】由題意，即，對(duì)恒成立，化簡(jiǎn)即可得到答案.【詳解】由已知，，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，對(duì)恒成立，即，對(duì)恒成立，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)的問(wèn)題，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，是一道容易題.14.已知第一象限內(nèi)的點(diǎn)在直線上，則的最大值是______.【答案】【解析】【分析】平方變形，利用基本不等式求解即可.【詳解】由題意，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以.故答案為：15.把個(gè)位?十位?百位上的數(shù)依次成等差數(shù)列（公差小于0）的三位數(shù)稱(chēng)為“下階梯數(shù)”，則所有的“下階梯數(shù)”共有__________個(gè).【答案】16【解析】【分析】根據(jù)公差進(jìn)行分類(lèi)討論，從而求得“下階梯數(shù)”的個(gè)數(shù).【詳解】公差為時(shí)，有共個(gè)；公差為時(shí)，共個(gè)；公差為時(shí)，共個(gè)；公差為時(shí)，共個(gè).所以一共有個(gè).故答案為：16.如圖所示，有兩個(gè)相同的直三棱柱，高為，底面三角形的三邊長(zhǎng)分別為3a，4a，．用它們拼成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面積最小的是一個(gè)四棱柱，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】分情況分別求解組成三棱柱和四棱柱時(shí)的全面積，根據(jù)題意列出限制條件，可求范圍.【詳解】拼成一個(gè)三棱柱時(shí)，全面積有三種情況：①上下底面對(duì)接，其全面積為.②邊合在一起時(shí)，全面積為.③邊合在一起時(shí)，全面積為.拼成一個(gè)四棱柱時(shí)，有四種情況，全面積有三種情況：讓邊長(zhǎng)為所在的側(cè)面重合，其上下底面積之和都是，但側(cè)面積分別為，顯然，三種情況中全面積最小的是；因比小，所以由題意得，解得.故答案為：.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）17.在中，角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，直線分別交于兩點(diǎn)，且把的面積分成相等的兩部分，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一由邊化角結(jié)合正弦展開(kāi)式求得；方法二由余弦定理求得；（2）先用三角形面積公式得出，再結(jié)合基本不等式求出最小值.【小問(wèn)1詳解】方法一：由已知，即，，又.方法二：，即.小問(wèn)2詳解】，，.在中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式等號(hào)成立，的最小值為.18.如圖，四棱柱的底面是正方形，平面.（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）若是線段上一點(diǎn)，平面與平面夾角的余弦值為時(shí)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，先證平面平面，然后由面面垂直性質(zhì)定理知即為所求，然后計(jì)算可得；（2）以為原點(diǎn)，分別以分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用平面夾角的向量公式列方程可解.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，連接.因?yàn)槠矫妫矫妫?，因?yàn)榈酌媸钦叫危?，又，平面，所以平?又平面，所以平面平面.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，所?在中，，所以.又為的中點(diǎn)，所以且，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.故點(diǎn)到平面的距離為.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，分別以分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，由（1）知，平面一個(gè)法向量，設(shè)，則設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，取，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則有，解得，即.19.已知數(shù)列的前項(xiàng)積為，且.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，定義為不超過(guò)的最大整數(shù)，例如，，求的前項(xiàng)和.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列前項(xiàng)積為與通項(xiàng)的關(guān)系，從而可得（），且，求得首項(xiàng)，從而可得結(jié)論；（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和方法得，再根據(jù)題意求解的前項(xiàng)和即可.【小問(wèn)1詳解】證明：已知數(shù)列的前項(xiàng)積為得（），故有，從而，且，則，所以.從而是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，.所以.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，.這時(shí).所以時(shí)，，綜上，20.從今年起，我國(guó)將于每年5月第四周開(kāi)展“全國(guó)城市生活垃圾分類(lèi)宣傳周”活動(dòng)，首屆全國(guó)城市生活垃圾分類(lèi)宣傳周時(shí)間為2023年5月22日至28日，宣傳主題為“讓垃圾分類(lèi)成為新時(shí)尚”，在此宣傳周期間，某社區(qū)舉行了一次生活垃圾分類(lèi)知識(shí)比賽.要求每個(gè)家庭派出一名代表參賽，每位參賽者需測(cè)試A，B，C三個(gè)項(xiàng)目，三個(gè)測(cè)試項(xiàng)目相互不受影響.（1）若某居民甲在測(cè)試過(guò)程中，第一項(xiàng)測(cè)試是等可能的從三個(gè)項(xiàng)目中選一項(xiàng)測(cè)試，且他測(cè)試三個(gè)項(xiàng)目“通過(guò)”的概率分別為.已知他第一項(xiàng)測(cè)試“通過(guò)”，求他第一項(xiàng)測(cè)試選擇的項(xiàng)目是的概率；（2）現(xiàn)規(guī)定：三個(gè)項(xiàng)目全部通過(guò)獲得一等獎(jiǎng)，只通過(guò)兩項(xiàng)獲得二等獎(jiǎng)，只通過(guò)一項(xiàng)獲得三等獎(jiǎng)，三項(xiàng)都沒(méi)有通過(guò)不獲獎(jiǎng).已知居民乙選擇的順序參加測(cè)試，且他前兩項(xiàng)通過(guò)的概率均為，第三項(xiàng)通過(guò)的概率為.若他獲得一等獎(jiǎng)的概率為，求他獲得二等獎(jiǎng)的概率的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用全概率公式和條件概率公式即可得到答案；（2）根據(jù)得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出其最值即可.【小問(wèn)1詳解】記事件“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，“第一項(xiàng)測(cè)試選擇了項(xiàng)目”，記事件“第一項(xiàng)測(cè)試合格”，由題意知，，，又事件互斥，則，即，所以在居民甲第一項(xiàng)測(cè)試“合格”的條件下，他第一個(gè)項(xiàng)目選擇了的概率為：，即已知居民甲第一項(xiàng)測(cè)試“合格”，他第一項(xiàng)測(cè)試選擇的項(xiàng)目是的概率是.【小問(wèn)2詳解】由居民乙獲一等獎(jiǎng)的概率為，可知.則.令，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù).所以.所以的最小值為.21.已知拋物線為拋物線外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為（在軸兩側(cè)），與分別交軸于.（1）若點(diǎn)在直線上，證明直線過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)；（2）若點(diǎn)在曲線上，求四邊形的面積的范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，定點(diǎn)（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫(xiě)出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合處的切線方程求得直線所過(guò)定點(diǎn).（2）先求得四邊形的面積的表達(dá)式，然后利用導(dǎo)數(shù)求得面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，直線，聯(lián)立，可得.在軸兩側(cè)，，，由得，所以點(diǎn)處的切線方程為，整理得，同理可求得點(diǎn)處的切線方程為，由，可得，又在直線上，.直線過(guò)定點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】由（1）可得在曲線上，.由（1）可知，，，令在單調(diào)遞增，四邊形的面積的范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解拋物線的切線方程，有兩種方法，一種是利用判別式法，即設(shè)出切線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)后利用判別式為0列方程來(lái)求得切線方程；另一種是利用導(dǎo)數(shù)的方法，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的斜率，進(jìn)而求得切線方程.22.已知，，直線是在處的切線，直線是在處的切線，若兩直線