第15章量子物理基礎(chǔ)

115.5微觀粒子的波粒二象性不確定關(guān)系

光具有波粒二象性，微觀粒子是否也具有波粒二象性？

1924年，法國物理學(xué)家德布羅意第一次提出了實物粒子具有波動性觀點，以后人們把這種波稱為德布羅意波，又稱為物質(zhì)波。L.deBrogen2愛因斯坦(Einstein)一、微觀粒子的波粒二象性

德布羅意假設(shè)：不僅光具有波粒二象性，一切實物粒子如電子、原子、分子等也具有波粒二象性。

如果用能量E

和動量p

來表征實物粒子的粒子性，則可用頻率

和波長

來表示實物粒子的波動性。3或——德布羅意關(guān)系式。

這種和實物粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波。4例如靜止質(zhì)量為m0

的粒子，當(dāng)v<<c

時，德布羅意波長為：

如飛行的子彈m=10-2kg，速度v=5.0102

m/s,對應(yīng)的德布羅意波長為：1.3×10-25nm,很小，難以測出。

若粒子速度

v

與光速c

可比較時，動量為5德布羅意波長為：

在微觀上，電子m0=9.1

10-31kg，速度v=5.0107m/s，對應(yīng)的德布羅意波長為：1.4×10-2nm，比較明顯。6玻爾量子化條件的駐波解釋

對于玻爾假設(shè)中的量子化條件，德布羅意指出：一個無輻射的穩(wěn)定圓軌道的周長必須等于電子的物質(zhì)波波長的整數(shù)倍，既駐波條件。

波動在一兩端固定弦上傳播，如果弦長等于波長，則形成穩(wěn)定的駐波。7

若將弦逐漸彎曲為半徑為

r

的圓，則弦上仍是一穩(wěn)定的駐波。弦所形成的圓周長應(yīng)等于波長：

若圓周長等于波長的整數(shù)倍時,同樣可以在弦上形成駐波：為電子的德布羅意波長。8

由德布羅意假設(shè)，質(zhì)量為

m

的電子，以速率

v

繞半徑為

r

的圓周運動時，其波長為：代入式子得——氫原子玻爾理論中角動量量子化條件。電子駐波9二、物質(zhì)波的實驗證明

1925年美國物理學(xué)家戴維孫進行了電子散射實驗。他與革末于1927年發(fā)表實驗結(jié)果，證實了德布羅意物質(zhì)波的理論。1.戴維孫—革末電子散射實驗鎳晶體電子槍電子束散射線電子探測器10

當(dāng)電壓加到54V時,沿θ=50o

的出射方向檢測到很強的電子電流。0°15°30°45°60°75°°90°°50°實驗結(jié)果：加速電壓：散射角：電子束強度極大。

戴維孫用布拉格方法對實驗結(jié)果進行了分析。11d晶面間距電子對晶面的掠射角對應(yīng)一級衍射極大,可算得電子的物質(zhì)波波長由布拉格方程12

利用德布羅意波長公式，計算電子的物質(zhì)波波長。由將U=54v代入，得

實驗結(jié)果與理論計算相吻合。實驗證實了電子具有波動性，能像X射線一樣滿足布拉格方程;另外，也驗證了德布羅意波長公式的正確性。132.湯姆孫電子衍射實驗

在戴維孫—革末電子衍射實驗的同一年，1927年，英國物理學(xué)家湯姆孫(G.P.Thomson)

用電子束垂直射向金箔和鋁箔，在箔后的屏上出現(xiàn)了圓環(huán)形的電子衍射圖樣。

電子衍射實驗證明了德布羅意關(guān)系的正確性。戴維遜和湯姆遜因驗證電子的波動性而分享了1937年諾貝爾物理學(xué)獎。14例1計算經(jīng)過電勢差U=150V和U=104V加速的電子的德布羅意波長（在U≤104V時,可不考慮相對論效應(yīng)）。解

根據(jù)加速后電子的速度為式中m0為電子的靜止質(zhì)量。15

根據(jù)德布羅意關(guān)系p=h/λ，電子的德布羅意波長為波長分別為電子的德布羅意波長與X射線的波長相近。16例2計算250C時慢中子的德布羅意波長。解慢中子的平均平動能平均平動能17慢中子的動量慢中子的德布羅意波長

慢中子的波長與X射線同數(shù)量級，慢中子穿過晶片時會產(chǎn)生衍射現(xiàn)象。18例3在電子束中的電子動能為200eV。求電子的德布羅意波長。解電子的動能電子的速率遠小于光速，所以：這個波長與X射線波長的數(shù)量級相當(dāng)。19觀測儀器的分辨本領(lǐng)電子顯微鏡分辨率遠大于光學(xué)顯微鏡分辨率。討論電子波的波長遠小于光波波長。

粒子的波動性，如電子和中子的波動性還被廣泛用于研究固體和液體內(nèi)的原子結(jié)構(gòu)上。20三、不確定關(guān)系——海森伯坐標和動量的不確定關(guān)系。

如果一個粒子的位置坐標具有一個不確定量Δx,則同一時刻的動量也具有一個不確定量Δpx,Δx與Δpx的乘積總是大于一定的數(shù)值

一個量確定的越準確，另一個量的不確定程度就越大。（為約化普朗克常數(shù)）21利用電子單縫衍射實驗可以說明不確定關(guān)系。入射電子束Δxxy感光底片電子流強度設(shè)為中央明紋旁第一級暗紋的衍射角。坐標x

的不確定量為△x22利用單縫衍射公式有xyp又有利用德布羅意關(guān)系式得即23若再考慮到落在中央明紋區(qū)以外的電子，有嚴格推到可得

在表明或測量粒子的位置和動量時，它的精度存在一個終極的不可逾越的限制。這種特性是由于它具有波粒二象性。能量和時間的不確定關(guān)系24

氫原子中電子速率約為106m/s。速率不確定量與速率本身的數(shù)量級基本相同，因此原子中電子的位置和速度不能同時完全確定，也沒有確定的軌道。解由不確定關(guān)系 例4原子的線度約為10-10m，求原子中電子速度的不確定量。25例5

根據(jù)玻爾的氫原子模型，電子處于基態(tài)時的運動軌道半徑為0.529×10-10m。請問，根據(jù)海森伯的不確定原理，這一模型現(xiàn)實嗎？解

假設(shè)沿半徑方向動量的不確定量為26例6

一顆質(zhì)量為0.1kg

的子彈,在其運動過程中的某一瞬時，測得位置的不確定量為10–6m。

求子彈速率的不確定量。解由不確定量關(guān)系，得對于子彈而言，位置的不確定量僅為10–6m,而速率的不確定量已大大超過目前測量上的精確度。這一瞬間同時有準確的位置和動量。27例7

波長為600nm的光沿

x

軸正向傳播時,若光的波長的不確定量為1.5×10-4nm,則

x

坐標的不確定量至少為多少？解由不確定量關(guān)系,得

求微分時取正值,這種現(xiàn)象被光的衍射所證明。2815.6波函數(shù)一維定態(tài)薛定諤方程一、波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋

微觀粒子具有波動性，1925年奧地利物理學(xué)家薛定諤首先提出用物質(zhì)波波函數(shù)描述微觀粒子的運動狀態(tài)。

波函數(shù)

量子力學(xué)中用以描述粒子運動狀態(tài)的數(shù)學(xué)表達式。

自由粒子

不受外力場的作用,其動量和能量都不變的粒子。29平面機械波波函數(shù)的復(fù)數(shù)形式類似,自由粒子的物質(zhì)波的波函數(shù)也可表示為利用波函數(shù)也可表示為30式中是待定常數(shù),相當(dāng)于x

處波函數(shù)的復(fù)振幅,反映波函數(shù)隨時間的變化。

物質(zhì)波波函數(shù)是復(fù)數(shù)，它本身并不代表任何可觀測的物理量。波函數(shù)是怎樣描述微觀粒子運動狀態(tài)的？31

1926年德國物理學(xué)家波恩提出了物質(zhì)波的統(tǒng)計解釋：實物粒子的物質(zhì)波是一種概率波,t

時刻粒子在空間r

處附近的體積元dV

中出現(xiàn)的概率dW與該處波函數(shù)絕對值的平方成正比。式中是波函數(shù)的共軛復(fù)數(shù)。

波函數(shù)絕對值平方代表t

時刻，粒子在空間r

處的單位體積中出現(xiàn)的概率，又稱概率密度，這是波函數(shù)的物理意義。物質(zhì)波又稱概率波。32

在空間某處波函數(shù)的二次方跟粒子在該處出現(xiàn)的概率成正比。如果在空間某處的值越大，粒子出現(xiàn)在該處的概率也越大;的值越小，則粒子出現(xiàn)在該處的概率就越小。無論如何小，只要不為零，粒子總有可能出現(xiàn)在該處。電子雙縫干涉圖樣單個粒子的出現(xiàn)是偶然事件,大量粒子的分布有確定的統(tǒng)計規(guī)律。33注意（2）歸一化條件

（3）概率密度在任一處都是唯一、有限的,并在整個空間內(nèi)連續(xù)。粒子在整個空間出現(xiàn)的概率為1。（1）t

時刻,粒子在r

處dV

內(nèi)出現(xiàn)的概率34二、薛定諤方程

1926年薛定諤提出了適用于低速情況下的,描述微觀粒子在外力場中運動的微分方程，稱為薛定諤方程。

薛定諤方程是量子力學(xué)的基本方程，是關(guān)于r

和t

的線性偏微分方程。其中，V=V(r,t)是粒子的勢能。35

粒子在穩(wěn)定力場中運動，勢能V

、能量E

不隨時間變化，粒子處于定態(tài)，波函數(shù)寫為定態(tài)薛定諤方程若粒子在一維空間運動，則36

在微觀粒子的各種定態(tài)問題中，將勢能函數(shù)V(r)

的具體形式如，氫原子中的電子一維線性諧振子

代入薛定諤方程,可以求得定態(tài)波函數(shù),同時也就確定了概率密度的分布以及能量和角動量等。37討論波函數(shù)的合理解應(yīng)滿足條件：38三、一維無限深勢阱中的粒子設(shè)粒子沿x

軸作一維運動，勢能函數(shù)為oaxV(x)∞∞勢能曲線

束縛于金屬內(nèi)的自由電子只能在金屬內(nèi)運動，而不能逃逸出金屬表面，可以近似地認為金屬內(nèi)的自由電子在一維無限深勢阱內(nèi)運動。39薛定諤方程令則方程通解利用邊界條件x=0，,則