二次函數(shù)與一元二次方程 市賽獲獎(jiǎng)

課題：§22.2二次函數(shù)與一元二次方程

順昌一中劉愛鳳內(nèi)容分析1、課標(biāo)要求

使學(xué)生了解一元二次方程的根的幾何意義（拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)），知道拋物線與x軸的三種位置關(guān)系對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況，會(huì)利用二次函數(shù)圖象求一元二次方程的近似解

。2、教材分析

知識(shí)層面：本節(jié)課是人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)第二十二章第二節(jié)內(nèi)容，是學(xué)生已經(jīng)學(xué)過“函數(shù)”“一次函數(shù)”“一次函數(shù)與一元一次方程、不等式”“二次函數(shù)”“二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)”等內(nèi)容，經(jīng)歷了探究一次函數(shù)圖象，經(jīng)歷了探究一次函數(shù)與一次方程，不等式的關(guān)系，為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定了知識(shí)基礎(chǔ)，這節(jié)將由一次函數(shù)、一次方程一次不等式提升為二次函數(shù)二次不等式，所得知識(shí)再次貼近生活，更具有應(yīng)用性，思維跨度較大，符合“數(shù)學(xué)有由淺入深，由易到難”的發(fā)展原則。內(nèi)容分析

能力層面：學(xué)生經(jīng)歷了探究一次函數(shù)與一次方程，不等式的關(guān)系探究，已具有一定數(shù)與形的轉(zhuǎn)化初步思想，已具備用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程和不等式的學(xué)習(xí)能力，本節(jié)課第二次學(xué)習(xí)函數(shù)與方程的聯(lián)系，特別是從數(shù)上看二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的函數(shù)值為零時(shí)對(duì)應(yīng)自變量x的值就是方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的解，讓學(xué)生不斷體會(huì)數(shù)形結(jié)合，使數(shù)學(xué)、思想、方法、知識(shí)，技能融于一體，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力具有奠基和示范啟迪作用。內(nèi)容分析

鑒于以上分析，我選擇二次函數(shù)與一元二次方程作為培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想能力的一個(gè)關(guān)鍵教學(xué)內(nèi)容。

綜上所述，本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是：理解二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系。

思想層面：從知識(shí)建構(gòu)的層面看，在八年級(jí)下一次函數(shù)與一次方程、不等式的聯(lián)系之后學(xué)二次函數(shù)與二次方程的學(xué)習(xí)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的探索推導(dǎo)過程蘊(yùn)含數(shù)學(xué)歸納類比思想，由此看來，在思想層面上，一次函數(shù)與一次方程的學(xué)習(xí)對(duì)二次函數(shù)與二次方程的學(xué)習(xí)產(chǎn)生了正向的影響，同時(shí)也為高中新函數(shù)與方程的學(xué)習(xí)提供類比方法，打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)數(shù)學(xué)知識(shí)層面：會(huì)從函數(shù)的角度看一元二次方程實(shí)際上是已知二次函數(shù)圖象上的縱坐標(biāo)求其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)，用函數(shù)圖象的觀點(diǎn)看不等式，需要把不等式的解集看成圖象上縱坐標(biāo)的值在一定范圍內(nèi)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的值的集合，而且為學(xué)習(xí)下一節(jié)實(shí)際問題與二次函數(shù)內(nèi)容奠定了基礎(chǔ)。

教學(xué)目標(biāo)數(shù)學(xué)能力層面：通過探索出二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的聯(lián)系過程，使學(xué)生的分析與歸納能力得到提高，并引導(dǎo)學(xué)生由數(shù)形結(jié)合的角度觀察問題，分析問題，并會(huì)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言描述歸納拋物線與x軸交點(diǎn)情況與一元二次方程的判別式的關(guān)系，對(duì)學(xué)生綜合解題能力的提高有很大幫助。

教學(xué)目標(biāo)數(shù)學(xué)思想層面：

由熟悉的一次函數(shù)，一次函數(shù)與一元方程、不等式關(guān)系的學(xué)習(xí)，到二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系的問題解決，滲透類比思想，經(jīng)歷用函數(shù)圖象求方程和不等式的解或解集的過程，進(jìn)一步體會(huì)“以形表示數(shù)，以數(shù)釋形”的數(shù)形結(jié)合思想及函數(shù)與方程的思想。

教學(xué)策略1、讓學(xué)生經(jīng)歷“復(fù)習(xí)——對(duì)比——探究——提升——應(yīng)用”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，啟發(fā)學(xué)生從熟悉的知識(shí)入手，通過類比，轉(zhuǎn)化，驗(yàn)證新的知識(shí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中積累了一定的探索與推理的經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的推理能力?！皬?fù)習(xí)——對(duì)比——探究——提升——應(yīng)用”2、通過自主探究與合作交流的學(xué)習(xí)方式，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，并用數(shù)形結(jié)合化難為易，讓學(xué)生在具體問題的解決過程中體會(huì)成功的喜悅。

教學(xué)過程溫故知新類比探究

遷移應(yīng)用

回顧反思

課后反饋

成效評(píng)價(jià)xy溫故知新

復(fù)習(xí)：

問題1、如圖，一次函數(shù)y=2x+1，當(dāng)x為何值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：（1）y等于0?（2）y等于3?（3）y大于0?（4）y小于0?y=0x=-0.5y=2x+1y=3x=1x>-0.5x<-0.5追問：能用函數(shù)的觀點(diǎn)，從數(shù)和形兩個(gè)角度說說你對(duì)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的聯(lián)系嗎？溫故知新師生互動(dòng)：從數(shù)的角度看:（1）相當(dāng)于求一元一次方程2x+1=0的解,（2）相當(dāng)于求一元一次方程2x+1=3的解。（3）相當(dāng)于求一元一次不等式2x+1>0的解,（4）相當(dāng)于求一元一次不等式2x+1<0的解。溫故知新從形的角度看:（1）相當(dāng)于函數(shù)y=2x+1的圖象上函數(shù)值y為0時(shí)求對(duì)應(yīng)自變量x的值。（2）相當(dāng)于函數(shù)y=2x+1的圖象上，函數(shù)值y為3時(shí)求對(duì)應(yīng)自變量x的值。（3）相當(dāng)于求圖象在x軸上方部分對(duì)應(yīng)自變量x的范圍。（4）相當(dāng)于求圖象在x軸下方部分對(duì)應(yīng)自變量x的范圍。設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)回顧一次函數(shù)與一次方程，一元一次不等式之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)解釋方程和不等式的解或解集的意義，研究幫助學(xué)生體會(huì)函數(shù)，方程，不等式的聯(lián)系，為今天自主研究二次函數(shù)，方程，不等式的聯(lián)系做鋪墊，形象化的對(duì)照，滲透類比思想。類比探究問題2、解下列方程，他們有什么共同特點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)這三個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？（1）x2-4x+3=0（2）x2-4x+3=3（3）x2-4x+3=8師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：解這三個(gè)方程就是求函數(shù)

y=x2-4x+3=0函數(shù)值分別為0,3,8時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的量的值，如右圖：0134xy類比探究師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出：一般地，一元二次方程ax2+bx+c=m(a、b、c、m為常數(shù)，a≠0)的解就是當(dāng)函數(shù)y=ax2+bx+c的函數(shù)值為m時(shí)的自變量的值。設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)形結(jié)合的方法，建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，并培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)表達(dá)的意識(shí)和歸納總結(jié)的能力。追問：能把得到的結(jié)論推廣成一般情況嗎？類比探究問題3：解下列方程，它們有什么共同特點(diǎn)，你能從函數(shù)的角度對(duì)這三個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？（1）x2+x-2=0（2）x2-6x+9=0（3）x2-x+1=0師生互動(dòng)：

教師引導(dǎo)學(xué)生得出：解這三個(gè)方程就是求對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=x2+x-2,y=x2-6x+9,y=x2-x+1的函數(shù)值為0時(shí)對(duì)應(yīng)自變量的值，如右圖：y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1xy0類比探究追問1：從形上看:

方程（1）兩個(gè)不等的解就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=x2+x-2與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

方程（2）兩個(gè)相等解就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=x2-6x+9與x軸交點(diǎn)只有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

方程（3）無解就是對(duì)應(yīng)二次函數(shù)y=x2-x+1與x軸無交點(diǎn)類比探究追問2:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交點(diǎn)情況與一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情況有何聯(lián)系？師生互動(dòng)：教師引導(dǎo)下得出：①如果一元二次方程有兩不等實(shí)根，即△＞0，那么相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)。②如果一元二次方程有兩相等實(shí)根，即△=0，那么相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)（頂點(diǎn)落在x軸）。③如果一元二次方程沒有實(shí)根，即△＜0，那么相應(yīng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有公共點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：建立二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，滲透函數(shù)與方程的思想，并使學(xué)生不斷體會(huì)數(shù)形結(jié)合的精妙之處,使數(shù)學(xué)思想，方法，知識(shí)，技能融于一體，使得“數(shù)量關(guān)系”與“空間形式”珠聯(lián)璧合，相映生輝。xy0類比探究問題3、根據(jù)函數(shù)y=x2-x-的圖象，回答下列問題：(1)當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0?當(dāng)x取何值時(shí)y＜0?(2)你能用含有x的不等式來描述（1）中的問題嗎？即：x2-x-＞0的解集是什么？

x2-x-＜0的解集是什么？(3)想一想：二次函數(shù)與一元二次不等式有何關(guān)系？類比探究師生互動(dòng)歸納：讓學(xué)生類比二次函數(shù)與一元二次不等式方程的關(guān)系，討論、交流，達(dá)成共識(shí)：(1)從“形”的方面看:

二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c在x軸上方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x軸下方的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)．即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集。

類比探究(2)從“數(shù)”的方面看：

當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值大于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；當(dāng)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的函數(shù)值小于0時(shí)，相應(yīng)的自變量的值即為一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集；這一結(jié)論反映了二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系。

關(guān)鍵點(diǎn)：先確定二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生討論交流達(dá)成共識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)的意識(shí)和能力，突出數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)，會(huì)用函數(shù)圖象解一元二次不等式，為高中學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。遷移應(yīng)用問題4、如圖，以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h(單位：m)與飛行時(shí)間t(單位：s)之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t-5t2考慮以下問題：(1)小球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？(2)小球的飛行高度能否達(dá)到20m?如果能，需要多少飛行時(shí)間？(3)小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m?為什么？(4)小球從飛出到落地需要用多少時(shí)間？遷移應(yīng)用師生互動(dòng)：在第（1）小題中，一元二次方程有兩個(gè)解，從函數(shù)解析式看，就是自變量取這兩個(gè)值時(shí)函數(shù)值為15，從函數(shù)的圖象看，就是直線h=15與拋物線h=20t-5t2有兩個(gè)公共點(diǎn)。在第（2）小題中，一元二次方程有兩個(gè)相同解，從函數(shù)解析式看，就是自變量取這個(gè)值時(shí)函數(shù)值為20，從函數(shù)的圖象看，就是直線h=20與拋物線h=20t-5t2有一個(gè)公共點(diǎn)。遷移應(yīng)用師生互動(dòng)：在第（3）小題中，一元二次方程無實(shí)數(shù)解，從函數(shù)解析式看，就是自變量取任何實(shí)數(shù)值時(shí)函數(shù)值都不會(huì)為20.5，從函數(shù)的圖象看，就是直線h=20.5與拋物線h=20t-5t2沒有公共點(diǎn)。在第（4）小題中，“落地”就是函數(shù)值為0相應(yīng)方程的解，從函數(shù)的圖象看，就是求x軸與拋物線h=20t-5t2有兩個(gè)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)。設(shè)計(jì)意圖：通過小球飛行問題說明、鞏固二次函數(shù)與一元二次方程的聯(lián)系，幾個(gè)小問題都可以轉(zhuǎn)化為用一元二次方程求解，體現(xiàn)學(xué)以致用的道理。遷移應(yīng)用問題5：利用函數(shù)圖象求方程x2-2x-2=0的實(shí)根（結(jié)果保留小數(shù)后一位）。解：畫出函數(shù)y=x2-2x-2的圖象，如圖，它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大約是-0.7，2.7。所以方程x2-2x-2=0的實(shí)根為x≈-0.7x≈2.7xy設(shè)計(jì)意圖：介紹用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根的方法。成效評(píng)價(jià)1、二次函數(shù)y=-x2-4x+3與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.32、已知二次函數(shù)y=kx2-6x+3的圖象與x軸有交點(diǎn)，則k的取值范圍是（）

A.k＜3B.k＜3且k≠0C.k≤3D.k≤3且k≠0設(shè)計(jì)意圖：考察學(xué)生二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)與一元二次方程的判別式關(guān)系的掌握情況。DD3、無論x為何值，y=ax2+bx+c恒為正的條件是（）

A.a＞0，b2-4ac＞0B.a＜0，b2-4ac＞0C.a＞0，b2-4ac＜0D.a＜0，b2-4ac＜04、拋物線y=ax2+bx+c的部分如圖如圖所示，則當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是_________。5、二次函數(shù)y1=ax2+bx+c和一次函數(shù)y2=kx(k≠0)的圖象交于原點(diǎn)和點(diǎn)A，當(dāng)y1＜y2時(shí)，對(duì)應(yīng)的x的取值范圍是________。-3-101xyy1y2xy0設(shè)計(jì)意圖：考察學(xué)生二次函數(shù)與一元二次不等式（組）的關(guān)系掌握情況，以及數(shù)形結(jié)合思想。成效評(píng)價(jià)C-1<x<3x<-3或x>06、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：xy0設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生二次函數(shù)與方程、不等式的關(guān)系掌握情況，及綜合分析能力。成效評(píng)價(jià)(1).寫出方程ax2+bx+c=0的兩根；(2).寫出不等式ax2+bx+c＞0的解集；答：x1=1，x2=3。(3).若方程ax2+bx+c=k有兩個(gè)不等的實(shí)根，求