2023屆甘肅省民樂縣高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2023年高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

22

1.已知雙曲線毛-與=1（4>0/>0）的左右焦點(diǎn)分別為耳（-c,0）,E,（c,0）,以線段耳風(fēng)為直徑的圓與雙曲線在第

CTb-

（cYh2

二象限的交點(diǎn)為P,若直線P片與圓E:x—￡+：/=￡_相切，則雙曲線的漸近線方程是（）

、2J16

A.y=±xB.y=±2xC.y=D.y=±y/2x

2.若函數(shù)〃力=卜2—如+2"'（e=2.71828…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）在區(qū)間［1,2］上不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值

范圍是（）

3.已知函數(shù)“X）的定義域?yàn)椋?,+8）,且2/a.2〃"）=4零，當(dāng)。<%<1時(shí)，〃x）<°?若"4）=2,則函數(shù)“X）

在［1,16］上的最大值為（）

A.4B.6C.3D.8

4.已知三棱錐P-ABC中，。為AB的中點(diǎn)，POL平面ABC,NAPB=90°,PA=PB=2,則有下列四個(gè)結(jié)

論：①若。為ABC的外心，則PC=2；②ABC若為等邊三角形，則APLBC；③當(dāng)NAC8=90°時(shí)，PC與

平面Q鉆所成的角的范圍為（0，：；④當(dāng)PC=4時(shí)，M為平面P8C內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若。M〃平面PAC,則/在PBC

內(nèi)軌跡的長度為1.其中正確的個(gè)數(shù)是（）.

A.1B.1C.3D.4

5.在精準(zhǔn)扶貧工作中，有6名男干部、5名女干部，從中選出2名男干部、1名女干部組成一個(gè)扶貧小組分到某村工

作，則不同的選法共有（）

A.60種B.70種C.75種D.150種

6.在“一帶一路”知識(shí)測(cè)驗(yàn)后，甲、乙、丙三人對(duì)成績進(jìn)行預(yù)測(cè).

甲：我的成績比乙高.

乙：丙的成績比我和甲的都高.

丙：我的成績比乙高.

成績公布后，三人成績互不相同且只有一個(gè)人預(yù)測(cè)正確，那么三人按成績由高到低的次序?yàn)?/p>

A.甲、乙、丙B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲D.甲、丙、乙

7.若（Y+a）］——1］的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-12,則實(shí)數(shù)，，的值為（）

A.-2B.-3C.2D.3

8.以下兩個(gè)圖表是2019年初的4個(gè)月我國四大城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（上一年同月=100）變化圖表，則以下說

法錯(cuò)誤的是（）

圖表一圖表二

（注：圖表一每個(gè)城市的條形圖從左到右依次是1、2、3、4月份；圖表二每個(gè)月份的條形圖從左到右四個(gè)城市依次是

北京、天津、上海、重慶）

A.3月份四個(gè)城市之間的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)與其它月份相比增長幅度較為平均

B.4月份僅有三個(gè)城市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)超過102

C.四個(gè)月的數(shù)據(jù)顯示北京市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)增長幅度波動(dòng)較小

D.僅有天津市從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長呈上升趨勢(shì)

9.設(shè)i為虛數(shù)單位，z為復(fù)數(shù)，若且+1?為實(shí)數(shù)〃z,則加=（）

-1B.0C.1D.2

等比數(shù)列{?！皚,若%=4,%5=9則%=()

13

士6B.6C.-6D.—

2

11.已知函數(shù)/(x)=x3+asinx,xeR,若/(-1)=2,則〃1)的值等于()

A.2B.-2C.1+〃D.\-a

5+ai

12.設(shè)i是虛數(shù)單位，aeR,.=3-2/,貝！|。=()

a+i

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，半圓的直徑AB=6,O為圓心，C為半圓上不同于A、B的任意一點(diǎn)，若P為半徑OC上的動(dòng)點(diǎn)，則

（PA+PB）-PC的最小值為.

14.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，已知圓C:f+（y—1）2=1,圓c：（x+2G＞+y2=6.直線/：y=丘+3與圓C相切,

且與圓C相交于A,B兩點(diǎn),則弦A8的長為

22

15.已知片，居為雙曲線C:1-二=1（。＞0力＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)月作直線/與圓/+；/=片相切于點(diǎn)A,且

a

與雙曲線的右支相交于點(diǎn)3,若A是B片上的一個(gè)靠近點(diǎn)耳的三等分點(diǎn)，且忸6|=10,則四邊形AO/y?的面積為

冗

16.已知AABC內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為“，b,c.。=4,b=R,A=§則cos2B=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=2gsinxcosx-2cos?x+l.

（1）求函數(shù)/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,若滿足/（B）=2,a=8,c=5,求cosA.

18.（12分）如圖，在正三棱柱ABC—AUG中，AB=AA]=2,E，F(xiàn)分別為AB，gG的中點(diǎn).

（1）求證：4E//平面AC尸；

（2）求平面CEB、與平面ACF所成二面角（銳角）的余弦值.

19.(12分)已知函數(shù)f(x)=2*,g(x)=f+2ac.

(D當(dāng)a=—l時(shí),求函數(shù)y=/(g(x))(—2羽k3)的值域.

f(x),x..h、/7

(2)設(shè)函數(shù)〃(x)=，：，，若必>0,且〃(X)的最小值為注，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

g(x),x<b2

20.(12分)已知數(shù)列｛%｝中，4=1,前〃項(xiàng)和為S“，若對(duì)任意的〃wN*,均有S,=a,“T(k是常數(shù),且左eN*)

成立,則稱數(shù)列也｝為““(攵)數(shù)列”.

(1)若數(shù)列｛《,｝為""(1)數(shù)列“，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,；

(2)若數(shù)列｛6,｝為“"⑵數(shù)列”，且生為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列｛4｝,使得卜“2-4”用卜40對(duì)任意心2,

〃eN*成立？如果存在，求出這樣數(shù)列｛4｝的生的所有可能值，如果不存在，請(qǐng)說明理由.

21.(12分)如圖1,在等腰梯形A666中，兩腰A6=86=2,底邊AB=6,"工=4,D,。是45的三等

分點(diǎn)，E是與尸2的中點(diǎn)?分別沿CE,將四邊形BCE片和AOEF2折起，使月，F(xiàn)2重合于點(diǎn)尸，得到如圖2所示

(1)證明：MNA.^ABCD.

(2)求直線GV與平面AB尸所成角的正弦值.

22.(10分)某網(wǎng)絡(luò)商城在2019年1月1日開展“慶元旦”活動(dòng)，當(dāng)天各店鋪銷售額破十億，為了提高各店鋪銷售的積

極性，采用搖號(hào)抽獎(jiǎng)的方式，抽取了4()家店鋪進(jìn)行紅包獎(jiǎng)勵(lì).如圖是抽取的4()家店鋪元旦當(dāng)天的銷售額(單位：千元)

的頻率分布直方圖.

(1)求抽取的這4()家店鋪，元旦當(dāng)天銷售額的平均值;

(2)估計(jì)抽取的40家店鋪中元旦當(dāng)天銷售額不低于4000元的有多少家；

(3)為了了解抽取的各店鋪的銷售方案，銷售額在［0,2)和［8,10］的店鋪中共抽取兩家店鋪進(jìn)行銷售研究，求抽取的

店鋪銷售額在［0,2)中的個(gè)數(shù)，的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

(,h2F?El

先設(shè)直線夕工與圓E:+9=L相切于點(diǎn)加，根據(jù)題意，得到EM//P6,再由苗7=1，根據(jù)勾股定理

I2J16上2卜i4

求出匕=2。，從而可得漸近線方程.

【詳解】

設(shè)直線「外與圓—+y2=：^相切于點(diǎn)”，

因?yàn)锳P耳尸2是以圓。的直徑耳名為斜邊的圓內(nèi)接三角形，所以N"PK=9(),

又因?yàn)閳AE與直線「鳥的切點(diǎn)為M，所以EM//PG，

RE1..h

又就="所以網(wǎng)|=41*

因此|產(chǎn)用=2+》,

因此有b2+(la+b)2=4c2,

所以A=2a,因此漸近線的方程為y=±2x.

故選B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查雙曲線的漸近線方程，熟記雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.

2.B

【解析】

求得了(X)的導(dǎo)函數(shù)/,(X),由此構(gòu)造函數(shù)g(x)=X2+(2-m)x+2-m,根據(jù)題意可知g(x)在(1,2)上有變號(hào)零點(diǎn).

由此令g(x)=O,利用分離常數(shù)法結(jié)合換元法，求得加的取值范圍.

【詳解】

/'(x)=e*［x2+{2-m)x+2-rn\i,

設(shè)g(x)=Jt-［2—m)x+2—m,

要使在區(qū)間［1,2］上不是單調(diào)函數(shù)，

即g(x)在(1,2)上有變號(hào)零點(diǎn)，令g(x)=O,

貝!jx?+2x+2=m(x+l),

令r=x+lw(2,3),則問題即/〃=，+1在/?2,3)上有零點(diǎn)，由于r+1在(2,3)上遞增，所以，”的取值范圍是

盟.’‘

故選：B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查方程零點(diǎn)問題的求解策略，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于

中檔題.

3.A

【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)嘉運(yùn)算，可得(：)+/(〃)=”加)；利用定義可證明函數(shù)/(力的單調(diào)

性，由賦值法即可求得函數(shù)/(X)在［1,16］上的最大值.

【詳解】

函數(shù)/(%)的定義域?yàn)?。,+力)，且2尼).2小)=4零，

則

任取與,赴W(0,+?),且不＜々，貝|］0＜立＜1,

X?

/\

故/工＜0,

\X2J

令"2=%,n=x2,則/—+/（々）=/（X），

即/（%）-/（尤2）=/-<0.

故函數(shù)/（X）在（（）,+。）上單調(diào)遞增,

故/（力皿=〃16）,

令加=16,九=4,

故/（4）+/（4）=/。6）=4,

故函數(shù)f（x）在［1,16］上的最大值為4.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)塞的運(yùn)算及化簡(jiǎn)，利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于中檔題.

4.C

【解析】

由線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理可判斷①正確；反證法由線面垂直的判斷和性質(zhì)可判斷②錯(cuò)誤;由線面角的定義和轉(zhuǎn)

化為三棱錐的體積，求得C到平面PAB的距離的范圍，可判斷③正確;由面面平行的性質(zhì)定理可得線面平行,可得④正確.

【詳解】

畫出圖形：

若。為AHC的外心，則。4=O8=OC=&，

「。_1平面48。,可得尸0，。。,即PC=dPCf+OC?=2,①正確;

.ABC若為等邊三角形，AP1BC,又APLPB

可得平面PBC,即APJ_PC,由PO_LOC可得

PC=ylPCr+OC-=V2+6=2V2=AC>矛盾，②錯(cuò)誤；

若NACB=90。，設(shè)PC與平面Q46所成角為。

可得OC=OA=08=&,PC=2,

設(shè)C到平面Q鉆的距離為d

由VjPAB~^P-ABC可得

-d--2-2^--s/2--AC-BC

3232

即有ACBC=2y[2d?一一=4,當(dāng)且僅當(dāng)AC=3C=2取等號(hào).

2

可得d的最大值為0,sin0=-?—

22

即。的范圍為(0,(,③正確；

取8C中點(diǎn)N,/歸的中點(diǎn)K,連接。K,ON,KN

由中位線定理可得平面OKN//平面PAC

可得M在線段MV上，而KN=LPC=2,可得④正確；

2

所以正確的是：①③④

故選：C

【點(diǎn)睛】

此題考查立體幾何中與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題的真假判斷，處理這類問題，可以用已知的定理或性質(zhì)來證明,

也可以用反證法來說明命題的不成立.屬于一般性題目.

5.C

【解析】

根據(jù)題意，分別計(jì)算“從6名男干部中選出2名男干部”和“從5名女干部中選出1名女干部”的取法數(shù)，由分步計(jì)數(shù)原

理計(jì)算可得答案.

【詳解】

解：根據(jù)題意，從6名男干部中選出2名男干部，有C；=15種取法，

從5名女干部中選出1名女干部，有C；=5種取法，

則有15x5=75種不同的選法

故選：c.

【點(diǎn)睛】

本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理問題，屬于基礎(chǔ)題.

6.A

【解析】

利用逐一驗(yàn)證的方法進(jìn)行求解.

【詳解】

若甲預(yù)測(cè)正確，則乙、丙預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，則甲比乙成績高，丙比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲，乙，丙；若乙

預(yù)測(cè)正確，則丙預(yù)測(cè)也正確，不符合題意；若丙預(yù)測(cè)正確，則甲必預(yù)測(cè)錯(cuò)誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙

比甲，乙成績都高，即乙預(yù)測(cè)正確，不符合題意，故選A.

【點(diǎn)睛】

本題將數(shù)學(xué)知識(shí)與時(shí)政結(jié)合，主要考查推理判斷能力.題目有一定難度，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.

7.C

【解析】

先研究上-1的展開式的通項(xiàng)，再分(丁+為中，取/和a兩種情況求解.

【詳解】

因?yàn)椋?一］的展開式的通項(xiàng)為1+1=(-1)'G/-5,

(X)

所以(丁+4(!一11的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：x2(-l)3Cjx-2+?C^(-l)=-10-?=-12,

解得＜7=2,

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

采用逐一驗(yàn)證法，根據(jù)圖表，可得結(jié)果.

【詳解】

A正確，從圖表二可知，

3月份四個(gè)城市的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

B正確，從圖表二可知，

4月份只有北京市居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)低于102

C正確，從圖表一中可知，

只有北京市4個(gè)月的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)相差不大

D錯(cuò)誤，從圖表一可知

上海市也是從年初開始居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)的增長呈上升趨勢(shì)

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查圖表的認(rèn)識(shí)，審清題意，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.

9.B

【解析】

|z|a+(yla2+b2-b\i,______

可設(shè)z=a+4(aSeR),將□化簡(jiǎn)，得到I/,由復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，可得而壽-b=0,解方程即

zy/a2+b2

可求解

【詳解】

設(shè)z=a+4(a^cR),則目+/=&$+/=揚(yáng)+/-初)+.="+(，，+〃一".

za+bia2+b2yja2+b2

由題意有\(zhòng)]a。+/?'-b=0=><7=0,所以加=0.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的模長、除法運(yùn)算，由復(fù)數(shù)的類型求解對(duì)應(yīng)參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題

10.B

【解析】

根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)代入可得解，由等比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)確定值即可.

【詳解】

由等比數(shù)列中等比中項(xiàng)性質(zhì)可知，a3-ai5^a^,

所以為=土他=±^36=±6,

而由等比數(shù)列性質(zhì)可知奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)相同，所以佝=6,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等比數(shù)列中等比中項(xiàng)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，注意項(xiàng)的符號(hào)特征，屬于基礎(chǔ)題.

11.B

【解析】

由函數(shù)的奇偶性可得，/(1)=-/(-1)=-2

【詳解】

V/(x)=x3+asinx

其中=/為奇函數(shù)，f(x)=asinx也為奇函數(shù)

，/(x)=g(x)+r(x)也為奇函數(shù)

/./(I)=-/(-!)=-2

故選：B

【點(diǎn)睛】

函數(shù)奇偶性的運(yùn)用即得結(jié)果，小記，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)有：①奇函數(shù)土奇函數(shù)=奇函數(shù)；②奇函數(shù)x奇函數(shù)=偶函數(shù);

③奇函數(shù)+奇函數(shù)=偶函數(shù)；④偶函數(shù)土偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑤偶函數(shù)x偶函數(shù)=偶函數(shù)；⑥奇函數(shù)x偶函數(shù)=奇函數(shù)；⑦奇函

數(shù)+偶函數(shù)=奇函數(shù)

12.C

【解析】

由三里=3—21，可得5+出=(?+/)(3-2z)=3a+2+(3—2a)i,通過等號(hào)左右實(shí)部和虛部分別相等即可求出a的

a+i

值.

【詳解】

解：l±￡￡=3—2i,.?.5+ai=(a+i)(3-2i)=紜+2+(3—2a)i

a+i

5—3a+2

，解得：a=\.

3-2a-a

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對(duì)于復(fù)數(shù)的運(yùn)算類問題，易錯(cuò)點(diǎn)是把i2當(dāng)成1進(jìn)行運(yùn)算.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

【解析】

--FT

PA+PByPC=2POPC=-2\PO^PC\

14.V15

【解析】

利用直線與圓相切求出斜率得到直線的方程，幾何法求出

【詳解】

解：直線/：丫="+3與圓C相切，C圓心為(0,1)

由rr\—-=1，得k=5/3或一G，

7k+1

1-6-319r-

當(dāng)y=-百工+3時(shí)，C到直線的距離旨=萬＞卡，不成立,

當(dāng)丁二氐+3時(shí)，/與圓C相交于A,B兩點(diǎn),C到直線的距離〃=寨;53,2臼6―后

2

故答案為岳.

【點(diǎn)睛】

考查直線與圓的位置關(guān)系，相切和相交問題，屬于中檔題.

15.60

【解析】

根據(jù)題中給的信息與雙曲線的定義可求得怛制=3可耳片=2c與忸聞=3b-2a，再在△8￡鳥中，由余弦定理求解得

b3

一=彳,繼而得到各邊的長度，再根據(jù)S配曲呢8=SAOB+SKOB計(jì)算求解即可.

a2

【詳解】

如圖所示：設(shè)雙曲線C的半焦距為c.

因?yàn)椤?1=a,AF}VOA,\OFt\=c,所以由勾股定理，得|=業(yè)-〃=h.

所以COSNAF；O=2.

C

因?yàn)锳是上一個(gè)靠近點(diǎn)”的三等分點(diǎn)，。是6,F2的中點(diǎn)，所以忸娟=3叫耳聞=2c.

由雙曲線的定義可知：怛用一忸閭=2a,所以怛聞=3/2—2a.

在ABF、F2中油余弦定理可得忸用之=9〃+4c2—2x3。x2cxcosZAFtO

=9/+4/_2x3bx2cx2=4c2-3",所以(3b-2“=4c2-3吐整理可得-=

ca2

353

所以忸閭=3/?—2々=3乂萬4—2〃=]〃=10，解得Q=4.所以6=5a=6.

則c="7^=2jH?則cosNA《O=:Z?=云6厄=芯3，得sin/A《O=芯2.

236

則F2OB的底邊0居上的高為％=忸用sinZAFtO=18x-==-^=.

713v13

所以S四邊形=SAOB+5.尸2。8=^\AB\\AO\+^\OF2\h

故答案為：60

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了雙曲線中利用定義與余弦定理求解線段長度與面積的方法，需要根據(jù)雙曲線的定義表示各邊的長度，再

在合適的三角形里面利用余弦定理求得基本量a/,c的關(guān)系.屬于難題.

【解析】

利用正弦定理求得角3,再利用二倍角的余弦公式，即可求解.

【詳解】

4_V6

由正弦定理得正一sin6,

T

,3>/2m18_7

sinBn=----->cos2B=1—2ox—=—.

86416

…7

故答案為：—.

16

【點(diǎn)睛】

本題考查了正弦定理求角，三角恒等變換，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

7T.7Tj.—1

17.(1)---FKZT,--FKTC,kWZ；(2)一

637

【解析】

(1)化簡(jiǎn)得至ij/(x)=2sin[2x—?TTTTJT

9取----F2ATT<2x--<—卜2kjr,k三Z,解得答案.

262

TT

(2)/(5)=2sinl=2,解得8=§,根據(jù)余弦定理得到b=7,再用一次余弦定理解得答案.

【詳解】

(1)/(x)=2\/3sinxcosx-2cos2x+1=Gsin2x—cos2x=2sin[2x—.

jr4-Jr冗冗

取一一+2k7T<2x——<—+2k7r,keZ,解得——+攵肛一十攵乃,keZ.

26263

(2)/⑻=2sin(2B_?)=2,

因?yàn)??0,萬),:.26-gej—J,)],故28—工=工，B=~.

6166)623

根據(jù)余弦定理：/=儲(chǔ)十。2-2QCCOS3=49，b=7.

.92D

Zr+c52+72-821

cosA==

2bc2x5x7-7

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)單調(diào)性，余弦定理，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.

18.(1)證明見詳解；(2)乂逆.

19

【解析】

(1)取AC中點(diǎn)為通過證明月W〃4E,進(jìn)而證明線面平行；

(2)取BC中點(diǎn)為。，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量，用向量法解得二面角的大小.

【詳解】

(D證明：取AC的中點(diǎn)連結(jié)EM,FM,如下圖所示：

在AABC中，因?yàn)镋為48的中點(diǎn)，

:.EM//BC,且EM」BC,

2

又尸為的中點(diǎn),BCJ/BC,

：.B.F//BC,且=

EM//BtF,且=

四邊形EMFB］為平行四邊形，；.B.EHFM

又MFu平面ACF,BE(Z平面ACF,

??.4后〃平面4。尸，即證.

(2)取8c中點(diǎn)。，連結(jié)AO,OF,則OFJ_平面ABC,

以。為原點(diǎn)，分別以O(shè)B,AO,OF為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則A8,—后0),8(1，°，°)，C(-l,0,0),E-,-^-,0,—0,0,2),(1,0,2)

CE=一~—,0,CF=(1,0,2),CA=(1,-"0),西=(2,0,2)

設(shè)平面CE4的一個(gè)法向量加=(x,y,z),

m?CE=O

則

mCB、-0

令x=l.則加

?V31

同理得平面ACF的一個(gè)法向量為〃■———

’3'2

7

m?n286

則cos(防㈤寒

p?||m|19

故平面CEg與平面ACE所成二面角(銳角)的余弦值為Y迦.

19

【點(diǎn)睛】

本題考查由線線平行推證線面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，屬綜合中檔題.

19.(1)；，256］；(2)

【解析】

(1)令〃=/一2乂曠=2",求出”的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論;

(2)對(duì)。分類討論，分別求出f(x)以及g(x)的最小值或范圍，與〃(x)的最小值正建立方程關(guān)系，求出力的值，進(jìn)

2

而求出”的取值關(guān)系.

【詳解】

(D當(dāng)。=-1時(shí)，/(g(x))=2，-2，(_2^*3)，

令〃=J_2x,y=2J

VXG[-2,3]A//G[-1,8],

而y=2〃是增函數(shù)，張*256,

二函數(shù)的值域是；,256.

(2)當(dāng)。>0時(shí)，則b>0,g(x)在(-co,一。)上單調(diào)遞減,

在(一。3)上單調(diào)遞增，所以g(x)的最小值為g(-a)=-/<o,

/(X)在[d+8)上單調(diào)遞增，最小值為2">2°=1，

而的最小值為也，所以這種情況不可能.

2

當(dāng)a<0時(shí)，則b<0,g(X)在(HO,b)上單調(diào)遞減且沒有最小值，

/(x)在g,+8)上單調(diào)遞增最小值為2J

所以〃(幻的最小值為2〃=也，解得匕=-,(滿足題意)，

22

所以g(8)=g|一不卜1一。../--=—,解得怎一--

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是一8,1-

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.

20.(1)S“=2"—l(2)存在，/=0，±1，±2，±3,±4,±5,—6

【解析】

(1)由數(shù)列伍"｝為““⑴數(shù)列”可得,Sn=an+l-1,5?_,=>2),兩式相減得an+]=2%,(n22),又％=2=2q,

利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可求出a?，進(jìn)而求出S,；

⑵由題意得，S.=4+2-2,S?_,=a?+1-2(n>2),兩式相減得，??+2=??+1+??,(n>2),

據(jù)此可得，當(dāng)〃23時(shí),一a,,*=%(%+i一4)一a,：=%%一%2，進(jìn)而可得

2

|4+；-?A+2|=|??-%%|，(n23)，即數(shù)列｛,,「-an+lan_,|)為常數(shù)列，進(jìn)而可得\a,^-an+lan_｝\=\a^-a2a4|,(n>3),

2

結(jié)合%=%+外,得到關(guān)于a2的不等式,再由〃=2時(shí)|a2-=|%2-j<40,且生為整數(shù)即可求出符合題意的4

的所有值.

【詳解】

(1)因?yàn)閿?shù)列｛4｝為“"⑴數(shù)列”，

所以S.=4+|-1,故S“_|=??-l(n>2),

兩式相減得a.+i=2a”(n>2),

在S“=a"+!—1中令〃=1,則可得a?=2,故g=2q

所以,=2,(〃eN*,n>1),

所以數(shù)列僅,｝是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，

所以。，=2"，因?yàn)镾"=4M—1,

所以S“=2"-1.

（2）由題意得S“=。.一？,故S,T=%+「2（nN2）,

兩式相減得4+2=+4，S22）

所以,當(dāng)"N2時(shí),<i-4%+2=an（%+4）=4+1（。向-可）-

又因?yàn)閍“+i-a“=41T,（nN3）

所以當(dāng)〃23時(shí),-q％+2=%（%+「%）—a；=%+Ei-

所以|1—a”a”+21=|一11，323）成立，

所以當(dāng)〃23時(shí)，數(shù)列｛,『一".Mi|）是常數(shù)列，

所以|a：-|=|片-%%|，（n23）

因?yàn)楫?dāng)〃=2時(shí),%=a“+i+an成立，

所以%=%+4，

所以,“2-a,+￡i|=,32一名生一%21，(n23)

在S”=4+2-2中令〃=1,

因?yàn)?=1,所以可得4=3,

所以|9一3出一%2歸40,

由〃=2時(shí)|《2-?14|=|?22-3|?40,且生為整數(shù)，

可得。2=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6,

把4=0,±1,±2,±3,±4,±5,±6分別代入不等式|9_3%―生21土40

可得,4=0,±1,±2,±3,±4,±5,-6,

所以存在數(shù)列｛q｝符合題意,生的所有值為4=0，士1，±2,±3,±4,±5,-6.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列遞推公式的運(yùn)用;考查運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力和對(duì)新定義的

理解能力;通過反復(fù)利用遞推公式，得到數(shù)列｛|??2為常數(shù)列是求解本題的關(guān)鍵;屬于綜合型強(qiáng)、難度大型試題.

6

21.(1)證明見解析(2)注

3

【解析】

(1)先證再證。NLEF,由可得3C_L平面C