2021年四川省自貢市中考數(shù)學(xué)真題（ 含解析）

四川省自貢市初2021屆畢業(yè)學(xué)生考試

數(shù)學(xué)

滿分：150分時(shí)間：120分鐘

本試卷分為第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題兩部分）

第I卷選擇題（共48分）

一.選擇題（共12個(gè)小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.自貢恐龍博物館是世界三大恐龍博物館之一.今年“五一黃金周”共接待游客8.87萬人次，

人數(shù)88700用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.887xlO5B.8.87xl03C.8.87xl04D.88.7xl03

2.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，把展開圖疊成小正方體后，有“迎”字一面的向?qū)γ嫔系淖质?/p>

（）

A.百B.黨C.年D.喜

3.下列運(yùn)算正確的是（）

2223246222

A.5o-4?=1B.（-a/?）=a/?D（a-2b）=a-4b

4.下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（）

00?Q

A.B.C.D

5.如圖，AC是正五邊形ABCDE的對角線，/ACD的度數(shù)是（）

A.72°B.36°C.74°D.88°

CD

6.學(xué)校為了解“陽光體育”活動展開情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生一周參加體育鍛煉時(shí)間，數(shù)

據(jù)如下表所示：

人數(shù)（人）9161411

時(shí)間（小時(shí)）78910

這些學(xué)生一周參加體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9

7.已知/一38-12=0,則代數(shù)式—3/+9%+5的值是（）

A.31B.-31C.41D.-41

8.如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點(diǎn)B,則

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

9.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反

比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

13

A.函數(shù)解析式為/=一B.蓄電池的電壓是18V

R

C.當(dāng)/W10A時(shí)，/?>3.6QD.當(dāng)H=6C時(shí).，/=4A時(shí)

10.如圖，AB為。0的直徑，弦CD_LAB于點(diǎn)F,OEJ_AC于點(diǎn)E,若OE=3,OB=5,則

CD的長度是（）

A.9.6B.46C.5百D.10

11.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,M是AD邊上的一動點(diǎn)，AM：MD=1:2,將△BMA沿

BM對折至△BMN,連接DN,則DN的長是（）

12.如圖，直線y=—2x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)

P作y軸的平行線交直線y=-x+3于點(diǎn)Q,繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，邊PQ掃過區(qū)

域（陰影部分）面積的最大值是（

B.一乃

2

第H卷（非選擇題共102分）

二、填空題（共6個(gè)小題，每小題4分，共24分）

13.請寫出一個(gè)滿足不等式X+嬤＞7的整數(shù)解.

14.某中學(xué)規(guī)定學(xué)生的學(xué)期體育成績滿分為100,其中體育課外活動占30%,期末考試成績

占70%.小彤的這兩項(xiàng)成績依次是90,80.則小彤這學(xué)期的體育成績是.

16.如圖，某學(xué)校“桃李餐廳”把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題.小紅在餐廳就餐時(shí)，思索了一會兒,

輸入密碼，順利地連接到了“桃李餐廳”的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是.

賬號：TaoLiCanTing

5*3舟6=30184?

2*6?7=144256

9*2?.S=451055

桃李餐廳歡迎你!

4*8?Tf碼

17.如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，只用不帶尺度的直尺，作出△ABC角平分

線BD（不寫作法，保留作圖痕跡）

18.當(dāng)自變量一1WxW3時(shí)，函數(shù)（左為常數(shù)）的最小值為％+3,則滿足條件的女

的值為.

三.解答題（共8個(gè)題，共78分）

19.本題滿分（8分）

計(jì)算：V25-|-7|+(2-V3)°.

20.（本題滿分8分）

如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).求證：DE=BF

21.（本題滿分8分）

在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處

的俯角是53。，從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30。，綜合樓高24米.

請你幫小明求出辦公樓的高度（結(jié)果精確到0」，參考數(shù)據(jù)tan37%0.75,tan你。=1.33,,1.73）

22.（本題滿分8分）

隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機(jī)大量進(jìn)入快遞行業(yè)，現(xiàn)有A,B兩種型號的無人

機(jī)都被用來送快遞，A型機(jī)比B型機(jī)平均每小時(shí)多運(yùn)送20件，A型機(jī)運(yùn)送700件所有時(shí)間

與B型機(jī)運(yùn)送500件所用時(shí)間相等，兩種無人機(jī)平均每小時(shí)分別運(yùn)送多少快件？

23.為了弘揚(yáng)愛國主義精神，某校組織了“共和國成就”知識競賽，將成績?yōu)椋篈（優(yōu)秀）、B

（優(yōu)良）、C（合格）、D（不合格）四個(gè)等級.小李隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的競賽成績，繪制成

了如下統(tǒng)計(jì)圖

（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是，請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）已知調(diào)查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準(zhǔn)備隨機(jī)回訪兩位競賽成績不合

格的同學(xué)，請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率；

（3）該校共有2000名學(xué)生，請你估計(jì)該校競賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù).

24.函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函

數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合自己已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫出函

數(shù)丁=-一^?的圖象，并探究其性質(zhì).

X2+4

列表如下：

X-4-3-2-101234

y824a80b-2_24_8

55"13-5

(1)直接寫出表中a,b的值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象;

Qx

(2)觀察函數(shù)了=的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題:

①當(dāng)一2WXW2時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2

③一1cx<1時(shí)，函數(shù)y的值隨x的增大而減小.

其中正確的是(請寫出所有正確命題的番號)

Q

(3)結(jié)合圖象，請直接寫出不等式與r二〉4的解集為.

X2+4

25.(本題滿分12分)

如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的。0上，過D作。0的切線交AB的延長線于點(diǎn)C,AE1CD

于點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)F,連接AD,FD.

(1)求證：ZDAE=ZDAC；

(2)求證：DFAC=ADDC；

(3)若sin/C=L,AD=4而，求EF的長.

4

26.(本題滿分14分)

如圖，拋物線y=(x+l)(x—a)(其中。＞1)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C

(1)直接寫出/OCA的度數(shù)和線段AB的長(用a表示)；

(2)若點(diǎn)D為AABC的外心，且4BCD與^ACO的周長之比為JId:4,求此拋物線的

解析式；

(3)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x—a)上是否存在一點(diǎn)P,使得

ZCAP=ZDBA?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案與解析

一.選擇題（共12個(gè)小題，每小題4分，共48分，在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的）

1.自貢恐龍博物館是世界三大恐龍博物館之一.今年“五一黃金周”共接待游客8.87萬人次，

人數(shù)88700用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.887xlO5B.8.87xl03C.8.87xl04D.88.7xl03

【解析】科學(xué)記數(shù)法表示為a*ION，其中修間＜10,故答案為C

2.如圖是一個(gè)正方體的展開圖，把展開圖疊成小正方體后，有“迎”字一面的向?qū)γ嫔系淖质?/p>

（）

A.百B.黨C.年D.喜

【解析】根據(jù)正方體展開圖可得，“迎”與“黨”相對，故答案為B

3.下列運(yùn)算正確的是（）

22222

A.5O-4?=1B.(—a63)2=。56(2.，+/=/(a-2b)=a-4h

【解析】A正確答案為，B選項(xiàng)正確，C選項(xiàng)答案為，D選項(xiàng)為,,,，故答

a2a6a2-+b2

案為B

4.下列圖形中，是軸對稱圖形且對稱軸條數(shù)最多的是（）

00?Q

A.BC.D.

【解析】A選項(xiàng)，對稱軸1條，B選項(xiàng)和C選項(xiàng)為中心對稱圖形，D選項(xiàng)對稱軸兩條，故答

案為D

5.如圖，AC是正五邊形ABCDE的對角線，NACD的度數(shù)是（）

A.72°B.36°C.74°D.88°

【解析】正5邊形每一個(gè)內(nèi)角為6—2）180：=]08。，VAB=BC,AZACB=36°,

n

；./ACD=72。，故答案為A

6.學(xué)校為了解“陽光體育”活動展開情況，隨機(jī)調(diào)查了50名學(xué)生一周參加體育鍛煉時(shí)間，數(shù)

據(jù)如下表所示：

人數(shù)（人）9161411

時(shí)間（小時(shí)）78910

這些學(xué)生一周參加體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)分別是（）

A.16,15B.11,15C.8,8.5D.8,9

【解析】眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故眾數(shù)為8,中位數(shù)即將數(shù)據(jù)排序后，中間兩個(gè)數(shù)（8

和9）的平均數(shù)8.5,故答案為C

7.已知1一3彳-12=0,則代數(shù)式—3/+9X+5的值是（）

A.31B,-31C.41D.-41

【解析】f-3x=12=—3丁+9x=—36=—+9x+5=—31,故答案為B

8.如圖，A（8,0）,C（-2,0）,以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交y軸正半軸于點(diǎn)B,則

點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）

A.（0,5）B.（5,0）C.（6,0）D.（0,6）

【解析】AB=AC=10,AO=8,在RSAOB中，根據(jù)勾股定理可得OB=6,故B（0,6）,故

答案為D

9.已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Q）是反

比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示，下列說法正確的是（）

A.函數(shù)解析式為/=上13B.蓄電池的電壓是18V

R

C.當(dāng)/W10AB寸，/?>3.6QD.當(dāng)R=6C!I寸，/=4A時(shí)

【解析】函數(shù)解析式為y=O故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，蓄電池電壓是4x9=36v,D選項(xiàng)，當(dāng)H=6C

時(shí)，/=6A,故答案為c

10.如圖，AB為。O的直徑，弦CD1AB于點(diǎn)F,OE±AC于點(diǎn)E,若OE=3,OB=5,則

CD的長度是（）

A.9.6B.4V5C.5百D.10

【解析】在RtAACF中，sinZBAC=—,在RtAAOE中，sin/BAC="=三，故CD的長度

ACOA5

為篙=4.8,故答案為A

11.如圖，在正方形ABCD中，AB=6,M是AD邊上的一動點(diǎn)，AM：MD=1:2,將△BMA沿

BM對折至△BMN,連接DN,則DN的長是（）

【解析】過N作直線〃AB,交AD于H,交BC于G,由翻折性質(zhì)可知△AMB四△NMB,

進(jìn)而可得^：設(shè)則

ZBNM=90°,MNH^ANBG,.—NB=BG3NH=y,BG=3y,MH=3y-2,

在RtAMHN中，MH2+NH2=MN2,/.(3y-2)2+y2=22,.*.y=|,；.DH=CG=￡,在

RSDNH中，DH2+NH2=DN2,；.DN=竽，故答案為D

12.如圖，直線y=—2x+2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)，過點(diǎn)

P作y軸的平行線交直線y=-x+3于點(diǎn)Q,△OPQ繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45。，邊PQ掃過區(qū)

域（陰影部分）面積的最大值是（）

211121

A.一TIB.一萬C.---71D.—7t

321632

【解析】由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，該陰影部分的的面積等于以0Q為大圓半徑R,0P為小圓半徑

r且圓心角為45。的扇形環(huán)的面積，即S百S與=9-等,由題意可得，R2=X2+(-X+3)2

r2=x2+(―2x+2產(chǎn)，且0<x<1,；.R2—r2=—3(x—3)"+熱當(dāng)*=:時(shí)，取得最大值,

故陰影部分面積最大值為空，故答案選A.

第II卷(非選擇題共102分)

二、填空題(共6個(gè)小題，每小題4分，共24分)

13.請寫出一個(gè)滿足不等式X+后>7的整數(shù)解.

【解析】》>7—四,故答案很多，最小整數(shù)為6,只需填6以上整數(shù)即可，答案不唯一

14.某中學(xué)規(guī)定學(xué)生的學(xué)期體育成績滿分為100,其中體育課外活動占30%,期末考試成績

占70%.小彤的這兩項(xiàng)成績依次是90,80.則小彤這學(xué)期的體育成績是.

【解析】加權(quán)平均數(shù)計(jì)算方法為90X30%+80X70%=83,故答案為83

【解析】擎8-2(a-2)__2_故較案為

a2-4—(a+2)(a-2)—a+2'"乂口杲刀a+2

16.如圖，某學(xué)?！疤依畈蛷d”把WIFI密碼做成了數(shù)學(xué)題.小紅在餐廳就餐時(shí)?，思索了一會兒,

輸入密碼，順利地連接到了“桃李餐廳”的網(wǎng)絡(luò)，那么她輸入的密碼是.

賬號：TaoLiCanTing

5*3舟6=30184H

2?6?7=144256

9*2?.S=451055

桃李餐廳歡迎你!

4*8?Tf碼

【解析】根據(jù)觀察a*b十6=ac,be,c(a+b)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行的順序排列，故密碼為244872.

17.如圖，△ABC的頂點(diǎn)均在正方形網(wǎng)格格點(diǎn)上，只用不帶尺度的直尺，作出△ABC角平分

線BD(不寫作法，保留作圖痕跡)

【解析】根據(jù)網(wǎng)格圖，可算出AB=5,所以在BC延長線上取長度為5的格點(diǎn)D,連接AD,

E為AD中點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可推出BE即為NABC的角平分線

18.當(dāng)自變量—14x43時(shí).，函數(shù)y=|x—e（攵為常數(shù)）的最小值為％+3,則滿足條件的女

的值為.

【解析】當(dāng)kN3時(shí),x=3時(shí)函數(shù)取得最小值，，k-3=k+3,不成立,當(dāng)k￡］時(shí),x=-l取得最

小值，此時(shí)-k-l=k+3,；.k=-2滿足題意，當(dāng)-l〈kV3時(shí)，x=k時(shí)取得最小值，；.k+3=0,k=-3

不滿足題意，綜上所述，k=-2

三.解答題（共8個(gè)題，共78分）

19.本題滿分（8分）

計(jì)算：V25-|-7|+(2-V3)°.

【解析】5-7+1=-1

20.（本題滿分8分）

如圖，在矩形ABCD中，E,F分別是AB,CD的中點(diǎn).求證：DE=BF

DFC

AEB

【解析】證明：；四邊形ABCD為矩形，；.DC〃AB且DC=AB,

：E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，ABE^AB,DF=|CD,；.DF〃BE且DF=BE,四邊形

EBFD為平行四邊形，；.DE=BF.

21.（本題滿分8分）

在一次數(shù)學(xué)課外實(shí)踐活動中，小明所在的學(xué)習(xí)小組從綜合樓頂部B處測得辦公樓底部D處

的俯角是53。，從綜合樓底部A處測得辦公樓頂部C處的仰角恰好是30。，綜合樓高24米.

請你幫小明求出辦公樓的高度（結(jié)果精確到0.1,參考數(shù)據(jù)tan37%0.75,tan53°~l.33,,1.73）

辦

公

7樓

【解析?在B處測得D處的俯角為53。，；.NBDA=53。，在RsBAD中，tan/BDA=絲,

AD

...AD=——,在RSCAD中，tanNCAD=3且NCAD=30。，CD=竿

tan530ADV3

24

???CD=-7=----X10.4米

V3tan53°

22.（本題滿分8分）

隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機(jī)大量進(jìn)入快遞行業(yè)，現(xiàn)有A,B兩種型號的無人

機(jī)都被用來送快遞，A型機(jī)比B型機(jī)平均每小時(shí)多運(yùn)送20件，A型機(jī)運(yùn)送700件所有時(shí)間

與B型機(jī)運(yùn)送500件所用時(shí)間相等，兩種無人機(jī)平均每小時(shí)分別運(yùn)送多少快件？

【解析】設(shè)B型機(jī)每小時(shí)運(yùn)送x件，則A型機(jī)每小時(shí)運(yùn)送x+20件

根據(jù)題意可得端=出，解之可得x=50,經(jīng)檢驗(yàn)x=50是方程的根，也符合實(shí)際意義，

x+20x

A型機(jī)每小時(shí)運(yùn)送70件，B型機(jī)每小時(shí)運(yùn)送50件

23.為了弘揚(yáng)愛國主義精神，某校組織了“共和國成就”知識競賽，將成績?yōu)椋篈（優(yōu)秀）、B

（優(yōu)良）、C（合格）、D（不合格）四個(gè)等級.小李隨機(jī)調(diào)查了部分同學(xué)的競賽成績，繪制成

了如下統(tǒng)計(jì)圖

（1）本次抽樣調(diào)查的樣本容量是,請補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；

（2）已知調(diào)查對象中只有兩位女生競賽成績不合格，小李準(zhǔn)備隨機(jī)回訪兩位競賽成績不合

格的同學(xué)，請用樹狀圖或列表法求出恰好回訪到一男一女的概率；

（3）該校共有2000名學(xué)生，請你估計(jì)該校競賽成績“優(yōu)秀”的學(xué)生人數(shù).

【解析】（1）100,補(bǔ)全圖形如卜:

（2）作出樹狀圖如下所示:

faia勿勿3女1G媯!U3ia必加!/32如珈勿處女1yji勿2%

隨機(jī)回訪兩位競賽成績合格的同學(xué)共20種情況，其中一男一女共12種情況，所以恰好回訪

到一男一女的概率為蔡=|

（3）2000x0.35=700人，估計(jì)該校競賽成績“優(yōu)秀”人數(shù)為700人

24.函數(shù)圖象是研究函數(shù)的重要工具.探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函

數(shù)圖象，然后觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程.結(jié)合自己已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，畫出函

數(shù)丁=-^一的圖象，并探究其性質(zhì).

X2+4

列表如下：

X-4-3-2-101234

y824a80b-2_24_8

5735~T3-5

（3）直接寫出表中a,b的值，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象;

Qx

（4）觀察函數(shù)'=一一的圖象，判斷下列關(guān)于該函數(shù)性質(zhì)的命題:

JT+4

①當(dāng)—2<尤<2時(shí)，函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②x=2時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為-2

③一1<X<1時(shí)，函數(shù)y的值隨尤的增大而減小.

其中正確的是（請寫出所有正確命題的番號）

Qr

（3）結(jié)合圖象，請直接寫出不等式片一〉4的解集為______.

X2+4

【解析】（1）作出函數(shù)圖象如圖所示

（2）②③

QrQr

（3）將不等式兩邊同時(shí)乘以-1可得-一—<-x可得不等式的解集為

X2+4X2+4

xv-2或0vxv2

25.（本題滿分12分）

如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的。O上，過D作。0的切線交AB的延長線于點(diǎn)C,AE1CD

于點(diǎn)E,交。0于點(diǎn)F,連接AD,FD.

(4)求證：NDAE=NDAC；

(5)求證：DFAC=ADDC；

(6)若sin/C=1,AD=4\ZT0,求EF的長.

4

【解析】(1)連接OD,；DC為。0的切線，...ODLCD,即NODC=90。

VAE±CD,.,.ZAED=90°,AZAED=ZODC=90°,；.AE〃OD,.\ZODA=ZDAE

又：OD=OA=r,.,.ZODA=ZDAC,.*.ZDAE=ZDAC

(2)證明：連接BD,設(shè)/DAE=a,又(1)可知NCAD=NDAE=a,：AB為。。的直徑,

/.ZADB=90°,在RSADB中，ZBAD+ZABD=90°,ZABD=90°-a,

又：四邊形ABDF為。O的內(nèi)接四邊形，...NAFD+/ABD=180。，AZAFD=90°+a

ZCDO=90°,NADC=90°+a

在△AFD和△ADC中有NAFD=/ADC,ZFAD=ZDAC,AAAFD^AADC

：.—=—,即DFAC=ADDC

DCAC

(3)設(shè)OD=x,在RtACOD中sinZC=i,；.OC=4x,根據(jù)勾股定理可得CD=\<15x,

4

；OA、OB、OD均為。O的半徑，...OA=x,；OD〃AE,.,.△CODs/\CAE,.,.絲=—=—,

AECACE

.,.AE--X,CE=—x,故DE=叵K.

444

由(2)可知△AFDs/\ADC,.=竺，且AD=4VIU,可得AF=%

ACADx

在RtAADE中，AE2+DE2=AD2，：.—x2+—x2=160,Ax=8

1616

?,.AF=￥=4,AE=-X=10,AEF=AE-AF=10-4=6

X4

26.(本題滿分14分)

如圖，拋物線y=(x+l)(x-a)(其中。>1)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.

(4)直接寫出/OCA的度數(shù)和線段AB的長(用a表示)；

(5)若點(diǎn)D為XABC的外心，且△BCD與^ACO的周長之比為求此拋物線的

解析式；

(6)在(2)的前提下，試探究拋物線y=(x+l)(x-a)上是否存在一點(diǎn)P,使得

ZCAP=ZDBA?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【解析】

(1)A(a,0),C(0,-a),可得OC=OA=a,△AOC為等腰直角三角形，.\NOCA=45°,

AB=a+l.

(2)為△ABC的外心，；.NBAC為。D中弧BC所對的圓周角，NBDC為弧BC所對

圓心角，ZBDC=2ZBAC=90°,：.ABDC和△AOC均為等腰直角三角形，故

△BCD^AACO

.?.△BCD與△ACO的周長之比等于相似比，記OD半徑為R,叵，...R=叵a

a44

;在等腰直角△BCD中，BC=VTF?,且BC=V^R,..卡=^^

；.等=乎2,解得。2=4,又a>l,；.a=2,,故二次函數(shù)的解析式為y=x?-x-2

(3)當(dāng)P在AC下方時(shí)，ZCBD=ZCAD=45°,且/CAP=/DBA,AZPAO=ZCBO.

PF

tanZCBO=2,作PFJ_x軸于F,——=2,設(shè)AF=m,則PF=2m,P(2-九一2㈤代

AF

入二次函數(shù)可得加=1,...P(L—2)

當(dāng)P在AC上方時(shí)，作(1,-2)關(guān)于直線y=x—2對稱點(diǎn)Af(O,-l),直線AM的方程為

[1,

丁=一尤-1,聯(lián)立4"2得X1=2,X,=--.?.此時(shí)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為一一，將一一

-2，八,6一222

〔y=(x+D(x-2)

代入拋物線可得，p點(diǎn)縱坐標(biāo)為-之，所以此時(shí)p（—工,—2）

424

綜上所述，存在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,一2）和（一L—9）

24

2021年河南省普通高中招生考試試卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)

是正確的.

1.-2的絕對值是（）

cc11

A.2B.-2C.—D.

22

2.河南人民濟(jì)困最“給力！據(jù)報(bào)道，2020年河南人民在濟(jì)困方面捐款達(dá)到2.94億元數(shù)據(jù)

“2.94億”用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.2.94xio7B.2.94X108C.0.294xlO6

D.0.294xlO9

3.如圖是由8個(gè)相同的小正方體組成的幾何體，其主視圖是（）

D.

4.下列運(yùn)算正確的是（)

A.(-a)2=-a2B.2cr-a2=2C.a2-a=a3

D.(a-l)2=a2-l

5.如圖，a//b,Nl=60°,則N2的度數(shù)為)

.b

A.90°B.100°C.110°D.120°

6.關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說法木定確的是()

A.四條邊相等B.對角線相等c.對角線互相垂直D.是軸對稱

圖形

7.若方程2x+m=()沒有實(shí)數(shù)根，則m的值可以是()

A.-1B.0C.1D.百

8.現(xiàn)有4張卡片，正面圖案如圖所示，它們除此之外完全相同.把這4張卡片背面朝上洗

勻，從中隨機(jī)抽取兩張，則這兩張卡片正面圖案好是“天問”和“九章”的概率是()

9.如圖，.Q43C的頂點(diǎn)0(0,0),A(l,2),點(diǎn)C在x軸的正半軸上，延長交y軸于

點(diǎn)。.將△OD4繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△OO'A',當(dāng)點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)。'落在。4上時(shí)，

OW的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(2A/3,0)B.(26,0)C.(2百+1,0)

D.(2A/5+1,0)

10.如圖1,矩形ABC。中，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿BC從點(diǎn)5運(yùn)動到點(diǎn)C,設(shè)3,

P兩點(diǎn)間的距離為x,PA-PE=y,圖2是點(diǎn)尸運(yùn)動時(shí)y隨x變化的關(guān)系圖象，則8C

的長為（）

圖1圖2

A.4B.5C.6D.7

二、填空題（每小題3分，共15分）

11.若代數(shù)式」一有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是________.

x-1

12.請寫出一個(gè)圖象經(jīng)過原點(diǎn)的函數(shù)的解析式.

13.某外貿(mào)公司要出口一批規(guī)格為200克/盒的紅棗，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)廠家提供貨源，它們

的價(jià)格相同，品質(zhì)也相近.質(zhì)檢員從兩廠的產(chǎn)品中各隨機(jī)抽取15盒進(jìn)行檢測，測得它們的

平均質(zhì)量均為200克，每盒紅棗的質(zhì)量如圖所示，則產(chǎn)品更符合規(guī)格要求的廠家

是.（填“甲”或“乙”）

14.如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1,點(diǎn)A,B,。均在小正方形的頂點(diǎn)

上，且點(diǎn)5,。在A。上，NB4C=22.5°,則8c的長為.

15.小華用一張直角三角形紙片玩折紙游戲，如圖1,在RtAABC中，ZACB=90°,

NB=30°,AC=1.第一步，在A3邊上找一點(diǎn)。，將紙片沿CD折疊，點(diǎn)A落在A'

處，如圖2,第二步，將紙片沿C4'折疊，點(diǎn)。落在。'處，如圖3.當(dāng)點(diǎn)。'恰好在原直角

三角形紙片的邊上時(shí)，線段4。的長為.

圖1圖2圖3

三、解答題(本大題共8個(gè)小題，共75分)

16.(1)計(jì)算：31—+(3—y/3)°；(2)化簡：(1---)———.

17.2021年4月，教育部印發(fā)《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)中小學(xué)生睡眠管理工作的通知》，明確要

求初中生每天睡眠時(shí)間應(yīng)達(dá)到9小時(shí).某初級中學(xué)為了解學(xué)生睡眠時(shí)間的情況，從本校學(xué)

生中隨機(jī)抽取500名進(jìn)行卷調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果用統(tǒng)計(jì)圖描述如下.

調(diào)查問卷

I.近兩周你平均每天睡眠時(shí)間大約是小時(shí).

如果你平均每天睡眠時(shí)間不足9小時(shí)，請回答第2個(gè)問題

2.影響你睡眠時(shí)間的主要原因是.(單選)

A.校內(nèi)課業(yè)負(fù)擔(dān)重B.校外學(xué)習(xí)任務(wù)重C.學(xué)習(xí)效率低D.其他

平均每天睡眠時(shí)間統(tǒng)計(jì)圖影響學(xué)生睡眠時(shí)間的主要原因統(tǒng)計(jì)圖

平均每天睡眠時(shí)間x（時(shí)）分為5組：?5<x<6；②6K尤<7；③7Kx<8；④

8<x<9；?9<x<10.

根據(jù)以上信息，解答下列問題:

（1）本次調(diào)查中，平均每天睡眠時(shí)間的中位數(shù)落在第（填序號）組，達(dá)到9小

時(shí)的學(xué)生人數(shù)占被調(diào)查人數(shù)的百分比為；

（2）請對該校學(xué)生睡眠時(shí)間的情況作出評價(jià)，并提出兩條合理化建議.

18.如圖，大、小兩個(gè)正方形的中心均與平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)0重合，邊分別與坐標(biāo)軸

平行，反比例函數(shù)y=t的圖象與大正方形的一邊交于點(diǎn)A（l,2）,且經(jīng)過小正方形的頂點(diǎn)

x

B.

（I）求反比例函數(shù)的解析式；

（2）求圖中陰影部分的面積.

19.開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的

佛像.某數(shù)學(xué)活動小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度.如圖，他們選取的測量點(diǎn)A

與佛像BO的底部。在同一水平線上.已知佛像頭部8c為4m,在4處測得佛像頭頂部

6的仰角為45°,頭底部。的仰角為37.5。，求佛像8。的高度（結(jié)果精確到0.1m.參考

數(shù)據(jù)：sin37.5°?0.61,cos37.5°?0.79,tan37.5°?0.77）

20.在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定

長度的