5.2運動的合成與分解（原卷版）

第五章拋體運動第二節(jié)運動的合成與分解[核心素養(yǎng)·明目標]核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標物理觀念體驗運動的合成和分解是研究復(fù)雜運動的一種基本方法的物理觀念?？茖W(xué)思維培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決物理問題的科學(xué)思維方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維過程以及初步的觀察、分析和概括能力。科學(xué)探究通過對一個平面運動的實例-蠟塊的運動的探究讓學(xué)生能夠運用平行四邊形法則解決有關(guān)位移、速度合成和分解的問題?？茖W(xué)態(tài)度與責(zé)任通過學(xué)生間的對蠟塊的運動討論，培養(yǎng)他們的團結(jié)協(xié)作精神以及謙虛好學(xué)的思想和實事求是的態(tài)度。知識點一紅蠟塊在平面內(nèi)的運動演示：觀察蠟塊的運動1．實驗器材紅蠟做的小圓柱體、一端封閉長約1m的玻璃管、清水2．實驗步驟（1）在一端封閉、長約1m的玻璃管內(nèi)注滿清水，水中放一個紅蠟做的小圓柱體A，將玻璃管的開口端用橡膠塞塞緊。（圖甲）（2）把玻璃管倒置（圖乙），蠟塊A沿玻璃管上升，觀察玻璃管上升的速度。（3）在蠟塊勻速上升的同時，將玻璃管緊貼著黑板沿水平方向向右勻速移動（圖丙），觀察蠟塊的運動情況。說明：蠟的密度略小于水的密度。在蠟塊上升的初期，它做加速運動，隨后由于受力平衡而做勻速運動。3．實驗結(jié)論（1）水平方向：蠟塊隨管向右做勻速直線運動。（2）豎直方向：蠟塊相對管向上做勻速直線運動。（3）在黑板的背景前我們看到蠟塊相對黑板是向右上方運動的。那么，蠟塊向右上方的這個運動是什么樣的運動呢？要想定量地研究蠟塊的運動，就要建立坐標系，具體分析。知識點二、理論分析紅蠟塊的運動1．建立坐標系以蠟塊開始勻速運動的位置為原點O，以水平向右的方向和豎直向上的方向分別為x軸和y軸的方向，建立平面直角坐標系。蠟塊的位置P的坐標：x=vxty=vyt2．蠟塊運動的軌跡x=vxty=vyt在數(shù)學(xué)上，關(guān)于x、y兩個變量的關(guān)系式可以描述一條曲線（包括直線）。上面x、y的表達式中消去變量t，這樣就得到：代表的是一條過原點的直線，也就是說，蠟塊的運動軌跡是直線。3．蠟塊運動的位移從計時開始到時刻t，蠟塊運動位移的大小是位移的方向4．蠟塊運動的速度如圖所示：速度v與vx、vy的關(guān)系可根據(jù)勾股定理寫出它們之間的關(guān)系：根據(jù)三角函數(shù)的知識知識點三合運動和分運動1.合運動與分運動：如果一個物體同時參與了幾個運動，那么物體實際發(fā)生的運動就是這幾個運動的合運動，這幾個運動就是物體實際運動的分運動。2.運動的合成與分解的法則：描述運動的物理量如位移、速度、加速度的合成與分解，遵從矢量運算法則。如圖：蠟塊向右上方的運動可以看成由沿玻璃管向上的運動和水平向右的運動共同構(gòu)成。蠟塊相對于黑板向右上方的運動叫作合運動。蠟塊沿玻璃管向上的運動和它隨著玻璃管向右的運動，都叫作分運動。3.合運動和分運動的關(guān)系（1）合運動和分運動具有同時性；（2）各分運動之間互不干擾，彼此獨立；（3）合運動與分運動必須對同一物體；（4）合運動與分運動在效果上是等效替代的關(guān)系。4.運動的合成與分解（1）由分運動求合運動的過程叫運動的合成。（2）由合運動求分運動的過程叫運動的分解。5.物體的實際運動的位移、速度、加速度分別叫合位移、合速度、合加速度。6.運動的合成與分解即為描述運動的物理量的合成與分解都遵守平行四邊形定則。7.思考討論:(1)不在同一直線上的兩個勻速直線運動的合運動是什么運動？不在同一直線上的兩個勻速直線運動的合運動是勻速直線運動。(2)不在同一直線上的勻速直線運動和勻變速直線運動的合運動是什么運動？不在同一直線上的勻速直線運動和勻變速直線運動的合運動是勻變速曲線運動。(3)初速度為零的兩個不在同一直線上的勻變速直線運動的合運動是什么運動？初速度為零的兩個不在同一直線上的勻變速直線運動的合運動是勻變速直線運動。(4)初速度不為零的兩個不在同一直線上的勻變速直線運動的合運動是什么運動？F合與v合共線－勻變速直線運動。F合與v合不共線－勻變速曲線運動。易錯易混點1.運動的合成與分解易錯易混點辨析：a.一個分清：分清哪一個是合運動，哪兩個是分運動。b.一個定則:平行四邊形定則。c.兩個原則：①實際效果分解原則。②簡單原則；即分運動盡量簡單。例1.(2022·湖南婁底期中)直升機空投物資時，可以停留在空中不動，設(shè)投出的物資離開飛機后由于降落傘的作用在空中能勻速下落，無風(fēng)時落地速度為5m/s。若飛機停留在離地面100m高處空投物資，由于風(fēng)的作用，使降落傘和物資在豎直下落時又以1m/s的速度勻速水平向北運動，求：(1)物資在空中運動的時間；(2)物資落地時速度的大?。?3)物資在下落過程中水平方向移動的距離。解析:如圖所示，物資的實際運動可以看作是豎直方向的勻速直線運動和水平方向的勻速直線運動兩個分運動的合運動。(1)分運動與合運動具有等時性，故物資實際運動的時間與豎直方向分運動的時間相等，所以t＝eq\f(h,vy)＝eq\f(100,5)s＝20s。(2)物資落地時vy＝5m/s，vx＝1m/s，由平行四邊形定則得v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝eq\r(12＋52)m/s＝eq\r(26)m/s。(3)物資水平方向的位移大小為x＝vxt＝1×20m＝20m。易錯易混點2.合運動性質(zhì)的判定易錯易混點辨析：兩個互成角度的分運動合運動的性質(zhì)兩個勻速直線運動勻速直線運動一個勻速直線運動一個勻變速直線運動勻變速曲線運動兩個初速度為零的勻加速直線運動勻加速直線運動兩個初速度不為零的勻變速直線運動如果v合與a合共線，為勻變速直線運動如果v合與a合不共線，為勻變速曲線運動例2.(多選)(2022·安徽合肥段考)如圖甲所示，在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上運動，其沿豎直方向的速度—時間(vy－t)圖像如圖乙所示，同時人頂著桿沿水平地面運動的位移—時間(s－t)圖像如圖丙所示。若以地面為參考系，下列說法正確的是()A.猴子的運動軌跡為直線B.t＝0時猴子的速度大小為8m/sC.猴子在0～2s內(nèi)做加速度恒定的曲線運動D.猴子在0～2s內(nèi)的加速度大小為4m/s2解析：選CD。由題圖乙知猴子在豎直方向做勻減速運動，加速度大小為a＝eq\f(8,2)m/s2＝4m/s2，由題圖丙知猴子在水平方向做勻速運動，vx＝eq\f(8,2)m/s＝4m/s，t＝0時，a合＝a＝4m/s2，v＝eq\r(veq\o\al(2,x)＋veq\o\al(2,y))＝4eq\r(5)m/s，合加速度與合速度不共線，故猴子在0～2s內(nèi)做勻變速曲線運動，A、B錯誤，C、D正確。易錯易混點3.小船過河問題易錯易混點辨析：1.明確兩個分運動(1)船相對水的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船頭的指向相同。(2)船隨水漂流的運動，它的方向與河岸平行，速度大小等于水流速度。2.區(qū)別三個速度水流速度v水、船在靜水中的速度v船、船的實際速度(即船的合速度)v合。3.掌握兩類最值問題(1)過河時間最短問題由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度。若要過河時間最短，則船頭垂直于河岸航行即可。由圖甲可知，t短＝eq\f(d,v船)，此時船過河的位移s＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水)。甲(2)過河位移最短問題①若v水＜v船，最短的位移為河寬d，船過河所用時間t＝eq\f(d,v船sinθ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足：cosθ＝eq\f(v水,v船)，如圖乙所示。乙②若v水>v船，如圖丙所示，從出發(fā)點A沿河岸作矢量v水，再以v水末端為圓心，以v船的大小為半徑畫圓弧，自出發(fā)點A向圓弧作切線即為船位移最小時的合運動的方向。這時船頭與上游河岸夾角θ滿足cosθ＝eq\f(v船,v水)，最短位移s短＝eq\f(d,cosθ)，而過河所用時間仍用t＝eq\f(d,v船sinθ)計算。丙例3.(2022·山東臨沂檢測)小船要橫渡一條200m寬的河，水流速度為3m/s，船在靜水中的航速是5m/s，問：(sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)(1)當(dāng)小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？(2)要使小船到達河的正對岸，應(yīng)如何行駛？多長時間能到達對岸？(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s，要使小船航程最短，應(yīng)如何航行？解析：(1)當(dāng)小船的船頭始終正對對岸行駛時，小船垂直河岸的速度即小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t＝eq\f(d,v船)＝eq\f(200,5)s＝40s，小船沿河流方向的位移大小s＝v水t＝3×40m＝120m，即小船經(jīng)過40s，在正對岸下游120m處靠岸。(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應(yīng)垂直于河岸，如圖甲所示，甲則v合＝eq\r(veq\o\al(2,船)－veq\o\al(2,水))＝4m/s，經(jīng)歷時間t′＝eq\f(d,v合)＝eq\f(200,4)s＝50s。又cosθ＝eq\f(v水,v船)＝eq\f(3,5)＝0.6，即船頭指向與河岸的上游成53°角。(3)如果水流速度變?yōu)?0m/s，如圖乙所示，要使小船航程最短，應(yīng)使v合′的方向垂直于v船，故船頭應(yīng)偏向上游，與河岸成θ′角，有cosθ′＝eq\f(v船,v水′)＝eq\f(1,2)，解得θ′＝60°，即船頭指向與河岸的上游成60°角。乙易錯易混點4.牽連速度問題易錯易混點辨析：1.牽聯(lián)速度用繩、桿(高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長且不可壓縮的)相牽連的物體或者直接接觸的兩物體，在運動過程中兩物體的速度通常不同，但兩物體的速度間存在某種聯(lián)系，稱為關(guān)聯(lián)速度。2.解決牽聯(lián)速度問題的一般步驟第一步：先確定合運動，即物體的實際運動。第二步：確定合運動的兩個實際作用效果，一是沿繩(或桿)方向的平動效果，改變速度的大小；二是沿垂直于繩(或桿)方向的轉(zhuǎn)動效果，改變速度的方向。即將實際速度正交分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)方向的兩個分量并作出運動矢量圖。第三步：根據(jù)沿繩(或桿)方向的速度相等列方程求解。例4.(2022·云南玉溪期末)如圖所示，重物沿豎直桿下滑，并通過繩帶動小車沿斜面升高。問：當(dāng)滑輪右側(cè)的繩與豎直方向成θ角，且重物下滑的速率為v時，小車的速度為()A.vsinθ B.eq\f(v,cosθ) C.vcosθ D.eq\f(v,sinθ)解析：選C。將重物的速度按圖示兩個方向分解，如圖所示，得繩子速率為v繩＝vcosθ；而繩子速率等于小車的速率，則小車的速率為v車＝v繩＝vcosθ，故選C。例5.如圖所示，一輕桿兩端分別固定兩個可視為質(zhì)點的小球A和B，將其放到一個光滑的球形容器中并在豎直面上運動，當(dāng)輕桿到達A球與球形容器球心等高時，A球速度大小為v1，已知此時輕桿與水平方向成θ＝30°角，B球的速度大小為v2，則()A.v2＝v1 B.v2＝2v1 C.v2＝eq\f(v1,2) D.v2＝eq\r(3)v1解析：選A。根據(jù)題意，將A球的速度沿著桿與垂直于桿兩方向分解，同時將B球的速度也沿著桿與垂直于桿兩方向分解，A球：v0＝v1sinθ，B球：v0＝v2sinθ，由于是同一輕桿，則有v1sinθ＝v2sinθ，所以v2＝v1，故A正確，B、C、D錯誤。針對訓(xùn)練1.(多選)若河水的流速大小與水到河岸的距離有關(guān)，河中心水的流速最大，河岸邊緣處水的流速最小?，F(xiàn)假設(shè)河的寬度為120m，河中心水的流速大小為4m/s，船在靜水中的速度大小為3m/s。要使船以最短時間渡河，則()A.船渡河的最短時間是24sB.在行駛過程中，船頭始終與河岸垂直C.船在河水中航行的軌跡是一條直線D.船在河水中的最大速度為5m/s2.某人站在自動扶梯上，經(jīng)t1時間從一樓升到二樓，如果自動扶梯不動，人沿著扶梯從一樓走到二樓的時間為t2?，F(xiàn)使扶梯正常運動，人也保持原有的速度沿扶梯向上走，則人從一樓到二樓的時間是()A．t2－t1 B.eq\f(t1t2,t2－t1)C.eq\f(t1t2,t1＋t2) D.eq\r(t12＋t22/2)3.如圖所示，在距河面高度h＝20m的岸上有人用長繩拴住一條小船，開始時繩與水面的夾角為30°。人以恒定的速率v＝3m/s拉繩，使小船靠岸，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，那么()A.5s時繩與水面的夾角為60°B.5s時小船前進了15mC.5s時小船的速率為4m/sD.5s時小船到岸邊的距離為15m4.關(guān)于相互垂直的一個勻速直線運動和一個勻加速直線運動的合運動，下列說法正確的是()A．一定是曲線運動B．可能是直線運動C．運動的方向不變D．速度一直在變，是變加速運動5.如圖所示，某人由A點劃船渡河，船頭方向始終與河岸垂直，小船在靜水中的速度恒定，下列說法正確的是()A.小船能到達正對岸的B點B.小船能到達正對岸B點的左側(cè)C.小船到達對岸的位置與水流速度無關(guān)D.小船到達對岸的時間與水流速度無關(guān)6.如圖所示，汽車用跨過定滑輪的輕繩提升物塊。汽車勻速向右運動，在物塊到達滑輪之前，下列說法正確的是()A.物塊將豎直向上做勻速運動B.物塊將處于超重狀態(tài)C.物塊將處于失重狀態(tài)D.物塊將豎直向上先加速后減速7.(2022·江蘇南通期末)如圖所示，小船沿直線AB過河，船頭始終垂直于河岸。若水流速度減小，為保持航線不變，下列措施與結(jié)論正確的是()A.減小船速，過河時間變長B.減小船速，過河時間不變C.增大船速，過河時間不變D.增大船速，過河時間縮短8.如圖所示，物體A套在豎直桿上，經(jīng)細繩通過光滑輕質(zhì)定滑輪拉動物體B在水平面上運動，開始時A、B間的細繩呈水平狀態(tài)，現(xiàn)由計算機控制物體A的運動，使其恰好以速度v沿桿勻速下滑(B始終未與滑輪相碰)，則()A.繩與桿的夾角為α?xí)r，B的速率為vsinαB.繩與桿的夾角為α?xí)r，B的速率為vcosαC.物體B也做勻速直線運動D