期末押題預(yù)測卷（考試范圍：八上全冊）（教師版）

期末押題預(yù)測卷姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分120分，考試時間90分鐘，試題共26題．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2022·青海·八年級期中）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．≠2 B．≥-2 C．＞-2且x≠2 D．≥-2且≠2【答案】D【分析】根據(jù)分式和二次根式有意義的條件進(jìn)行計算即可．【詳解】由題意得，解得：且，故選：D．【點睛】本題考查分式和二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握分式有意義的條件為分母不等于零，二次根式有意義的條件為被開方數(shù)大于等于零．2．（2022·四川成都·八年級期末）下列各數(shù)中，不是無理數(shù)的是（）A． B． C．2π D．1.343343334……【答案】B【分析】無理數(shù)就是無限不循環(huán)小數(shù)，依據(jù)定義即可判斷.【詳解】解：A、是無理數(shù)，故此選項不符合題意；B、＝﹣3，﹣3是整數(shù)，是有理數(shù)，故此選項符合題意；C、2π是無理數(shù)，故此選項不符合題意；D、1.343343334……是無理數(shù)，故此選項不符合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了無理數(shù)的定義，注意帶根號的要開不盡方才是無理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)為無理數(shù).如π，，0.8080080008...(每兩個8之間依次多1個0)等形式.3．（2022·綿陽市·八年級階段練習(xí)）滿足下列條件的中，不是直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】運用直角三角形的判定方法，當(dāng)一個角是直角時，或當(dāng)兩邊的平方和等于第三條邊的平方時，可得出它是直角三角形，對每個選項分別判定即可．【詳解】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=∠A+∠C，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形，故A不符合題意；∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=5：12：13，∴∠A=30°，∠B=72°，∠C=78°，∴△ABC不是直角三角形，故B符合題意；∵a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形，故C不符合題意；∵a：b：c=5：12：13，故設(shè)a=x，那么b=12x，c=13x，a2+b2=13x2，c2=13x2，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，故D不符合題意．故選：B．【點睛】此題主要考查了直角三角形的判定方法，三角形內(nèi)角和定理和勾股定理逆定理的實際運用，靈活的應(yīng)用知識點是解決問題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇揚州·七年級期末）下列命題中，真命題是（

）A．相等的角是對頂角 B．不相交的兩條直線是平行線C．等角的余角相等 D．兩條直線被第三條直線所截，同位角相等【答案】C【分析】利用對頂角、平行線、余角的定義或性質(zhì)逐項分析即可求解．【詳解】解：A選項，對頂角相等，但相等的角不一定是對頂角，故此選項是假命題；B選項，同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線是平行線，故此選項是假命題；C選項，等角的余角相等，故此選項是真命題；D選項，兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，故此選項是假命題；故選C．【點睛】本題考查判斷命題的真假，熟練掌握對頂角、平行線、余角的定義或性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·南京七年級期末）若方程組的解滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將方程組中兩方程相減，表示出，代入中，即可求出的范圍．【詳解】解：，得：，，，，．故選：A．【點睛】此題考查了解二元一次方程組，以及解一元一次不等式，表示出是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·河南·鄭州八年級階段練習(xí)）點關(guān)于x軸對稱的點所在的象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】直接利用關(guān)于x軸對稱點的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：點關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)為：，∵，∴在第一象限，故選：A．【點睛】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱的點的性質(zhì)，掌握關(guān)于x軸對稱的點，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)是解題關(guān)鍵．7．（2022·湖北湖北·八年級期末）李老師為了了解學(xué)生暑期在家的閱讀情況，隨機調(diào)查了20名學(xué)生某一天的閱讀小時數(shù)，具體情況統(tǒng)計如下表：閱讀時間（小時）22.533.54學(xué)生人數(shù)（名）12863則關(guān)于這20名學(xué)生閱讀小時數(shù)的說法正確的是（

）A．中位數(shù)是3 B．平均數(shù)是3.3 C．眾數(shù)是8 D．極差是7【答案】A【分析】A、根據(jù)中位數(shù)的定義將這組數(shù)據(jù)從小到大重新排列，求出最中間的2個數(shù)的平均數(shù)，即可得出中位數(shù)；B、全部數(shù)據(jù)加起來除以人數(shù)；C、根據(jù)眾數(shù)的定義找出出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)；D、最大數(shù)據(jù)減去最小數(shù)據(jù)即為極差．【詳解】A、從大到小排序為：2,2.5,2.5,3,3,3,3,3,3,3,3,3.5,3.5,3.5,3.5,3.5,3.5,4,4,4，故中間的為第十個和第十一個的平均數(shù)：3+3=6,6÷2=3，故中位數(shù)為3，A正確，符合題意；B、，B錯誤，不符題意；C、眾數(shù)是出現(xiàn)最多的數(shù)，是3，C錯誤，不符題意；D、4-2=2，D錯誤，不符題意，故選A.【點睛】本題考查中位數(shù)、平均數(shù)、眾數(shù)、極差的概念和求法，掌握求法是解題關(guān)鍵．8．（2022·廣西·八年級期末）已知點A（1，m），B（，n），在一次函數(shù)y＝2x+1的圖象上，則m與n的大小關(guān)系是（）A．m＞n B．m＝n C．m＜n D．無法確定【答案】C【分析】由k=2＞0根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解】解：∵一次函數(shù)y=2x+1中k=2＞0，∴該一次函數(shù)y隨x的增大而增大，∵點A（1，m），B（，n）在一次函數(shù)y=2x+1的圖象上，且1＜，∴m＜n．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)一次項系數(shù)的正負(fù)得出該函數(shù)的增減性是關(guān)鍵．9.（2022·山東·八年級期末）估計1的值在（）A．1到2之間 B．2到3之間 C．3到4之間 D．4到5之間【答案】B【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義，估算的大小，得到問題答案．【詳解】解：∵9<13<16，∴，，即，∴在2和3之間．故選：B．【點睛】本題考查無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算方法：夾逼的方法（被開方數(shù)的不足近似值和過剩近似值）；估算的值是解題關(guān)鍵．10．（2022·四川成都·八年級期末）已知A、B兩地是一條直路，甲從A地到B地，乙從B地到A地，兩人同時出發(fā)，乙先到達(dá)目的地，兩人之間的距離s（km）與運動時間t（h）的函數(shù)關(guān)系大致如圖所示，下列說法錯誤的是（

）A．兩人出發(fā)2h后相遇 B．甲騎自行車的速度為60km/hC．乙比甲提前到達(dá)目的地 D．乙到達(dá)目的地時兩人相距120km【答案】D【分析】先根據(jù)在一開始時，兩人的距離為300km，得到A、B兩地的距離為300km，從而可以求出甲的速度，即可判斷B；根據(jù)在出發(fā)2h后，兩人相距為0km，即可判斷A；求出兩人的合速度，從而求出乙到達(dá)目的地的花費時間即可判斷C、D．【詳解】解：∵在一開始時，兩人的距離為300km，∴A、B兩地的距離為300km，∵乙先到底目的地，∴甲到目的地花費的時間為5h，∴甲的速度為，故B選項不符合題意；∵在出發(fā)2h后，兩人相距為0km，即此時兩人相遇，故A選項不符合題意；∵兩人出發(fā)2h相遇，∴兩人的合速度為，∴乙的速度為90km/h，∴乙到目的地花費的時間為，∴乙比甲提前到底，故C選項不符合題意；∵，∴乙到達(dá)目的地時兩人相距200km，故D選項符合題意；故選D．【點睛】本題主要考查了從函數(shù)圖象獲取信息，解題的關(guān)鍵在于能夠正確讀懂函數(shù)圖象．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在橫線上）11．（2022·北京·八年級期末）如圖，數(shù)軸上表示1，的點分別為C，B，點C是AB的中點，則點A表示的數(shù)是__________．【答案】##【分析】設(shè)點A表示的數(shù)是x，再根據(jù)中點坐標(biāo)公式即可得出x的值．【詳解】解：設(shè)點A表示的數(shù)是x，∵數(shù)軸上表示1、的對應(yīng)點分別為C、B，點C是AB的中點，∴1，解得x=2?．故答案為：．【點睛】此題主要考查了實數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)關(guān)系以及中點的性質(zhì)，正確理解中點公式是解題的關(guān)鍵．12．（2022·福建·八年級期末）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且與直線平行，則一次函數(shù)的表達(dá)式為______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件可知，再把代入中，可求，進(jìn)而可得一次函數(shù)解析式．【詳解】解：設(shè)一次函數(shù)的表達(dá)式為，與直線平行，，把代入中，得，一次函數(shù)解析式是，故答案為：．【點睛】本題考查了兩條直線平行的問題，解題的關(guān)鍵是知道兩條直線平行的條件是相等．13．（2022·河北·八年級期末）如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積標(biāo)記為S1，以AB為斜邊向外作等腰直角三角形，再以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為S2，…按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S7的值為_____．【答案】【分析】根據(jù)題意求出S2=（）1，S3=（）2，S4=（）3，…，根據(jù)規(guī)律解答．【詳解】解：由題意得：S1=12=1，S2=（1×）2=（）1，S3=（×）2==（）2，S4=（××）2==（）3，…，則Sn=（）n-1，∴S7=（）6=．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是找出規(guī)律“Sn=（）n-1”．14．（2022·安徽·宣城市宣州區(qū)金壩中心初級中學(xué)八年級期中）將分別含有、的一副三角板如圖所示放置，使點C落在線段上，且．則的度數(shù)為____________．【答案】##53度【分析】根據(jù)等角的余角相等，可知，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，∴，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江·寧波八年級期末）一組數(shù)據(jù)，，，，的中位數(shù)和平均數(shù)相等，則的值是________．【答案】-3或或7【分析】根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)的意義列方程求解即可．【詳解】解：由于數(shù)據(jù)1，2，4，6，x的中位數(shù)可能為2、4、x,且這組數(shù)據(jù)1，2，4，6，x的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，或，或解得x=-3或x=7或x=，故答案為：-3或7或．【點睛】本題考查中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)，掌握中位數(shù)、算術(shù)平均數(shù)的計算方法是正確解答的前提．16．（2022·浙江·八年級期末）定義：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點，任意兩點P（x1，y1）、Q（x2，y2），稱|x1﹣x2|+|y1﹣y2|的值為P、Q兩點的“直角距離”．若P（﹣1，1），Q（2，3），則P，Q的“直角距離”為_____；若P（2，﹣3），Q為直線y＝x+5上任意一點，則P，Q的“直角距離”的最小值為_____．【答案】

5

10【分析】根據(jù)“直角距離”的定義即可求解；由直角距離的定義得P，Q的“直角距離”為|x1-x2|+|y1-y2|=|x-2|+|x+5+3|=|x-2|+|x+8|，由絕對值的意義求出最小值即可．【詳解】解：若P（-1，1），Q（2，3），則P，Q的“直角距離”為|-1-2|+|1-3|=3+2=5；∵Q為直線y=x+5上任意一點，設(shè)Q（x，x+5），∵P（2，-3），P，Q的“直角距離”為|x1-x2|+|y1-y2|=|x-2|+|x+5+3|=|x-2|+|x+8|，而|x-2|+|x+8|表示數(shù)軸上的x到-2和8的距離之和，其最小值為10，故答案為：5；10．【點睛】本題考查兩點之間的“直角距離”的定義，絕對值的意義，關(guān)鍵是明確P（x1，y1）、Q（x2，y2）兩點之間的“直角距離”的含義．17．（2022·廣東·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝2x＋4的圖象分別與x軸，y軸相交于A，B兩點．將直線AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°后，與y軸交于點C，則點C的坐標(biāo)為______．【答案】（0，-6）【分析】由直線解析式求得OA=2，OB=4，利用勾股定理求得AB=2，作CD⊥AB于D，設(shè)OC=m，由勾股定理得，從而得出，在Rt△BDC中，利用勾股定理求m=6，從而求得C的坐標(biāo)．【詳解】解：一次函數(shù)y=2x+4的圖象分別與x軸，y軸相交于A，B兩點．令y=0，則2x+4=0，解得x=-2；令x=0，則y=4，∴A（-2，0），B（0，4），∴OA=2，OB=4，∴AB=，作CD⊥AB于D，∵∠CAD=45°，∴△CAD是等腰直角三角形，∴AD=CD，設(shè)在Rt△AOC中，∴在等腰直角三角形ADC中，∴在Rt△BDC中，∴解得，m=6或（舍去）經(jīng)檢驗：m=6是方程的解，∴點C的坐標(biāo)為（0，-6）．故答案為：（0，-6）．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)，勾股定理的應(yīng)用，求得OC的長是解題的關(guān)鍵．18．（2022·河南信陽·八年級期末）如圖，和都是等腰三角形，且，O是的中點，若點D在直線上運動，連接，則在點D運動過程中，線段的最小值為___________．【答案】2【分析】取的中點為點，連接，先證得，得出，根據(jù)點到直線的距離可知當(dāng)時，最小，然后根據(jù)所對的直角邊等于斜邊的一半求得時的的值，即可求得線段的最小值．【詳解】解：取的中點為點，連接，，，即，，為中點，，在和中，，，，點在直線上運動，當(dāng)時，最小，是等腰三角形，，，，線段的最小值是為．故答案為：．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、所對的直角邊等于斜邊的一半、三角形全等的判定和性質(zhì)、垂線段最短等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線構(gòu)建全等三角形，學(xué)會利用垂線段最短解決最值問題．三、解答題（本大題共8小題，共66分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）19．（2022·遼寧葫蘆島·八年級期末）計算(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡、計算零指數(shù)冪，再合并即可．（2）先計算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式的除法、利用平方差公式展開，再計算合并即可．（1）；（2）．【點睛】本題考查二次根式的混合運算，也涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和平方差公式．掌握各運算法則是解題關(guān)鍵．20．（2022·重慶八年級期中）解下列方程組（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）用加減消元法解方程組即可；（2）先化簡方程組，再用加減消元法解方程組．【詳解】解：（1），①×5+②，得5x+2x=5+9，解得x=2，把x=2代入①，得y=1，故方程組的解為；（2）整理得：①+②，得4y+y=5+5，解得y=2，把y=2代入②，得x=-1，故方程組的解為．【點睛】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法、代入消元法解二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．21．（2022·江西宜春·八年級期末）某校八年級學(xué)生開展踢毽子比賽活動，每班派5名學(xué)生參加，按團(tuán)體總分多少排列名次，在規(guī)定時間內(nèi)每人踢100個以上（含100）為優(yōu)秀．下表是成績最好的甲班和乙班5名學(xué)生的比賽數(shù)據(jù)（單位：個）：1號2號3號4號5號總數(shù)甲班120118130109123600乙班109120115139117600經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)兩班總數(shù)相等，此時有學(xué)生建議，可以通過考查數(shù)據(jù)中的其他信息作為參考．請你回答下列問題：(1)填空：甲班的優(yōu)秀率為_________，乙班的優(yōu)秀率為_________；(2)填空：甲班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_________，乙班比賽數(shù)據(jù)的中位數(shù)為_________；(3)根據(jù)以上兩條信息，你認(rèn)為應(yīng)該把冠軍獎杯發(fā)給哪一個班級？簡述你的理由．【答案】(1)100%，100%(2)120，117(3)將冠軍獎狀發(fā)給甲班，因為甲班5人比賽成績的優(yōu)秀率等于乙班，但中位數(shù)比乙班大，綜合評定甲班比較好【分析】（1）優(yōu)秀率就是優(yōu)秀的人數(shù)與總?cè)藬?shù)的百分比；（2）中位數(shù)就是一組數(shù)據(jù)中先把所有數(shù)據(jù)按從大到小或從小到大的順序排列起來，如果是奇數(shù)個時，就是中間的那一個數(shù)，如果是偶數(shù)個時，就是中間兩個數(shù)的平均數(shù)；（3）根據(jù)計算出來的統(tǒng)計量的意義分析判斷．（1）解：甲班優(yōu)秀率為100%，乙班優(yōu)秀率為100%，故答案為：100%，100%；（2）解：甲班5名學(xué)生比賽成績的中位數(shù)是120個，乙班5名學(xué)生比賽成績的中位數(shù)是117個，故答案為：120，117；（3）解：將冠軍獎狀發(fā)給甲班，因為甲班5人比賽成績的優(yōu)秀率等于乙班，但中位數(shù)比乙班大，綜合評定甲班比較好．【點睛】本題考查統(tǒng)計初步的數(shù)據(jù)處理能力，涉及優(yōu)秀率概念、中位數(shù)的概念和根據(jù)數(shù)據(jù)分析做決策等知識，熟練掌握相關(guān)定義并運用它的意義解決問題是本題關(guān)鍵．22．（2022·湖北·八年級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的位置如圖所示，三個頂點A，B，C都在格點上．(1)分別直接寫出△ABC三個頂點的坐標(biāo)；(2)請在圖中按要求畫圖：描出點C關(guān)于y軸對稱的點D，連接AD，BD；(3)試判斷△ABD的形狀，并說明理由．【答案】(1)A（-4，3），B（3，0），C（-1，5）；(2)作圖見解析(3)△ABD為等腰直角三角形，理由見解析．【分析】（1）利用點的坐標(biāo)的表示方法寫出點A、B、C的坐標(biāo)；（2）利用關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)特征得到D點坐標(biāo)，再連線得到AD，AB；（3）利用勾股定理的逆定理可判斷△ABD為等腰直角三角形．(1)解：由圖可得：A（-4，3），B（3，0），C（-1，5）；(2)解：如圖，點D為所作；(3)解：△ABD為等腰直角三角形．理由如下：∵，∴AD2+BD2=AB2，AD=BD，∴∠ADB=90°，∴△ABD為等腰直角三角形．【點睛】本題考查了作圖-軸對稱變換，勾股定理的逆定理．解題的關(guān)鍵在于將幾何圖形看作是由點組成，畫一個圖形的軸對稱圖形時，先從確定一些特殊的對稱點開始的．23．（2022·江蘇·八年級期末）某校英語組組織學(xué)生進(jìn)行“英語美食節(jié)”活動，需購買甲、乙兩種獎品．老師發(fā)現(xiàn)購買甲獎品4個和乙獎品3個，需用去128元；購買甲獎品5個和乙獎品4個，需用去164元．(1)請用列二元一次方程組的方法，求甲、乙兩種獎品的單價各是多少元？(2)由于臨時有變，只買甲獎品即可，剛好A、B兩個商場對甲獎品搞促銷活動，其中A商場，按原價9折銷售；B商場，購買不超過6個按原價銷售，超出6個的部分按原價的6折銷售．學(xué)校需要購買x個甲商品（x＞6），設(shè)在A商場購買x個甲獎品需要y1元，在B商場購買x個甲獎品購買需要y2元，請用x分別表示出y1和y2；(3)在（2）的條件下，問：買哪一種獎品更省錢？【答案】(1)甲、乙兩種獎品的單價分別是20元，16元；(2)y1=18x，；(3)當(dāng)購買的獎品少于8個時，選擇購買甲種商品更省錢，當(dāng)購買獎品8個時，購買甲或者乙商品消費一樣，當(dāng)購買的商品多于8個時，選擇購買乙種商品更省錢．【分析】（1）根據(jù)購買甲獎品4個和乙獎品3個，需用去128元；購買甲獎品5個和乙獎品4個，需用去164元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，從而可以解答本題；（2）根據(jù)“A商場，按原價9折銷售；B商場，購買不超過6個按原價銷售，超出6個的部分按原價的6折銷售”可以分別寫出y1和y2；（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，利用分類討論的方法，可以得到買哪一種獎品更省錢．(1)解：（1）設(shè)甲、乙兩種獎品的單價分別是a元、b元，，解得：，答：甲、乙兩種獎品的單價分別是20元，16元；(2)由題意可得，y1=20x×0.9=18x，當(dāng)x＞6時，y2=20×6+20（x-6）×0.6=12x+48，即；(3)令18x=12x+48，解得，x=8，當(dāng)18x＞12x+48時，得x＞8，當(dāng)18＜12x+48時，得x＜8，答：當(dāng)購買的獎品少于8個時，選擇購買甲種商品更省錢，當(dāng)購買獎品8個時，購買甲或者乙商品消費一樣，當(dāng)購買的商品多于8個時，選擇購買乙種商品更省錢．【點睛】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用、二元一次方程組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和方程的知識解答．24．（2022·山西·八年級期末）如圖，從點O引射線OM，ON，點A，B分別在射線OM，ON上，點C為平面內(nèi)一點，連接AC，BC，有∠ACB＝∠O．(1)如圖1，若AO∥BC，求證：AC∥ON；(2)如圖2，若∠ABC＝∠ABO，AC⊥OM，請求出∠CBD和∠O的度數(shù)的等量關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，過點C作CD∥OM交射線ON于點D．當(dāng)∠CDN＝8∠CBD時，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)∠CBD+2∠O＝90°，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠OAB＝∠CBA，結(jié)合題意判定△OAB≌△CBA，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ABO＝∠BAC，即可判定AC∥ON；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及題意得到∠OAB＝∠CAB＝45°，再利用三角形內(nèi)角和定理及三角形外角性質(zhì)即可得解∠CBD+2∠O＝90°；（3）根據(jù)三角形外角性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及題意即可得解．（1）證明：∵AO∥BC，∴∠OAB＝∠CBA，在△OAB和△CBA中，，∴△OAB≌△CBA（AAS），∴∠ABO＝∠BAC，∴AC∥ON；（2）解：∠CBD+2∠O＝90°，理由如下：在△AOB和△ACB中，，∴△AOB≌△ACB（AAS），∴∠OAB＝∠CAB，∵AC⊥OM，∴∠OAC＝90°，∴∠OAB＝∠CAB＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABO＝180°﹣45°﹣∠O＝135°﹣∠O，即∠ABD+∠CBD＝135°﹣∠O，∵∠ABD＝∠O+∠OAB＝∠O+45°，∴∠O+45°+∠CBD＝135°﹣∠O，∴∠CBD+2∠O＝90°；（3）解：∵∠CDN＝∠CBD+∠BCD，∠CDN＝8∠CBD，∴∠BCD＝7∠CBD＝∠BCA+∠ACD＝∠O+∠ACD，∵CD∥OM，∴∠ACD＝∠OAC＝90°，∴7∠CBD＝∠O+90°，由（2）得，7×（90°﹣2∠O）＝∠O+90°，∴∠O＝36°，∴∠ABC＝135°﹣∠O＝99°．【點睛】本題考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．25．（2022·浙江·八年級期末）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：∠MBN＝30°，點A為射線BM上一點，且AB＝4，點C為射線BN上動點，連接AC，以AC為邊在AC右側(cè)作等邊三角形ACD，連接BD．當(dāng)AC⊥BN時，求BD的長．小明發(fā)現(xiàn)：以AB為邊在左側(cè)作等邊三角形ABE，連接CE，能得到一對全等的三角形，再利用∠EBC＝90°，從而將問題解決（如圖1）．請回答：(1)在圖1中，小明得到的全等三角形是△≌△；BD的長為．(2)動點C在射線BN上運動，當(dāng)運動到AC時，求BD的長；(3)動點C在射線BN上運動，求△ABD周長最小值．【答案】(1)ABD，ACE，；(2)BD的長為；(3)＋4．【分析】（1）根據(jù)SAS可證△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，利用勾股定理求出CE即可得出BD的長度；（2）作AH⊥BC于點H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，求出BH，HC即BC的長度，再利用勾股定理即可求出CE的長度，由（1）知BD＝CE，據(jù)此得解；（3）作AH⊥BC于點H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，延長EB至F，使BF＝EB，連接AF交BN于C'，連接EC'，此時BD＋AC'有最小值即為AF，此時△ABD周長＝AF＋AB最小，求出AF即可．（1）解：∵△ACD和△ABE是等邊三角形，∴∠EAB＝∠DAC＝60°，AD＝AC，∴∠EAB＋∠BAC＝∠DAC＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△ABD和△AEC中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∵AB＝4，∠MBN＝30°，∴AC＝2，∴BC＝，∴BD＝CE＝，故答案為：ABD，ACE，；（2）解：如下圖，作AH⊥BC于點H，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，連接CE，∵AB＝4，∠MAN＝30°，∴AH＝2，BH＝，∵AC＝，∴HC＝，∴BC＝BH＋HC＝＋＝，∴CE＝，由（1）可知BD＝CE，∴此時BD的長為；（3）解：如圖，以AB為邊在左側(cè)作等邊△ABE，延長