4概率的基本性質(zhì)

概率的基本性質(zhì)

比如在擲骰子這個(gè)試驗(yàn)中：“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于或等于3”這個(gè)事件中包含了哪些結(jié)果呢？①“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1”②“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2”③“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為3”這三個(gè)結(jié)果

上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件的概率，舉了生活中與概率知識(shí)有關(guān)的許多實(shí)例。今天我們來研究概率的基本性質(zhì)。在研究性質(zhì)之前，我們先來研究一下事件之間有什么關(guān)系。你能寫出在擲骰子的試驗(yàn)中出現(xiàn)的其它事件嗎？C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}；C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}；C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}；C4={出現(xiàn)4點(diǎn)}；C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}；C6={出現(xiàn)6點(diǎn)}；上述事件中有必然事件或不可能事件嗎？有的話，哪些是？D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}；D2={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}；D3={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}；E={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7};F={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6};G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)};H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)};……2.若事件C1發(fā)生，則還有哪些事件也一定會(huì)發(fā)生？反過來可以嗎？3.上述事件中，哪些事件發(fā)生會(huì)使得K={出現(xiàn)1

點(diǎn)或5點(diǎn)}也發(fā)生？6.在擲骰子實(shí)驗(yàn)中事件G和事件H是否一定有一個(gè)會(huì)發(fā)生？5.若只擲一次骰子，則事件C1和事件C2有可能同時(shí)發(fā)生么？4.上述事件中，哪些事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件D2且事件D3同時(shí)發(fā)生?（一）事件的關(guān)系和運(yùn)算：BA如圖：例.事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}發(fā)生，則事件H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}也一定會(huì)發(fā)生，所以注：不可能事件記作，任何事件都包括不可能事件。（1）包含關(guān)系一般地，對(duì)于事件A與事件B，如果事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，這時(shí)稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B）,記作（2）相等關(guān)系B

A如圖：例.事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}發(fā)生，則事件D1={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}就一定會(huì)發(fā)生，反過來也一樣，所以C1=D1。一般地，對(duì)事件A與事件B，若，那么稱事件A與事件B相等，記作A=B。（3）并事件（和事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的并事件（或和事件），記作。B

A如圖：例.若事件K={出現(xiàn)1點(diǎn)或5點(diǎn)}發(fā)生，則事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}中至少有一個(gè)會(huì)發(fā)生，則（4）交事件（積事件）若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，則稱此事件為事件A和事件B的交事件（或積事件）記作B

A如圖：例.若事件M={出現(xiàn)1點(diǎn)且5點(diǎn)}發(fā)生，則事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C5={出現(xiàn)5點(diǎn)}同時(shí)發(fā)生，則（5）互斥事件若為不可能事件（），那么稱事件A與事件B互斥，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中都不會(huì)同時(shí)發(fā)生。AB如圖：例.因?yàn)槭录﨏1={出現(xiàn)1點(diǎn)}與事件C2={出現(xiàn)2點(diǎn)}不可能同時(shí)發(fā)生，故這兩個(gè)事件互斥。（6）互為對(duì)立事件若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對(duì)立事件，其含義是：事件A與事件B在任何一次試驗(yàn)中有且僅有一個(gè)發(fā)生。AB如圖：例.

事件G={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}與事件H={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}即為互為對(duì)立事件。①互斥事件可以是兩個(gè)或兩個(gè)以上事件的關(guān)系，而對(duì)立事件只針對(duì)兩個(gè)事件而言。②從定義上看，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，也就是不可能同時(shí)發(fā)生；而對(duì)立事件除了要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求這二者之間必須要有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對(duì)立事件。③從集合角度看，幾個(gè)事件彼此互斥，是指這幾個(gè)事件所包含的結(jié)果組成的集合的交集為空集；而事件A的對(duì)立事件A所包含的結(jié)果組成的集合是全集中由事件A所包含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集。互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別：集合A與集合B的交為空集事件A與事件B互斥

=

集合A與集合B的交事件A與事件B的交

集合A與集合B的并事件A與事件B的并

集合A與集合B相等事件A與事件B相等

=

集合B包含集合A事件B包含事件AB集合A的補(bǔ)集事件A的對(duì)立事件CUA

的子集事件A

中的元素試驗(yàn)的可能結(jié)果

空集不可能事件

全集必然事件

集合論概率論符號(hào)A1.概率P(A)的取值范圍（1）0≤P(A)≤1.（2）必然事件的概率是1.（3）不可能事件的概率是0.（4）若AB,則P(A)≤P(B)（二）概率的基本性質(zhì)思考：擲一枚骰子,事件C1={出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件

C3={出現(xiàn)3點(diǎn)}則事件C1

C3發(fā)生的頻率與事件C1和事件C3發(fā)生的頻率之間有什么關(guān)系?結(jié)論：當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí)2.概率的加法公式：如果事件A與事件B互斥，則P(A

B)=P(A)+P(B)若事件A，B為對(duì)立事件,則P(B)=1－P(A)3.對(duì)立事件的概率公式注意：1.利用上述公式求概率是，首先要確定兩事件是否互斥，如果沒有這一條件，該公式不能運(yùn)用。即當(dāng)兩事件不互斥時(shí)，應(yīng)有：如果事件A與事件B互斥，則P(A

B)=P(A)+P(B)P(A

B)=P(A)+P(B)

-

P(

)2.上述公式可推廣，即如果隨機(jī)事件A1，A2，……，An中任何兩個(gè)都是互斥事件，那么有P(A1

A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(

n)一般地，在解決比較復(fù)雜的事件的概率問題時(shí)，常常把復(fù)雜事件分解為幾個(gè)互斥事件，借助該推廣公式解決。(1)將一枚硬幣拋擲兩次，事件A：兩次出現(xiàn)正面，事件B：只有一次出現(xiàn)正面．(2)某人射擊一次，事件A：中靶，事件

B：射中9環(huán)．(3)某人射擊一次，事件A：射中環(huán)數(shù)大于5，事件B：射中環(huán)數(shù)小于5.(1),(3)為互斥事件1、判斷下列每對(duì)事件是否為互斥事件（一）獨(dú)立思考后回答2、某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學(xué)參加演講比賽．判斷下列每對(duì)事件是不是互斥事件，如果是，再判別它們是不是對(duì)立事件．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．不互斥互斥不對(duì)立不互斥互斥且對(duì)立3、袋中裝有白球3個(gè)，黑球4個(gè)，從中任取3個(gè)，是對(duì)立事件的為()①恰有1個(gè)白球和全是白球；②至少有1個(gè)白球和全是黑球；③至少有1個(gè)白球和至少有2個(gè)白球；④至少有1個(gè)白球和至少有1個(gè)黑球．

A．①B．②

C．③

D．④B4.從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝｛三件產(chǎn)品全不是次品｝B＝｛三件產(chǎn)品全是次品｝C＝｛三件產(chǎn)品不全是次品｝則下列結(jié)論正確的是（）A.只有A和C互斥B.只有B與C互斥C.任何兩個(gè)均互斥D.任何兩個(gè)均不互斥C5.從裝有兩個(gè)紅球和兩個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么，互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球C6.如果事件A,B是互斥事件，則下列說法正確的個(gè)數(shù)有（）A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)①A∪B是必然事件；②A∪B是必然事件；③A與B也一定互斥；④0≤P(A)+P(B)<1;⑤P(A)+P(B)=1;⑥0≤P(A)+P(B)≤1A6．甲、乙兩人下象棋，甲獲勝的概率為30%，兩人下成和棋的概率為50%，則乙獲勝的概率為________，甲不輸?shù)母怕蕿開_______．

80%20%8.某射手射擊一次射中，10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別是0.24、0.28、0.19、

0.16，計(jì)算這名射手射擊一次1）射中10環(huán)或9環(huán)的概率；2）至少射中7環(huán)的概率.3）射中環(huán)數(shù)不足8環(huán)的概率.(二)根據(jù)題意列清各事件后再求解，完成后自由發(fā)言.0.520.870.299、在一次數(shù)學(xué)考試中，小明的成績(jī)?cè)?0分以上的概率是0.13，在80～89分以內(nèi)的概率是0.55，在70～79分以內(nèi)的概率是0.16，在60～69分以內(nèi)的概率是0.12，求小明成績(jī)?cè)?0分以上的概率和小明成績(jī)不及格的概率．[解析]

分別記小明成績(jī)?cè)?0分以上，在80～89分，在70～79分，在60～69分，60分以下(不及格)為事件A、B、C、D、E，顯然它們彼此互斥，故小明成績(jī)?cè)?0分以