第二十四章 相似三角形（11個(gè)知識(shí)歸納+10類題型突破）（原卷版）

第二十四章相似三角形（11個(gè)知識(shí)歸納+10類題型突破）1.掌握線段的比與成比例線段的概念；2.掌握黃金分割的相關(guān)概念；3、掌握相似三角形的性質(zhì)與判定4、掌握平面向量的概念及其線性運(yùn)算；知識(shí)點(diǎn)一、線段的比與成比例線段線段的比兩條線段長度的比叫做兩條線段的比.注意：求兩條線段的比時(shí)必須統(tǒng)一單位）．成比例線段四條線段、、、中，如果，那么這四條線段、、、叫做成比例線段，簡稱比例線段．知識(shí)點(diǎn)二、比例的性質(zhì)基本性質(zhì)合比的性質(zhì)等比性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)三、黃金分割黃金分割若線段AB上一點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC與BC（AC>BC），如果，這時(shí)稱點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，這個(gè)比值稱為黃金比，它的值為．知識(shí)點(diǎn)四、相似圖形相似圖形在數(shù)學(xué)上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點(diǎn)詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當(dāng)“形狀相同”且“大小相同”時(shí)，兩個(gè)圖形是全等；相似多邊形如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點(diǎn)詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應(yīng)邊的比稱為相似比．知識(shí)點(diǎn)五、平行線分線段成比例定理定理三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推論平行于三角形一邊截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。圖形：幾何語言：∵DE∥BC，∴，，知識(shí)點(diǎn)六、相似三角形的判定預(yù)備定理平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．判定1有兩個(gè)角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．判定2兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似．判定3三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似直角三角形的特殊判定若一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．知識(shí)點(diǎn)七、相似三角形的性質(zhì)性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)邊成比例，對應(yīng)角相等。性質(zhì)2相似三角形的周長比等于相似比。∽，則由比例性質(zhì)可得：類似地，我們還可以得到：相似多邊形周長的比等于相似比。性質(zhì)3相似三角形的面積比等于相似比的平方?！?，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的。如果把兩個(gè)相似多邊形分成若干個(gè)相似的三角形，我們還可以得到：相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質(zhì)4相似三角形的對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比、對應(yīng)角平分線之比等于相似比。要點(diǎn)詮釋：要特別注意“對應(yīng)”兩個(gè)字，在應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段。知識(shí)點(diǎn)八、位似圖形定義兩個(gè)相似圖形，如果對應(yīng)點(diǎn)的連線交于同一點(diǎn)，對應(yīng)邊平行或在同一直線上，像這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比．性質(zhì)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比都等于相似比．畫位似圖形的步驟確定位似中心；連結(jié)原圖形中關(guān)鍵點(diǎn)與位似中心的線段（或延長線）；按相似比進(jìn)行取點(diǎn)；（4）順次連接各點(diǎn)，所得的圖形就是所求的圖形。知識(shí)點(diǎn)九、相似三角形模型模型一：A、8模型已知：，結(jié)論模型二：共邊共角型已知：，結(jié)論：模型三：一線三角型模型四：相似與旋轉(zhuǎn)模型五：垂直相似結(jié)論①△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC； ②△ADC∽△ACB，AC2＝AD·AB； ③△CDB∽△ACB，CB2＝BD·BA.知識(shí)點(diǎn)十向量的相關(guān)概念1、平面向量的相關(guān)概念（1）向量：既有大小、又有方向的量叫做向量；（2）向量的長度：向量的大小也叫做向量的長度（或向量的模）；（3）零向量：長度為零的向量叫做零向量，記作；（4）相等的向量：方向相同且長度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量；（5）互為相反向量：方向相反且長度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量；（6）平行向量：方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量．2、平面向量的加減法則（1）幾個(gè)向量相加的多邊形法則；（2）向量減法的三角形法則；（3）向量加法的平行四邊形法則．3、實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算設(shè)k是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么k與相乘所得的積是一個(gè)向量，記作．（1）如果，且，那么的長度；的方向：當(dāng)k>0時(shí)與同方向；當(dāng)k<0時(shí)與反方向．（2）如果k=0或，那么．4、實(shí)數(shù)與向量相乘的運(yùn)算律設(shè)m、n為實(shí)數(shù)，則（1）；（2）；（3）．5、平行向量定理如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)m，使．6、單位向量單位向量：長度為1的向量叫做單位向量．設(shè)為單位向量，則．單位向量有無數(shù)個(gè)；不同的單位向量，是指它們的方向不同．對于任意非零向量，與它同方向的單位向量記作．由實(shí)數(shù)與向量的乘積可知：，．知識(shí)點(diǎn)十一向量的線性運(yùn)算1、向量的線性運(yùn)算向量加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線性運(yùn)算．如、、、等，都是向量的線性運(yùn)算．一般來說，如果、是兩個(gè)不平行的向量，是平面內(nèi)的一個(gè)向量，那么可以用、表示，并且通常將其表達(dá)式整理成的形式，其中x、y是實(shí)數(shù)．2、向量的合成與分解如果、是兩個(gè)不平行的向量，（m、n是實(shí)數(shù)），那么向量就是向量與的合成；也可以說向量分解為、兩個(gè)向量，這時(shí)，向量與是向量分別在、方向上的分向量，是向量關(guān)于、的分解式．平面上任意一個(gè)向量都可以在給定的兩個(gè)不平行向量的方向上分解．題型一位似圖形的相關(guān)題型1．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于位似圖形的表述：①相似圖形一定是位似圖形，位似圖形一定是相似圖形；②位似圖形一定有位似中心；③如果兩個(gè)圖形是相似圖形，且每組對應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線都經(jīng)過同一個(gè)點(diǎn)，那么這兩個(gè)圖形是位似圖形；④位似圖形上任意兩點(diǎn)與位似中心的距離之比等于位似比．其中正確命題的序號(hào)是（

）A．②③ B．①② C．③④ D．②③④2．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學(xué)附中校考期末）如圖，與是位似圖形，位似比為1：4，若，則的長為()

A．4 B．6 C．8 D．103．（2023·湖南衡陽·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形與四邊形位似，其位似中心為點(diǎn)，且，則（）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)是四邊形與的位似中心，則；，．2．（2023·遼寧朝陽·?？级＃┤鐖D，已知與是位似圖形，位似中心是O，若與的周長比為2：1，的面積為3，則的面積為．

3．（2023春·廣西防城港·九年級校考階段練習(xí)）如圖，是由等腰直角經(jīng)過位似變換得到的，點(diǎn)均在軸上，已知：，，則兩個(gè)三角形在軸上的位似中心點(diǎn)的坐標(biāo)是．4．（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，已知圖中的每個(gè)小方格都是邊長為1的小正方形，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，若與是位似圖形且頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．

(1)在圖中畫出位似中心的位置，并寫出位似中心的坐標(biāo)；(2)與的位似比為__________，面積比為__________．5．（2023秋·安徽六安·九年級?？计谀┤鐖D，圖中的小方格是邊長為1的正方形，與是關(guān)于點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，它們的頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)上．（1）畫出位似中心點(diǎn)O；（2）求出與'的位似比；（3）以點(diǎn)O為位似中心，在圖中畫一個(gè)，使它與的位似比等于3∶2．6．（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為①以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到；②以點(diǎn)為位似中心，將放大，使相似比為，且點(diǎn)在第三象限．（1）在圖中畫出和；（2）請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)：（______，______）（3）在上面的（2）問下，直接寫出在線段上的任意動(dòng)點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)：（______，______）．題型二黃金分割1．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）已知線段，點(diǎn)P是線段的黃金分割點(diǎn)，則線段的長為（

）A． B． C． D．2．（2023·云南昆明·統(tǒng)考二模）如果矩形滿足，那么矩形叫做“黃金矩形”，如圖，已知矩形是黃金矩形，對角線，相交于且，則關(guān)于黃金矩形，下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．矩形的周長3．（2023春·九年級課前預(yù)習(xí)）公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》系統(tǒng)地論述了黃金分割，稱為最早的有關(guān)黃金分割的論著．“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．如圖，點(diǎn)C把線段分成兩份，如果，那么稱點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚，健康，可愛，活潑，他泛著可愛笑容的嘴巴位于黃金分割點(diǎn)處，若玩偶身高，則玩偶嘴巴離地高度是___m．

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·江蘇鹽城·九年級校聯(lián)考期中）已知線段，若是的黃金分割點(diǎn)，則長為．（，精確到）2．（2023·廣東深圳·深圳市高級中學(xué)?？级＃S金分割廣泛存在于藝術(shù)、自然、建筑等領(lǐng)域，例如，楓葉的葉脈蘊(yùn)含著黃金分割．如圖，B為的黃金分割點(diǎn)（），如圖長度為，則的長度約為．（黃金分割率為）?3．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）鸚鵡螺是一類古老的軟體動(dòng)物．鸚鵡螺曲線的每個(gè)半徑和后一個(gè)半徑的比都是黃金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如圖，P是的黃金分割點(diǎn)（），若線段的長為8cm，則的長為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）4．（2023秋·河北保定·九年級統(tǒng)考期末）如圖，已知線段，用尺規(guī)作圖法按如下步驟作圖．

（1）過點(diǎn)B作的垂線，并在垂線上?。?）連接，以點(diǎn)C為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)E．（3）以點(diǎn)A為圓心，為半徑畫弧，交于點(diǎn)D．則點(diǎn)D是線段的黃金分割點(diǎn)，請說明其中的道理．5．（2023·江西南昌·統(tǒng)考一模）美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高，下半身長與身高的比值是．(1)求該女士下半身長；(2)為盡可能達(dá)到美的效果，求她應(yīng)穿的高跟鞋的高度．（結(jié)果精確到）6．（2023秋·山西運(yùn)城·九年級統(tǒng)考期末）閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)：黃金分割：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯（Eudoxus，約前408年一前355年）發(fā)現(xiàn)：如圖1，將一條線段AB分割成長、短兩條線段AP、PB，若短段與長段的長度之比等于長段的長度與全長之比，即（此時(shí)線段AP叫做線段PB，AB的比例中項(xiàng)），則可得出這一比值等于（0.618…）．這種分割稱為黃金分割，這個(gè)比值稱為黃金比，點(diǎn)P叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．采用如下方法可以得到黃金分割點(diǎn)：如圖2，設(shè)AB是已知線段，經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB于點(diǎn)B，且使BD＝AB，連接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是線段AB的黃金分割點(diǎn)．任務(wù)：（1）求證：C是線段AB的黃金分割點(diǎn)．（2）若BD＝1，則BC的長為．題型三三角形一邊的平行線1．（2023秋·陜西西安·九年級西安市鐵一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，且，則的值為（

）

A． B． C． D．2．（2023春·吉林長春·八年級?？计谀┤鐖D，，根據(jù)“平行線分線段成比例定理”，下列比例式中不正確的是（

）

A． B． C． D．3．（2023春·福建莆田·八年級校考期末）如圖，直線，直線和被，，所截，，，，則的長為（）A． B． C．5 D．9鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·黑龍江大慶·九年級?？奸_學(xué)考試）如圖，，如果，，，那么．

2．（2023春·黑龍江大慶·九年級校考期末）如圖，直線．分別交直線m、n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)．若，，則的長為．3．（2023·河北衡水·校聯(lián)考二模）如圖，已知在中，，，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線與交于點(diǎn)Q，依據(jù)尺規(guī)作圖痕跡解決下列問題．

（1）與是否平行？（填“是”或“否”）；（2）的周長為．4．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，點(diǎn)、、分別在、、上，，．若，，，求的長度．5．（2023·全國·模擬預(yù)測）下面是證明直角三角形的一個(gè)性質(zhì)定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖，中，，點(diǎn)D為邊上中點(diǎn)．求證：．方法一證明：延長至點(diǎn)E，使得，連接，．

方法二證明：過點(diǎn)D作于E．

6．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．梅涅勞斯（Menelaus）是公元一世紀(jì)時(shí)的希臘數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家，著有幾何學(xué)和三角學(xué)方面的許多書籍．梅涅勞斯發(fā)現(xiàn)，三角形各邊（或其延長線）被一條不過任何一個(gè)頂點(diǎn)也不與任何一條邊平行的直線所截，這條直線可能與三角形的兩條邊相交（一定還會(huì)與一條邊的延長線相交），也可能與三條邊都不相交（與三條邊的延長線都相交）．他進(jìn)行了深入研究并證明了著名的梅涅勞斯定理（簡稱梅氏定理）：設(shè)，，依次是的三邊，，或其延長線上的點(diǎn)，且這三點(diǎn)共線，則滿足．這個(gè)定理的證明步驟如下：情況①：如圖1，直線交的邊于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，交邊的延長線與點(diǎn)．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，（依據(jù)），∴，∴，即．情況②：如圖2，直線分別交的邊，，的延長線于點(diǎn)，，．…(1)情況①中的依據(jù)指：；(2)請你根據(jù)情況①的證明思路完成情況②的證明；(3)如圖3，，分別是的邊，上的點(diǎn)，且，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)，那么題型四相似三角形的判定定理1．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，下列條件不能判定的是（

）A． B．C． D．2．（2023秋·九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，為線段上的一點(diǎn)，與交于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B．C． D．3．（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）如圖，下列條件：①；②；③；④；其中單獨(dú)能夠判定的條件有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·陜西西安·九年級高新一中?？奸_學(xué)考試）如圖，P是的邊上一點(diǎn)，請?zhí)砑右粋€(gè)條件使得與相似，則你添加的條件可以是，（只需添加一個(gè)符合的條件即可）

2．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）如圖，在正方形網(wǎng)格中：①；②；③；這3個(gè)斜三角形中，能與相似的是．（點(diǎn)、、、、均在格點(diǎn)上）3．（2023秋·河南漯河·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)在上，當(dāng)為時(shí)，與以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形相似．

4．（2023春·吉林長春·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)是的邊上的一點(diǎn)，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，若，，求證：．

5．（2023秋·河北滄州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)，分別在的邊，上，且，，，，求證：．

6．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考三模）如圖所示，延長平行四邊形一邊至點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)E，若．

(1)求證：；(2)若，求的長．題型五相似三角形的性質(zhì)定理1．（2023春·四川達(dá)州·九年級?？计谥校┤鐖D，在中，為上一點(diǎn)，連接，，且與相交于點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．2．（2023春·重慶沙坪壩·九年級重慶一中?？计谥校┤鐖D，與位似，點(diǎn)O為位似中心，若的周長等于周長的．，則的長度為（

）

A．4 B．6 C．8 D．103．（2023春·山東濟(jì)寧·九年級統(tǒng)考期末）如圖，矩形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，當(dāng)時(shí)，的長為（

）

A．3 B．4 C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023·河南平頂山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，中，，點(diǎn)D、E分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，折疊得到，且點(diǎn)落在BC邊上，若恰好與相似，則的長為．

2．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在平行四邊形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，交對角線于點(diǎn)，則的值為．

3．（2023春·海南?？凇ぞ拍昙壓？谑械诰胖袑W(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，在邊長為的菱形中，，將菱形沿翻折，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)G落在對角線上．若，則的長為cm，的長為cm．

4．（2023春·河北邢臺(tái)·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，為上一點(diǎn)，．

(1)求證：；(2)若平分，，求的長．5．（2023春·湖南株洲·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）如圖，已知矩形，點(diǎn)在邊上，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．

(1)求證：．(2)若，，，求的長．6．（2023春·福建泉州·八年級?？计谀?）如圖①，中，．動(dòng)點(diǎn)、、分別在邊，，上，且，設(shè)，，求，，應(yīng)滿足的條件；（2）如圖②，四邊形中，，在射線上作點(diǎn)，線段上作點(diǎn)，，且上只存在唯一的點(diǎn)，求作符合條件的點(diǎn)，．（要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫作法）

題型六重心的有關(guān)性質(zhì)1．（2023·陜西西安·西安市鐵一中學(xué)校考模擬預(yù)測）在等腰中，，分別是，的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，點(diǎn)的位置在（

）

A．的重心處 B．的中點(diǎn)處 C．點(diǎn)處 D．點(diǎn)處2．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)G為的重心，連接CG，AG并延長分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF，若，則EF的長度為（

）

A．1.7 B．1.8 C．2.2 D．3.43．（2023春·福建泉州·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，，點(diǎn)是的重心，，垂足為，若，則線段的長度為（

）A．4 B．3 C．6 D．鞏固訓(xùn)練1．（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)第二中學(xué)校考二模）等腰中，，，則重心G到底邊的距離是．2．（2023·上海·一模）如圖，G是的重心，延長交于點(diǎn)D，延長交于點(diǎn)E，P、Q分別是和的重心，長為6，則的長為．3．（2023·江蘇無錫·模擬預(yù)測）如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B（-2，3），點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，OB=BC，點(diǎn)M為△OBC的重心，若將△OBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)為4．（2023春·安徽蕪湖·八年級校考階段練習(xí)）如圖，是的重心，且，，，求中邊上的高．

5．（2023·江西·九年級專題練習(xí)）如圖均是由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．利用網(wǎng)格和無刻度的直尺作圖，保留痕跡，不寫作法．(1)在圖①中，作出△ABC的重心O．(2)在圖②中，在△ABC的邊AC上找一點(diǎn)P，連接BP，使△ABP的面積為△ABC面積的．6．（2023·吉林松原·校聯(lián)考二模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）上，請僅用無刻度直尺完成以下作圖．（保留作圖痕跡）(1)在圖1中作的重心（提示：三角形三條邊上的中線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫三角形的重心）；(2)在圖2中作，且G是格點(diǎn)．（畫出一個(gè)即可）題型七相似三角形的動(dòng)點(diǎn)問題1．（2023秋·九年級單元測試）如圖，在中，，，，是上一點(diǎn)，，點(diǎn)從出發(fā)沿方向，以的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)處，線段將分成兩部分，可以使其中一部分與相似的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（

）A．0個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2023春·八年級單元測試）如圖，中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，直到它們都到達(dá)點(diǎn)C為止．線段PQ的長度為y（cm），點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），則y與t的函數(shù)圖象是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·云南楚雄·九年級校考期中）如圖，在銳角三角形中，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)停止，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)到點(diǎn)停止，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為，如果兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，那么以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形與相似時(shí)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．或 B． C． D．或鞏固訓(xùn)練1．（2023秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，與相似．2．（2023秋·山東濱州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．若點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過秒鐘，與相似．3．（2023春·江蘇淮安·八年級校考期中）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿著邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿著邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止，點(diǎn)Q也隨之停止．運(yùn)動(dòng)過程中，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與相似，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為s．4．（2023春·黑龍江大慶·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，多長時(shí)間后，與相似？

5．（2023秋·湖南益陽·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，BA＝BC＝20cm，AC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿CA以3cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．(1)當(dāng)時(shí)，求x的值．(2)△APQ與△CQB能否相似？若能，求出AP的長；若不能，請說明理由．6．（2023秋·四川樂山·九年級統(tǒng)考期末）如圖，正方形的邊與矩形的邊重合，將正方形以秒的速度沿方向移動(dòng)，移動(dòng)開始前點(diǎn)與點(diǎn)重合．已知正方形的邊長為，，，設(shè)正方形移動(dòng)的時(shí)間為秒，且．(1)當(dāng)______秒時(shí)，；(2)若以、、為頂點(diǎn)的三角形同相似，求的值；(3)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接．①若的面積為，的面積為，則的值會(huì)發(fā)生變化嗎？請說明理由；②當(dāng)線段所在直線與正方形的對角線垂直時(shí)，求線段的長．題型八相似三角形的應(yīng)用1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，身高的小亮站在某路燈下，發(fā)現(xiàn)自己的影長恰好是，經(jīng)測量，此時(shí)小亮離路燈底部的距離是，則路燈離地面的高度是（

）A． B． C． D．2．（2023春·安徽·九年級專題練習(xí)）《墨經(jīng)》最早述及的小孔成像，是世界上最早的關(guān)于光學(xué)問題的論述．如圖是小孔成像原理的示意圖，根據(jù)圖中所標(biāo)注的尺寸，這支蠟燭在暗盒中所成的像的長是（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·山西大同·九年級統(tǒng)考期末）同學(xué)們在物理課上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)．如圖，蠟燭與帶“小孔”的紙板之間的距離是帶“小孔”的紙板與光屏間距離的一半，當(dāng)蠟燭火焰的高度為時(shí)，所成的像的高度為（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·吉林長春·八年級校考期末）明珠綠星數(shù)學(xué)社團(tuán)想利用標(biāo)桿測量樓高，小明先在處堅(jiān)立一根高的標(biāo)桿，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)、、在同一直線上．測得，，已知，點(diǎn)、、在同一直線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)．則樓高為m．

2．（2023春·吉林長春·八年級長春市解放大路學(xué)校校考期末）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼晴離地面高度為米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為米，鏡子與旗桿的水平距離為米，則旗桿的高度為米．

3．（2023秋·河北邢臺(tái)·九年級統(tǒng)考期末）如圖，為了測量平靜的河面的寬度，即的長，在離河岸點(diǎn)米遠(yuǎn)的點(diǎn)，立一根長為米的標(biāo)桿，在河對岸的岸邊有一根長為米的電線桿，電線桿的頂端在河里的倒影為點(diǎn)，即，兩岸均高出水平面米，即米，經(jīng)測量此時(shí)三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)共線，點(diǎn)共線，且均垂直于河面，

（1）過點(diǎn)作于，則米；設(shè)交于點(diǎn)，則米；（2）河寬米．4．（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）學(xué)完了圖形的相似這一章后，某中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐小組決定利用所學(xué)知識(shí)去測量一棵大樹的高度，如圖，直立在處的標(biāo)桿米，小愛站在處，眼睛處看到標(biāo)桿頂，樹頂在同一條直線上人，標(biāo)桿和樹在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)，，在同一條直線上已知米，米，米，請根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助實(shí)踐小組求出該樹的高度．5．（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）西安古城墻凝聚了中國古代勞動(dòng)人民的智慧，它作為古城西安的地標(biāo)性建筑，吸引了不少人慕名而來．節(jié)假日，看見宏偉的城墻后，他想要測量城墻的高度．如圖，站在距城墻約30米的點(diǎn)N處（即米），把手臂向前伸直且讓小棍豎直，樂樂看到點(diǎn)B和城墻頂端D在一條直線上，點(diǎn)C和底端E在一條直線上．已知樂樂的臂長約為60厘米，小棍長24厘米，求城墻的高度．

6．（2023春·河南南陽·九年級淅川縣第一初級中學(xué)校聯(lián)考期中）“參天三柏倚高峰，武帝曾經(jīng)駐六龍”講的是嵩陽書院內(nèi)的三棵古柏現(xiàn)存兩棵，分別名為“大將軍柏”和“二將軍柏”，林學(xué)專家測定，古柏的樹齡不低于年，是我國現(xiàn)存最古老和最大的柏樹某中學(xué)數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組欲測量“二將軍柏”的高度，他們利用太陽光照射下的影長進(jìn)行測量小西先在大樹影子端點(diǎn)處豎立了一根長為米的木棒，并測得木棒的影長米，然后小樂在的延長線上找到點(diǎn)，使得點(diǎn)，，在同一直線上，并測得米，已知圖中所有點(diǎn)均在同一平面內(nèi)，且，，根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù)，請你幫助該課題學(xué)習(xí)小組求出“二將軍柏”的高度結(jié)果精確到米．題型九實(shí)數(shù)與向量相乘1．（2023春·上海奉賢·八年級統(tǒng)考期末）下列關(guān)于向量說法錯(cuò)誤的是（

）A．既有大小，又有方向的量叫做向量 B