基于雙線性變換法的IIR數(shù)字高通濾波器設計

基于雙線性變換法的IIR數(shù)字高通濾波器設計摘要隨著信息時代和數(shù)字世界的到來，數(shù)字信號處理已成為當今一門極其重要的學科和技術領域。在數(shù)字信號處理中起著重要的作用并已獲得廣泛應用的是數(shù)字濾波器〔DF，DigitalFilter〕。數(shù)字濾波器是一種用來過濾時間離散信號的數(shù)字系統(tǒng)，通過對抽樣數(shù)據(jù)進行數(shù)學處理來到達頻域濾波的目的。實現(xiàn)IIR濾波器的階次較低，所用的存儲單元較少，效率高，精度高，而且能夠保存一些模擬濾波器的優(yōu)良特性，因此應用很廣。Matlab軟件以矩陣運算為根底，把計算、可視化及程序設計有機融合到交互式工作環(huán)境中，并且為數(shù)字濾波的研究和應用提供了一個直觀、高效、便捷的利器。尤其是Matlab中的信號處理工具箱使各個領域的研究人員可以直觀方便地進行科學研究與工程應用。本次主要利用matlab的信號處理工具箱設計一個數(shù)字高通IIR濾波器，并用此濾波器處理一段音頻信號。此報告重點介紹了用雙線性不變法設計IIR數(shù)字濾波器的根本流程，比擬了各種設計方法的優(yōu)缺點，總結了模擬濾波器的性能特征。最后以雙線性不變法設計了一個高通巴特沃斯IIR數(shù)字濾波器，介紹了設計步驟，然后在Matlab環(huán)境下進行了仿真與調(diào)試，實現(xiàn)了設計目標。關鍵字IIR數(shù)字濾波器巴特沃斯高通雙線性變換MATLABAbstractWiththeinformationeraandtheadventofthedigitalworld,digitalsignalprocessinghasbecomeoneoftheimportantfieldsofscienceandtechnology.Inthedigitalsignalprocessingplaysanimportantroleandhasbeenwidelyappliedinthedigitalfilter.Digitalfilterisadiscretetimesignalisusedtofilterthedigitalsystem,throughthemathematicalprocessingofsamplingdatatoreachthegoaloffrequencydomainfilterin.ImplementationofIIRfilterorderislow,lessstorageunit,withhighefficiency,highprecision,andcankeepsomesimulationcharacteristicsoffilter,soaverywideapplication.Matlabsoftwarebasedonmatrixcomputation,thecalculation,visualizationandprogramdesignoforganicintegrationtointeractiveenvironment,andprovidesanintuitive,efficient,convenienttoolfortheresearchandapplicationofdigitalfilter..ThemainuseofsignalprocessingtoolboxofMATLABtodesignadigitalhigh-passIIRfilter,andanaudiosignalwiththefilter.ThisreportfocusesonthebasicprocessofusingthebilinearinvariantIIRdigitalfilterdesign,comparestheadvantagesanddisadvantagesofvariousdesignmethods,summarizesthecharacteristicsoftheanalogfilter.Finally,bybilinearinvarianttodesignahighButterworthIIRdigitalfilter,introducesthedesignsteps,andthenintheMatlabenvironmentforthesimulationanddebugging,achievesthedesigngoal.KeywordsIIRButterworthhigh-passbilineartransformMATLABdigitalfilter目錄TOC\o"1-3"\h\u摘要IAbstractII1．數(shù)字濾波器11.1數(shù)字濾波器介紹11.2IIR數(shù)字濾波器設計原理2雙線性變換法32．數(shù)字濾波器設計實現(xiàn)62.1典型模擬濾波器比擬62.2設計步驟62.3程序流程圖72.4音頻信號局部程序82.5仿真結果9濾波器性能仿真9濾波器除噪性能103．總結11致謝11參考文獻12附錄131．數(shù)字濾波器1.1數(shù)字濾波器介紹數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號處理裝置,其輸入、輸出均為數(shù)字信號,實質(zhì)上是一個由有限精度算法實現(xiàn)的線性時不變離散系統(tǒng)。它的根本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對系統(tǒng)輸入信號進行加工和變換,改變輸入序列的頻譜或信號波形,讓有用頻率的信號分量通過,抑制無用的信號分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念,根據(jù)其頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型,與模擬濾波器相比,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號處理的固有優(yōu)點外,還有濾波精度高(與系統(tǒng)字長有關)、穩(wěn)定性好(僅運行在0與l兩個電平狀態(tài))、靈活性強等優(yōu)點。時域離散系統(tǒng)的頻域特性:，其中，分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性〔或稱為頻譜特性〕，是數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數(shù)字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后。因此，只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的，適中選擇，使得濾波后的滿足設計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激響應(IIR)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(FIR)數(shù)字濾波器。IIR數(shù)字濾波器的特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應，需要用遞歸模型來實現(xiàn)，其差分方程為：系統(tǒng)函數(shù)為：設計IIR濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，使其頻率響應H(z)滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。1.2IIR數(shù)字濾波器設計原理IIR數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為假設M≤N，當M＞N時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個IIR的子系統(tǒng)和一個(M-N)的FIR子系統(tǒng)的級聯(lián)。IIR數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)和，它是數(shù)學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上〔通常采用最小均方誤差準那么〕去逼近系統(tǒng)的特性。如果在S平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。設計通數(shù)字濾波器通常可以歸納為如下圖的兩種常用方法。雙線性變換交換頻率雙線性變換交換頻率數(shù)字高通模擬高通模擬低通方法1 數(shù)字高通模擬高通模擬低通數(shù)字低通數(shù)字高通頻率交換雙線性變換模擬低通方法2數(shù)字低通數(shù)字高通頻率交換雙線性變換模擬低通圖1-1數(shù)字帶通濾波器設計的兩種方法方法1:首先設計一個模擬原型低通濾波器，然后通過頻率變換成所需要的模擬高通濾波器，最后再使用沖激不變法或雙線性變換成相應的數(shù)字高通濾波器。方法2:先設計一個模擬原型低通濾波器，然后采用沖激響應不變法或雙線性變換法將它轉換成數(shù)字原型低通濾波器，最后通過頻率變換把數(shù)字原型低通濾波器變換成所需要的數(shù)字高通濾波器。本課程設計采用第一種設計方法，先構造一個巴特沃斯模擬低通濾波器，然后將模擬低通濾波器轉換成模擬高通濾波器，最后利用雙線性變換將模擬高通濾波器轉換成數(shù)字高通濾波器。雙線性變換法為了克服沖激響應法可能產(chǎn)生的頻率響應的混疊失真，這是因為從S平面到Ｚ平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到-π/T～π/T之間，再用z=esT轉換到Z平面上。也就是說，第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的-π/T～π/T一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1T將此橫帶變換到整個Z平面上去。這樣就使S平面與Z平面建立了一一對應的單值關系，消除了多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖1-3圖1-3雙線性變換的映射關系為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn)式中,T仍是采樣間隔。當Ω1由-π/T經(jīng)過0變化到π/T時，Ω由-∞經(jīng)過0變化到+∞，也即映射了整個jΩ軸。將式〔1-9〕寫成將此關系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，那么得再將S1平面通過以下標準變換關系映射到Z平面z=es1T從而得到S平面和Z平面的單值映射關系為：這兩個關系式是S平面與Z平面之間的單值映射關系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換首先,把可得即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。其次，將代入，得因此由此看出，當<0時，|z|<1；當>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。雙線性變換法優(yōu)缺點：雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是防止了頻率響應的混疊現(xiàn)象。這是因為S平面與Z平面是單值的一一對應關系。S平面整個jΩ軸單值地對應于Z平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。這個關系重寫如下：上式說明，S平面上Ω與Z平面的ω成非線性的正切關系，如圖1-4所示。由圖1-4看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關系接近于線性關系；但當Ω進一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻局部超過折疊頻率而混淆到低頻局部去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。圖1-4雙線性變換法的頻率變換關系但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，圖1-4所示。由于這種頻率之間的非線性變換關系，就產(chǎn)生了新的問題。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；其次，這種非線性關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應近似等于某一常數(shù)〔這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應特性〕，不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應相對于原模擬濾波器的幅頻響應會有畸變，如圖1-5所示。圖1-5雙線性變換法幅度和相位特性的非線性映射對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。2．數(shù)字濾波器設計實現(xiàn)2.1典型模擬濾波器比擬1、Butterworth巴特沃斯濾波器：它具有單調(diào)下降的幅頻特性；即最平幅度。2、Chebyshev切比雪夫濾波器：在通帶或阻帶等波紋，可提高選擇性。3、Bessel貝塞爾濾波器：在通帶內(nèi)有較好的線性相位特性。4、Ellipse橢圓濾波器：其選擇性相對前三種是最好的。此處選擇巴特沃斯主要是想獲得最平穩(wěn)的幅頻響應。而不計較相位特性，而用雙線性變換法也會將線性相位變?yōu)榉蔷€性相位。2.2設計步驟根據(jù)以上IIR數(shù)字濾波器設計方法，下面運用雙線性變換法基于MATLAB設計一個IIR高通濾波器。(1)確定性能指標在設計高通濾波器之前,首先根據(jù)工程實際的需要確定濾波器的技術指標:通帶截止頻率fp=3200Hz；阻帶截止頻率fs=3000Hz；阻帶最小衰減As=100dB和通帶最大衰減Ap=1dB(2)把頻率轉化為數(shù)字角頻率wp=2*pi*fp*T;ws=2*pi*fs*T;(3)頻率預畸變以及模擬高通性能指標轉換成模擬低通性能指標用Ω=2/T*tan(w/2)對高通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預畸變,得到高通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp;阻帶截止頻率Ws的轉換。抽樣頻率Fs=44100Hz。通帶截止頻率Wp2=(2/T)*tan(wp/2)阻帶截止頻率Ws2=(2/T)*tan(ws/2)(4)歸一化處理；；；；；由式2-3，2-4，2-5計算出N，查表可得模擬低通濾波器的階數(shù)，從而由下式確定模擬高通濾波器的參數(shù)(5)模擬低通濾波器的構造借助巴特沃斯濾波器模型得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)。[N,Wn]=buttord(wp2,ws2,Ap,As,'s');[z,p,k]=buttap(N);[Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k);G1=tf(Bap,Aap);(6)模擬低通濾波器轉換成模擬高通濾波器調(diào)用lp2bp函數(shù)將模擬低通濾波器轉化為模擬高通濾波器。[Bbs,Abs]=lp2hp(Bap,Aap,Wn);(7)模擬高通濾波器轉換成數(shù)字高通濾波器利用雙線性變換法將模擬高通濾波器Ha(s)轉換成數(shù)字高通濾波器H(z)。[Bbz,Abz]=bilinear(Bbs,Abs,FS);2.3程序流程圖首先確定性能指標，把頻率轉化為數(shù)字角頻率，進而在進行頻率預畸變，用Ω=2/T*tan(w/2)對高通數(shù)字濾波器H(z)的數(shù)字邊界頻率預畸變,得到高通模擬濾波器H(s)的邊界頻率主要是通帶截止頻率Wp;阻帶截止頻率Ws的轉換。抽樣頻率Fs=44100Hz。上述準備工作做好之后，就先把模擬高通性能指標轉換成模擬低通性能指標，然后設計模擬低通濾波器，借助巴特沃斯濾波器模型得到模擬低通濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)。然后將模擬低通濾波器轉化為模擬高通濾波器。最后利用雙線性變換法將模擬高通濾波器Ha(s)轉換成數(shù)字高通濾波器H(z)。開始開始讀入數(shù)字濾波器技術指標讀入數(shù)字濾波器技術指標將指標轉換成歸一化模擬低通濾波器的指標將指標轉換成歸一化模擬低通濾波器的指標設計歸一化的模擬低通濾波器階數(shù)設計歸一化的模擬低通濾波器階數(shù)N和3db截止頻率模擬低通濾波器變換成模擬高通濾波器模擬低通濾波器變換成模擬高通濾波器模擬高通濾波器轉換成數(shù)模擬高通濾波器轉換成數(shù)字高通濾波器結束結束圖2-1程序流程圖2.4音頻信號局部程序〔1〕寫入聲音信號fnose=10;T=length(x)/fs;t=T/length(x):T/length(x):T;j=1:1:length(x);〔2〕產(chǎn)生噪聲并加到聲音中nose=sin(2*pi*fnose*T*j);y=x+5*nose';[b,a]=butter(N,Wn,'high');Y=fft(y);2.5仿真結果2.5.1濾波器性能仿真源程序設計了模擬低通濾波器、模擬高通濾波器與數(shù)字高通濾波器，對數(shù)字高通濾波器的性能仿真如下：2.5.2濾波器除噪性能為了實現(xiàn)濾波器的應用，程序中參加了有噪聲的音頻信號，通過對其濾波處理，來顯示數(shù)字高通濾波器的功能，下面顯示未參加噪聲，參加噪聲和濾波后的頻譜波形圖。濾波前加噪信號的波形和頻譜濾波后信號的波形和頻譜3．總結這次課設下來，對設計高通數(shù)字濾波器的整個過程有了很好的掌握，懂得了設計濾波器的根本方法，對雙線性變換法，巴特沃斯濾波器有了一定了解，同時呢也熟悉了MATLAB的環(huán)境，穩(wěn)固了相關知識。初步掌握了MATLAB語言在數(shù)字信號處理中一些根本庫函數(shù)的調(diào)用和編寫根本程序等應用；熟悉了濾波器設計的一般原理，對濾波器有了一個感性的認識；學會了數(shù)字高通濾波器設計的一般步驟；加深了對濾波器設計中產(chǎn)生誤差的原因以及雙線性變換法優(yōu)缺點的理解和認識?？傊估碚撀?lián)系了實際，穩(wěn)固并深化了對課本根本知識的認識和理解，使理論得以升華。在做本次課程設計的過程中，我深深地感受到了自己所學到知識的有限，明白了只學好課本上的知識是不夠的，要通過圖書館和互聯(lián)網(wǎng)等各種渠道來擴充自己的知識。在實驗過程中我們曾經(jīng)遇到過問題。但是從中我們學習到了如何對待遇到的困難，進一步培養(yǎng)了我們一絲不茍的科學態(tài)度和不厭其煩的耐心。所有的這些心得會對我以后的學習和工作有幫助作用，忠心感謝學校給我們提供這次實驗時機。致謝本設計過程中得到老師的悉心指導，設計過程中老師屢次幫我分析思路，開拓視角，在我遇到困難想要放棄的時候給予我最大的支持和鼓勵。老師那嚴謹求實的治學態(tài)度、踏實堅韌的工作精神，將使我終身受益；另外同學和朋友的熱心幫助也使我學到了不少的知識。再多華美的語言也顯得蒼白，在此，謹向老師和同學們致以誠摯的謝意和崇高的敬意。因為他們我對這次課程設計有了深刻的印象，雖然只有短暫的一周，但在這期間，卻讓我受益匪淺，我深刻地認識到了“理論聯(lián)系實際〞這句話的重要性與真實性。參考文獻[1]程佩青，數(shù)字信號處理.北京：清華大學出版社,2007.2[2]景振毅，張澤兵，董霖.北京：中國鐵道出版社，2023.12[3]從玉良.數(shù)字信號處理原理及其MATLAB實現(xiàn)[M].北京：電子工業(yè)出版社.2023.7[4]胡廣書.數(shù)字信號處理理論、算法與實現(xiàn)[M].北京：清華大學出版社.2003,8[5]劉波．MATLAB信號處理．北京：電子工業(yè)出版社，2006[6]施陽等．MATLAB語言工具箱．西安：西北工業(yè)大學出版社，1999[7]丁玉美．數(shù)字信號處理．西安電子科技大學出版社第二版[8]倪養(yǎng)華．數(shù)字信號處理與實現(xiàn)．上海：上海交通大學出版社，1998[9]張葛祥，李娜．MATLAB仿真技術與應用．北京：清華大學出版社，2003[10]飛思科技產(chǎn)品研發(fā)中心．MATLAB7輔助信號處理技術與應用．北京：電子工業(yè)出版社，2005附