新人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)《三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固-知識(shí)點(diǎn)整理及重點(diǎn)題型梳理(提高)

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如果三角形的三邊固定，那么三角形的形狀大小就完全固定了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變．(2)三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．(3)四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜著釘一根木板，使它不變形．要點(diǎn)三、三角形的內(nèi)角和與外角和1.三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和為180°．推論：1.直角三角形的兩個(gè)銳角互余2.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性質(zhì)：（1）三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）三角形的一個(gè)外角大于任意一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要點(diǎn)四、多邊形及有關(guān)概念

1.多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)憾噙呅瓮ǔ＿€以邊數(shù)命名，多邊形有n條邊就叫做n邊形．三角形、四邊形都屬于多邊形，其中三角形是邊數(shù)最少的多邊形.2.正多邊形：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.如正三角形、正方形、正五邊形等．要點(diǎn)詮釋?zhuān)焊鹘窍嗟?、各邊也相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可.如四條邊都相等的四邊形不一定是正方形，四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形，只有滿足四邊都相等且四個(gè)角也都相等的四邊形才是正方形.3.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)從n邊形一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對(duì)角線，將多邊形分成(n－2)個(gè)三角形；(2)n邊形共有條對(duì)角線．

要點(diǎn)五、多邊形的內(nèi)角和及外角和公式

1.內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))．

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）一般把多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決；(2)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù).2.多邊形外角和：n邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).

要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)外角和公式的應(yīng)用：

①已知外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；

②已知正多邊形邊數(shù)，求外角度數(shù).

(2)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的關(guān)系：

①n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整數(shù))，可見(jiàn)多邊形內(nèi)角和與邊數(shù)n有關(guān)，每增加1條邊，內(nèi)角和增加180°.要點(diǎn)六、鑲嵌的概念和特征

1.定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，通常把這類(lèi)問(wèn)題叫做用多邊形覆蓋平面(或平面鑲嵌)．這里的多邊形可以形狀相同，也可以形狀不相同.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360°；相鄰的多邊形有公共邊.

(2)用正多邊形實(shí)現(xiàn)鑲嵌的條件：邊長(zhǎng)相等；頂點(diǎn)公用；在一個(gè)頂點(diǎn)處各正多邊形的內(nèi)角之和為360°.(3)只用一種正多邊形鑲嵌地面，當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)正多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角360°時(shí)，就能鋪成一個(gè)平面圖形.事實(shí)上，只有正三角形、正方形、正六邊形的地磚可以用.【典型例題】類(lèi)型一、三角形的三邊關(guān)系1.（2016?長(zhǎng)沙模擬）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是3，2a-1，6,則整數(shù)a的值可能是()．A．2,3B．3,4C．2,3，4D．3,4，5【思路點(diǎn)撥】直接利用三角形三邊關(guān)系，得出a的取值范圍.【答案】B【解析】解：∵一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)分別為3，2a-1，6,∴解得：2＜a＜5，則整數(shù)a的值可能是3,4，故選B.【總結(jié)升華】主要考察了三角形三邊關(guān)系，正確得出a的取值范圍是解題關(guān)鍵.舉一反三：【變式】（2014秋?孝感月考）已知a、b、c是三角形三邊長(zhǎng)，試化簡(jiǎn)：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三邊長(zhǎng)，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如圖，O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OB和OC．(1)你能說(shuō)明OB+OC＜AB+AC的理由嗎?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能寫(xiě)出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由圖可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因?yàn)镺B+OC＞BC，所以O(shè)B+OC＞7．又因?yàn)镺B+OC＜AB+AC，所以O(shè)B+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【總結(jié)升華】充分利用三角形三邊關(guān)系的性質(zhì)進(jìn)行解題．【與三角形有關(guān)的線段例1】類(lèi)型二、三角形中的重要線段3.在△ABC中，AB＝AC，AC邊上的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長(zhǎng)．【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以AD＝CD，造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類(lèi)討論．【答案與解析】解：如圖(1)，設(shè)AB＝x，AD＝CD＝．(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，即AB＝AC＝8，則CD＝4．故BC＝15-4＝11．此時(shí)AB+AC＞BC，所以三邊長(zhǎng)為8，8，11．(2)如圖(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．即AB＝AC＝10，則CD＝5．故BC＝12-5＝7．顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長(zhǎng)為10，10，7．綜上所述此三角形的三邊長(zhǎng)分別為8，8，11或10，10，7．【總結(jié)升華】BD把△ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問(wèn)題中沒(méi)有交代，因此，必須進(jìn)行分類(lèi)討論．【與三角形有關(guān)的線段例5、】舉一反三：【變式】有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出兩種以上的方案供選擇.【答案】解：方案1：如圖（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，連接AE、AD、AF．

方案2：如圖(2)，分別取AB、BC、CA的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、DF．方案3：如圖(3)，取AB中點(diǎn)D，連接AD，再取AD的中點(diǎn)E，連接BE、CE．方案4：如圖(4)，在AB取點(diǎn)D，使DC＝2BD，連接AD，再取AD的三等分點(diǎn)E、F，連接CE、CF．類(lèi)型三、與三角形有關(guān)的角4.（2015春?石家莊期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC（1）如圖1，若AD⊥BC于點(diǎn)D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，P為AE上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P不與A、E重合，PF⊥BC于點(diǎn)F，若∠B＞∠C，則∠EPF=是否成立，并說(shuō)明理由．【思路點(diǎn)撥】（1）利用三角形內(nèi)角和定理和已知條件直接計(jì)算即可；（2）成立，首先求出∠1的度數(shù)，進(jìn)而得到∠3的度數(shù)，再根據(jù)∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3計(jì)算即可．【答案與解析】證明：（1）如圖1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如圖2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【總結(jié)升華】本題考查了三角形的內(nèi)角以及角平分線的性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【與三角形有關(guān)的角練習(xí)（3）】【變式】如圖，AC⊥BC,CD⊥AB,圖中有對(duì)互余的角？有對(duì)相等的銳角？

【答案】3,2．類(lèi)型四、三角形的穩(wěn)定性5.如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長(zhǎng)四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且實(shí)用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【答案與解析】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離。它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了?！究偨Y(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.舉一反三：【變式】如圖，我們知道要使四邊形木架不變形，至少要釘一根木條．那么要使五邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使七邊形木架不變形，至少要釘幾根木條?使n邊形木架不變形．又至少要釘多少根木條?【答案】要使五邊形木架不變形，至少要釘2根木條；使七邊形木架不變形，至少要釘4根木條；使n邊形木架不變形，至少要釘(n-3)根木條．類(lèi)型五、多邊形內(nèi)角和及外角和公式6．某多邊形除一個(gè)內(nèi)角α外，其余內(nèi)角的和是2750°．求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．

【思路點(diǎn)撥】由已知條件可知，這個(gè)多邊形內(nèi)角和要大于2750°，而因?yàn)橥苟噙呅蔚拿恳粋€(gè)內(nèi)角α的范圍是：0°＜α＜180°，所以2750°加上一個(gè)180°又大于內(nèi)角和，所以本題建立不等式組來(lái)解答.

【答案與解析】設(shè)這個(gè)多邊形是邊形，則它的內(nèi)角和是，

∴2750°+0°＜(n-2)×180°＜2750°+180°

∵n為正整數(shù)，

∴n=18.

【總結(jié)升華】本題是多邊形的內(nèi)角和定理和的綜合運(yùn)用.一般設(shè)出邊數(shù)，根據(jù)條件列出關(guān)于的不等式組，求出的取值范圍，再根據(jù)n取正整數(shù)得出正確的值即可.

舉一反三【變式】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與某一個(gè)外角的度數(shù)總和為1350°，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)。

【答案】可設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，某一個(gè)外角為α

則(n－2)×180＋α＝1350

從而(n－2)=

因?yàn)檫厰?shù)n為正整數(shù)，所以α＝90，n＝9類(lèi)型六、多邊形對(duì)角線公式的運(yùn)用7．某校七年級(jí)六班舉行籃球比賽，比賽采用單循環(huán)積分制（即每?jī)蓚€(gè)班都進(jìn)行一次比賽）.你能算出一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽嗎？

【思路點(diǎn)撥】本題體現(xiàn)與體育學(xué)科的綜合，解題方法參照多邊形對(duì)角線條數(shù)的求法，即多邊形的對(duì)角線條數(shù)加上邊數(shù).如圖：

【答案與解析】共需要比賽（場(chǎng)）.

【總結(jié)升華】對(duì)于其他學(xué)科問(wèn)題要善于把它與數(shù)學(xué)知識(shí)聯(lián)系在一起，便于解決.舉一反三【變式】一個(gè)多邊形共有44條對(duì)角線，則多邊形的邊數(shù)是（）.

A．8B．9C．10D．11【答案】D；類(lèi)型七、鑲嵌問(wèn)題

8．分別畫(huà)出用相同邊長(zhǎng)的下列正多邊形組合鋪滿地面的設(shè)計(jì)圖.

(1)正方形和正八邊形；

(2)正三角形和正十二邊形；

(3)正三角形、正方形和正六邊形.

【思路點(diǎn)撥】只要在拼接處各多邊形的內(nèi)角的和能構(gòu)成一個(gè)周角，那么這些多邊形就