球的體積與表面積+教學(xué)設(shè)計(jì)-人教A版高中數(shù)學(xué)（2019）必修第二冊(cè)

8.3.2球的體積與表面積教學(xué)設(shè)計(jì)-人教A版高中數(shù)學(xué)（2019）必修第二冊(cè)一、教學(xué)目標(biāo)1.熟悉祖暅原理，利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想掌握球的體積和表面積公式的推導(dǎo)及應(yīng)用；2.體會(huì)“分割、球近似值、再由近似值轉(zhuǎn)化為球的體積”的極限思想方法；3.了解外接球和內(nèi)切球的相關(guān)概念；4.通過(guò)本堂課的學(xué)習(xí)要培養(yǎng)學(xué)生的文化自信和民族自豪感；5.學(xué)會(huì)利用數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)解決與球相關(guān)問(wèn)題.二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：球的體積與表面積公式的應(yīng)用；難點(diǎn)：球的體積與表面積公式的推導(dǎo)及其中的極限思維.三、教學(xué)過(guò)程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一、視頻導(dǎo)入播放祖暅原理視頻。問(wèn)題1：祖暅原理的應(yīng)用是什么？學(xué)生觀看視頻，理解什么是祖暅原理.視頻播完后，介紹祖暅及其突出的事跡，增強(qiáng)學(xué)生的文化自信，提升學(xué)生的民族自豪感二、實(shí)驗(yàn)探究1.量沙實(shí)驗(yàn)每個(gè)學(xué)習(xí)小組發(fā)一套同底等高的圓柱、圓錐、球體教具，讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并猜想出球的體積公式.學(xué)生通過(guò)量沙實(shí)驗(yàn)很快猜出球的體積為對(duì)應(yīng)圓柱體積減去圓錐的體積.學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，并猜想出球的體積公式，為后面的GGB數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)奠定了基礎(chǔ)，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象和數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)2.抽象模型問(wèn)題1：根據(jù)球的對(duì)稱性，我們先研究半球體積問(wèn)題.設(shè)半球半徑為R.我們知道過(guò)任一平行于半球底面的平面所得的截面為圓，請(qǐng)你據(jù)此猜想一下可以用什么幾何體作它等體積的替代品？問(wèn)題2：根據(jù)祖暅原理，你認(rèn)為這些幾何體還需要滿足什么條件？演示GGB軟件，借助數(shù)據(jù)直觀感受.問(wèn)題3：觀察GGB數(shù)據(jù)，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？問(wèn)題4：如果改變截面高度，結(jié)論是否發(fā)生變化？改變半徑呢？問(wèn)題5：如何證明這一結(jié)論？據(jù)此你能推導(dǎo)出球的體積公式嗎？學(xué)生根據(jù)上一環(huán)節(jié)的實(shí)驗(yàn)，結(jié)合已有知識(shí)以及祖暅原理猜想出用同底等高的圓柱與圓錐推導(dǎo)球的體積公式.學(xué)生觀察數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)：圓柱截面圓面積減圓錐截面圓面積等于半球截面圓面積.從而構(gòu)造一個(gè)圓柱挖去一個(gè)同底等高圓錐的模型.小組討論后，學(xué)生上臺(tái)展示證明過(guò)程.我們通過(guò)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)一步為猜想提供了數(shù)據(jù)支持，引導(dǎo)學(xué)生找到新的組合體，利用祖暅原理求球的體積公式，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理等核心素養(yǎng)在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，進(jìn)一步論證，是公式獲得的必然步驟，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維，也培養(yǎng)了學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).3.球的表面積公式推導(dǎo)問(wèn)題1：你還記得如何求圓的面積公式嗎？幫助學(xué)生回顧逼近的方法求圓的面積公式，并觀看視頻動(dòng)畫(huà).問(wèn)題2：請(qǐng)類比這種方法，利用球的體積公式推導(dǎo)出球的表面積公式學(xué)生通過(guò)觀看視頻得到啟發(fā)，小組合作利用球的體積公式推導(dǎo)球的表面積公式.回顧初中求圓的面積公式的方法，培養(yǎng)學(xué)生的類比思想和極限思維，也培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)三、典例解析例1如圖，某種浮標(biāo)由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱黏合而成，半球的直徑是0.3m，圓柱高0.6m.如果在浮標(biāo)表面涂一層防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么給1000個(gè)這樣的浮標(biāo)涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）例2如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，求球與圓柱的體積之比學(xué)生自主完成后，拍照上傳講解.例1是球的表面積公式的應(yīng)用，并且有一定的計(jì)算量，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).通過(guò)例2引入內(nèi)切球概念例題講解，鞏固本堂課的重點(diǎn)知識(shí)，是球的體積公式和表面積公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也為后面實(shí)際應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)，培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng).四、當(dāng)堂檢測(cè)一個(gè)棱長(zhǎng)為23cm的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，求球的體積與表面積學(xué)生自主完成后，由學(xué)生代表回答引入外接球的概念，并且會(huì)求正方體的外接球的半徑，再求球的體積和表面積課堂檢測(cè)是球的表面積公式的應(yīng)用，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)五、課堂小結(jié)問(wèn)題1：我們通過(guò)祖暅原理得到柱體、球體的體積分別是什么？問(wèn)題2：球的表面積公式是什么？我們利用了什么方法推導(dǎo)出來(lái)的？隨機(jī)選學(xué)生總結(jié)本節(jié)課內(nèi)容.引導(dǎo)學(xué)生回顧柱體、錐體、球體的體積公式，在回顧球的表面積公式的同時(shí)，滲透極限思維，最后引導(dǎo)幫助學(xué)生回顧本堂課的數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想六、作業(yè)布置