變化率問題（定）

1.1.1變化率問題萊布尼茨牛頓

17世紀有數十位科學家為微積分的創(chuàng)立做了開創(chuàng)性的研究，牛頓和萊布尼茨在前人的探索與研究的基礎上,幾乎同時創(chuàng)立了微積分,使它成為數學的一個重要分支.它是數學發(fā)展史上繼歐氏幾何后的又一個具有劃時代意義的偉大創(chuàng)造,是數學史上的里程碑,是人類智慧最偉大的成就之一.

如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分．為了描述現實世界中運動、過程等變化著的現象，在數學中引入了函數，隨著對函數的研究，產生了微積分，微積分的創(chuàng)立以自然科學中四類問題的處理直接相關：一、已知物體運動的路程作為時間的函數,求物體在任意時刻的速度與加速度等;

二、求曲線的切線;

三、求已知函數的最大值與最小值;

四、求長度、面積、體積和重心等。

導數是微積分的核心概念之一,它是研究函數增減、變化快慢、最大（?。┲档葐栴}最一般、最有效的工具。

導數研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度．問題1氣球膨脹率

大家都玩過氣球，吹過氣球，我們都會有這個一樣感受：“氣球越來越難吹”．（假如我們每次吹氣的頻率與氣量是一樣的且氣球是標準的球體）你能否從數學角度來解釋呢？氣球膨脹圖當吹進去的氣體相同時，氣球膨脹越來越慢．即:氣球半徑的增加量越來越小.氣球膨脹率是刻畫氣球變化快慢的重要指標．

(1).從表格中，你觀察到了什么？

氣球的體積V1氣球的體積V1V2-V1氣球的半徑r1氣球的半徑r2r2-r1半徑的平均變化快慢0110.0000.6200.6200.6201210.6200.7820.1610.1612310.7820.8950.1130.1133410.8950.9850.0900.0904510.9851.0610.0760.0765611.0611.1270.0660.066二、探究新知，揭示概念

實例：氣球的半徑變化問題思考：當空氣容量從V1增加到V2時,氣球的平均膨脹率是多少?探究過程：如圖是函數h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，，所以，雖然運動員在這段時間里的平均速為，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態(tài)．thO問題1氣球膨脹率問題２高臺跳水h(t)=-4.9t2+6.5t+10.思考：如果把這兩個函數推廣到一般函數y=f(x)，平均膨脹率與平均速度統稱為平均變化率，你會描述f(x)在[x1,x2]的平均變化率嗎？x1＋Δx

Δy＝f(x2)－f(x1)

函數平均變化率的定義注意：x1，x2是定義域內不同的兩點，因此Δx≠0，但Δx可正也可負；Δy＝f(x2)－f(x1)是相應Δx＝x2－x1的改變量，Δy的值可正可負，也可為零．因此，平均變化率可正可負，也可為零．直線AB的斜率AB練習：已知函數f(x)=－x2+x的圖象上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則＝（）A．3B．3Δx-(Δx)2C．3-(Δx)2D．3-ΔxD例1過曲線f(x)＝x3上兩點P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲線的割線，求出當Δx＝0.1時割線的斜率．例2.已知函數f(x)=x2，分別計算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率：(1)[1,3](2)[1,2](3)[1,1.1];(4)[1,1.001]解：【動動手】1.某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，試分別計算從出生到第3個月與第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率.解：從出生到第3個月該嬰兒體重的平均變化率：第6個月到第12個月該嬰兒體重的平均變化率.2.已知函數

f(x)=2x+1，g(x)=-2x,分別計算在區(qū)間[–3,–1]、[0,5]上f(x)、g(x)的平均變化率.解：函數f(x)在[－3，－1]上的平均變化率為函數f(x)在[0,5]上的平均變化率為函數g(x)在[-3,-1]上的平均變化率為函數g(x)在[0,5]上的平均變化率為

平均變化率的應用例3甲、乙兩人走過的路程s1(t)，s2(t)與時間t的關系如圖，試比較兩人的平均速度哪個大？解：由圖象可知甲的平均速度為：乙的平均速度為：則乙的平均速度較大.【動動手】甲用5年時間掙到10萬元，乙用5個月時間掙到2萬元，如何比較和評價甲、乙兩人的經營成果？解：甲賺錢的平均速度為乙賺錢的平均速度為．所以乙的經營成果比甲的好．

【當堂檢測】1．函數f(x)＝5－3x2在區(qū)間[1,2]上的平均變化率為______.2．一物體的運動方程是s＝3＋2t，則在[2,2.1]這段時間內的平均速度為________.3．甲、乙兩廠污水的排放量W與時間t的關系如圖所示，治污效果較好的是________．-92乙

【當堂檢測】4．設函數，當自變量由改變到時，函數的改變量為（）A.B.

C.D.D備選例題1.如圖是函數y＝f(x)的圖象，則：(1)函數f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率為________；(2)函數f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________．解：(1)f(x)在區(qū)間[－1,1]上的平均變化率：小