獨(dú)立粒子的概然分布

1近獨(dú)立粒子系統(tǒng)

的統(tǒng)計(jì)分布

2對(duì)于有大量粒子組成的系統(tǒng)，無法確切知道其初態(tài)，亦無法確切求解其某時(shí)刻狀態(tài)不從S方程出發(fā)，認(rèn)為系統(tǒng)遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，統(tǒng)計(jì)物理學(xué)從宏觀物質(zhì)是由大量微觀粒子組成這一事實(shí)出發(fā)，認(rèn)為物質(zhì)的宏觀特性是大量微觀粒子行為的集體表現(xiàn)，宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。由N個(gè)同樣粒子所組成的系統(tǒng)，設(shè)粒子間相互作用可以忽略，即認(rèn)為這些粒子是整個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的近獨(dú)立子系。統(tǒng)計(jì)物理：關(guān)于熱現(xiàn)象的微觀理論。研究對(duì)象：大量微觀粒子組成的宏觀物質(zhì)系統(tǒng)?！参⒂^粒子：分子，原子，自由電子以及光子等〕統(tǒng)計(jì)物理認(rèn)為：宏觀性質(zhì)是大量微觀粒子運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)。宏觀物理量是相應(yīng)微觀物理量的統(tǒng)計(jì)平均值。經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：粒子滿足經(jīng)典力學(xué)規(guī)律〔狀態(tài)的經(jīng)典描述〕量子統(tǒng)計(jì)：粒子滿足量子力學(xué)規(guī)律〔狀態(tài)的量子描述〕在一定條件下，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)是一個(gè)極好的近似。本局部內(nèi)容：經(jīng)典描述，量子描述，三種分布函數(shù)以及相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。4粒子微觀態(tài)及系統(tǒng)微觀態(tài)的經(jīng)典描述遵守經(jīng)典力學(xué)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的粒子，稱為經(jīng)典粒子。1、具有“顆粒性〞：有一定的質(zhì)量、電荷等性質(zhì)。2、軌道運(yùn)動(dòng)：滿足牛頓定律。給定初始時(shí)刻的r、p即可以確定其運(yùn)動(dòng)軌跡〔能夠做出確定性的描述〕。經(jīng)典粒子可以被“跟蹤〞。3、可分辨：經(jīng)典全同粒子可以分辨。具有相同屬性〔質(zhì)量、電荷、自旋等〕的同類粒子稱為全同粒子。4、能量是連續(xù)的：按照經(jīng)典力學(xué)的觀點(diǎn)，在允許的能量范圍內(nèi)，粒子的能量可取任何值。5自由度為r的粒子：t時(shí)刻，狀態(tài)〔q1…qr；p1…pr〕μ空間〔粒子相空間〕—由2r個(gè)相互垂直的軸張成的2r維的空間，其中r個(gè)軸代表廣義坐標(biāo)，另外r個(gè)軸代表廣義動(dòng)量。μ空間中的一個(gè)點(diǎn)———粒子的一個(gè)微觀態(tài)μ空間中的軌跡———粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化代表點(diǎn)：μ空間中的點(diǎn)稱為粒子的代表點(diǎn)相軌跡：隨著時(shí)間變化，代表點(diǎn)在μ空間描出的曲線μ空間〔相空間〕：粒子位置和動(dòng)量構(gòu)成的空間。經(jīng)典力學(xué)：確定一個(gè)粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)用r和p。自由度r=1〔線上運(yùn)動(dòng)〕：x和px描述狀態(tài)。r=3〔3D空間中運(yùn)動(dòng)〕，x、y、z和px、py、pz描述狀態(tài)。6◆一維空間運(yùn)動(dòng)的自由粒子自由度r＝1，t時(shí)刻，狀態(tài)〔x，px〕哈密頓量：H=px2/2mμ空間：由相互垂直的x軸及px軸張成的2維空間。原那么上：粒子空間的活動(dòng)范圍：-∞<x<∞粒子的動(dòng)量大小范圍：-∞<px<∞【例1】自由粒子理想氣體分子、金屬中的自由電子……7等能面8◆三維空間運(yùn)動(dòng)的自由粒子，自由度r=3將μ空間分成兩個(gè)三維的子空間一個(gè)是坐標(biāo)空間，一個(gè)是動(dòng)量空間。t時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)：〔x,y,z,px,py,pz)μ空間：由相互垂直的三根坐標(biāo)軸x、y、z及三根動(dòng)量軸px、py、pz張成的6維空間。9坐標(biāo)空間動(dòng)量空間10【例2】線性諧振子◆一維線性諧振子：自由度r=1,t時(shí)刻運(yùn)動(dòng)狀態(tài)(x,px)哈密頓量：氣體中雙原子分子的振動(dòng)，晶體中的原子或離子在平衡位置附近的振動(dòng)均可看作是簡諧運(yùn)動(dòng)。11μ空間：x,px張成的二維空間12〔2〕Γ空間〔描述系統(tǒng)微觀態(tài)的相空間〕?？臻g：由2s個(gè)相互垂直的軸張成的2s維的空間其中s個(gè)軸代表廣義坐標(biāo)，另外s個(gè)軸代表廣義動(dòng)量?？臻g中的一個(gè)點(diǎn)———系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)Γ空間中的軌跡———系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化代表點(diǎn)：?？臻g中的點(diǎn)稱為系統(tǒng)的代表點(diǎn)。相軌跡：隨著時(shí)間變化，代表點(diǎn)在?？臻g描出的曲線?！?〕?？臻g〔描述系統(tǒng)微觀態(tài)的相空間〕?？臻g中的一個(gè)點(diǎn)———系統(tǒng)的一個(gè)微觀態(tài)?？臻g中的軌跡———系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)隨時(shí)間的演化13粒子微觀態(tài)及系統(tǒng)微觀態(tài)的量子描述前提：粒子服從量子力學(xué)規(guī)律測不準(zhǔn)關(guān)系：微觀粒子的運(yùn)動(dòng)不是簡單的軌道運(yùn)動(dòng)1、波粒二象性微觀粒子即具有粒子性質(zhì)：r、p又具有波動(dòng)性質(zhì)：ω、k德布羅意關(guān)系：?聯(lián)系粒子的波動(dòng)性和粒子性。不可能同時(shí)精確的測量粒子的位置和動(dòng)量。14在量子理學(xué)中，微觀粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為量子態(tài)。量子態(tài)由一組量子數(shù)(即力學(xué)量完全集)表征。每組中的量子數(shù)的數(shù)目等于粒子的自由度數(shù)目。2、量子態(tài)不確定關(guān)系使粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的經(jīng)典描述是不精確的。自由度為r的粒子：量子數(shù)為r粒子的哈密頓H=H({r個(gè)量子數(shù)})。狀態(tài)對(duì)應(yīng)的力學(xué)量〔如能ε等〕不連續(xù)——狀態(tài)量子化。電子軌道——電子出現(xiàn)概率最大的地方。全同性原理：全同粒子不可分辨，任意交換一對(duì)粒子不改變系統(tǒng)的狀態(tài)。B、自由粒子：m為粒子質(zhì)量，Lx為自由運(yùn)動(dòng)的一維空間長度，nx為量子數(shù)3、例子類似于一維無限深勢阱中自由粒子的運(yùn)動(dòng)A、線性諧振子:能級(jí)分立的能量164、能級(jí)間隔：與Lx和m成反比。可以看出，Lx→∞，那么△ε→0，即能量此時(shí)是連續(xù)的。因此，在宏觀尺寸上量子效應(yīng)不顯著，可以用經(jīng)典方法描述。說明：1、一個(gè)量子數(shù)nx可以確定粒子的動(dòng)量和能量。2、粒子的狀態(tài)是分立的——能級(jí)。3、各能級(jí)的簡并性：nx=1和-1是不同的狀態(tài)——簡并。17全同粒子系統(tǒng):由具有完全相同的屬性(相同的質(zhì)量,電荷,自旋等)的同類粒子組成的系統(tǒng)。近獨(dú)立粒子系統(tǒng):指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量。εi只是第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量以及外場參量的函數(shù)，與其他粒子的坐標(biāo)和動(dòng)量無關(guān)。理想氣體假設(shè)系統(tǒng)為近獨(dú)立粒子系統(tǒng)：N個(gè)粒子構(gòu)成系統(tǒng)的微觀態(tài)?？臻g中的一個(gè)點(diǎn)μ空間中的N個(gè)點(diǎn)全同粒子系統(tǒng):由具有完全相同的屬性(相同的質(zhì)量,電荷,自旋等)的同類粒子組成的系統(tǒng)。近獨(dú)立粒子系統(tǒng):指系統(tǒng)中粒子之間相互作用很弱，相互作用的平均能量遠(yuǎn)小于單個(gè)粒子的平均能量。18粒子的狀態(tài)與μ空間體積元的對(duì)應(yīng)關(guān)系μ空間的體積元為：如1D相體積：如3D相體積：如果對(duì)坐標(biāo)不加限制那么：19宏觀尺度下，粒子的動(dòng)量和能量已變得準(zhǔn)連續(xù)。但原那么上仍然有量子數(shù)的概念。這是如何考慮自由粒子的量子態(tài)數(shù)？因此，在體積V中，粒子的動(dòng)量在間隔范圍內(nèi)的量子數(shù)為：根據(jù)測不準(zhǔn)關(guān)系解釋：稱為相格。表示粒子的一個(gè)狀態(tài)在μ空間所占的體積。那么〔1〕式解釋為：相體積Vdpxdpydpz內(nèi)具有量子數(shù)dnxdnydnz為相體積比上相格。在μ空間體積元dω內(nèi)粒子可能的狀態(tài)數(shù)為：21粒子在相空間的可及區(qū)域總的微觀狀態(tài)數(shù)W為：其中，Ω代表粒子可及區(qū)域的相體積，hr

代表粒子一個(gè)微觀態(tài)的相體積。一個(gè)系統(tǒng)的性質(zhì)可以通過各種條件下系統(tǒng)可到達(dá)的微觀狀態(tài)數(shù)來計(jì)算。計(jì)算粒子在μ空間可及區(qū)域內(nèi)所包含的微觀狀態(tài)數(shù)。22解:第一步:求等能面所包圍的相體積Ω【例1】體積為V的三維空間自由粒子等能面所包圍的微觀態(tài)數(shù)等能面方程為：第二步：求等能面所包圍的微觀狀態(tài)數(shù)：23【例2】求一維線性諧振子等能面所包圍的微觀態(tài)數(shù)解：等能面方程：等能面所包圍的相體積就是橢圓的面積：24簡單證明粒子的一個(gè)微觀狀態(tài)占μ相空間的體積：以一維自由粒子為例：μ空間是二維的，能量ε一定時(shí)相軌道是一條線段。根據(jù)：量子化軌道把μ空間分成許多體積元，單個(gè)體積元的體積為：即：一個(gè)狀態(tài)占體積為h。25以線性諧振子為例：線性諧振子的μ相空間等能面是橢圓如圖：該橢圓的面積為：能級(jí)表示為：能級(jí)非簡并，一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)狀態(tài)。兩個(gè)相鄰等能面即狀態(tài)之間所加的面積：推廣：粒子的一個(gè)微觀狀態(tài)在μ空間所占體積為一個(gè)相格即：26〔1〕計(jì)算等能面所圍的相體積Ω(ε);〔2〕計(jì)算ε—ε+dε能量間隔內(nèi)的相體積dΩ(ε)〔3〕計(jì)算ε—ε+dε能量間隔內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)定義：能量ε附近單位能量間隔內(nèi)的微觀狀態(tài)數(shù)。記做：D(ε)

按以下三步驟進(jìn)行計(jì)算：三、態(tài)密度其中g(shù)是粒子簡并度。27[例1]求三維空間自由粒子的態(tài)密度。解：能量表達(dá)式為：28[例2]求一維線性諧振子態(tài)密度解：能量表達(dá)式為：29在統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中，我們的目的是研究系統(tǒng)在給定宏觀條件下的宏觀性質(zhì)。如系統(tǒng)具有的粒子數(shù)為N，體積為V,能量為E。在給定的這些宏觀條件下，系統(tǒng)可能的微觀狀態(tài)還是很多的，各種可能微觀狀態(tài)都有出現(xiàn)的時(shí)機(jī)。我們不能肯定系統(tǒng)在某一時(shí)刻一定處在或一定不處在某運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，而只能確定系統(tǒng)在某一時(shí)刻處在各狀態(tài)的概率。宏觀物理量應(yīng)當(dāng)是相應(yīng)微觀量在滿足給定宏觀條件的一切可能的微觀狀態(tài)上的平均值。統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)和熱力學(xué)幾率一、統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)30下面以μ空間為例引入分布函數(shù)的概念t時(shí)刻，N個(gè)相同的粒子中有dN個(gè)粒子落在μ空間〔qi，pi〕點(diǎn)附近的即有dN個(gè)粒子落在（qi，pi）點(diǎn)dω（）內(nèi)，則粒子處于（qi，pi）點(diǎn)dω內(nèi)的幾率為：31分布函數(shù)ρ=ρ〔qi，pi，t)的物理意義：粒子處于μ空間〔qi，pi)點(diǎn)處單位相體積內(nèi)的幾率。ρ是幾率密度，ρdω是幾率。一般：ρ=ρ(qi，pi，t)，幾率密度隨時(shí)間變化，統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)：ρ=ρ(qi，pi)幾率密度不隨時(shí)間變化。32表示粒子出現(xiàn)在μ空間可及區(qū)域的概率總和為1。33宏觀物理量：統(tǒng)計(jì)物理的根本思想：將系統(tǒng)的宏觀量看作相應(yīng)微觀量的統(tǒng)計(jì)平均值。如果系統(tǒng)的分布函數(shù)ρ(qi,pi)，就可由以下公式求得宏觀物理量。宏觀物理量的漲落：代表微觀量偏離其統(tǒng)計(jì)平均值的相對(duì)大小。34幾個(gè)排列組合定那么①設(shè)有N個(gè)物體，彼此有區(qū)別，排成一列，那么可有N!種不同的排法。②設(shè)有N個(gè)物體，彼此有區(qū)別，分成二組，一為M個(gè)，另一為N-M個(gè)，那么可有以下種不同的分法。③設(shè)有N個(gè)物體，彼此有區(qū)別，放在C個(gè)盒子中，每盒不得超過一個(gè)，那么可有以下種不同的放法。④設(shè)有N個(gè)物體，彼此毫無區(qū)別，放在C個(gè)盒子中，每盒不得超過一個(gè)，那么可有以下種不同的放法。35熱力學(xué)幾率對(duì)于近獨(dú)立粒子子系統(tǒng)μ空間中的N個(gè)點(diǎn)系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)【例】由三個(gè)一維空間自由粒子構(gòu)成的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)。粒子的自由度r=1,μ空間是二維的，如以下圖所示，三個(gè)粒子分別用符號(hào)★、●、◆表示1、定義36任意交換兩個(gè)代表點(diǎn)在μ空間的位置，在經(jīng)典力學(xué)框架下，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)是不同的。而在量子力學(xué)框架下，對(duì)于全同粒子體系，相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)不變〔微觀粒子全同性原理〕。圖一與圖二分別代表系統(tǒng)兩種不同的狀態(tài)。37現(xiàn)在考慮N個(gè)粒子在μ空間按相格的分布。在μ空間拍照系統(tǒng)t時(shí)刻的一個(gè)微觀狀態(tài)，即N個(gè)點(diǎn)的集合。得到以下的分布：Δω1Δω2……Δωi……ΔωkN1N2……Ni……Nk記作：分布{Ni}——表示第i個(gè)相格內(nèi)有Ni個(gè)粒子。系統(tǒng)的一個(gè)微觀狀態(tài)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的分布{Ni}問：一個(gè)確定的分布{Ni}對(duì)應(yīng)系統(tǒng)?個(gè)微觀狀態(tài)38設(shè)N=6,將其編號(hào)為1,2,3,4,5,6；k=4個(gè)相格如下所示：39分布{3,1,0,2}所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)為：一般定義：對(duì)于給定的分布{Ni}:為此分布的熱力學(xué)幾率。40◆熱力學(xué)幾率是分布{Ni}所對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。W≧1◆對(duì)于N一定的系統(tǒng)，W=W(Ni)。即：熱力學(xué)幾率是各個(gè)相格內(nèi)所含粒子數(shù)的函數(shù)。◆粒子按能級(jí)的分布也記作{Ni}。它代表N個(gè)粒子中有Ni個(gè)粒子處于第i個(gè)能級(jí)上。說明：41假設(shè)能級(jí)是非簡并的，那么熱力學(xué)幾率為：假設(shè)能級(jí)是簡并的，那么熱力學(xué)幾率為：ωl第l個(gè)能級(jí)上的簡并度。42系統(tǒng)的一個(gè)宏觀態(tài)一個(gè)分布{Ni}43[例]假定某種類型的分子可能的能級(jí)為0，ω，2ω，3ω……，且各個(gè)能級(jí)為非簡并的，如果體系有6個(gè)分子，問能量為3ω時(shí)可能的分布有哪些？相應(yīng)的熱力學(xué)幾率為多少？解：按要求所求分布應(yīng)同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件：可能的分布為：4445【例】一容器內(nèi)有4個(gè)粒子A、B、C、D，容器被看作由Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域構(gòu)成，粒子動(dòng)量的不同被忽略，粒子的狀態(tài)只由處于Ⅰ,Ⅱ兩個(gè)區(qū)域來區(qū)分。問系統(tǒng)可能的分布與分布對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)。D1{2,2}，D2{1,3}，D3{3,1}，D4{0,4}，D5{4,0}2、等概率原理解：可能的分布為5種：46474849W最大粒子密度均勻的平衡態(tài)極大可能處于分布D1密度不均勻的非平衡態(tài)很小可能處于分布D2、D3W中密度不均勻的非平衡態(tài)極小可能處于分布D4、D5W小各種分布出現(xiàn)的可能性大小的排序，恰與熱力學(xué)幾率大小的排序一致。50玻耳茲曼提出了一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)物理根本假設(shè)——等概率原理◆等概率原理在統(tǒng)計(jì)物理中是一個(gè)根本假設(shè)，它的正確性由它的所有推論與客觀實(shí)際符合很好而得到肯定。◆等概率原理是平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理的根底。處在統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)的孤立系統(tǒng)，系統(tǒng)各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率是相等的。◆孤立系統(tǒng)是一個(gè)具有確定N、E、V的系統(tǒng)。即系統(tǒng)所有可能出現(xiàn)的微觀狀態(tài)都同樣滿足具有確定N、E、V的宏觀條件，沒有理由認(rèn)為哪一個(gè)狀態(tài)出現(xiàn)的概率應(yīng)當(dāng)更大一些。這些微觀狀態(tài)應(yīng)當(dāng)是平權(quán)的。因此，認(rèn)為各個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的概率相等應(yīng)當(dāng)是一個(gè)合理的假設(shè)。玻耳茲曼提出了一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)物理根本假設(shè)——等概率原理51∵W1>W2=W3>W4=W5∴P1>P2=P3>P4=P5即哪種宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀態(tài)越多，哪種宏觀態(tài)出現(xiàn)的可能性〔概率〕就越大。3、熱力學(xué)幾率與概率的關(guān)系假設(shè)孤立系統(tǒng)共有M種分布{Ni}α〔α=1,2,…M),第α種分布對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)幾率(微觀狀態(tài)數(shù)〕Wα,系統(tǒng)總的微觀狀態(tài)數(shù)：第α種分布〔第α種宏觀態(tài)〕出現(xiàn)的概率:52概率Pα是歸一的，而熱力學(xué)幾率Wα不是歸一的。二者之間相差一個(gè)歸一化因子1/W。例題中總的微觀狀態(tài)數(shù)：W=6+2×4+2×1=165種分布所對(duì)應(yīng)的概率：假設(shè)系統(tǒng)粒子數(shù)N>>1時(shí)，分布{N,0}或{0,N}出現(xiàn)的概率與均勻分布比，將一致趨于零。53孤立系統(tǒng)：熱力學(xué)：非平衡態(tài)熱力學(xué)平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理：W小

W最大

P小

P最大結(jié)論：熱力學(xué)平衡態(tài)對(duì)應(yīng)的是統(tǒng)計(jì)物理中熱力學(xué)幾率(幾率〕最大的狀態(tài)。544、熱力學(xué)幾率與熵的關(guān)系孤立系統(tǒng)：非平衡態(tài)自發(fā)地趨于平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理：W小W最大熱力學(xué)：S小S最大定性結(jié)論：S與W有關(guān)，即S應(yīng)是W的函數(shù)下面推導(dǎo)這種函數(shù)關(guān)系：S=f(W)設(shè)：大系統(tǒng)=系統(tǒng)A+系統(tǒng)B其中A、B兩個(gè)系統(tǒng)均已到達(dá)自己的平衡態(tài)。55系統(tǒng)A:S1、W1系統(tǒng)B:S2、W2大系統(tǒng)：S=S1+S2〔1〕W=W1?W2〔2〕根據(jù)所設(shè)：S1=f(W1)〔3〕S2=f(W2)〔4〕S=f(W)〔5〕把(3)、(4)、(5)代人(1)得：f(W)=f(W1)+f(W2)〔6〕由(2)有：f(W1W2)=f(W1)+f(W2)〔7〕56對(duì)〔7〕式中的W1求偏導(dǎo)：f(W1W2)=f(W1)+f(W2)〔7〕575859◆玻耳茲曼關(guān)系給出了熵的統(tǒng)計(jì)物理意義。━━熵是系統(tǒng)某宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)對(duì)數(shù)的量度。認(rèn)為系統(tǒng)某宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)(W)越多，處于此態(tài)的系統(tǒng)就越混亂。所以說熵是系統(tǒng)混亂度的量度。60熱力學(xué)理論：根據(jù)熵增原理，對(duì)于一個(gè)孤立系統(tǒng),當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平衡態(tài)時(shí)，即當(dāng)S=Smax時(shí)，系統(tǒng)絕對(duì)不能再發(fā)生變化了。統(tǒng)計(jì)物理理論：平衡態(tài)對(duì)應(yīng)Wmax，偏離平衡的宏觀態(tài)對(duì)應(yīng)W那些偏離平衡態(tài)的狀態(tài)出現(xiàn)的幾率雖很小，但并不為零。所以，漲落現(xiàn)象的存在，在統(tǒng)計(jì)物理理論中是很自然的。◆彌補(bǔ)了熱力學(xué)理論不能解釋漲落現(xiàn)象的缺陷61◆提供了一種計(jì)算熱力學(xué)幾率之比的方法設(shè)：宏觀態(tài)A對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)幾率為WA

宏觀態(tài)B對(duì)應(yīng)的熱力學(xué)幾率為WA由玻耳茲曼關(guān)系：SA=klnWASB=klnWB

62Boltzmann系統(tǒng)：粒子是可分辨的，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。Boson系統(tǒng)：粒子不可分辨，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。Fermion系統(tǒng)：粒子是不可分辨的，且每一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上最多可容納一個(gè)粒子(Pauli不相容原理)。三種統(tǒng)計(jì)分布Marxwell-Boltzmann分布Bose-Einstein分布Fermi-Dirac分布63Boltzmann系統(tǒng)三個(gè)狀態(tài)，兩個(gè)粒子在三種分布下的分布情況：64Boson系統(tǒng)65Fermion系統(tǒng)66粒子是可分辨的，且處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。對(duì)粒子系統(tǒng)：Marxwell-Boltzmann分布μ空間能級(jí)簡并度粒子數(shù)這時(shí)所求分布所應(yīng)該滿足的條件粒子數(shù)可編號(hào)67例如：能量為εl的微觀態(tài)是四度簡并，具有該能量的粒子數(shù)為5。a.移動(dòng)：al〔5〕個(gè)粒子在ωl〔4〕個(gè)量子態(tài)中不同放置導(dǎo)致不同微觀態(tài)。確定，只有移動(dòng)和交換粒子可能改變系統(tǒng)的微觀態(tài)；68b.交換：不同能級(jí)之間的粒子交換導(dǎo)致新的微觀態(tài)。N個(gè)粒子總的交換數(shù)為N！，同能級(jí)內(nèi)粒子交換總數(shù)改變微觀狀態(tài)的粒子交換的有效次數(shù)：al個(gè)粒子在ωl個(gè)量子態(tài)中放置的不同方式的數(shù)目：所以分布對(duì)應(yīng)微觀狀態(tài)數(shù)：69與分布相應(yīng)的微觀狀態(tài)數(shù)：N個(gè)粒子形成分布的分法al個(gè)粒子占據(jù)ωl個(gè)態(tài)的方式數(shù)根據(jù)等幾率原理，對(duì)于處在平衡狀態(tài)的孤立系統(tǒng)，每個(gè)可能的微觀狀態(tài)出現(xiàn)的幾率相等。因此，微觀狀態(tài)數(shù)最多的分布，出現(xiàn)的概率最大，是最可幾分布。平衡態(tài)最可幾分布70對(duì)粒子系統(tǒng)：μ空間能級(jí)簡并度粒子數(shù)這時(shí)所求分布所應(yīng)該滿足的條件Bose-Einstein分布粒子不可分辨，處在一個(gè)個(gè)體量子態(tài)上的粒子數(shù)不受限制。71粒子不可區(qū)分，每量子態(tài)的粒子數(shù)不限量子態(tài)與粒子交換導(dǎo)致不同的微觀態(tài)。量子態(tài)與粒子交換數(shù)：量子態(tài)交換數(shù)：粒子交換數(shù)：72