六年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)奧數(shù)培優(yōu) 第12講 幾何超越提高（教師版）

第1第12講幾何超越提高六年級(jí)秋季知識(shí)點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)復(fù)雜直線形計(jì)算（六上）備注備注課堂例題課堂例題基本問(wèn)題1、如圖，八邊形的8個(gè)內(nèi)角都是135°，已知，，，，求的長(zhǎng)度．FF10B20CAG30EDH【答案】

20【解析】

作出輔助線可補(bǔ)出一個(gè)長(zhǎng)方形，且4個(gè)角補(bǔ)出4個(gè)等腰直角三角形，如下圖所示：FF10B20CAG30EDHNPQM可知、．由可知、．所以、．又因?yàn)?、，因此?、如圖所示，五條線段依次首尾相連組成了一個(gè)五角星．∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于多少度？112345【答案】

180°【解析】

方法一：如下圖所示，連接輔助線：，且．由于．所以．那么，而是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，它們的和等于180°．所以．1123456789方法二：等于線段EA繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)到BA的角度，等于線段AB繞B點(diǎn)轉(zhuǎn)到CB的角度，等于線段BC繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)到DC的角度，等于線段CD繞D點(diǎn)轉(zhuǎn)到ED的角度，等于線段DE繞E點(diǎn)轉(zhuǎn)到AE的角度，而整個(gè)過(guò)程相當(dāng)于從線段EA轉(zhuǎn)到AE，即轉(zhuǎn)了180°．所以．113524AEBDC3、圖中外側(cè)的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形，求陰影部分的面積．2厘米2厘米3厘米【答案】

53平方厘米【解析】

如圖所示，可按圖中粗虛線切割正方形，可知陰影部分的面積是正方形面積的一半加上中間小長(zhǎng)方形面積的一半，為（經(jīng)常還看作是正方形面積和中間小長(zhǎng)方形的面積和的一半）．2234、如圖，ABCD是直角梯形，，，．求：（1）三角形OBC的面積是__________；（2）梯形ABCD的面積是__________．AABDCEO【答案】

（1）7.5（2）40【解析】

（1）△OBC的面積等于△OAD的面積，為．（2）△ABD的面積等于．△ABO的面積等于．由任意四邊形模型可求得△ODC的面積等于．梯形ABCD的面積為．沙漏金字塔5、如圖，將邊長(zhǎng)為8和12的兩個(gè)正方形并排放在一起，那么圖中陰影部分的面積是多少？【答案】

43.2【解析】

根據(jù)沙漏模型，，故，．6、如圖，是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點(diǎn)．已知正方形DEFG的面積是48，，則的面積是多少？【答案】

12【解析】

等腰直角三角形斜邊上的高與正方形邊長(zhǎng)相等，故面積也相等，均為48．根據(jù)蝴蝶模型，．7、如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，則三角形AEG的面積為_(kāi)_______．【答案】

【解析】

如圖，連接EF，易求三角形AEF面積為，，所以．8、如圖，長(zhǎng)方形ABCD中，，，三角形DFG的面積為2，長(zhǎng)方形ABCD的面積是多少？【答案】

72【解析】

延長(zhǎng)AB、DE交于H點(diǎn)．根據(jù)沙漏模型，．這樣，，進(jìn)而．9、如圖，在三角形ABC中，E是BC邊上的中點(diǎn)，D是BE的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC邊上的三等分點(diǎn)，已知三角形ABC的面積是84，那么陰影部分面積是多少？【答案】

4【解析】

設(shè)G為BC另一四等分點(diǎn)，延長(zhǎng)AE、FG交于H，AE、DF交于I．由于F、G分別為AC、DC的三等分點(diǎn)，所以，且根據(jù)金字塔模型，．易知，根據(jù)沙漏模型，，進(jìn)而．因此，．10、如圖，邊長(zhǎng)為10的正方形ABCD中，，，求陰影部分的面積是多少？【答案】

【解析】

延長(zhǎng)AF、BC交于H．根據(jù)沙漏模型，．而易知，故．因此，．幾何變換11、如右圖，等腰直角三角形ABC中，，D、E分別是線段AB上的點(diǎn)；已知，，且．三角形ABC的面積是多少？【答案】

784【解析】

將CE繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)、．，即．而，，故與的兩條對(duì)應(yīng)邊與其夾角對(duì)應(yīng)相等，故與為全等三角形，進(jìn)而．，故，，．因此，，．12、（龍校五年級(jí)春季）如圖，在四邊形中，，，，求四邊形的面積．【答案】

25【解析】

過(guò)A作BC的垂線交BC于E．由，可知，將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)將至．因?yàn)榍?，故，即、D、C共線．由旋轉(zhuǎn)而來(lái)，故，，，，再結(jié)合其它條件可知為正方形，，，因此．13、（龍校五年級(jí)春季）如圖，凸五邊形中，，，．若，．求圖中空白部分的面積與陰影部分總面積的差．【答案】

24【解析】

設(shè)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)為F，連結(jié)FA、FC、FD．根據(jù)對(duì)稱性，，，再結(jié)合已知條件可得，，故F為E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)．這樣，，，，．，，．

隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)1、如圖，一個(gè)六邊形的6個(gè)內(nèi)角都是120，其連續(xù)四邊的長(zhǎng)依次是1，9，9，5厘米．求這個(gè)六邊形的周長(zhǎng)．11995【答案】

42厘米【解析】

為便于描述，將六邊形剩余兩條邊的長(zhǎng)度分別設(shè)為a厘米和b厘米．99195991abaa1如上圖所示，將圖形補(bǔ)成一個(gè)等邊三角形，最上方的應(yīng)該是一個(gè)邊長(zhǎng)為9厘米的等邊三角形，左下方則是一個(gè)邊長(zhǎng)為1厘米的等邊三角形，由此可得最大的等邊三角形邊長(zhǎng)為厘米．這樣，而．六邊形邊長(zhǎng)就等于厘米．2、如圖，圖中最大的長(zhǎng)方形面積是27，最小的長(zhǎng)方形面積是5，求陰影部分的面積__________．【答案】

16【解析】

最大的長(zhǎng)方形面積與最小的長(zhǎng)方形面積之差為，剩下部分空白面積與陰影面積相等，因此圖中空白面積為，陰影部分總面積為．3、如圖，將邊長(zhǎng)為10和12的兩個(gè)正方形并放在一起，那么陰影部分的面積是多少？【答案】

【解析】

由沙漏模型，，故．4、如圖，四邊形ABCD是一個(gè)梯形，四邊形ACEB是一個(gè)平行四邊形．已知三角形BCE的面積是18，三角形AOD的面積是12，那么四邊形ADEB的面積是多少？【答案】

72【解析】

，故，，．5、（龍校五年級(jí)春季）如圖，在四邊形中，，，，，求四邊形的面積．【答案】

50【解析】

過(guò)A作BC的垂線交BC于E．由，可知，將繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)將至．因?yàn)榍?，故，即、D、C共線．由旋轉(zhuǎn)而來(lái)，故，，，再結(jié)合其它條件可知為正方形，且AC為其對(duì)角線．因此．6、（龍校五年級(jí)春季）如圖，先將長(zhǎng)方形紙片沿中軸線對(duì)折，使左右兩邊重合，然后打開(kāi)．再將沿虛線AK對(duì)折，使點(diǎn)B落在折痕EF上，此時(shí)B位于處，求的度數(shù)．試說(shuō)明道理．【答案】

【解析】

連結(jié)，則且，故，即為等邊三角形，因此．課后作業(yè)課后作業(yè)1、如圖所示，梯形ABCD的上底AD長(zhǎng)6厘米，下底BC長(zhǎng)12厘米．腰CD的長(zhǎng)為9厘米，過(guò)B點(diǎn)向CD作出的垂線BE的長(zhǎng)為8厘米，梯形ABCD的面積是多少平方厘米？AABDCE【答案】

54【解析】

三角形BCD的面積是平方厘米，所以BC邊上的高是厘米，所以梯形的高也是6厘米，梯形的面積是平方厘米．2、梯形ABCD的面積是100，上底和下底的比是2:3，那么三角形ABO的面積是_______．【答案】

16【解析】

，故．3、如圖，在三角形ABC中，，，已知三角形ABC面積是1，那么三角形ABO的面積是_______．【答案】

【解析】

連結(jié)OC，設(shè)面積為1份，則面積也為1份．根據(jù)燕尾模型，，故面積為4份．這樣，．4、如圖，已知正方形ABCD之邊長(zhǎng)為20，E、F分別為AB及BC之中點(diǎn)．那么四邊形BFGE的面積是多少？【答案】

80【解析】

延長(zhǎng)DA、CE交于H點(diǎn)．根據(jù)金字塔模型，，即．故，，因此．5、圖中是兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為8和12的正方形，那么陰影部分的面積是________．（結(jié)果用小數(shù)表示）【答案】

38.4【解析】

根據(jù)沙漏模型，，故，，，．6、如圖，在五邊形中有一個(gè)角為60°，別的角都是120°．這個(gè)五邊形的周長(zhǎng)是_______．【答案】

14【解析】

按下圖分即可，三部分分別為菱形、平行四邊形、等邊三角形．7、在圖的正方形中，A，B，C分別是ED，EG，GF的中點(diǎn)．請(qǐng)問(wèn)：三角形CDO的面積是三角形ABO面積的__________倍．CCDABOEFG【答案】

3倍【解析】

不妨設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是2，所以．又A，C分別是所在邊的中點(diǎn)，所以，即，由此可見(jiàn)OA是△DBE的中位線，有，所以△OAD的面積是．△AOB的面積等于△BAD的面積減去△AOD的面積，等于．△COD的面積等于△CAD的面積減去△AOD的面積，等于．由此可得，△CDO的面積是△ABO面積的3倍．8、在三角形ABC中，已知，，，已知三角形ABC面積是24，那么三角形DEF的面積是_______．【答案】

7【解析】

根據(jù)鳥(niǎo)頭模型，、、所占比例分別為、、．因此，．9、如圖，在邊長(zhǎng)為20的正方形中，有一個(gè)四邊形，那么陰影部分的面積是_______．【答案】

212【解析】

作輔助線如下圖所示，易知除中心面積為的長(zhǎng)方形