2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）數(shù)學(xué)真題及參考答案+評(píng)析

2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析

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2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

甲卷數(shù)學(xué)真題及參考答案

目錄

2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析.....................................3

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）理科數(shù)學(xué)...........7

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）理科數(shù)學(xué)參考答案.....12

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）文科數(shù)學(xué)..........17

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）文科數(shù)學(xué)參考答案..…22

全國(guó)甲卷適用地區(qū)：云南、四川、廣西、貴州、西藏

2022年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷試題評(píng)析

2022年教育部教育考試院命制6套高考數(shù)學(xué)試卷，包括全國(guó)甲卷2套（文、

理科）、全國(guó)乙卷2套（文、理科）、新高考I卷1套（不分文理科）、新高考

II卷（不分文理科）。試題落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)

展，體現(xiàn)高考改革要求；試題突出數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，強(qiáng)化基礎(chǔ)考查，突出關(guān)鍵能力，

加強(qiáng)教考銜接，服務(wù)“雙減”政策實(shí)施，助力基礎(chǔ)教育提質(zhì)增效。

一.設(shè)置現(xiàn)實(shí)情境，發(fā)揮育人作用

高考數(shù)學(xué)命題堅(jiān)持思想性與科學(xué)性的統(tǒng)一，發(fā)揮數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛、聯(lián)系實(shí)際的

學(xué)科特點(diǎn)，設(shè)置真實(shí)情境，命制具有教育意義的試題，發(fā)揮教育功能和引導(dǎo)作用。

1.設(shè)置優(yōu)秀傳統(tǒng)文化情境

以中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化為情境材料設(shè)置試題，讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)

學(xué)研究成果，進(jìn)一步樹(shù)立民族自信心和自豪感，培育愛(ài)國(guó)主義情感。新高考H卷

第3題以中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，考查學(xué)生綜合應(yīng)用等差數(shù)列、解析

幾何、三角函數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。全國(guó)甲卷理科第8題取材于我

國(guó)古代科學(xué)家沈括的杰作《夢(mèng)溪筆談》，以沈括研究的圓弧長(zhǎng)計(jì)算方法''會(huì)圓術(shù)"

為背景，讓學(xué)生直觀感受我國(guó)古代科學(xué)家探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程，引發(fā)學(xué)生

的學(xué)習(xí)興趣。

2.設(shè)置社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展情境

以我國(guó)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、生產(chǎn)生活實(shí)際為情境素材設(shè)置試題，如：新高考I

卷第4題以我國(guó)的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景，考查學(xué)生的空間想象、

運(yùn)算求解能力，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)主義建設(shè)成果，增強(qiáng)社會(huì)責(zé)任感;全國(guó)甲卷文、

理科第2題以社區(qū)環(huán)境建設(shè)中的“垃圾分類(lèi)”為背景考查學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力；

全國(guó)乙卷文、理科第19題以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為背景材料，考查學(xué)生應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的基

本知識(shí)和基礎(chǔ)方法解決實(shí)際問(wèn)題的能力，對(duì)數(shù)據(jù)處理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)也作了相應(yīng)

的考查。

3.設(shè)置科技發(fā)展與進(jìn)步情境

選取我國(guó)科技發(fā)展與進(jìn)步中取得的重要成就作為試題背景，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

價(jià)值和時(shí)代特征，激發(fā)青年學(xué)生樹(shù)立為國(guó)家服務(wù)、奉獻(xiàn)科技事業(yè)的信念。如全國(guó)

乙卷理科第4題，以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我

國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星為情境，考查學(xué)生綜合應(yīng)用數(shù)列、函數(shù)、不等

式等基本知識(shí)觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二.加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮引導(dǎo)作用

2022年高考數(shù)學(xué)依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)命題，深化基礎(chǔ)考查，突出主干知識(shí)，創(chuàng)新

試題設(shè)計(jì)，加強(qiáng)教考銜接，發(fā)揮高考試題對(duì)中學(xué)教學(xué)改革的引導(dǎo)和促進(jìn)作用。

1.依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)

高考數(shù)學(xué)命題貫徹高考內(nèi)容改革要求，依據(jù)高中課程標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)一步增強(qiáng)考試

與教學(xué)的銜接。試題的考查內(nèi)容范圍和比例、要求層次與課程標(biāo)準(zhǔn)保持一致，注

重考查內(nèi)容的全面性，同時(shí)突出主干、重點(diǎn)內(nèi)容的考查，引導(dǎo)教學(xué)依標(biāo)施教。試

題突出對(duì)學(xué)科基本概念、基本原理的考查，強(qiáng)調(diào)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生

形成學(xué)科知識(shí)系統(tǒng)；注重本原性方法，淡化特殊技巧，強(qiáng)調(diào)對(duì)通性通法的深入理

解和綜合運(yùn)用，促進(jìn)學(xué)生將知識(shí)和方法內(nèi)化為自身的知識(shí)結(jié)構(gòu)。全國(guó)乙卷第21

題考查分類(lèi)與整合的思想，全國(guó)甲卷第20題考查數(shù)形結(jié)合的思想，新高考I卷

第16題體現(xiàn)特殊與一般的思想，新高考H卷第19題對(duì)統(tǒng)計(jì)與概率的思想進(jìn)行了

深入考查。數(shù)學(xué)試題力圖引導(dǎo)中學(xué)遵循教學(xué)規(guī)律、提高課堂教學(xué)效果，實(shí)現(xiàn)作業(yè)

題、練習(xí)題減量提質(zhì)。

2.加強(qiáng)主干考查

試卷在選擇題、填空題、解答題3種題型上都加強(qiáng)了對(duì)主干知識(shí)的考查。如

新高考I卷第12題，要求學(xué)生在抽象函數(shù)的背景下，理解函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)

性、導(dǎo)數(shù)等概念以及它們之間的聯(lián)系，對(duì)數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理等核心

素養(yǎng)都有較高的要求。再如全國(guó)甲卷理科第19題，以學(xué)校體育比賽為情境，考

查概率的基礎(chǔ)知識(shí)和求離散型隨機(jī)變量的分布列與期望的方法，體現(xiàn)了對(duì)主干知

識(shí)的深入考查。

3.創(chuàng)新試題設(shè)計(jì)

高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題形式，引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)核心素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，增強(qiáng)試題

開(kāi)放性，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，引導(dǎo)教學(xué)注重

培育學(xué)生的創(chuàng)新精神。在多選題的設(shè)計(jì)上，進(jìn)一步增強(qiáng)選項(xiàng)的靈活性，突出對(duì)發(fā)

散性思維和創(chuàng)新性思維的考查。在填空題的答案設(shè)計(jì)上，給學(xué)生較大的思考空間，

對(duì)知識(shí)之間的聯(lián)系、直觀想象等素養(yǎng)作了深入的考查。

試卷創(chuàng)新結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的設(shè)計(jì)，有效增強(qiáng)試題的開(kāi)放性，考查學(xué)生創(chuàng)新思維

能力。如新高考H卷第21題給出3個(gè)條件，要求學(xué)生選取2個(gè)作為已知條件，

證明另外一個(gè)成立，給學(xué)生提供了選擇的自由度和發(fā)揮空間，有利于對(duì)學(xué)生思維

水平的考查。

三.加強(qiáng)素養(yǎng)考查，發(fā)揮選拔功能

數(shù)學(xué)試題加強(qiáng)學(xué)科核心素養(yǎng)考查，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的滲透，深入考查關(guān)鍵

能力，優(yōu)化試題設(shè)計(jì)，發(fā)揮數(shù)學(xué)科高考的選拔功能，助力提升學(xué)生綜合素質(zhì)。

1.加強(qiáng)思維品質(zhì)考查，增強(qiáng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)試題通過(guò)突出思維品質(zhì)考查，強(qiáng)調(diào)獨(dú)立思考和創(chuàng)新意識(shí)。全國(guó)乙卷理科

第9題、文科第12題，研究球內(nèi)四棱錐體積的最大值問(wèn)題，要求學(xué)生有較強(qiáng)的

空間想象能力和分析問(wèn)題能力，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)的最值問(wèn)題，進(jìn)而利用導(dǎo)

數(shù)求解。新高考n卷第8題對(duì)思維的靈活性有較高要求，在抽象的情境中發(fā)現(xiàn)函

數(shù)周期性是問(wèn)題的關(guān)鍵。全國(guó)甲卷理科第20題、文科第21題，考查直線、拋物

線、三角函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)以及解析幾何的基本思想方法，要求學(xué)生在復(fù)

雜的直線與拋物線的位置關(guān)系中，能抓住問(wèn)題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的關(guān)鍵，選

擇合理的方法。

2.加強(qiáng)關(guān)鍵能力考查，增強(qiáng)試題的選拔性

數(shù)學(xué)試題通過(guò)設(shè)置綜合性的問(wèn)題和較為復(fù)雜的情境，加強(qiáng)關(guān)鍵能力的考查。

新高考I卷第22題重視基于數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵能力的考查，在數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)能

力和創(chuàng)新思維層面都有所體現(xiàn)，具有較好的選拔功能。新高考H卷第22題將函

數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列與不等式等知識(shí)有機(jī)結(jié)合，考查學(xué)生靈活應(yīng)用函數(shù)、不等式思想

解決復(fù)雜問(wèn)題的能力，對(duì)直觀想象能力和邏輯推理能力也有較高的要求。

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)

（適用地區(qū):云南、四川、廣西、貴州、西藏）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，

將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.若z=—1+Gi,貝=（）

zz-1

r-r,173,1V3.

A.-1+V3iB.-1-V3iC.1D.-----i

2.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)?為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這1。位社區(qū)居民在

講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

則（）

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.設(shè)全集。={一2,-1,0,1,2,3},集合A={—1,2},3={兄x?—4x+3=0}，則電（AUB）=

()

A.{1,3}B.{0,3}C.{-2,1}D.{-2,0}

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1,則該多面體

的體積為()

5.函數(shù)y=(3*—3f)cosx在區(qū)間一封的圖像大致為()

6.當(dāng)％=1時(shí);函數(shù)/(x)=alnx+2取得最大值一2,則八2)=()

x

,1八I

A.-1B.一—C.-D.1

22

7.在長(zhǎng)方體ABCO—ABCR中，已知BQ與平面ABC。和平面A44B所成的角均為

30°,則()

A.AB^2ADB.AB與平面AgC。所成的角為30°

C.AC=CB]D.與。與平面55GC所成的角為45°

8.沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，

如圖，是以。為圓心，0A為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，。在A8上，CD_LAB.“會(huì)

CD2

圓術(shù)”給出AB的弧長(zhǎng)的近似值s的計(jì)算公式：s=AB+——.當(dāng)。4=2,ZAOB=60°時(shí),

0A

D

B

11-3^11-4739-3739-473

-------B.-------C.------

-2-

9.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為2兀，側(cè)面積分別為S甲和S乙,

體積分別為埼和％.若新=2,則步（

)

s乙彩

D.等

A.>/5B.2夜C.回

10.橢圓。：=+與=1（。>。>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸，。均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).若

a

直線AP,AQ的斜率之積為則C的離心率為（）

4

R應(yīng)1

A.--cD.-

22-13

11.設(shè)函數(shù)/0）=5①（。尢+三）在區(qū)間（0,兀）恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn)，則0的取值范

圍是（）

5\f/

AB19|a

13一

--19一

3676,6

XI

3111

2Q=則

3-2-4-4-

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.設(shè)向量a,力的夾角的余弦值為』，且|a|=l,|6|=3,貝U（2a+b）b=.

3

14.若雙曲線V一一了=1（m>0）的漸近線與圓/+；/-4丫+3=0相切,則加=

m

15.從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為.

AC

16.已知△ABC中，點(diǎn)。在邊BC上，ZADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)——取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（―）必考題：共60分。

17.（12分）

2S

記S?為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和.已知。+〃=2an+1.

（1）證明：｛%｝是等差數(shù)列；

（2）若a4M7，旬成等比數(shù)列，求S“的最小值.

18.（12分）

在四棱錐P-ABCD中,PDA.底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=6.

（1）證明：BD±PA；

（2）求PO與平面248所成的角的正弦值.

19.（12分）

甲、乙兩個(gè)學(xué)校進(jìn)行體育比賽，比賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝方得10分，負(fù)方得0分，

沒(méi)有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的學(xué)校獲得冠軍.已知甲學(xué)校在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝

的概率分別為0.5,0.4,0.8,各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.

（1）求甲學(xué)校獲得冠軍的概率；

（2）用X表示乙學(xué)校的總得分，求X的分布列與期望.

20.（12分）

設(shè)拋物線。：丁=2力5>0）的焦點(diǎn)為凡點(diǎn)。（〃,0）,過(guò)F的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)

直線MO垂直于x軸時(shí)，月=3.

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線A/D,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,A6的傾斜角分別為

a,/3.當(dāng)a-1取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

21.（12分）

已知函數(shù)/（x）=--lnx+x-?.

（I）若/（x）?0,求a的取值范圍；

（2）證明:若/'（X）有兩個(gè)零點(diǎn)和々，則中2<1.

（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的

第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）

X-9

在直角坐標(biāo)系中，曲線G的參數(shù)方程為《6（/為參數(shù)），曲線G的參數(shù)方程

y=4t

2+s

x=-----,

為16(s為參數(shù)).

y=-y［s

(1)寫(xiě)出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

2cos6-sine=0,求G與孰交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

已知a,b,c均為正數(shù)，且/+戶+4C2=3,證明：

(1)a+b+2c<3；

(2)若h=2c,則！+123.

ac

絕密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

理科數(shù)學(xué)參考答案

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將

答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)

中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.11

14.如

3

16.V3-l##-l+V3

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17?21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答.

（-）必考題：共60分.

2s

17.（1）解：因?yàn)椤猑+〃=2〃〃+1,即〃①，

n

當(dāng)力之2時(shí)，2s+（力一I）?=2（力一1）/_]②，

①一②得，2s“+"2_2S〃_]+〃一2（〃一1）々〃_],

即+2〃-1=2%+1,

即2(〃一1”“一2(〃一l)a,T=2(〃-1),所以a“一qH—1=1,〃22且〃￡N*,

所以｛%｝是以1為公差的等差數(shù)列.

(2)-78.

18.(1)證明：在四邊形ABCD中，作于E,CFJ_AB于尸，

因?yàn)?//AB,AD=C￡>=C8=l,AB=2,

所以四邊形ABCO為等腰梯形，

所以AE=BF=L,

2

故。E=￥，BD=NDE2+BE。=百,

所以AD?+BD?=AB?，

所以AD_L30，

因?yàn)镻￡>_L平面ABCD,BDu平面ABCD,

所以PDL8D，

又PDcAD=D,

所以8。，平面PA。，

又因B4u平面尸AD，

所以8￡>，QA；

(2)—.

5

19.(1)0.6;

(2)分布列見(jiàn)解析，￡(X)=13.

【解析】依題可知，X的可能取值為0,10,20,30,所以，

p(x=0)=0.5x0.4x0.8=0.16,

=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X-20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列為

X0102030

p0.160.440.340.06

期望￡(x)=0x0.16+10x0.44+20x0.34+30x0.06=13.

20.(1)y2=4x；

(2)AB:x->/2y+4.

21.已知函數(shù)/(x)=---Inx+x—ci-

(1)(-oo,e+l]

(2)由題知,/(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1

不妨設(shè)％<1<々

1

要證罰/<1，即證玉<一

X2

1(1

因?yàn)橥?，一@(0,1),即證/&)〉/—

X2lX2)

1

因?yàn)?(玉)=/(馬)，即證/(々)>/—

ex-1

即證---lnx+x-xex-Inx——>0,XG(1,+OO)

xx

ex-

即證——xev-2>0

x

ev-if1A

F面證明x>1時(shí)，----xex>0,Inx—x—<0

x21x)

設(shè)g(x)=---xeA,x>1,

x

則g'(x)=

A

ex—1

設(shè)9(%)=1ex=^eA>0

x

所以p(x)>^l)=e，而e：<e

所以《―￡>0,所以g'(x)>。

X

所以g(X)在(1,XQ)單調(diào)遞增

x

即g(x)>g(l)=O,所以￡-一>0

X

令〃(九)=\nx-—\x——Lx>l

h\x)=—

x捫打小=空<。

所以力(X)在(1,+CQ)單調(diào)遞減

即/?(%)<//⑴=0,所以Inx-<0；

綜上2皿1x-J>。,所以中Li.

(二)選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則

按所做的第一題計(jì)分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

22.(1)/=6x-2(y>0)；

(2)C3C的交點(diǎn)坐標(biāo)為(；」)，(1,2)，CC的交點(diǎn)坐標(biāo)為鳥(niǎo),一1),(-1,-2).

［選修4-5：不等式選講］

23.(1)證明：由柯西不等式有［。一+3-+(2c)］(r+r+1~)2(a+b+2c),

所以a+b+2c43,

當(dāng)且僅當(dāng)。=b=2c=l時(shí)，取等號(hào)，

所以a+b+2c43；

(2)證明：因?yàn)閎=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+Z?+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以二一2,，

。+4c3

由權(quán)方和不等式知■!■+■!■=￡+2i之（+2）=9之3

aca4ca+4ca+4c

121

當(dāng)且僅當(dāng)一二一，即a=l,c=一時(shí)取等號(hào)，

a4c2

所以—F—>3

ac

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)甲卷）

文科數(shù)學(xué)

（適用地區(qū):云南、四川、廣西、貴州、西藏）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)

填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及

科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，

將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4=（-2,-1,0,1,2},B=則Ap|B=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí).為了解講座效果，隨機(jī)抽取10

位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在

講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：

則（)

A.講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

3.若z=l+i.則|iz+3Z|=（）

A.475B.472C.2#>D.2&

4.如圖，網(wǎng)格紙上繪制的是一個(gè)多面體的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1.則該多面體

的體積為（）

A.8B.12C.16D.20

5.將函數(shù)/(x)=sin(^yx+■|)(^y>0)的圖像向左平移5個(gè)單位長(zhǎng)度后得到曲線C,若C

關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則①的最小值是()

1clclr1

A.-B.-C.-D.一

6432

6,從分別寫(xiě)有1,2,3,4,5,6的6張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上

的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為()

7.函數(shù)/(x)=(3X—3T)cosx在區(qū)間一%工的圖像大致為()

X

A.-1B.C.-D.1

22

9.在長(zhǎng)方體ABC?！狝4CA中，己知8Q與平面ABC。和平面A448所成的角均為

30°,則()

A.AB=2ADB.AB與平面封與^。所成的角為30°

C.AC=CB{D.BQ與平面3與G。所成的角為45°

10.甲、乙兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)相等，側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角之和為27r，側(cè)面積分別為S甲和S乙，

體積分別為埼和力.若薩=2,則a=（）

s乙吃

A.V5B.2夜C.MD.

4

丫221

11.已知橢圓。：^+與=1（。>。>0）的離心率為2,分別為。的左、右頂點(diǎn)，B

ah3

為c的上頂點(diǎn).若則c的方程為（）

2222222

XVXV_VX2.

A.---1---=1B.---1---=1C.----1---=1D.---hy=1

181698322

12.已知|9'〃=10,。=10切一9,則（）

A.a>O>hB.a>b>0C,b>a>0D.h>0>a

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量。=（加,3）,力=（1,優(yōu)+1）.若aJ_b,貝iJ/%=.

14.設(shè)點(diǎn)〃在直線2x+y—1=0上，點(diǎn)（3,0）和（0,1）均在上，則。用的方程為

15.記雙曲線C:二一與=1（。>0,。>0）的離心率為e,寫(xiě)出滿足條件“直線y=2x與C

a~b~

無(wú)公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值_____________.

A.Q

16.已知△A8C中，點(diǎn)。在邊BC上，AADB=120°,AD=2,CD=2BD.當(dāng)一取得

AB

最小值時(shí)，BD=.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第17~21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求

作答。

（-）必考題：共60分。

17.（12分）

甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)均由4和B兩家公司運(yùn)營(yíng)，為了解這兩家公司長(zhǎng)途客車(chē)的運(yùn)行

情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：

準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)

A24020

B21030

（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)準(zhǔn)點(diǎn)的概率；

（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長(zhǎng)途客車(chē)是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車(chē)所屬公司有關(guān)？

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(8+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.(12分)

記S“為數(shù)列J｛a,,｝的前八項(xiàng)和.已知名?+〃=2%+1.

(I)證明：｛a,,｝是等差數(shù)列；

(2)若能,外，a9成等比數(shù)列，求S“的最小值.

19.(12分)

小明同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面ABCD是

邊長(zhǎng)為8(單位：cm)的正方形，△以^△F3C,Z\G8,ZV/D4均為正三角形，且它

們所在的平面都與平面A8CD垂直.

(1)證明：防〃平面A8CD；

(2)求該包裝盒的容積(不計(jì)包裝盒材料的厚度).

20.(12分)

已知函數(shù)f(x)=x3-x,g(x)=x2+a,曲線y=/(x)在點(diǎn)處的切線也是曲線

y=g(無(wú))的切線.

(1)若玉=-1,求a：

(2)求。的取值范圍.

21.(12分)

設(shè)拋物線。：：/=2「匹(2>0)的焦點(diǎn)為￡點(diǎn)。5,0),過(guò)戶的直線交C于M,N兩點(diǎn).當(dāng)

直線MZ)垂直于x軸時(shí)，

(1)求C的方程：

(2)設(shè)直線A/D,ND與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A,B,記直線MN,A3的傾斜角分別為

a,(3.當(dāng)a取得最大值時(shí)，求直線AB的方程.

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，

則按所做的第一題計(jì)分。

22.［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］(10分)

'2+t

X-

在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為16(r為參數(shù))，曲線G的參數(shù)方程

6(s為參數(shù)).

y

(i)寫(xiě)出G的普通方程；

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

2cos。一sin6>=0,求G與G交點(diǎn)的直角坐標(biāo)，及G與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).

23.［選修4-5：不等式選講］(10分)

己知a,"c均為正數(shù)，且