專題13.9 軸對(duì)稱章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）（人教版）（解析版）

專題13.9軸對(duì)稱章末十大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解】 1【題型2軸對(duì)稱中的光線反射】 5【題型3等腰三角形中分類討論】 10【題型4雙垂直平分線求角度與周長(zhǎng)】 15【題型5角平分線與垂直平分線綜合運(yùn)用】 19【題型6軸對(duì)稱圖形中的面積問(wèn)題】 24【題型7軸對(duì)稱中尺規(guī)作圖與證明、計(jì)算的綜合運(yùn)用】 32【題型8軸對(duì)稱中的旋轉(zhuǎn)】 37【題型9軸對(duì)稱中規(guī)律探究】 42【題型10等邊三角形的十字結(jié)合模型】 46【題型1利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解】【例1】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱．若AB=7cm，AC=9cm，BC=12cm，則△DBE的周長(zhǎng)為cm．

【答案】10【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AD=DE，AC=CE=9cm，進(jìn)而得出BE=BC-CE=3【詳解】解：∵點(diǎn)A與點(diǎn)E關(guān)于直線CD對(duì)稱，∴AD=DE，AC=CE=9cm∵BC=12cm∴BE=BC-CE=12-9=3cm∵AB=7cm，AC=9cm，∴△DBE的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+AD+BE=AB+BE=7+3=10(cm故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握成軸對(duì)稱的圖象對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．【變式1-1】（2023春·江西九江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知△ABC中∠B是鈍角，以AC所在直線為對(duì)稱軸作△ADC，若∠BAD+∠BCD=100°，則∠B的度數(shù)為．【答案】130°【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，從而得到【詳解】解：根據(jù)題意畫出圖如圖所示：，∵△ABC和△ADC關(guān)于AC成軸對(duì)稱，∴∠BAC=∠DAC，∵∠BAD+∠BCD=100°，∴∠BAC+∠BCA=1∵∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴∠B=130°，故答案為：130°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)P為∠AOB內(nèi)一點(diǎn)，分別作出P點(diǎn)關(guān)于OB、OA的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1P2交OB于M，交OA于N，若∠AOB=40°【答案】100°【分析】首先求出∠P1+∠P2=40°【詳解】解：∵P點(diǎn)關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)是P1，P點(diǎn)關(guān)于OA的對(duì)稱點(diǎn)是P∴PM=P∵∠AOB=40°∴∠P∴∠P∴∠PNM=∠P∴∠PMN+∴∠MPN=180°-故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．【變式1-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)校考期中）如圖，將△ABC紙片沿DM折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C'的位置，其中點(diǎn)D為AC邊上一定點(diǎn)，點(diǎn)M為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M與B，C（1）若∠A＝84°，∠B＝61°，則∠C'＝°（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C'落在四邊形ABMD內(nèi)時(shí)，設(shè)∠BMC'＝∠1，∠ADC'＝∠2，探索∠C'與（3）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，折疊圖形，若∠C'＝35°，∠BMC'＝53°，求∠AD

【答案】（1）35

（2）2∠C′＝∠1＋∠2，理由見解析

（3）17°或123°【分析】（1）由三角形的內(nèi)角和定理求出∠C，再由折疊性質(zhì)得∠C'＝∠C（2）由三角形的內(nèi)角和定理得出∠CDM+∠CMD=180o﹣∠C，由折疊性質(zhì)得∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，推出∠1+∠2=360o-2（∠CDM+∠CMD）即可找出角之間的關(guān)系；（3）根據(jù)題意，分點(diǎn)C′落在三角形ABC內(nèi)和外討論，類比（2）中方法求解即可．【詳解】（1）在△ABC中，∠A=84o，∠B=61o，由∠A+∠B+∠C=180o得：∠C=180o-84o-61o=35o，由折疊性質(zhì)得：∠C′=∠C=35o，故答案為：35；（2）在△CDM中，∠CDM+∠CMD+∠C=180o，即∠CDM+∠CMD=180o﹣∠C，由折疊性質(zhì)得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180o，∠2+∠C′DM+∠CDM=180o，∴∠1+∠2=360o﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，∴∠1+∠2=2∠C′；（3）設(shè)∠BMC'＝∠1=53o，∠ADC'＝當(dāng)點(diǎn)C′落在△ABC的內(nèi)部時(shí)，由（2）知，∠2=2C′-∠1=2×35o-53o=17o；當(dāng)點(diǎn)C′落在如圖1位置時(shí)，同（2）中方法由∠1+∠2=2∠C′，∴∠2==17o；當(dāng)點(diǎn)C′落在如圖2位置時(shí)，在△CDM中，∠CDM+∠CMD=180o﹣∠C，由折疊性質(zhì)得：∠C′DM=∠CDM，∠C′MD=∠CMD，∵∠1+∠C′MD+∠CMD=180o，∠C′DM+∠CDM﹣∠2=180o，∴∠1﹣∠2=360o﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，∴∠1﹣∠2=2∠C′，∴∠2=∠1﹣2∠C′=53o-70o=﹣17o（舍去）；當(dāng)點(diǎn)C′落在如圖3位置時(shí)，∵∠C′MD+∠CMD﹣∠1=180o，∠C′DM+∠CDM+∠2=180o，∴∠2﹣∠1=360o﹣2（∠CDM+∠CMD）=2∠C，∴∠2﹣∠1=2∠C′，∴∠2=2∠C′+∠1=70o+53o=123o，綜上，∠ADC'的度數(shù)為17o或123o

【題型2軸對(duì)稱中的光線反射】【例2】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）光線以如圖所示的角度α照射到平面鏡工上，然后在平面鏡I，Ⅱ之間來(lái)回反射．若∠α=50°，∠β=60°，則∠γ等于(

)A．80° B．70° C．60° D．50°【答案】B【分析】根據(jù)入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角將已知轉(zhuǎn)化到三角形中，利用三角形的內(nèi)角和是180°求解．【詳解】解：如圖：由反射規(guī)律可知：∠α=∠1，∠γ=∠3，∠2=180°-2∠β，又∵∠1+∠2+∠3=180°∴180°-2∠β+∠α+∠γ=180°，∴2∠β=∠α+∠γ即2×60°=50°+∠γ∴∠γ=120°-50°=70°．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角是解題關(guān)鍵，注意隱含的180°的關(guān)系的使用．【變式2-1】（2023·八年級(jí)單元測(cè)試）公元一世紀(jì)，正在亞歷山大城學(xué)習(xí)的古希臘數(shù)學(xué)家海倫發(fā)現(xiàn)：光在鏡面上反射時(shí)，反射角等于入射角．如圖1，法線NO垂直于反射面，入射光線與法線的夾角為入射角，反射光線與法線的夾角為反射角．臺(tái)球碰撞臺(tái)球桌邊后反彈與光線在鏡面上反射原理相同．如圖2，長(zhǎng)方型球桌ABCD上有兩個(gè)球P，Q．請(qǐng)你嘗試解決臺(tái)球碰撞問(wèn)題：(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一條路徑，使得球P撞擊臺(tái)球桌邊AB反射后，撞到球Q．在圖2中畫出，并說(shuō)明做法的合理性．(2)請(qǐng)你設(shè)計(jì)一路徑，使得球P連續(xù)三次撞擊臺(tái)球桌邊反射后，撞到球Q，在圖3中畫出一種路徑即可．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接QP'交AB于T（2）作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q'，作點(diǎn)Q'關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q″，連接P'Q″交AD于E，交DC于F，連接F【詳解】（1）解：如圖2中，作點(diǎn)P關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)P'，連接QP'交AB于T原理：∵點(diǎn)P'和點(diǎn)P關(guān)于AB∴∠P∵∠P∴∠PTA=∠BTQ；（2）如圖3中，作點(diǎn)P關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)P'，作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)Q'，作點(diǎn)Q'關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)Q″，連接P'Q″交AD于E，交DC于F，連接F【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸對(duì)稱解決實(shí)際問(wèn)題．【變式2-2】（2023春·廣東佛山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖1，直線l垂直BC于點(diǎn)B，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向D，反射后與直線l交于點(diǎn)E，且有∠EDB=∠ADC．

(1)求證：BE=AC；(2)如圖2，連接AB交DE于點(diǎn)F，連接FC交AD于點(diǎn)H，AC=BC，求證：CF⊥AD；(3)如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PD，SΔACD=5，CH=2【答案】(1)見解析(2)見解析(3)存在，5【分析】（1）由ASA可證△BDE≌△CDA，可得BE=AC；（2）由SAS可證△CBF≌△EBF，可得∠BED=∠DAC=∠BCF，由余角的性質(zhì)可得結(jié)論；（3）由SAS可證△EBP≌△CBP，可得PE=PC，則當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值為DE的長(zhǎng)，由面積法可以求解．【詳解】（1）∵直線l垂直BC于點(diǎn)B，∠ACB=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，∠EBD=∠ACB=90°，在△BDE和△CDA∠EDB=∠ADCBD=CD∴△BDE≌△CDAAAS∴BE=AC；（2）∵AC=BC，∴BE=BC，∵AC=BC，∴∠ABC=∠BAC=45°，∵∠EBC=90°，∴∠EBA=∠ABC=45°，又∵BF=BF，∴△CBF≌△EBF，∴∠BED=∠BCF，∵△BDE≌△CDA，∴∠BED=∠DAC=∠BCF，∵∠DAC+∠ADC=90°=∠BCF+∠ADC，∴∠CHD=90°，∴CF⊥AD；（3）存在；在△EBP和△CBP中，EB=BC∠EBA=∠CBA∴△EBP≌△CBP，∴PE=PC，∴PC+PD=PE+PD，∴當(dāng)點(diǎn)E，點(diǎn)P，點(diǎn)D三點(diǎn)共線時(shí)，PE+PD有最小值，即PC+PD有最小值為DE的長(zhǎng)，∵△BDE≌△CDA，∴ED=AD，∵BD=CD，∵S△ACD∴12∴AD=5×2×1∴PC+PD的最小值為5．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，尋找條件證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2023春·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）如圖所示，已知邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，P0是BC邊的中點(diǎn)，一束光線自P0發(fā)出射到AC上的P1后，依次反射到AB、BC上的點(diǎn)P2和P3，且1＜BP3＜32（反射角等于入射角），則P1C的取值范圍是【答案】1<【分析】首先利用光的反射定律及等邊三角形的性質(zhì)證明△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得到用含P3B的代數(shù)式表示P1C的式子，然后由1＜BP3＜32，即可求出P1C【詳解】解：∵反射角等于入射角，∴∠P0P1C＝∠P2P1A＝∠P2P3B，又∵∠C＝∠A＝∠B＝60°，∴△P0P1C∽△P2P1A∽△P2P3B，∴P0CP1C設(shè)P1C＝x，P2A＝y(tǒng)，則P1A＝2﹣x，P2B＝2﹣y．∴1x＝y(tǒng)2-x＝∴xy=2-x2x-xy=∴x＝13（2+P3B又∵1＜BP3＜32∴1＜x＜76即P1C長(zhǎng)的取值范圍是：1＜P1C＜76故答案為：1＜P1C<7【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵，難度較大．【題型3等腰三角形中分類討論】【例3】（2023春·重慶南岸·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，△ABC中，∠ACB>120°，∠B=20°，D為AB邊上一點(diǎn)（不與A、B重合），將△BCD沿CD翻折得到△CDE，CE交AB于點(diǎn)F．若△DEF為等腰三角形，則∠BCD為（

）

A．30° B．30°或60° C．50° D．30°或50°【答案】B【分析】分兩種情況進(jìn)行討論，當(dāng)EF=ED時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，設(shè)∠BCD=∠ECD=x，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠EFD=∠EDF=80°，則x+x+20°=80°，解出x即可；當(dāng)EF=DF時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，設(shè)∠BCD=∠ECD=y，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠E=∠FDE=20°，則∠EFD=140°，則y+y+20°=140°，解出y即可．【詳解】解：當(dāng)EF=ED時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，設(shè)∠BCD=∠ECD=x，∵∠B=20°，∴∠FDC=x+20°，∵△DEF為等腰三角形，EF=ED，∴∠EFD=∠EDF=80°，∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，∴x+x+20°=80°，解得x=30°，當(dāng)EF=DF時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠BCD=∠ECD，設(shè)∠BCD=∠ECD=y，∵∠B=20°，∴∠FDC=y+20°，∵△DEF為等腰三角形，EF=DF，∴∠E=∠FDE=20°，∴∠EFD=140°，∵∠ECD+∠FDC=∠EFD，∴y+y+20°=140°，解得y=60°，綜上所述，∠BCD的度數(shù)為30°或60°，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)將角與角建立聯(lián)系列出方程是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·陜西渭南·八年級(jí)校考期中）若等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為20°，則它的底角為（

）A．35° B．55° C．55°或35° D．70°或35°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行分析，注意分類討論思想的運(yùn)用．【詳解】解：①∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，

∴∠A=70°，∴∠ABC=∠C=180°-70°②∵AB=AC，∠ABD=20°，BD⊥AC，

∴∠BAC=20°+90°=110°∴∠ABC=∠C=180°-110°故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，熟練掌握這兩個(gè)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·廣東廣州·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中∠ABC=40°，動(dòng)點(diǎn)D在直線BC上，當(dāng)△ABD為等腰三角形，∠ADB=．

【答案】20°或40°或70°或100°【分析】畫出圖形，分四種情況分別求解．【詳解】解：若AB=AD，則∠ADB=∠ABC=40°；

若AD=BD，則∠DAB=∠DBA=40°，∴∠ADB=180°-2×40°=100°；

若AB=BD，且三角形是銳角三角形，則∠ADB=∠BAD=1

若AB=BD，且三角形是鈍角三角形，則∠BAD=∠BDA=1

綜上：∠ADB的度數(shù)為20°或40°或70°或100°，故答案為：20°或40°或70°或100°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找齊所有情況，分類討論．【變式3-3】（2023春·山西運(yùn)城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，△AFD和△ABD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∠FAC的平分線交BC于點(diǎn)G，連接FG，當(dāng)△DFG為等腰三角形時(shí)，∠FDG的度數(shù)為．

【答案】50°或65°或80°【分析】先由軸對(duì)稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，再證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；再分三種情況求解：當(dāng)GD=GF、DF=GF、DF=DG．【詳解】解：∵AB=AC，∠BAC=130°，∴∠B=∠C=25°．∵△ABD和△AFD關(guān)于直線AD對(duì)稱，∴△ADB≌△ADF，∴∠B=∠AFD=25°，AB=AF，∴AF=AC．∵AG平分∠FAC，∴∠FAG=∠CAG．在△AGF和△AGC中，AF=AC∠FAG=∠CAG∴△AGF≌△AGC(SAS∴∠AFG=∠C．∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∴∠DFG=∠B+∠C=25°+25°=50°．①當(dāng)GD=GF時(shí)，∴∠FDG=∠GFD=50°．②當(dāng)DF=GF時(shí)，∴∠FDG=∠FGD．∵∠DFG=50°，∴∠FDG=∠FGD=65°．③當(dāng)DF=DG時(shí)，∴∠DFG=∠DGF=50°，∴∠FDG=80°，故答案為：50°或65°或80°．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的判定及性質(zhì)，分類討論是解答本題的關(guān)鍵．【題型4雙垂直平分線求角度與周長(zhǎng)】【例4】（2023春·廣西桂林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，點(diǎn)E、F是∠BAC的邊AB上的兩點(diǎn)，線段EF的垂直平分線交AC于D，AD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)E點(diǎn)，連接DE、DF，若∠CDF=α，則∠EDF的度數(shù)為（

）

A．α B．4α3 C．180°-2α3【答案】D【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理計(jì)算判斷即可．【詳解】∵線段EF的垂直平分線交AC于D，AD的垂直平分線恰好經(jīng)過(guò)E點(diǎn)，∴DE=DF,AE=DE，∴∠DFE=∠DEF,∠EAD=∠EDA，∵∠DEF=∠EAD+∠EDA,∠CDF=∠EAD+∠DFA，∴∠EAD=1∴∠CDF=1∴∠DFA=2∴∠EDF=180°-2∠DFA=180°-4故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段的垂直平分線，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，BC=8，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC與E，則△ADE的周長(zhǎng)等于（）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，AE=EC，進(jìn)而可得AD+ED+AE=BD+DE+EC，從而可得答案．【詳解】解：∵AB的垂直平分線交BC于D，∴AD=BD，∵AC的垂直平分線交BC于E，∴AE=EC，∵BC=8，∴BD+CE+DE=8，∴AD+AE+DE=8，∴△ADE的周長(zhǎng)為8，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等．【變式4-2】（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，連接AO、BO，若∠AOB=α，則∠AIB的大小為（

）

A．α B．14α+90° C．12【答案】B【分析】連接CO并延長(zhǎng)，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OA=OC，OB=OC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算，得到∠AOB=12(∠OCA+∠OCB)=α．根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠IAB+∠IBA=180°-∠AIB，根據(jù)角平分線的定義得到∠IAB+∠IBA=90°-【詳解】解：連接CO并延長(zhǎng)，

∵點(diǎn)O是AC、BC的垂直平分線的交點(diǎn)，∴OA=OC，OB=OC，∴∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，∵∠AOD是△AOC的一個(gè)外角，∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，同理，∠BOD=2∠OCB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=α，∴∠OCA+∠OCB=α∴∠ACB=α∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠IAB=12∠CAB∴∠IAB+∠IBA=1∴∠AIB=180°-(∠IAB+∠IBA)=90°+α故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023春·遼寧丹東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，邊AB的垂直平分線OM與邊AC的垂直平分線ON交于點(diǎn)O，這兩條垂直平分線分別交BC于點(diǎn)D、E．已知△ADE的周長(zhǎng)為11cm，分別連接OA、OB、OC，若△OBC的周長(zhǎng)為23

【答案】6【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得DA=DB，EA=EC，OA=OB=OC，從而可求出BC=11cm，然后根據(jù)△OBC的周長(zhǎng)為23cm，即可求出【詳解】解：∵OM是AB的垂直平分線，∴DA=DB，OA=OB，∵ON是AC的垂直平分線，∴EA=EC，OA=OC，∴OB=OC，∵△ADE的周長(zhǎng)為11cm∴AD+DE+AE=11cm∴BD+DE+CE=11cm∴BC=11cm∵△OBC的周長(zhǎng)為23cm∴OB+OC=23-11=12cm∴OB=OC=6cm∴OA=OC=6cm故答案為：6cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【題型5角平分線與垂直平分線綜合運(yùn)用】【例5】（2023春·湖南湘西·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BAC的平分線AD與邊BC的垂直平分線相交于點(diǎn)D，DE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，現(xiàn)有以下結(jié)論：①DE=DF；②DE+DF=AD；③DM平分∠ADF；④AB+AC=2AE；其中正確的有（

）

A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】①由角平分線的性質(zhì)即可證明；②由題意可知∠EAD=∠FAD=30°，可得DE=12AD，DF=12AD，從而可以證明；③假設(shè)DM平分∠ADF，則∠ADM=∠FDM=30°，可推出∠ABC=∠E=90°，條件不足，故錯(cuò)誤；④連接BD、CD，證明Rt△BED≌【詳解】如圖所示，連接BD、

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴ED=DF．故①正確；∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE⊥AB，∴∠AED=90°．∴DE=1同理DF=1∴DE+DF=AD．故②正確；∵∠EAD=∠FAD=30°，∠AED=∠AFD=90°∴∠ADE=∠ADF=60°．假設(shè)DM平分∠ADF，則∠ADM=∠FDM=30°，∴∠EDM=∠ADE+∠ADM=90°．∵DM⊥BC，∴BC∥DE．∴∠ABC=∠E=90°．又∵∠ABC的度數(shù)是未知的，∴不能判定DM平分∠ADF．故③錯(cuò)誤；∵DM是BC的垂直平分線，∴DB=DC．在Rt△BED和RtDE=DFBD=CD∴Rt△BED≌∴BE=CF．在Rt△AED和RtDE=DFAD=AD∴Rt△AED≌∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=2AE．故④正確；故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023春·山東威海·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠CAB的平分線交BC于點(diǎn)D,DE恰好是AB的垂直平分線，垂足為E．若AD=6，則

【答案】3【分析】由角平分線性質(zhì)定理，得DE=DC，所以Rt△ADE≌Rt△ADC(HL)，于是AC=AE【詳解】解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=DC．∴Rt∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，AD=BD=6．∴AC=AE．∵S△ABD∴2AE?DE=6×AC．∴DE=3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，直角三角形全等的判定；運(yùn)用面積公式尋求線段間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠A=52°，∠ACB的角平分線CF與BC的垂直平分線DE交于點(diǎn)O，連接OB．若∠ABO=20°

【答案】72°【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得∠OBC=∠OCB，由角平分線的定義可得∠ACF=∠OCB，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得∠ACF的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：∵OE垂直平分BC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∵CF平分∠ACB，∴∠ACF=∠OCB，∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠A+∠ABO+3∠ACF=180°，∵∠A=52°，∠ABO=20°，∴∠ACF=36°，∴∠ACB=2∠ACF=72°．故答案為：72°．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理求解∠ACF的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春·四川成都·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，∠ABC的角平分線BD和AC邊的中垂線DE交于點(diǎn)D，DM⊥BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，DN⊥BC于點(diǎn)N．若AB=3，BC=7，則AM的長(zhǎng)為【答案】2【分析】連接AD，CD，由“AAS”可證△BDM?△BDN，可得BM=BN，由“HL”可證Rt△ADM?【詳解】解：連接AD，∵BD是∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠DBC，在△BDM和△BDN中，∠DMB=∠DNB=90°∠ABD=∠DBC∴△BDM?△BDNAAS∴BM=BN，∵DE是AC的垂直平分線，∴AD=DC，在Rt△ADM和RtAD=CDDM=DN∴Rt△ADM?∴AM=CN，∵AB=3，∴BC-AB=BN+CN-BM-AM∴AM=2，故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．【題型6軸對(duì)稱圖形中的面積問(wèn)題】【例6】（2023春·陜西榆林·八年級(jí)校考期中）如圖，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD平分∠ABC，DH⊥BA，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H．(1)若∠ADB=48°，求∠A的度數(shù)；(2)若AB=5cm，△ABC與△ABD的周長(zhǎng)之差為8cm，且△ADB的面積為10cm2【答案】(1)∠A=108°(2)△BDC的面積為16【分析】（1）由角平分線的定義可得∠ABD=∠DBC，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得DB=DC，從而得到∠DBC=∠C=∠ABD，由三角形外角的性質(zhì)可求出∠ABD=24°，最后由三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)可得BD=DC，DE⊥BC，由△ABC與△ABD的周長(zhǎng)之差為8cm計(jì)算可得BC=8cm，由角平分線的性質(zhì)可得DE=DH，由三角形的面積可求得DH=DE=【詳解】（1）解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC，∴∠DBC=∠C=∠ABD，∴∠ADB=∠DBC+∠C=2∠ABD=48°，∴∠ABD=24°，∴∠A=180°-∠ABD-∠ADB=180°-24°-48°=108°；（2）解：∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，DE⊥BC，∵△ABC與△ABD的周長(zhǎng)之差為8cm，∴AB+BC+AD+DC-∵BD平分∠ABC，DH⊥BA，∴DE=DH，∵AB=5cm，△ADB的面積為10∴12∴DH=DE=2×10∴△BDC的面積=1答：△BDC的面積為16cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形外角的定義與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形面積公式，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)校考期中）如圖，∠B=∠C=90°，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，DE平分∠ADC．

(1)求證：AE是∠DAB的平分線；(2)已知AE=4，DE=3，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)12【分析】（1）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F，首先根據(jù)角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CE=EF，根據(jù)等量代換可得BE=EF，再根據(jù)角平分線的判定可得AE平分∠DAB；（2）利用（1）的結(jié)論證明Rt△EFD≌Rt△ECDHL和Rt△EFA≌Rt△EBAHL，可推出【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DA于點(diǎn)F，

∵∠C=90°，DE平分∠ADC，∴CE=EF，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE，∴BE=EF，又∵∠B=90°，EF⊥DA，∴AE平分∠DAB．（2）解：∵EF⊥DA，∠C=90°，∴△EFD和△ECD都為Rt△又∵DE平分∠ADC，∴EC=EF，在Rt△EFD和RtED=EDEC=EF∴Rt△EFD≌∴S△EFD=S∵EF⊥DA，∠B=90°，∴△EFA和△EBA都為Rt△又∵AE平分∠DAB，∴EF=EB，在Rt△EFA和RtEA=EAEF=EB∴Rt△EFA≌∴S△EFA=S∴∠DEA=∠DEF+∠AEF=1∵AE=4，DE=3，∴S△AED∴S==2=2=2×6=12．∴四邊形ABCD的面積為12．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，利用等積法計(jì)算四邊形的面積．解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)和判定定理．【變式6-2】（2023春·重慶渝中·八年級(jí)重慶巴蜀中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在△ABC中，∠BAC=90°，AC=AB，點(diǎn)D、E分別是邊AC、BC上的點(diǎn)，連接BD，AE交于點(diǎn)O．

(1)如圖1，BD⊥AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE，交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求證：AO=CF；(2)如圖2，點(diǎn)D是AC中點(diǎn)，連接DE，若∠ADB=∠CDE，求證：BD⊥AE；(3)如圖3，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，延長(zhǎng)FC至點(diǎn)G，使得∠GAC=∠FCE，點(diǎn)B、O、D、G在同一直線上，若CF=145，AF=46【答案】(1)見解析(2)見解析(3)138【分析】（1）證明△BOA≌△AFCAAS（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．證明△BAD≌△GCDASA，推出AB=GC，∠ABD=∠G，再證明△ACE≌△GCESAS，推出∠CAE=∠G，（3）過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H．證明FA=FG=465，再證明△BHA≌△AFCAAS，推出BH=AF，AH=CF=145【詳解】（1）證明：∵BD⊥AF，CF⊥AF，∴∠AOB=∠F=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAC=90°，∴∠CAF+∠BAO=90°，∴∠ABO=∠CAF，在△BOA和△AFC中，∠AOB=∠F=90°∠ABO=∠CAF∴△BOA≌△AFCAAS∴AO=CF．（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵D是AC的中點(diǎn)，∴DA=DC，在△BAD和△GCD中，∠BAD=∠GCD=90°AD=CD∴△BAD≌△GCDASA∴AB=GC，∠ABD=∠G，∵AB=AC，∴CA=CG，∵∠BAC=90°，AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=45°，∵∠GCD=90°，∴∠ACE=∠GCE=45°，在△ACE和△GCE中，CA=CG∠ACE=∠GCE∴△ACE≌△GCESAS∴∠CAE=∠G，∴∠ABD=∠CAE，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴∠CAE+∠ADB=90°，∴∠AOD=90°，∴BD⊥AE．（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H，

∵∠ACF=∠ACB+∠FCE=∠GAC+∠AGC，∠GAC=∠FCE，∴∠AGC=∠ACB=45°，∵AF⊥FG，∴∠FAG=∠AGF=45°，∴AF=FG=46∵BH⊥AF，∴∠BHA=∠F=90°，∵∠ABH+∠BAH=90°，∠BAH+∠CAF=90°，∴∠ABH=∠CAF，在△BHA和△AFC中，∠BHA=∠F=90°∠ABH=∠CAF∴△BHA≌△AFCAAS∴BH=AF，AH=CF=14∴BH=GF，在△BOH和△GOF中，∠BOH=∠GOF∠BHO=∠F=90°∴△BOH≌△GOFAAS∴OH=OF=1∴AO=AH+OH=14∴S△AOG【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，通過(guò)作輔助線，構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，∠AOB=45°，點(diǎn)M、N分別在射線OA、OB上，MN=6，△OMN的面積為12，點(diǎn)P是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)為P2，當(dāng)點(diǎn)P在直線NM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠P1O

【答案】908【分析】分點(diǎn)P在線段MN上，點(diǎn)M的左側(cè)和點(diǎn)N的右側(cè)，三種情況進(jìn)行討論，連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN交NM的延長(zhǎng)線于H，先利用三角形的面積公式求出OH，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，OP1=OP=OP2，從而可得∠P1OP【詳解】解：當(dāng)點(diǎn)P在線段MN上，如圖，連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN交NM的延長(zhǎng)線于H，

∵S△OMN=1∴OH=4，∵點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)為P∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP∵∠AOB=45°，∴∠P∴△OP1P由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，OP取得最小值，最小值為OH=4，∴△OP1P當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)M的左側(cè)時(shí)，如圖：連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN交NM的延長(zhǎng)線于H，

同法可得：OH=4，∵點(diǎn)P關(guān)于OA對(duì)稱的點(diǎn)為P1，點(diǎn)P關(guān)于OB對(duì)稱的點(diǎn)為P∴∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP∵∠AOB=45°，∴∠P∴△OP1P由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，OP取得最小值，最小值為OH=4，∴△OP1P當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，如圖：連接OP，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥MN交NM的延長(zhǎng)線于H，

同法可得：∠P△OP1P綜上：∠P1OP2故答案為：90，8．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【題型7軸對(duì)稱中尺規(guī)作圖與證明、計(jì)算的綜合運(yùn)用】【例7】（2023春·河南鄭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)在BC邊上找一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離相等；（要求：不寫作法，保留作圖痕跡，使用2B鉛筆作圖）(2)在（1）的條件下，若AC=2，CB=5，則△CAP的周長(zhǎng)是___________．【答案】(1)見解析(2)7【分析】（1）作線段AB的垂直平分線與BC的交點(diǎn)即為P點(diǎn)；（2）根據(jù)AP=BP求出△CAP的周長(zhǎng)等于AC+BC即可得解．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)P即為所求；

（2）解：連接AP，由（1）知AP=BP，∴△CAP的周長(zhǎng)為：AC+CP+AP=AC+CP+BP=AC+BC=2+5=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作線段的垂直平分線，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟知線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·重慶巴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，連接AD．(1)請(qǐng)用直尺和圓規(guī)完成基本作圖：作AD的垂直平分線EF交AD于點(diǎn)O，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，連接DE、DF；（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）(2)求證：AE=DF．（請(qǐng)補(bǔ)全下面的證明過(guò)程，不寫證明理由）．證明：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠1=________．∵EF為AD的垂直平分線，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=________．∴AE=________，∴AE=DF．【答案】(1)見解析(2)∠2，∠AFE，AF【分析】（1）利用基本作圖作AD的垂直平分線得到EF；（2）先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠2，再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到AF=DF，進(jìn)而可得∠AEF=∠AFE，根據(jù)等角對(duì)等邊得到AE=AF，等量代換即可解題．【詳解】（1）解：直線EF，如圖所示：（2）證明：∵AB=AC，D為BC中點(diǎn)，∴∠1=∠2．∵EF為AD的垂直平分線，∴∠AOE=∠AOF=90°，AF=DF．又∵∠1+∠AOE+∠AEF=180°，∠2+∠AOF+∠AFE=180°，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF．∴AE=DF．故答案為：∠2，∠AFE，AF【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的作圖和性質(zhì)，等角對(duì)等邊，掌握基本作圖和垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河南許昌·八年級(jí)許昌市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，△ABC是等邊三角形，BD是中線，延長(zhǎng)BC至E，使CE=CD．

(1)求證：DB=DE；(2)請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出線段BE的中點(diǎn)F（不寫作法，保留作圖痕跡）；若AB=4，求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)作圖見解析，CF=1【分析】（1）證明∠DBC=∠E=30°，利用等角對(duì)等邊即可得出結(jié)論．（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BE于F即可，再根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AC=AB=4，∠ACB=60°，再由BD是中線得CD=12AC=2，在Rt△DFC中，由【詳解】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∵BD是中線，∴∠DBC=1∵CE=CD，∴∠CDE=∠E，又∵∠ACB=∠CDE+∠E，∴∠CDE=∠E=1∴∠DBC=∠E，∴DB=DE．（2）解：如圖所示．

由作圖可知：DF⊥BE，，由（1）知，DB=DE∴DF垂直平分BE．即點(diǎn)F是BE的中點(diǎn)，∵△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=4，∠ACB=60°，∵BD是中線，∴CD=1∴在Rt△DFC中，∠CDF=90°-∠DCB=90°-60°=30°∴CF=1【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，尺規(guī)基本作圖-經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)．熟練掌握等邊三角形、等腰三角形、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023春·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）尺規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線．作法如下：①以點(diǎn)A為圓心，a為半徑作弧交直線l于C、D兩點(diǎn)；②分別以C、D為圓心，a長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在l下方交于點(diǎn)E，連接AE（路徑最短）；i根據(jù)題意，利用直尺和圓規(guī)補(bǔ)全圖形；ii作圖依據(jù)為______________（2）畫一畫，想一想：如圖，已知∠AOB．你能用手中的三角板作出∠【答案】（1）作圖見解析，到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分上；（2）見解析【分析】（1）按照要求直接作圖，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得答案；（2）按照角平分線的作法作出圖形，并用全等三角形的判定定理進(jìn)行證明．【詳解】（1）如圖所示，連接AC,AD,CE,CD,由作法得：AC=CE=AD=DE，∴A，E在CD的垂直平分線上，∴AE⊥CD∴作圖依據(jù)為：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分上．故答案為：到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分上．（2）作法：①在OA、OB上，利用刻度尺截取②利用三角板的直角作CD⊥OB,DF⊥OA交于點(diǎn)P，③作射線OP，則OP為∠AOB證明：∵CD⊥OB,DF⊥OA∴∠在Rt△OCP和RtOP=OPOC=OD∴Rt∴∠即OP為∠AOB【點(diǎn)睛】本題考查基本作圖——垂線和角平分線，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線和角平分線的性質(zhì)．【題型8軸對(duì)稱中的旋轉(zhuǎn)】【例8】（2023春·山西太原·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在折線段A-B-C中，BC可繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，AB=6，BC=2，線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，將線段AB分成兩部分，旋轉(zhuǎn)BC，PA，當(dāng)三條線段BC，BP，PA首尾順次相連構(gòu)成等腰三角形時(shí)，BP的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．2或3 C．2或4 D．2或3或4【答案】A【分析】分三種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系可求解．【詳解】解：當(dāng)AP=BP時(shí)，∵AP+BP=6，∴BP=3，當(dāng)AP=BC=2時(shí)，則BP=4，∵2+2=4，∴三條線段BC，BP，PA不能構(gòu)成三角形，當(dāng)BP=BC=2時(shí)，則AP=4，∵2+2=4，∴三條線段BC，BP，PA不能構(gòu)成三角形，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）一副直角三角尺按如圖①所示疊放，現(xiàn)將含45°的三角尺ADE固定不動(dòng)，將含30°的三角尺ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn).如圖②，當(dāng)∠CAE=15°時(shí)，此時(shí)BC∥DE.繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角尺ABC，使兩塊三角尺至少有一組邊互相平行，則∠CAE（【答案】15°、60°、105°或135°【分析】分四種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得到的度數(shù)，再找到關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱的情況即可求解．【詳解】解：如圖②，當(dāng)BC//DE時(shí)，∠CAE=45°-30°=15°；如圖所示，當(dāng)AE//BC時(shí)，∠CAE=90°-30°=60°；如圖所示，當(dāng)DE//AB（或AD//BC）時(shí)，∠CAE=45°+60°=105°；如圖所示，當(dāng)DE//AC時(shí)，∠CAE=45°+90°=135°．故答案為：15°、60°、105°或135°．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是平行線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春·江蘇無(wú)錫·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在△ABC中，AC=BC，以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心把△ABC按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)40°得到△A'BC'，點(diǎn)A'恰好落在AC上，連接

A．110° B．105° C．100° D．95°【答案】A【分析】由旋轉(zhuǎn)知∠ABA'=∠CBC'=40°，BA=BA'，BC=BC'，由等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理可求【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)知，∠ABA'=∠CBC'∴∠BAA'=∠B∴∠BAA'=∵△ABC中，AC=BC∴∠CAB=∠CBA=70°，∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=40°，∴∠ACC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，由定理得到角之間數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AB邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，∠EDF繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC和CB的延長(zhǎng)線于E，F(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，S△DEFA．S△DEF-S△CEF=12C．S△DEF+S△CEF=2S【答案】A【分析】連接CD，證明△CDE≌△BDF（ASA），由全等三角形的性質(zhì)得出S△CDE=S△BDF，則可得出結(jié)論．【詳解】解：連接CD，如圖所示：∵AC=BC，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，∴∠ABC=45°，∠ACD=12∠ACB=45°，CD⊥AB，CD=AD=BD∴∠DCE=∠DBF，∠CDB=90°，∵∠EDF=90°，∴∠CDE=∠BDF，在△CDE和△BDF中，∠CDE=∠BDF∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△CDE=S△BDF，∴S△DEF=S△CFE+S△DBC，=S△CFE+12S△ABC∴S△DEF-S△CFE=12S△ABC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、圖形面積的求法；證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【題型9軸對(duì)稱中規(guī)律探究】【例9】（2023春·寧夏中衛(wèi)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖在△ABC中，AB=AC，DN⊥AB分別交AB，AC于點(diǎn)D，N，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．(1)若∠A=50°，求∠NMB的大小；(2)如果將（1）中的∠A的度數(shù)改為80°，其余條件不變，再求∠NMB的大小；(3)分析（1），（2）兩問(wèn)，你認(rèn)為存在什么樣的規(guī)律？試用文字概括；(4)將（1）中的∠A改為鈍角，對(duì)這個(gè)問(wèn)題規(guī)律的認(rèn)識(shí)是否需要加以修改？說(shuō)明理由．【答案】(1)25°(2)40°(3)當(dāng)∠A為銳角時(shí)，∠NMB=1(4)需要加以修改，需改為：當(dāng)∠A為頓角時(shí)，∠NMB=180°-1【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求出∠B=∠ACB=65°，再根據(jù)DN⊥AB，即可求出∠NMB=90°-∠B=25°；（2）同理即可求∠NMB=90°-∠B=40°；（3）設(shè)∠A=α(0°<α<90°)，根據(jù)等邊對(duì)等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求出∠B=∠ACB=90°-12α．再根據(jù)DN⊥AB，即可得出∠NMB=90°-∠B=（4）畫出圖形，設(shè)∠A=β，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理同樣可求出∠B=∠ACB=90°-12β，再根據(jù)DN⊥AB結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可求出∠NMB=∠D+∠B=180°-【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=1∵DN⊥AB，∴∠NMB=90°-∠B=90°-65°=25°；（2）同理可得∠B=∠ACB=1∴∠NMB=90°-∠B=90°-50°=40°；（3）當(dāng)∠A為銳角時(shí)，∠NMB=1設(shè)∠A=α(0°<α<90°)，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=1∵DN⊥AB，∴∠NMB=90°-∠B=90°-(90°-1故∠NMB=1（4）需要加以修改，需改為：當(dāng)∠A為頓角時(shí)，∠NMB=180°-1理由：如圖，設(shè)∠A=β(90°<β<180°)，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=1∵DN⊥AB，∴∠D=90°．∴∠NMB=∠D+∠B=90°+90°-12β=180°-【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和三角形外角性質(zhì)等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．【變式9-1】（2023·北京·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在射線OA，OB上分別截取OA1=OB1，連接A1B1，在B1A1，B1BA．a(chǎn)22020 B．a(chǎn)22019 C．【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形兩底角相等結(jié)合三角形外角性質(zhì)用α表示出∠A【詳解】解：∵B1A∴∠A同理∠A∴∠A∴∠A∴∠A故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)，和三角形外角性質(zhì),圖形的變化規(guī)律，依次求出每個(gè)三角形的一個(gè)底角，得到分母成2的指數(shù)次冪變化，分子不變的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）觀察規(guī)律并填空：，,,【答案】【詳解】分析：根據(jù)已知得出是連續(xù)的偶數(shù)且每?jī)蓚€(gè)數(shù)組成軸對(duì)稱圖形進(jìn)而得出答案．詳解：由題意得出：數(shù)據(jù)是連續(xù)的偶數(shù)且每?jī)蓚€(gè)數(shù)組成軸對(duì)稱圖形，故空格處應(yīng)該是．故答案為．點(diǎn)睛：此題主要考查了軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，根據(jù)題意得出數(shù)組變化規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式9-3】（2023春·云南大理·八年級(jí)統(tǒng)考期末）同學(xué)們，我們已學(xué)習(xí)了角平分線的概念和性質(zhì)，那么你會(huì)用它們解決有關(guān)問(wèn)題嗎？（1）如圖（1），已知∠AOB，請(qǐng)你畫出它的角平分線OC，并填空：因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠______=∠______=（2）如圖（2），已知∠AOC，若將∠AOC沿著射線OC翻折，射線OA落在OB處，請(qǐng)你畫出射線OB，射線OC一定平分∠AOB．理由如下：因?yàn)椤螧OC是由∠AOC翻折而成，而翻折不改變圖形的形狀和大小，所以∠BOC=∠_______，所以射線_________是∠_________的角平分線．拓展應(yīng)用（3）如圖（3），將長(zhǎng)方形紙片的一角折疊，使頂點(diǎn)A落在C處，折痕為OE，再將它的另一個(gè)角也折疊，頂點(diǎn)B落在OC上的D處并且使OD過(guò)點(diǎn)C，折痕為OF．直接利用（2）的結(jié)論；①若∠AOE=30°，求∠EOF的度數(shù)．（寫出計(jì)算說(shuō)理過(guò)程）②若∠AOE=m°，求∠EOF的度數(shù)，從計(jì)算中你發(fā)現(xiàn)了∠EOF的度數(shù)有什么規(guī)律？（寫出計(jì)算說(shuō)理過(guò)程）【答案】（1）∠AOC，∠BOC；（2）∠AOC，OC，∠AOB；（3）①90°，過(guò)程見解析，②90°，∠EOF始終是90°，過(guò)程見解析．【分析】(1)根據(jù)角的平分線的定義解答即可；(2)根據(jù)折疊的意義解答即可；(3)①根據(jù)折疊的意義，平角的定義，角平分線的定義解答即可；②根據(jù)計(jì)算探究規(guī)律．【詳解】解：（1）如圖(1)，根據(jù)角的平分線的定義，知∠AOC＝∠BOC，故答案為：∠AOC，∠BOC；（2）如圖(2)，∠BOC=∠AOC，所以射線OC_是∠AOB的角平分線，故答案為：∠AOC，OC，∠AOB；（1）（2）（3）（3）①由（2）“翻折”結(jié)論得∠EOC=∠AOE=30°，∠DOF=∠BOF=1而∠BOD=180°-∠AOC=180°-(∠AOE+∠EOC)=180°-2×30°=120°，所以∠DOF=∠BOF=1所以∠EOF=∠EOC+DOF=30°+60°=90°；②當(dāng)∠AOE=m°時(shí)，同理可得，∠EOC=∠AOE=m°，∠DOF=∠BOF=1所以∠EOF=∠EOC+DOF=m°+90°-m°綜上所述，發(fā)現(xiàn)∠EOF始終是90°．【點(diǎn)睛】本題考查了角的平分線，角的平分線的基本作圖，折疊的意義，折疊的應(yīng)用，熟練掌握角的平分線的意義和折疊的意義是解題的關(guān)鍵．【題型10等邊三角形的十字結(jié)合模型】【例10】（20