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湖南省師范大學(xué)附屬中學(xué)2023年高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共10小題;在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意,請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)1.若函數(shù)(,且)在上的最大值為4,且函數(shù)在上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.2.設(shè)集合,.則()A. B.C. D.3.不等式的解集為()A. B.C. D.4.已知全集U={-1,0,1,2,3},集合A={0,1,2},B={-1,0,1},則()A.{-1} B.{0,1}C.{-1,2,3} D.{-1,0,1,3}5.若直線過(guò)點(diǎn),,則此直線的傾斜角是()A.30° B.45°C.60° D.90°6.如圖,在正四棱柱中,,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),過(guò),,三點(diǎn)的平面截正四棱柱所得的截面面積為()A.2 B.C. D.7.一種藥在病人血液中量低于時(shí)病人就有危險(xiǎn),現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥,如果藥在血液中以每小時(shí)80%的比例衰減,那么應(yīng)再向病人的血液中補(bǔ)充這種藥不能超過(guò)的最長(zhǎng)時(shí)間為()A.1.5小時(shí) B.2小時(shí)C.2.5小時(shí) D.3小時(shí)8.若一個(gè)扇形的半徑為2,圓心角為,則該扇形的弧長(zhǎng)等于()A. B.C. D.9.在平行四邊形中,,,為邊的中點(diǎn),,則()A.1 B.2C.3 D.410.已知指數(shù)函數(shù)(,且),且,則的取值范圍()A. B.C. D.二、填空題(本大題共5小題,請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)11.已知函數(shù)是冪函數(shù),且在x∈(0,+∞)上遞減,則實(shí)數(shù)m=________12.已知向量,其中,若,則的值為_(kāi)________.13.已知函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是______14.函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)圖象如圖所示,此函數(shù)的解析式為_(kāi)__________.15.已知角的終邊上有一點(diǎn),則________.三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.)16.已知函數(shù),設(shè).(1)證明:若,則;(2)若,滿足,求實(shí)數(shù)m的范圍.17.在△中,已知,直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(Ⅰ)若直線:與線段交于點(diǎn),且為△外心,求△的外接圓的方程;(Ⅱ)若直線方程為,且△的面積為,求點(diǎn)的坐標(biāo)18.已知函數(shù).(1)用函數(shù)單調(diào)性定義證明:函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù);(2)函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)嗎?為什么?19.設(shè)函數(shù).(1)若在區(qū)間上的最大值為,求的取值范圍;(2)若在區(qū)間上有零點(diǎn),求的最小值.20.已知,Ⅰ求的值;Ⅱ求的值;Ⅲ若且,求的值21.已知,且向量在向量的方向上的投影為,求:(1)與的夾角;(2).
參考答案一、選擇題(本大題共10小題;在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意,請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上.)1、A【解析】由函數(shù)(,且)在上的最大值為4,分情況討論得到,從而可得函數(shù)單調(diào)遞增,而在上是減函數(shù),所以可得,由此可求得的取值范圍【詳解】當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,據(jù)此可知:,滿足題意;當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞減,據(jù)此可知:,不合題意;故,函數(shù)單調(diào)遞增,若函數(shù)在上是減函數(shù),則,據(jù)此可得故選:A【點(diǎn)睛】此題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),考查分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】先求得,然后求得.【詳解】.故選:A3、C【解析】將原不等式轉(zhuǎn)化為從而可求出其解集【詳解】原不等式可化為,即,所以解得故選:C4、C【解析】由交集與補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】解:因?yàn)榧螦={0,1,2},B={-1,0,1},所以,又全集U={-1,0,1,2,3},所以,故選:C.5、A【解析】根據(jù)兩點(diǎn)求解直線的斜率,然后利用斜率求解傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn),,所以直線的斜率為;所以直線的傾斜角是30°,故選:A.6、D【解析】根據(jù)題意畫出截面,得到截面為菱形,從而可求出截面的面積.【詳解】取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接,因?yàn)樵搸缀误w為正四棱柱,∴故四邊形為平行四邊形,所以,又,∴,同理,且,所以過(guò),,三點(diǎn)平面截正四棱柱所得的截面為菱形,所以該菱形的面積為.故選:D7、D【解析】設(shè)時(shí)間為,依題意有,解指數(shù)不等式即可;【詳解】解:設(shè)時(shí)間為,有,即,解得.故選:D8、B【解析】求圓心角的弧度數(shù),再由弧長(zhǎng)公式求弧長(zhǎng).【詳解】∵圓心角為,∴圓心角的弧度數(shù)為,又扇形的半徑為2,∴該扇形的弧長(zhǎng),故選:B.9、D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),再利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】以坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),則,,,,故,由可得,即,化簡(jiǎn)得,故,故,,故故選:D10、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可解決此題【詳解】解:由指數(shù)函數(shù)(,且),且根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知所以,故選:A二、填空題(本大題共5小題,請(qǐng)把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上)11、2【解析】由冪函數(shù)的定義可得m2-m-1=1,得出m=2或m=-1,代入驗(yàn)證即可.【詳解】是冪函數(shù),根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì),得m2-m-1=1解得m=2或m=-1,當(dāng)m=2時(shí),f(x)=x-3在(0,+∞)上是減函數(shù),符合題意;當(dāng)m=-1時(shí),f(x)=x0=1在(0,+∞)上不是減函數(shù),所以m=2故答案為:2【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)的定義,考查了理解辨析能力和計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題目.12、4【解析】利用向量共線定理即可得出【詳解】∵∥,∴=8,解得,其中,故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量共線定理,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題13、【解析】函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn),等價(jià)于函數(shù)和的圖象在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn),作出函數(shù)和的圖象,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果【詳解】若,則,,若,則,,若,則,,,,,,設(shè)和,則方程在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根,等價(jià)為函數(shù)和在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不同的零點(diǎn)作出函數(shù)和的圖象,如圖,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),兩個(gè)圖象有2個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線為,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),時(shí),兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn);當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí),兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線為,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)和時(shí),兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線為,要使方程,兩個(gè)圖象有3個(gè)交點(diǎn),在區(qū)間內(nèi)有3個(gè)不等實(shí)根,則,故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于難題14、【解析】根據(jù)所給的圖象,可得到,周期的值,進(jìn)而得到,根據(jù)函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)可求出的值,得到三角函數(shù)的解析式【詳解】由圖象可知,,,由,三角函數(shù)的解析式是函數(shù)的圖象過(guò),,把點(diǎn)的坐標(biāo)代入三角函數(shù)的解析式,,,又,,三角函數(shù)的解析式是.故答案為:.15、【解析】直接根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義計(jì)算可得;【詳解】解:因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn),則所以,所以故答案為:【點(diǎn)睛】考查任意角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題三、解答題(本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.)16、(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】(1)先判斷為偶函數(shù),再由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在單調(diào)遞增,從而當(dāng)時(shí),有,進(jìn)而可得結(jié)論,(2)將不等式轉(zhuǎn)化為,再由的奇偶性和單調(diào)性可得,所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,換元后變形利用基本不等式可求得結(jié)果【小問(wèn)1詳解】證明:因,所以函數(shù)為偶函數(shù).任取,不妨設(shè),則當(dāng)時(shí),,所以,即,由單調(diào)性定義知,函數(shù)在單調(diào)遞增,所以,當(dāng)時(shí),,即,即【小問(wèn)2詳解】由整理得,由(1)知,在上單調(diào)遞增,且為偶函數(shù),易證在上單調(diào)遞減,因?yàn)?,所以,故,即,由題意知,,即令,因?yàn)?,由單調(diào)性可知,,由基本不等式得,,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.即,故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:此題考查函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的證明,考查不等式恒成立問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為,然后分離參數(shù)得,換元整理后利用基本不等式可求得結(jié)果,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力,屬于中檔題17、(Ⅰ)(Ⅱ)或【解析】(Ⅰ)先求出直線的方程,進(jìn)而得到D點(diǎn)坐標(biāo),為直徑長(zhǎng),從而得到△的外接圓的方程;(Ⅱ)由題意可得,,從而解得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】(Ⅰ)解法一:由已知得,直線的方程為,即,聯(lián)立方程組得:,解得,又,△的外接圓的半徑為∴△的外接圓的方程為.解法二:由已知得,,且為△的外心,∴△為直角三角形,為線段的中點(diǎn),∴圓心,圓的半徑,∴△的外接圓的方程為.或線段即為△的外接圓的直徑,故有△的外接圓的方程為,即(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,由已知得,,所在直線方程,到直線的距離,①又點(diǎn)的坐標(biāo)為滿足方程,即②聯(lián)立①②解得:或,∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或【點(diǎn)睛】本題考查了圓的方程,直線的交點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離,考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.18、(1)證明見(jiàn)解析;(2)不是單調(diào)函數(shù),理由見(jiàn)解析.【解析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式在給定區(qū)間內(nèi)任取,判斷對(duì)應(yīng)函數(shù)值的大小關(guān)系,即可說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性.(2)利用三元基本不等式求在上的最值并確定等號(hào)成立的條件,即可判斷的單調(diào)性.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè),且,任取,則,又,,,,即,∴,即,∴函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù);【小問(wèn)2詳解】由題設(shè),在上,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立,∴,顯然在的兩側(cè)單調(diào)性不同.∴在上不是單調(diào)函數(shù).19、(1);(2)【解析】⑴根據(jù)函數(shù)圖象可得在區(qū)間上的最大值必是和其中較大者,求解即可得到的取值范圍;⑵設(shè)方程的兩根是,,由根與系數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為,對(duì)其化簡(jiǎn)原式大于或者等于,構(gòu)造新函數(shù),利用函數(shù)的最值來(lái)求解解析:(1)因?yàn)閳D象是開(kāi)口向上的拋物線,所以在區(qū)間上的最大值必是和中較大者,而,所以只要,即,得.(2)設(shè)方程的兩根是,,且,則,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).設(shè),則,由,得,因此,所以,此時(shí),由知.所以當(dāng)且時(shí),取得最小值.點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理,二次函數(shù)的性質(zhì)以及解不等式,在求參量的最值時(shí),利用根與系數(shù)之間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為根的方程,運(yùn)用函數(shù)的思想當(dāng)取得對(duì)稱軸時(shí)有最值,本題需要進(jìn)行化歸轉(zhuǎn)化,難度較大20、(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ).【解析】Ⅰ根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系即可求出;Ⅱ根據(jù)二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角差的余弦公式即可求出;Ⅲ由,根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦公式即可求出【詳解】Ⅰ,,,.Ⅱ,.Ⅲ,,,,,.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值有三類,(1)“
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