新教材高中數第9章統(tǒng)計9簡單隨機抽樣案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE10-9.1隨機抽樣9.學習任務核心素養(yǎng)1．通過實例，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程．(重點)2．掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數法．(重點、難點)通過對簡單隨機抽樣的概念和應用的學習，培養(yǎng)數據分析素養(yǎng)．在我國，食品安全問題越來越受到人們的關注，黨中央、國務院和各級政府部門也高度重視，從制度建設和管理上都做了大量的、卓有成效的工作，取得了良好的效果．問題：某報告稱，食品質量檢測人員對某品牌牛奶的抽檢合格率為99.9%，你知道這一數據是怎么得到的嗎？知識點1全面調查和抽樣調查調查方式普查抽樣調查定義對每一個調查對象都進行調查的方法，稱為全面調查，又稱普查根據一定目的，從總體中抽取一部分個體進行調查，并以此為依據對總體的情況作出估計和推斷的調查方法，稱為抽樣調查相關概念總體：在一個調查中，我們把調查對象的全體稱為總體．個體：組成總體的每一個調查對象稱為個體樣本：我們把從總體中抽取的那部分個體稱為樣本．樣本量：樣本中包含的個體數稱為樣本量1．下列調查方式中，適合用普查的是()A．調查春節(jié)聯歡晚會的收視率B．了解某漁場中青魚的平均質量C．了解某批次華為手機的使用壽命D．了解一批汽車的剎車性能D[了解汽車的剎車性能，因為涉及人身安全，且對汽車沒有破壞性，因此，應采用普查的方式．]2．某校共有1005名高三學生參加2020年上學期開學考試，為了了解這1005名學生的數學成績，決定從中抽取50名學生的數學成績進行統(tǒng)計分析．下列敘述錯誤的是()A．總體是1005名學生的數學成績B．樣本量是50C．個體是每一名學生D．樣本是50名學生的數學成績C[個體是每一名學生的數學成績．]知識點2簡單隨機抽樣的概念1．放回與不放回簡單隨機抽樣放回簡單隨機抽樣不放回簡單隨機抽樣一般地，設一個總體含有N(N為正整數)個個體，從中逐個抽取n(1≤n＜N)個個體作為樣本如果抽取是放回的，且每次抽取時總體內的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做放回簡單隨機抽樣如果抽取是不放回的，且每次抽取時總體內未進入樣本的各個個體被抽到的概率都相等，我們把這樣的抽樣方法叫做不放回簡單隨機抽樣簡單隨機抽樣：放回簡單隨機抽樣和不放回簡單隨機抽樣統(tǒng)稱為簡單隨機抽樣．通過簡單隨機抽樣獲得的樣本稱為簡單隨機樣本2．抽簽法先把總體中的個體編號，然后把所有編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌．最后從盒中不放回地逐個抽取號簽，使與號簽上的編號對應的個體進入樣本，直到抽足樣本所需要的個體數．3．隨機數法(1)定義：先把總體中的個體編號，用隨機數工具產生與總體中個體數量相等的整數隨機數，把產生的隨機數作為抽中的編號，并剔除重復的編號，直到抽足樣本所需要的個體數．(2)產生隨機數的方法：①用隨機試驗生成隨機數；②用信息技術生成隨機數．1．采用抽簽法抽取樣本時，為什么將編號寫在外觀、質地等無差別的小紙片(也可以是卡片、小球等)上作為號簽，并將這些小紙片放在一個不透明的盒里，充分攪拌？[提示]為了使每個號簽被抽取的可能性相等，保證抽樣的公平性．2．抽簽法有什么優(yōu)點和缺點？[提示](1)優(yōu)點：簡單易行，當總體的個體數不多時，使總體處于“攪拌”均勻的狀態(tài)比較容易，這時，每個個體都有均等的機會被抽中，從而能夠保證樣本的代表性．(2)缺點：僅適用于個體數較少的總體，當總體容量較大時，費時費力又不方便，況且，如果號簽攪拌的不均勻，可能導致抽樣不公平．3．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)抽簽法和隨機數法都適用于總體容量和樣本容量較小時的抽樣． ()(2)利用隨機數法抽取樣本時，選定的初始數是任意的，但讀數的方向只能是從左向右讀． ()(3)利用隨機數法抽取樣本時，若總體容量為100，則給每個個體分別編號為1,2,3，…，100． ()[答案](1)√(2)×(3)×4．使用簡單隨機抽樣從1000件產品中抽出50件進行某項檢查，合適的抽樣方法是()A．抽簽法 B．隨機數法C．隨機抽樣法 D．以上都不對B[由于總體相對較大，樣本容量較小，故采用隨機數法較為合適．]知識點3總體均值和樣本均值1．總體均值：一般地，總體中有N個個體，它們的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，則稱eq\x\to(Y)＝eq\f(Y1＋Y2＋…＋YN,N)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,N,Y)i為總體均值，又稱總體平均數．2．總體均值加權平均數的形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，不妨記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現的頻數fi(i＝1,2，…，k)，則總體均值還可以寫成加權平均數的形式eq\x\to(Y)＝eq\f(1,N)eq\i\su(i＝1,k,f)iYi．3．如果從總體中抽取一個容量為n的樣本，它們的變量值分別為y1，y2，…，yn，則稱eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i為樣本均值，又稱樣本平均數．5．用抽簽法抽取的一個容量為5的樣本，它們的變量值分別為2,4,5,7,9，則該樣本的平均數為()A．4.5B．4.8C．5.4D．6C[eq\x\to(y)＝eq\f(2＋4＋5＋7＋9,5)＝5.4．]6．已知x1＝－1，x2＝0，x3＝1，x4＝2，x5＝3，y1＝－2，y2＝0，y3＝2，y4＝4，y5＝6，則(xi＋yi)＝________，xiyi＝________．030[(xi＋yi)＝xi＋yi＝(－1＋0＋1)＋(－2＋0＋2)＝0，＝2＋0＋2＋8＋18＝30．]類型1簡單隨機抽樣的判斷【例1】下列5個抽樣中，簡單隨機抽樣的個數是()①一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件；②倉庫中有1萬支奧運火炬，從中一次性抽取100支火炬進行質量檢查；③某班從50名同學中，選出5名數學成績最優(yōu)秀的同學代表本班參加數學競賽；④一彩民選號，從裝有36個大小、形狀都相同的號簽的盒子中無放回地抽出6個號簽．A．0B．1C．2D．3B[根據簡單隨機抽樣的特點逐個判斷．①不是簡單隨機抽樣．因為一兒童從玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，連續(xù)玩了5件它不是“逐個”抽?。诓皇呛唵坞S機抽樣．雖然“一次性抽取”和“逐個抽取”不影響個體被抽到的可能性，但簡單隨機抽樣要求的是“逐個抽取”．③不是簡單隨機抽樣．因為5名同學是從中挑出來的，是最優(yōu)秀的，每個個體被抽到的可能性不同，不符合簡單隨機抽樣中“等可能抽樣”的要求．④是簡單隨機抽樣．因為總體中的個體數是有限的，并且是從總體中逐個進行抽取的，等可能的抽樣．綜上，只有④是簡單隨機抽樣．]具備哪些特征的抽樣才是簡單隨機抽樣？[提示](1)被抽取樣本的總體中的個體數N是有限的；(2)抽取的樣本是從總體中逐個抽取的；(3)簡單隨機抽樣是一種等可能的抽樣．如果三個特征有一個不滿足，就不是簡單隨機抽樣．eq\o([跟進訓練])1．為了進一步嚴厲打擊交通違法，交警隊在某一路口隨機抽查司機是否酒駕，這種抽查是()A．簡單隨機抽樣 B．抽簽法C．隨機數法 D．以上都不對D[由于不知道總體的情況(包括總體個數)，因此不屬于簡單隨機抽樣．]類型2抽簽法的應用【例2】從20架鋼琴中抽取5架進行質量檢查，請用抽簽法確定這5架鋼琴．[解]第一步，將20架鋼琴編號，號碼是01,02，…，20．第二步，將號碼分別寫在外觀、質地等無差別的小紙片上作為號簽．第三步，將小紙片放入一個不透明的盒里，充分攪勻．第四步，從盒中不放回地逐個抽取5個號簽，使與號簽上編號相同的鋼琴進入樣本．1．一個抽樣試驗能否用抽簽法，關鍵看兩點：一是制簽是否方便；二是個體之間差異不明顯．2．應用抽簽法時應注意的問題(1)編號時，如果已有編號可不必重新編號．(2)號簽要求大小、形狀完全相同．(3)號簽要均勻攪拌．(4)根據實際需要采用有放回或無放回抽?。甧q\o([跟進訓練])2．為迎接2022年北京冬奧會，奧委會現從報名的某高校30名志愿者中選取6人組成奧運志愿小組，請用抽簽法設計抽樣方案．[解](1)將30名志愿者編號，號碼分別是01,02，…，30．(2)將號碼分別寫在外觀、質地等無差別的小紙片上作為號簽．(3)將小紙片放入一個不透明的盒里，充分攪勻．(4)從盒中不放回地逐個抽取6個號簽，使與號簽上編號相同的志愿者進入樣本．類型3隨機數法及樣本平均數的綜合應用【例3】某市質監(jiān)局要檢查某公司某個時間段生產的500克袋裝牛奶的質量是否達標，現從500袋牛奶中抽取10袋進行檢驗．(1)利用隨機數法抽取樣本時，應如何操作？(2)如果用隨機試驗生成部分隨機數如下所示，據此寫出應抽取的袋裝牛奶的編號．162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,455,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,673,580,667．(3)質監(jiān)局對該公司生產的袋裝牛奶檢驗的質量指標有兩個：一是每袋牛奶的質量滿足500±5g，二是10袋質量的平均數≥500g，同時滿足這兩個指標，才認為公司生產的牛奶為合格，否則為不合格．經過檢測得到10袋袋裝牛奶的質量(單位：g)為：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499．計算這個樣本的平均數，并按照以上標準判斷牛奶質量是否合格．1．某工廠有2000名工人，從中選取20人參加職工代表大會，采用簡單隨機抽樣方法進行抽樣，是用抽簽法還是隨機數法？為什么？[提示]采用隨機數法，因為工人人數較多，制作號簽比較麻煩，所以采用隨機數法．2．某工廠的質檢人員采用隨機數法對生產的100件產品進行檢查，若抽取10件進行檢查，應如何對100件產品編號？[提示]可對這100件產品編號為：001,002,003，…，100．[解](1)第一步，將500袋牛奶編號為001,002，…，500．第二步，用隨機數工具產生1～500范圍內的隨機數．第三步，把產生的隨機數作為抽中的編號，使編號對應的袋裝牛奶進入樣本．第四步，重復上述過程，直到產生不同的編號等于樣本所需要的數量．(2)應抽取的袋裝牛奶的編號為：162,277,354,384,263,491,175,331,455,068．(3)eq\x\to(y)＝eq\f(502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋499,10)＝499.8＜500，所以該公司的牛奶質量不合格．1．該公司對質監(jiān)部門的這種檢驗方法并不認可，公司自己質檢部門抽取了100袋牛奶按照本例(3)檢驗標準，統(tǒng)計得到這100袋袋裝牛奶的質量都滿足500±5g，平均數為500.4g，你認為質監(jiān)局和公司的檢驗結果哪一個更可靠？為什么？[解]該公司的質檢部門的檢驗結果更可靠．因為質監(jiān)局抽取的樣本較少，不能很好地反映總體，該公司的質檢部門抽取的樣本量較大，一般來說，樣本量大的會好于樣本量小的．尤其是樣本量不大時，增加樣本量可以較好地提高估計的效果．2．為進一步加強公司生產牛奶的質量，規(guī)定袋裝牛奶的質量變量值為Yi＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，質量不低于500g,0，質量低于500g))，公司質監(jiān)部門又抽取了一個容量為50的樣本，其質量變量值如下：11101111001010101010111101011100010101001001010101據此估計該公司生產的袋裝牛奶質量不低于500g的比例．[解]由樣本觀測數據，計算可得樣本平均數為eq\x\to(y)＝0.56，據此估計該公司生產的袋裝牛奶質量不低于500g的比例約為0.56．隨機數法的注意點(1)當總體較大，樣本量不大時，可用隨機數法抽取樣本．(2)用隨機數法抽取樣本，為了方便，在編號時需統(tǒng)一編號的位數．(3)掌握利用信息技術產生隨機數的方法和規(guī)則．eq\o([跟進訓練])3．某學校為了調查高一年級學生的體育鍛煉情況，從甲、乙、丙3個班中，按簡單隨機抽樣的方法獲得了部分學生一周的鍛煉時間(單位：h)，數據如表．甲66.577.58乙6789101112丙34.567.5910.51213.5(1)估計這個學校高一年級的學生中，一周的鍛煉時間超過10個小時的百分比．(2)估計這個學校高一年級學生一周的平均鍛煉時間．[解](1)由題意知，抽取的20個學生中，一周的鍛煉時間超過10小時的有5人，故一周的鍛煉時間超過10個小時的百分比為eq\f(5,20)＝25%．(2)從甲班抽取的5名學生的總時間為6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35．從乙班抽取的7名學生的總時間為6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63．從丙班抽取的8名學生的總時間為3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66．則eq\f(35＋63＋66,5＋7＋8)＝eq\f(164,20)＝8.2．即這個學校高一年級學生一周的平均鍛煉時間為8.2小時．1．(多選題)下面抽樣方法不屬于簡單隨機抽樣的是()A．從平面直角坐標系中抽取5個點作為樣本B．某飲料公司從倉庫中的1000箱可樂中一次性抽取20箱進行質量檢查C．某連隊從200名戰(zhàn)士中，挑選出50名最優(yōu)秀的戰(zhàn)士去參加搶險救災活動D．從10臺手機中逐個不放回地隨機抽取2臺進行質量檢驗(假設10臺手機已編號，對編號進行隨機抽取)ABC[選項A中，平面直角坐標系中有無數個點，這與要求總體中的個體數有限不相符，故錯誤；選項B中，一次性抽取不符合簡單隨機抽樣逐個抽取的要求，故錯誤；選項C中，50名戰(zhàn)士是最優(yōu)秀的，不符合簡單隨機抽樣的等可能性，故錯誤；選項D符合簡單隨機抽樣的要求．]2．抽簽法確保樣本代表性的關鍵是()A．制簽 B．攪拌均勻C．逐一抽取 D．抽取不放回B[若樣本具有很好的代表性，則每一個個體被抽取的機會相等，故需要對號簽攪拌均勻．]3．“雙色球”彩票中有33個紅色球，每個球的編號分別為01,02，…，33．一位彩民用隨機數法選取6個號碼作為6個紅色球的編號，選取方法是從下面的隨機數中第1行第5列和第6列的數字開始，從左向右讀數，則依次選出來的第5個紅色球的編號為()78166572080263140214431997140198320492