第2章 軸對(duì)稱圖形（單元測(cè)試·綜合卷）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

第2章軸對(duì)稱圖形（單元測(cè)試·綜合卷）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2023春·福建寧德·七年級(jí)統(tǒng)考期末）書法是我國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，被譽(yù)為：無言的詩(shī)，無形的舞，無圖的畫，無聲的樂．下列是用小篆書寫的“魅力寧德”四個(gè)字，其中是軸對(duì)稱圖形的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，是線段的垂直平分線，垂足為點(diǎn)，，是上兩點(diǎn)．下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．3．（2022·廣西梧州·梧州市第一中學(xué)校考三模）將長(zhǎng)方形紙片沿AC折疊后點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，則線段BE與AC的關(guān)系是（）A． B． C．且 D．且平分4．（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，點(diǎn)A（2，1）與點(diǎn)B（0，1）關(guān)于某條直線成軸對(duì)稱，這條直線是（）A．軸 B．軸C．直線（直線上各點(diǎn)橫坐標(biāo)均為1） D．直線（直線上各點(diǎn)縱坐標(biāo)均為1）5．（2023春·福建泉州·七年級(jí)校考期中）一副三角板和如圖擺放，，，若，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平分 B．平分 C． D．6．（2023春·陜西咸陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，點(diǎn)O是內(nèi)一點(diǎn)，連接、，垂直平分，若，，則點(diǎn)A、O之間的距離為（

）

A．4 B．8 C．2 D．67．（2023·河北·統(tǒng)考中考真題）四邊形的邊長(zhǎng)如圖所示，對(duì)角線的長(zhǎng)度隨四邊形形狀的改變而變化．當(dāng)為等腰三角形時(shí)，對(duì)角線的長(zhǎng)為（

）

A．2 B．3 C．4 D．58．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，中，，是邊上的高，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，平分，若，，，則下列等式一定成立的是（

）

A． B． C． D．9．（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)為內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)，分別在的兩邊上，若的周長(zhǎng)最小，則與的關(guān)系為（

）A． B．C． D．10．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，和是兩個(gè)等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，連接，，，下列三個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)在線段的中垂線上；④；⑤；⑥．其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，則．12．（2023春·河南平頂山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是由經(jīng)過平移和關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱等變換得到的，其中點(diǎn)P與是變換前后圖形上的一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（用含a、b的代數(shù)式表示）．

13．（2023春·陜西西安·七年級(jí)校考期末）如圖，在一張紙片上將翻折得到三角形，并以為邊作等腰，其中，且E，A，C三點(diǎn)共線，，則的度數(shù)是．

14．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，，，，若，，且長(zhǎng)為奇數(shù)，則的長(zhǎng)為．15．（2023春·陜西西安·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是等腰三角形，，且B，C，D三點(diǎn)共線．連接，分別交于點(diǎn)M，N，連接，則＝．16．（2023·黑龍江佳木斯·校聯(lián)考二模）如圖，A是直線外的一點(diǎn)，于點(diǎn)H，，P是上一動(dòng)點(diǎn)，是等邊三角形，連接，則線段的最小值是．

17．（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，一位同學(xué)拿了兩塊同樣的含45°的三角尺，即等腰直角，等題直角做了一個(gè)探究活動(dòng)：將的直角頂點(diǎn)M放在的斜邊的中點(diǎn)處，設(shè)，猜想此時(shí)重疊部分四邊形的面積為．18．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，等邊和等邊的邊長(zhǎng)都是4，點(diǎn)在同一條直線上，點(diǎn)P在線段上，則的最小值為．三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023秋·北京海淀·八年級(jí)首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考開學(xué)考試）已知如圖所示，

（1）畫出中邊上的高線，在內(nèi)部作射線使得，交邊于點(diǎn)，請(qǐng)你依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷與之間的關(guān)系，并說明理由．20．（8分）（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)課堂例題）如圖，，．求證：直線是線段的垂直平分線．

21．（10分）（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，為等腰直角三角形，，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且．

（1）求證：；（2）若，求的度數(shù)．22．（10分）（2023春·山東棗莊·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，垂足分別為D、C，，且．連接．

（1）求證：．（2）若，，求的度數(shù)．23．（10分）（2023春·四川達(dá)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（不與、重合），連接，作，交線段于．

（1）當(dāng)時(shí)，，；點(diǎn)從向的運(yùn)動(dòng)過程中，逐漸變（填“大”或“小”）；（2）當(dāng)?shù)扔诙嗌贂r(shí)，，請(qǐng)說明理由．（3）在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，與的長(zhǎng)度可能相等嗎？若可以，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)，請(qǐng)說明理由．24．（12分）（2023春·河南鄭州·七年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┙獯痤}（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，把一塊三角板（，）放入一個(gè)“”形槽中，使三角形的三個(gè)頂點(diǎn)、、分別在槽的兩壁及底邊上滑動(dòng)，已知，在滑動(dòng)過程中，發(fā)現(xiàn)與始終相等的角是，與線段相等的線段是；（2）拓展探究如圖2，在中，點(diǎn)在邊上，并且，．求證：．（3）能力提升如圖3，在等邊中，，分別為、邊上的點(diǎn)，，連接，以為邊在內(nèi)作等邊，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．

參考答案1．C【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁部分能夠完全重合的圖形；由此問題可求解．【詳解】解：C選項(xiàng)是軸對(duì)稱圖形，A、B、D選項(xiàng)都不是軸對(duì)稱圖形；故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查軸對(duì)稱圖形的識(shí)別，熟練掌握軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)分析選項(xiàng)即可．【詳解】解：∵是線段的垂直平分線，∴，，故D選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；在和中，∴，∴，故B選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；同理可知：，∴，故C選項(xiàng)結(jié)論正確，不符合題意；利用排除法可知選項(xiàng)A結(jié)論不正確，符合題意．故選：A【點(diǎn)撥】本題考查垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握垂直平分線的性質(zhì)，利用性質(zhì)證明，．3．D【分析】由翻折得到AE=AB，CE=CB，再根據(jù)線段的垂直平分線的判定即可得到答案．【詳解】解：∵ACE是由ABC翻折得到，∴AE=AB,CE=CB∴AC⊥BE且AC平分BE，故選D．【點(diǎn)撥】此題考查矩形的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的判定．4．C【分析】利用成軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，即可解題．【詳解】根據(jù)A點(diǎn)和B點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，即可知它們的對(duì)稱軸為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查坐標(biāo)與圖形變化—軸對(duì)稱，掌握成軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．5．B【分析】根據(jù)三角形板各角的特點(diǎn)，平行線的判定和性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，則，∴平分，故選項(xiàng)正確；∵，，如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，∴，由選項(xiàng)正確可得，∴在中，，在中，，∴，∴，∴平分錯(cuò)誤，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；由上述證明可得，，∴，故選項(xiàng)正確；根據(jù)上述證明可得，，∵，且，∴，∴，∴，故選項(xiàng)正確；故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行性中三角板的計(jì)算，掌握三角板中各角度的關(guān)系，平行性的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．A【分析】連接，由垂直平分線的性質(zhì)可得，由等角對(duì)等邊可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了垂直平分線的性質(zhì)和等角對(duì)等邊，掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等是解題的關(guān)鍵．7．B【分析】利用三角形三邊關(guān)系求得，再利用等腰三角形的定義即可求解．【詳解】解：在中，，∴，即，當(dāng)時(shí)，為等腰三角形，但不合題意，舍去；若時(shí)，為等腰三角形，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．8．B【分析】過點(diǎn)C作于點(diǎn)F，易證（AAS），得到，，，進(jìn)而得到，因此．由于得到，又，得到，因此，所以．由得，變形得到．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)F

是高，平分在和中（），，∵在中，，又，，即故選：B【點(diǎn)撥】本題只要考查三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判斷與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．9．D【分析】作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，其中交于，交于，此時(shí)的周長(zhǎng)最小值等于的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△是等腰三角形，所以，推出，所以，即得出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，，，其中交于，交于，此時(shí)的周長(zhǎng)最小值等于的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱性質(zhì)可知：，，，，，，，即，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱-最短路徑問題，掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．C【分析】利用等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)得到PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，則根據(jù)“SAS”可證明△APC≌△BPD，則可對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)線段垂直平分線的判定可對(duì)③進(jìn)行判斷；計(jì)算出∠BPC＝150°，再利用PB＝PC和三角形內(nèi)角和可計(jì)算出∠PBC＝15°，則可對(duì)④進(jìn)行判斷；由于∠ABC＝75°，∠BAD＝105°加上BD＝CA，則可判斷△ABD與△BCA不全等，從而可對(duì)②進(jìn)行判斷；求出∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，根據(jù)平行線的判定方法可對(duì)⑤進(jìn)行判斷；延長(zhǎng)CP交AB于H，計(jì)算出∠CHB＝90°，則可對(duì)⑥進(jìn)行判斷．【詳解】解：∵△ABP和△CDP是兩個(gè)等邊三角形，△APD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，∴PA＝PB＝PD＝PC，∠APB＝∠DPC＝∠PAB＝∠PDC＝60°，∠APD＝90°，∠PAD＝∠PDA＝45°，∴∠APC＝∠BPD＝150°，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD（SAS），所以①正確；∵PB＝PC，∴點(diǎn)P在線段BC的中垂線上，所以③正確；∵∠BPA＝∠CPD＝60°，∠APD＝90°，∴∠BPC＝150°，∵PB＝PC，∴∠PBC＝15°，所以④正確；∵∠ABC＝60°＋15°＝75°，∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝60°＋45°＝105°，BD＝AC，∴∠ABC≠∠BAD，∴△ABD與△BCA不全等，所以②錯(cuò)誤；∵∠ABC＋∠BAD＝75°＋105°＝180°，∴AD∥BC，所以⑤正確；延長(zhǎng)CP交AB于H，如圖，∵∠PCB＝15°，∠ABC＝75°，∴∠ABC＋∠PCB＝90°，∴∠CHB＝90°，∴PC⊥AB，所以⑥正確．正確的有5個(gè)，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解決此類問題的關(guān)鍵．11．2【分析】根據(jù)若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，∴，解得，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特征，熟練掌握若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；若兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)點(diǎn)B和的位置判斷出平移方式和對(duì)稱變換方式，繼而求解．【詳解】解：由圖中可以看出，點(diǎn)只有向右平移2個(gè)單位才能和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，翻折可得到兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，此時(shí)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．那么點(diǎn)也是如此轉(zhuǎn)換得到．點(diǎn)的坐標(biāo)為，向右平移2個(gè)單位后變?yōu)檫@點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了坐標(biāo)的平移變換和軸對(duì)稱變換，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的轉(zhuǎn)換得到轉(zhuǎn)換方法．13．/152度【分析】根據(jù)折疊得出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出結(jié)果即可．【詳解】解：根據(jù)折疊可知，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊對(duì)等角．14．3【分析】由已知條件得，進(jìn)而得出，，再根據(jù)得到為等邊三角形，進(jìn)而得到，最后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可求出．【詳解】解：在和中，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，,長(zhǎng)為奇數(shù)，，故答案為3．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．60【分析】根據(jù)已知證明都是等邊三角形，得到，即可證明，推出，進(jìn)一步證明，可得，求出，證明是等邊三角形，可得結(jié)果．【詳解】解：∵都是等腰三角形，且，∴都是等邊三角形，∴，∵，∴．在與中，，∴，∴．∵，∴．在與中，，∴，∴．∵，∴是等邊三角形，∴，故答案為：60．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是推出和，注意：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．16．2【分析】以為邊作等邊，連接，證明，得出，說明當(dāng)最小時(shí)，最小，根據(jù)垂線段最短，過點(diǎn)E作于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B時(shí)，最小，即最小，根據(jù)含角的直角三角形的性質(zhì)求出．【詳解】解：以為邊作等邊，連接，如圖所示：

∴，，∴，∵為等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)最小時(shí)，最小，∵垂線段最短，∴過點(diǎn)E作于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B時(shí)，最小，即最小，∵，，∴．故答案為：2．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．17．【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)證得，，，從而證明，根據(jù)四邊形的面積=求出答案．【詳解】解：如圖，連接，∵是等腰直角三角形，M是的中點(diǎn)，∴，，∴，，∵，∴，即，∴，∴，∴四邊形的面積=．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟記全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．18．8【分析】連接，根據(jù)和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，證明，可得，所以，進(jìn)而可得當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，∵和都是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)A與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，的值最小，正好等于的長(zhǎng)，∴的最小值為，故答案為：8．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱—最短路線問題、全等三角形的判定和性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)求解是解決本題的關(guān)鍵．19．(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）先作交于點(diǎn)，根據(jù)等角對(duì)等邊可得，即點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)的距離相等，故可推出點(diǎn)的距離相等，故可推出點(diǎn)在的垂直平分線上，畫圖即可；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，結(jié)合題意即可推得．【詳解】（1）解：如圖：

先作交于點(diǎn)，作的垂直平分線與交于點(diǎn)，即為所求．（2）解：，理由如下：∵，即，∴，∵，且，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了畫圖——三角形的高，等角對(duì)等邊，線段垂直平分線的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余等，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．見解析【分析】利用線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理和兩點(diǎn)確定一條直線的基本事實(shí)推理即可．【詳解】證明：，點(diǎn)在線段的垂直平分線上．，點(diǎn)在線段的垂直平分線上．直線是線段的垂直平分線．【點(diǎn)撥】本題考查了線段垂直平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確運(yùn)用線段垂直平分線性質(zhì)的逆定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．21．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的定義得到，，再利用證明即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，繼而求出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，再利用角的和差計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）∵為等腰直角三角形，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)得到相等的角．22．(1)見詳解(2)【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由等腰直角三角形的性質(zhì)得出，由三角形外角的性質(zhì)得出答案．【詳解】（1）證明：∵，，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴；（2）解：∵，，∴，∵，∴．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是推出．23．