小學(xué)奧數(shù)總復(fù)習(xí)講義

PAGE54-奧數(shù)教學(xué)簡(jiǎn)介一、課程特色：1、教材與現(xiàn)行小學(xué)奧數(shù)教程同步；2、教材難度適中，體現(xiàn)科學(xué)性，現(xiàn)實(shí)性，有挑戰(zhàn)性，突出實(shí)、難、巧、趣的特點(diǎn)。二、教學(xué)理念：通才教育和趣味教育。三、教學(xué)目標(biāo)：以通才教育和趣味教育理念為指導(dǎo)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)，培養(yǎng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題的能力，進(jìn)而開(kāi)拓學(xué)生的思維，為學(xué)好奧數(shù)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如何學(xué)好奧數(shù)？1、直觀畫(huà)圖法：解奧數(shù)題時(shí)，如果能合理的、科學(xué)的、巧妙的借助點(diǎn)、線(xiàn)、面、圖、表將奧數(shù)問(wèn)題直觀形象的展示出來(lái)，將抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，可使同學(xué)們?nèi)菀赘闱鍞?shù)量關(guān)系，溝通“已知”與“未知”的聯(lián)系，抓住問(wèn)題的本質(zhì)，迅速解題。2、倒推法：從題目所述的最后結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步向前倒推，直到題目中問(wèn)題得到解決。3、枚舉法：奧數(shù)題中常常出現(xiàn)一些數(shù)量關(guān)系非常特殊的題目，用普通的方法很難列式解答，有時(shí)根本列不出相應(yīng)的算式來(lái)。我們可以用枚舉法，根據(jù)題目的要求，一一列舉基本符合要求的數(shù)據(jù)，然后從中挑選出符合要求的答案。4、正難則反：有些數(shù)學(xué)問(wèn)題如果你從條件正面出發(fā)考慮有困難，那么你可以改變思考的方向，從結(jié)果或問(wèn)題的反面出發(fā)來(lái)考慮問(wèn)題，使問(wèn)題得到解決。5、巧妙轉(zhuǎn)化：在解奧數(shù)題時(shí)，經(jīng)常要提醒自己，遇到的新問(wèn)題能否轉(zhuǎn)化成舊問(wèn)題解決，化新為舊，透過(guò)表面，抓住問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成自己熟悉的問(wèn)題去解答。轉(zhuǎn)化的類(lèi)型有條件轉(zhuǎn)化、問(wèn)題轉(zhuǎn)化、關(guān)系轉(zhuǎn)化、圖形轉(zhuǎn)化等。6、整體把握：有些奧數(shù)題，如果從細(xì)節(jié)上考慮，很繁雜，也沒(méi)有必要，如果能從整體上把握，宏觀上考慮，通過(guò)研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、局部與整體的內(nèi)在聯(lián)系，“只見(jiàn)森林，不見(jiàn)樹(shù)木”，來(lái)求得問(wèn)題的解決。

第一講第一題：時(shí)鐘問(wèn)題有一個(gè)始終每小時(shí)快20秒，它3月1日中午12點(diǎn)準(zhǔn)確，下一次準(zhǔn)確的時(shí)間是什么時(shí)間？（5月30日12時(shí)）答：一圈快20x12=240秒=4分，一共要快幾圈才會(huì)正好對(duì)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間12x60÷4=180（圈），換算成是幾日180x12=2160時(shí)=90日，3月1日中午12時(shí)+90日=5月30日12時(shí)第二題：幾何問(wèn)題如圖，ABC是等腰直角三角形，D是半圓周的中點(diǎn)，BC是半圓的直徑．已知AB=BC=10，那么陰影部分的面積是多少？(圓周率取3.14)答：第三題：和差倍問(wèn)題春風(fēng)小學(xué)原計(jì)劃種楊樹(shù)、柳樹(shù)和槐樹(shù)共1500棵，植樹(shù)開(kāi)始后，當(dāng)種了楊樹(shù)總數(shù)的3/5和30棵柳樹(shù)后，又臨時(shí)運(yùn)來(lái)15棵槐樹(shù)，這是剩下的3種樹(shù)的棵數(shù)恰好相等，問(wèn)原計(jì)劃要栽植這三種樹(shù)各多少棵？答：假設(shè)楊樹(shù)、柳樹(shù)和槐樹(shù)棵樹(shù)分別為：a、b和c，由題意可得：a+b+c=1500(1-3/5)a=b-30b-30=c+15易得到三種樹(shù)分別為：825、360、315棵第四題：行程問(wèn)題甲、乙二人進(jìn)行游泳追逐賽，規(guī)定兩人分別從游泳池50米泳道的兩端同時(shí)開(kāi)始游，直到一方追上另一方為止，追上者為勝。已知甲、乙的速度分別為1.0米／秒和0.8米／秒。問(wèn)：（1）比賽開(kāi)始后多長(zhǎng)時(shí)間甲追上乙？（2）甲追上乙時(shí)兩人共迎面相遇了幾次？答：（1）250秒；（2）4次。

如圖，構(gòu)造柳卡圖，可見(jiàn)比賽開(kāi)始250秒后甲追上乙，他們相遇4次。第五題：速算與巧算答：2/45

第二講【計(jì)算題】1．難度：★★★★（1）計(jì)算：（2）（結(jié)果寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式）【答案】2．難度：★★★★★某次考試中，13名同學(xué)的平均分四舍五入到十分位后等于85.4，且每名同學(xué)的得分都是整數(shù)。請(qǐng)問(wèn)：這13名同學(xué)的總分是多少？計(jì)算平均分時(shí)四舍五入到百分位等于多少？【答案】平均數(shù)的范圍是在85.35~85.45之間的數(shù)。這13個(gè)同學(xué)的總分最小為13×85.35=1109.55分，最大為13×85.45=1110.85分，每個(gè)同學(xué)的得分是整數(shù)，那么總分也一定是個(gè)整數(shù)，所以這13個(gè)同學(xué)的總分為1110分，則他們的平均分四舍五入到百分位為85.38分。

第三講【計(jì)算題】1．難度：★★★★將15個(gè)相同的悠悠球分裝到四個(gè)相同的紙盒中，要求每個(gè)盒子中至少裝一個(gè)，且每個(gè)盒子裝的數(shù)量都不相同，問(wèn)共有_____種裝法?！敬鸢浮恳?yàn)?+3+4+5=14，所以最小兩個(gè)加數(shù)只能為1和2；1和3；1和4；2和3四種情況：⑴15=1+2+3+9(2)15=1+3+4+7(3)無(wú)(4)15=2+3+4+6=1+2+4+8=1+3+5+6=1+2+5+7因此15個(gè)悠悠球放在不同紙盒里共有3+2+1=6種不同的裝法。2．難度：★★★★★將一個(gè)等邊三角形各邊七等分后再連接相應(yīng)的線(xiàn)段得到下圖，問(wèn)圖中共有多少個(gè)三角形？【答案】正立的：邊長(zhǎng)是1有：1+2+……+7=28邊長(zhǎng)是2有：1+2+……+6=21邊長(zhǎng)是3有：1+2+……+5=15…邊長(zhǎng)是7有：1個(gè)倒立的：邊長(zhǎng)是1有：1+2+……+6=21邊長(zhǎng)是2有：1+2+3+4=10邊長(zhǎng)是3有：1+2=3因此共有：28+21+15+10+6+3+1+21+10+3=118

第四講【幾何問(wèn)題】1．難度：★★★★如圖，已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使；延長(zhǎng)BC至E，使CE=2BC；延長(zhǎng)CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面積?！敬鸢浮?．難度：★★★★★一個(gè)大正方體、四個(gè)中正方體、四個(gè)小正方體拼成如圖的立體圖形，已知大、中、小三個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別為5厘米、2厘米、1厘米。那么，這個(gè)立體圖形的表面積是多少平方厘米?【答案】采用“三視圖”的方法，立方體總表面積=(正面面積+側(cè)面面積+上面面積)×2+遮擋部分的面積，正面面積=5×5+(2×2+1×1)×2=35平方厘米，側(cè)面面積=5×5+(2×2+1×1)×2=35平方厘米，上面面積=5×5=25平方厘米，遮擋部分的面積=(2×2+1×1)×8=40平方厘米，所以總表面積=(35+35+25)×2+40=230平方厘米。

第五講【數(shù)論問(wèn)題】1．難度：★★★★已知九位數(shù)2012□12□2既是9的倍數(shù)，又是11的倍數(shù)，那么，這個(gè)九位數(shù)是多少？【答案】設(shè)原數(shù)為，是9的倍數(shù)和11的倍數(shù)，那么一定是99的倍數(shù)。根據(jù)99的整除特征，兩位一截后得到的兩位數(shù)相加，是99的倍數(shù)，只能是99，所以，所以b=6，a=2。2．難度：★★★★★四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是11880，求此四個(gè)數(shù)?！敬鸢浮?，把這些質(zhì)因數(shù)搭配成4個(gè)乘數(shù)，并且要求是連續(xù)的，11比較大，我們不妨從11入手，只能有8，9，10，11或是9，10，11，12，前者不成立。那么這四個(gè)數(shù)是9，10，11，12。

第六講【應(yīng)用題】1．一個(gè)農(nóng)夫看見(jiàn)池塘里有一群鵝，他自言自語(yǔ)地說(shuō)：“我如果有這些鵝，再加上這些鵝，然后再加上這些鵝的一半，又加上這些鵝的一半的一半，最后再加上我家里的5只，就正好是93只鵝?！背靥晾镉轩Z多少只?！窘馕觥俊?．老師買(mǎi)來(lái)120支鉛筆分給四、五、六年級(jí)的同學(xué)，其中分給四年級(jí)，分給五年級(jí)，那么六年級(jí)分到鉛筆___________支.【解析】簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)量率對(duì)應(yīng)應(yīng)用題，3．小明看《丁丁歷險(xiǎn)記》的連環(huán)畫(huà)，第一天看了全書(shū)的還多4頁(yè)，第二天看了余下的還多5頁(yè)，第三天看了剩下的還多6頁(yè)，第四天看了2頁(yè)就將全書(shū)看完了。這本書(shū)一共有頁(yè)【解析】典型還原問(wèn)題，列綜合算式即可，頁(yè)4．陜北某村有一塊草場(chǎng)，假設(shè)每天草都均勻生成。這片草場(chǎng)經(jīng)過(guò)測(cè)算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。問(wèn)：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧這么多羊?qū)幔繛榉乐共輬?chǎng)沙化，這片草場(chǎng)最多可以放牧多少只羊？【解析】每只羊每天吃草量為1份。新生草量：（份）原有草量：（份）250只羊可吃：（天）放牧這么多羊不對(duì)。最多放牧50只羊，因?yàn)槊刻煨略霾?0份，剛好夠50只羊吃。

第七講1．一箱蘋(píng)果，按每千克1.6元賣(mài)，虧12元，按每千克2.1元賣(mài)，賺3元，要想不虧不賺，每千克應(yīng)賣(mài)元.【解析】如果1千克按1.6元賣(mài)，4千克按2.1元賣(mài)，則剛好虧的和賺的抵消，平均每千克賣(mài)(1.6＋2.1×4)÷(1＋4)＝2(元).2．將一群人分為甲、乙、丙三組，每人都必在且僅在一組。已知甲、乙、丙的平均年齡分別為37、23、41。甲、乙兩組人合起來(lái)的平均年齡為29；乙、丙兩組人合起來(lái)的平均年齡為33。則這一群人的平均年齡為?！窘馕觥考?、乙兩組人的年齡比為（29-23）：（37-29）=3:4，乙、丙兩組人的年齡比為（41-33）：（33-23）=4:5，所以甲、乙、丙三組人的年齡比為3:4:5，這群人的平均年齡為（歲）。3．美是一種感覺(jué)，本應(yīng)沒(méi)有什么客觀的標(biāo)準(zhǔn)，但在自然界里，物體形映的比例卻提供了勻稱(chēng)與協(xié)調(diào)上的一種美感的參考，在數(shù)學(xué)上，這個(gè)比例稱(chēng)為黃金分割。在人體下軀干（由腳底至肚臍的長(zhǎng)度）與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，也就是說(shuō)，若此比值越接近0.618，就越給人一種美的感受。如果某女士身高為1.60米，下軀干與身高的比為0.60，為了追求美，她想利用高跟鞋達(dá)到這一效果，那么她選的高跟鞋的高度約為多少厘米?！窘馕觥吭撆肯萝|干高160×0.6=0.96米，設(shè)高跟鞋的高度為x米，從而，解得（厘米）（厘米）

第八講1．小王期末考試得了滿(mǎn)分，但老師在評(píng)講試卷時(shí)小王突然發(fā)現(xiàn)在做一道數(shù)學(xué)填空題時(shí)，算到最后一個(gè)結(jié)果是一個(gè)數(shù)乘以8，再減去63，由于粗心，把乘法算成除法，把減法算成加法，但湊巧的是得數(shù)是對(duì)的，這道數(shù)學(xué)題得數(shù)是.【解析】設(shè)數(shù)為a，則有a×8－63＝a÷8＋63，求得a＝16，結(jié)果為16÷8＋63＝65。2．天津紅氣球小學(xué)六年級(jí)同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人都在長(zhǎng)跑、短跑和接力三個(gè)項(xiàng)目中選擇兩項(xiàng)參加。已知參加長(zhǎng)跑的有28人，參加短跑的有25人，參加接力的有33人。那么，參加長(zhǎng)跑和接力兩項(xiàng)的有?！窘馕觥咳菀子?jì)算一共有六年級(jí)學(xué)生（28﹢25﹢33）÷2=43人，所以參加長(zhǎng)跑和接力的人有43-15=18。3、我國(guó)除了用公歷紀(jì)年法外，在很多場(chǎng)合還采用干支紀(jì)年法表示年代。天干有10個(gè)：甲乙丙丁戊已庚辛壬癸。地支有12個(gè)：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥。將天干的10個(gè)流字與地支的12個(gè)漢字循環(huán)對(duì)應(yīng)排列成如下兩行：……甲乙丙丁戊已庚辛壬癸甲乙丙丁戊…………子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子丑寅……例如：公歷2000年，干支紀(jì)年為庚辰年。那么公歷2003年，干支幻年為年。請(qǐng)你閱讀下面的故事：我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家蘇步青在1983年講過(guò)一個(gè)學(xué)文史的也要學(xué)點(diǎn)數(shù)學(xué)的故事：“我有一個(gè)學(xué)生研究古典文學(xué)，送我好幾本研究蘇東坡的文集，我翻看了一篇《赤壁賦》，《赤壁賦》是蘇東坡哪一年寫(xiě)的？書(shū)上印的是1080年。蘇東坡生于1037年，活了66歲?！冻啾谫x》開(kāi)頭幾句就是：壬戌之秋，七月既望。大家知道1982年是干支紀(jì)年法的壬戌年。我一看蘇東坡寫(xiě)《赤壁賦》的年代是1080年，就知道一定是錯(cuò)的。”請(qǐng)說(shuō)明蘇步青是通過(guò)怎樣的“神機(jī)妙算”得出這個(gè)結(jié)論的？并推算蘇東坡是公歷哪一年寫(xiě)的《赤壁賦》？【解析】因?yàn)閇10，12]=60，所以干支紀(jì)年法每60年一循環(huán)，1982年是壬戌年，《赤壁賦》也是壬戌年寫(xiě)的，因此公歷1982年與寫(xiě)《赤壁賦》的公歷年相差應(yīng)是60的倍數(shù)，但是1982-1080=902，902不是60的倍數(shù)，所以《赤壁賦》不是在1080年寫(xiě)的。1037+66=1103，在1037年至1103年間與1982相差60的倍數(shù)的只有1982-60×5=1082，所以《赤壁賦》是蘇東坡1082年寫(xiě)的。

第九講1、（★★★）一個(gè)農(nóng)民攜帶一只狼，一只羊和一棵白菜，要借助一條小船過(guò)河．小船上除了農(nóng)民只能再帶狼、羊、白菜中的一樣．而農(nóng)民不在時(shí)，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃白菜．農(nóng)民如何過(guò)河呢？【解析】如下表：次數(shù)此岸過(guò)河彼岸1狼，白菜農(nóng)民，羊〉2狼，白菜〈農(nóng)民羊3狼農(nóng)民，白菜〉羊4狼〈農(nóng)民，羊白菜5羊農(nóng)民，狼〉白菜6羊〈農(nóng)民狼，白菜7農(nóng)民，羊〉狼，白菜農(nóng)民，羊，狼，白菜2、（★★）有一家五口人要在夜晚過(guò)一座獨(dú)木橋．他們家里的老爺爺行動(dòng)非常不便，過(guò)橋需要12分鐘；孩子們的父親貪吃且不愛(ài)運(yùn)動(dòng)，體重嚴(yán)重超標(biāo)，過(guò)河需要時(shí)間也較長(zhǎng)，8分鐘；母親則一直堅(jiān)持勞作，動(dòng)作還算敏捷，過(guò)橋要6分鐘；兩個(gè)孩子中姐姐需要3分鐘，弟弟只要1分鐘．當(dāng)時(shí)正是初一夜晚又是陰天，不要說(shuō)月亮，連一點(diǎn)星光都沒(méi)有，真所謂伸手不見(jiàn)五指．所幸的是他們有一盞油燈，同時(shí)可以有兩個(gè)人借助燈光過(guò)橋．但要命的燈油將盡，這盞燈只能再維持30分鐘了！他們焦急萬(wàn)分，該怎樣過(guò)橋呢？【解析】首先姐姐跟弟弟一起過(guò)，用時(shí)3分鐘，姐姐再回去送油燈，用時(shí)3分鐘，老爺爺跟爸爸一起過(guò)河，用時(shí)12分鐘，弟弟將燈送回去，用時(shí)1分鐘，弟弟和母親一起過(guò)，用時(shí)6分鐘，弟弟送燈過(guò)河，用時(shí)1分鐘，最后與姐姐一起過(guò)河，用時(shí)3分鐘．一共用時(shí)：3+3+12+1+6+1+3=29分鐘．最后能夠安全全部過(guò)河．

第十講1、（★★★）有兩堆火柴，一堆3根，另一堆7根．甲、乙兩人輪流取火柴，每次可以從每一堆中取任意根火柴，也可以同時(shí)從兩堆中取相同數(shù)目的火柴．每次至少要取走一根火柴．誰(shuí)取得最后一根火柴誰(shuí)勝．如果都采用最佳方法，那么誰(shuí)將獲勝？【解析】采用逆推法分析，假設(shè)甲獲勝，甲最終將兩堆火柴都變?yōu)?，簡(jiǎn)記（0，0）；因?yàn)榧字辽偃?根火柴，所以甲取之前，即乙留給甲的兩堆火柴最少的幾種情況是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留給甲上述情況，甲應(yīng)該留給乙（1，2）；再往前逆推，當(dāng)甲留給乙（3，5）時(shí)，無(wú)論乙怎樣取，甲都可以一次取完所有的火柴或留給乙（1，2）．所以甲先從7根火柴的一堆取出2根，留給乙（3，5），甲必勝.2、（★★★）國(guó)王帶著、、、、、六位大臣去旅游。晚上大家要去住旅館，可只有三間房。國(guó)王自己要住一間，剩下的兩間房都能住三個(gè)人，一間是奇數(shù)房，只能住奇數(shù)；一間是質(zhì)數(shù)房，只能住質(zhì)數(shù)。結(jié)果六位大臣商量著竟然吵了起來(lái)。大臣說(shuō)：“我是質(zhì)數(shù)，我應(yīng)該住質(zhì)數(shù)房！”大臣說(shuō)：“不對(duì)，你是奇數(shù)，我才應(yīng)該住質(zhì)數(shù)房！”他們鬧得不可開(kāi)交，最后只好請(qǐng)國(guó)王來(lái)評(píng)判?？蓢?guó)王一時(shí)之間也不知道該怎么安排。同學(xué)們，你們能幫助他們嗎？你們能夠設(shè)計(jì)幾種不同的住法呢？【解析】首先，在題目里大臣所說(shuō)的是錯(cuò)誤的，而大臣所說(shuō)的是正確的。所有的六位大臣都可以去住奇數(shù)房，但只有、、、四位大臣可以住在質(zhì)數(shù)房。所以，例如、、住奇數(shù)房，、、住質(zhì)數(shù)房的安排方法就是正確的。由前面的分析，、必須住在奇數(shù)房，所以另外四個(gè)數(shù)中任何一個(gè)也住進(jìn)奇數(shù)房，都是一種住法，那么一共有種不同的住法。

第十一講1、（★★）若干個(gè)同樣的盒子排成一排，小明把五十多個(gè)同樣的棋子分裝在盒中，其中只有一個(gè)盒子沒(méi)有裝棋子，然后他外出了。小光從每個(gè)有棋子的盒子里各拿一個(gè)棋子放在空盒內(nèi)，再把盒子重新排了一下。小明回來(lái)仔細(xì)查看了一番，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過(guò)這些盒子和棋子。問(wèn)共有多少個(gè)盒子？

【解析】原來(lái)有個(gè)空的，說(shuō)明現(xiàn)在也有個(gè)空的；現(xiàn)在空的說(shuō)明原來(lái)這盒有1個(gè)，當(dāng)然現(xiàn)在也必須有個(gè)盒子有1個(gè)；現(xiàn)在盒中有1個(gè)，說(shuō)明原來(lái)是2個(gè)，當(dāng)然現(xiàn)在也必須有個(gè)盒子有2個(gè)；……考慮50多，所以有0+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55共11個(gè)盒子。

2、（★★）向陽(yáng)小學(xué)有730個(gè)學(xué)生，問(wèn)：至少有幾個(gè)學(xué)生的生日是同一天？【解析】一年最多有366天，可看做366個(gè)抽屜，730個(gè)學(xué)生看做730個(gè)蘋(píng)果．因?yàn)?，所以，至少?＋1＝2（個(gè)）學(xué)生的生日是同一天．

第十二講1、（★★★★）“六一”兒童節(jié)，很多小朋友到公園游玩，在公園里他們各自遇到了許多熟人．試說(shuō)明：在游園的小朋友中，至少有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．【解析】假設(shè)共有n個(gè)小朋友到公園游玩，我們把他們看作n個(gè)“蘋(píng)果”，再把每個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目看作“抽屜”，那么，n個(gè)小朋友每人遇到的熟人數(shù)目共有以下n種可能：0，1，2，……，n-1．其中0的意思是指這位小朋友沒(méi)有遇到熟人；而每位小朋友最多遇見(jiàn)n-1個(gè)熟人，所以共有n個(gè)“抽屜”．下面分兩種情況來(lái)討論：⑴如果在這n個(gè)小朋友中，有一些小朋友沒(méi)有遇到任何熟人，這時(shí)其他小朋友最多只能遇上n-2個(gè)熟人，這樣熟人數(shù)目只有n-1種可能：0，1，2，……，n-2．這樣，“蘋(píng)果”數(shù)(n個(gè)小朋友)超過(guò)“抽屜”數(shù)(n-1種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等．⑵如果在這n個(gè)小朋友中，每位小朋友都至少遇到一個(gè)熟人，這樣熟人數(shù)目只有n-1種可能：1，2，3，……，n-1．這時(shí)，“蘋(píng)果”數(shù)(n個(gè)小朋友)仍然超過(guò)“抽屜”數(shù)(n-1種熟人數(shù)目)，根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)小朋友，他們遇到的熟人數(shù)目相等．總之，不管這n個(gè)小朋友各遇到多少熟人(包括沒(méi)遇到熟人)，必有兩個(gè)小朋友遇到的熟人數(shù)目相等．2、（★★）海天小學(xué)五年級(jí)學(xué)生身高的厘米數(shù)都是整數(shù)，并且在厘米到厘米之間（包括厘米到厘米），那么，至少?gòu)亩嗌賯€(gè)學(xué)生中保證能找到個(gè)人的身高相同？【解析】陷阱：以前的題基本全是2個(gè)人的，而這里出現(xiàn)4個(gè)人，那么，就“從倍數(shù)關(guān)系選”。認(rèn)真思考，此題中應(yīng)把什么看作抽屜？有幾個(gè)抽屜？在140厘米至150厘米之間（包括140厘米到150厘米）共有11個(gè)整厘米數(shù)，把這11個(gè)整厘米數(shù)看作11個(gè)抽屜，每個(gè)抽屜中放3個(gè)整厘米數(shù)，就要個(gè)整厘米數(shù)，如果再取出一個(gè)整厘米數(shù)，放入相應(yīng)的抽屜中，那么這個(gè)抽屜中便有4個(gè)整厘米數(shù)，也就是至少找出33+1=34個(gè)學(xué)生，才能找到4個(gè)人的身高相同．

第十三講1、（★★）有四個(gè)人在晚上準(zhǔn)備通過(guò)一座搖搖欲墜的小橋．此橋每次只能讓2個(gè)人同時(shí)通過(guò)，否則橋會(huì)倒塌．過(guò)橋的人必須要用到手電筒，不然會(huì)一腳踏空．只有一個(gè)手電筒．4個(gè)人的行走速度不同：小強(qiáng)用1分鐘就可以過(guò)橋，中強(qiáng)要2分鐘，大強(qiáng)要5分鐘，最慢的太強(qiáng)需要10分鐘．17分鐘后橋就要倒塌了．請(qǐng)問(wèn)：4個(gè)人要用什么方法才能全部安全過(guò)橋？【解析】小強(qiáng)和中強(qiáng)先過(guò)橋，用2分鐘；再用小強(qiáng)把電筒送過(guò)去，用1分鐘，現(xiàn)在由大強(qiáng)跟太強(qiáng)一起過(guò)橋，用10分鐘，過(guò)去以后叫中強(qiáng)把電筒送給小強(qiáng)用2分鐘，最后小強(qiáng)與中強(qiáng)一起過(guò)河再用2分鐘，他們一起用時(shí)間：(分鐘)，正好在橋倒塌的時(shí)候全部過(guò)河．(時(shí)間最短過(guò)河的原則是：時(shí)間長(zhǎng)的一起過(guò)，時(shí)間短的來(lái)回過(guò)．這樣保證總的時(shí)間是最短的)．2、（★★）車(chē)間里有五臺(tái)車(chē)床同時(shí)出現(xiàn)故障，已知第一臺(tái)到第五臺(tái)修復(fù)時(shí)間依次為18，30，17，25，20分鐘，每臺(tái)車(chē)床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元．現(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工，⑴怎樣安排才能使得經(jīng)濟(jì)損失最少？⑵怎樣安排才能使從開(kāi)始維修到維修結(jié)束歷時(shí)最短？【解析】⑴一人修17、20、30，另一人修18、25；最少的經(jīng)濟(jì)損失為：(元)．⑵因?yàn)?分)，經(jīng)過(guò)組合，一人修需18，17和20分鐘的三臺(tái)，另一人修需30和25分鐘的兩臺(tái)，修復(fù)時(shí)間最短，為55分鐘．

第十四講1、(2008年“迎春杯”三年級(jí)組初賽)計(jì)算：．【解析】本題可以直接將兩個(gè)乘積計(jì)算出來(lái)再求它們的差，但靈活采用平方差公式能收到更好的效果．原式2、(2008年走美四年級(jí)初賽)．【解析】本題可以用湊整的方法來(lái)做，也可以直接用平方差公式來(lái)做．原式5.29試題1、(2008年日本小學(xué)算術(shù)奧林匹克大賽高小組初賽)計(jì)算：．［分析］(法1)原式2、計(jì)算51.2×8.1＋11×9.25＋537×0.19【解析】稍著處理，題中數(shù)字就能湊整化簡(jiǎn)，原式＝51.2×8.1＋11×9.25＋（512＋25）×0.19＝51.2×8.1＋11×9.25＋512×0.19＋25×0.19＝51.2×8.1＋51.2×1.9＋11×9.25＋0.25×19＝51.2×10＋11×0.25＋11×9＋0.25×19＝512＋0.25×30＋99＝611＋7.5＝618.5

第十五講1、計(jì)算（1）2003×2001÷111＋2003×73÷37（2）412×0.81＋11×＋53.7×1.9【解析】（＝2003×2220÷111＝40060（2）原式＝41.2×8.1＋11×（9＋0.25）＋（41.2＋12.5）×1.9＝41.2×8.1＋41.2×1.9＋12.5×1.9＋11×9＋11×0.25＝41.2×（8.1＋1.9）＋（10＋2.5）×1.9＋99＋11×0.25＝412＋10×1.9＋2.5×1.9＋99＋11×0.25＝412＋19＋99＋（11＋19）×0.25＝410＋2＋20－1＋100－1＋7.5＝537.52、（04年希望杯1試）計(jì)算【解析】

第十六講1、(2008年“希望杯”六年級(jí)第2試)________．［分析］用換元法．令，，則原式2、＿＿＿．【解析】原式．

第十七講1、計(jì)算______.【解析】原式．

第十八講1、（※※）大林和小林共有小人書(shū)不超過(guò)9本，他們各自有小人書(shū)的數(shù)目有多少種可能的情況？【解析】大林和小林共有9本的話(huà)，有10種可能；共有8本的話(huà)，有9種可能，……，共有0本的話(huà)，有1種可能，所以根據(jù)加法原理，一共有10+9+……+3+2+1=55種可能．2、（※※※）用100元錢(qián)購(gòu)買(mǎi)2元、4元或8元飯票若干張，沒(méi)有剩錢(qián)，共有多少不同的買(mǎi)法?【解析】如果買(mǎi)0張8元飯票，還剩100元，可以購(gòu)買(mǎi)4元飯票的張數(shù)為0～25張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有26種買(mǎi)法；如果買(mǎi)l張8元飯票，還剩92元，可購(gòu)4元飯票0～23張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有24種不同方法；如果買(mǎi)2張8元飯票，還剩84元，可購(gòu)4元飯票0～21張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有22種不同方法；……如果買(mǎi)12張8元飯票，還剩4元飯票，可購(gòu)4元飯票0～1張，其余的錢(qián)全部購(gòu)買(mǎi)2元飯票，共有2種方法．總結(jié)規(guī)律，發(fā)現(xiàn)各類(lèi)情況的方法數(shù)組成了一個(gè)公差為2，項(xiàng)數(shù)是13的等差數(shù)列．利用分類(lèi)計(jì)數(shù)原理及等差數(shù)列求和公式求出所有方法：26+24+22+…+2=(26+2)×13÷2=182(種)．共有182種不同的買(mǎi)法．

第十九講1、（※※）題庫(kù)中有三種類(lèi)型的題目，數(shù)量分別為30道、40道和45道，每次考試要從三種類(lèi)型的題目中各取一道組成一張?jiān)嚲恚畣?wèn)：由該題庫(kù)共可組成多少種不同的試卷？（4級(jí)）【解析】從該題庫(kù)每一類(lèi)試卷中分三步各選一道題，每一步分別有30、40、45種選法．根據(jù)乘法原理，一共有30×40×45=54000種不同的選法，所以一共可以組成54000種不同試卷2、（※※）五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目．如果貝貝和妮妮不相鄰，共有多少種不同的排法？（6級(jí)）【解析】五位同學(xué)的排列方式共有5×4×3×2×1=120（種）．如果將相鄰的貝貝和妮妮看作一人，那么四人的排列方式共有4×3×2×1=24（種）；因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有24×2=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有120-48=72（種）．

第二十講1、（※※）一列往返于北京和上海方向的列車(chē)全程?？總€(gè)車(chē)站(包括北京和上海)，這條鐵路線(xiàn)共需要多少種不同的車(chē)票．（4級(jí)）【解析】(種)．2、（※※）用1、2、3、4、5、6、7、8可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（4級(jí)）【解析】這是一個(gè)從個(gè)元素中取個(gè)元素的排列問(wèn)題，已知，，根據(jù)排列數(shù)公式，一共可以組成(個(gè))不同的四位數(shù)．6.7試題1、（※※）某校舉行排球單循環(huán)賽，有個(gè)隊(duì)參加．問(wèn)：共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？（2級(jí)）【解析】因?yàn)楸荣愂菃窝h(huán)制的，所以，個(gè)隊(duì)中的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽，并且比賽的場(chǎng)次只與兩個(gè)隊(duì)的選取有關(guān)而與兩個(gè)隊(duì)選出的順序無(wú)關(guān)．所以，這是一個(gè)在個(gè)隊(duì)中取個(gè)隊(duì)的組合問(wèn)題．由組合數(shù)公式知，共需進(jìn)行(場(chǎng))比賽．2、（※※）從0、0、、1、2、3、4、5這七個(gè)數(shù)字中，任取3個(gè)組成三位數(shù)，共可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？（這里每個(gè)數(shù)字只允許用1次，比如100、210就是可以組成的，而211就是不可以組成的）．（2008年“陳省身杯”國(guó)際青少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽五年級(jí)）（4級(jí)）【解析】若三位數(shù)不含有0，有5×3×4=60（個(gè)），若含有一個(gè)0，有5×4×2=40個(gè)），若含有兩個(gè)0，有5（個(gè)），所以共有60+40+5=105（個(gè)）．3、（※※）某班共有46人，參加美術(shù)小組的有12人，參加音樂(lè)小組的有23人，有5人兩個(gè)小組都參加了．這個(gè)班既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的有多少人？【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)，就得到既沒(méi)參加美術(shù)小組也沒(méi)參加音樂(lè)小組的人數(shù)．根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組的總?cè)藬?shù)為12+23-5=30(人)．所以，該班未參加美術(shù)或音樂(lè)小組的人數(shù)是46-30=60(人)．4、（※※）對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有20人，會(huì)打籃球的有25人．兩項(xiàng)都會(huì)的有10人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有9人．這個(gè)班一共有多少人？【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，A圓表示會(huì)游泳的人數(shù)，B圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)．由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)+兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：20+25-10=35(人)，全班人數(shù)為：35+9=44(人)．

第二十一講1.有一個(gè)電子表的表面用2個(gè)數(shù)碼顯示“小時(shí)”，另用2個(gè)數(shù)碼顯示“分”。例如“21：32”表示21時(shí)32分，那么這個(gè)手表從“10：00”至“11：30”之間共有 分鐘表面上顯示有數(shù)碼“2”.【解析】顯示小時(shí)的數(shù)碼不會(huì)出現(xiàn)2，只有分鐘會(huì)出現(xiàn)。10點(diǎn)到11點(diǎn)分別有2，12，20，21，22，……，29，32，42，52，共15次，11點(diǎn)到11點(diǎn)半有2，12，20，21，22，……，29共12次，所以有27分鐘。2.袋中有3個(gè)紅球，4個(gè)黃球和5個(gè)白球，小明從中任意拿出6個(gè)球，他拿出球的情況共有________種可能．【解析】如果沒(méi)拿紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（1、5）、（2、4）、（3、3）、（4、2）4種.如果拿1個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、5）（1、4）、（2、3）、（3、2）、（4、1）5種.如果拿2個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、4）、（1、3）、（2、2）（3、1）、（4、0）5種如果拿3個(gè)紅球，那么拿（黃、白）球的可能有（0、3）、（1、2）、（2、1）、（3、0）4種.可見(jiàn)他拿出球的情況共有：4+5+5+4=18（種）．有18種.

第二十二講1.1、2、3、4四個(gè)數(shù)字，從小到大排成一行，在這四個(gè)數(shù)中間，任意插入乘號(hào)(最少插一個(gè)乘號(hào))，可以得到多少個(gè)不同的乘積?【解析】方法一：按插入乘號(hào)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)：⑴若插入一個(gè)乘號(hào)，4個(gè)數(shù)字之間有3個(gè)空當(dāng)，選3個(gè)空當(dāng)中的任一空當(dāng)放乘號(hào)，所以有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：1×234，12×34，123×4．⑵若插入兩個(gè)乘號(hào)，由于必有一個(gè)空當(dāng)不放乘號(hào)，所以從3個(gè)空檔中選2個(gè)空當(dāng)插入乘號(hào)有3種不同的插法，可以得到3個(gè)不同的乘積，枚舉如下：1×2×34，1×2×3×4，12×3×4。⑶若插入三個(gè)乘號(hào)，則只有1個(gè)插法，可以得到l個(gè)不同的乘積，枚舉如下：1×2×3×4。所以，根據(jù)加法原理共有3+3+1=7種不同的乘積．方法二：每個(gè)空可以放入乘號(hào)可以可以不放乘號(hào)共有兩種選擇，在1、2、3、4這四個(gè)數(shù)中共有3個(gè)空所以共有：2×2×2=8去掉都不放的一種情況，所以共有：8-1=7（種）選擇2、(2002年南京少年數(shù)學(xué)智力冬令營(yíng)六年級(jí)試題)今年是2002年，把2002年這樣的年份稱(chēng)為“對(duì)稱(chēng)年”（年份的個(gè)位數(shù)字和千位數(shù)字相同，百位數(shù)字和十位數(shù)字相同）從2000年到2999年之間共有（）個(gè)“對(duì)稱(chēng)年?！窘馕觥?000年到2999年之間的“對(duì)稱(chēng)年”個(gè)位為2，十位和百位數(shù)字相同，可以是0、1、2、…、9，共10個(gè)，所以從2000年到2999年之間共有10個(gè)“對(duì)稱(chēng)年”.

第二十三講1、共有個(gè)四位數(shù)，其四個(gè)數(shù)字的乘積是質(zhì)數(shù)．【解析】四個(gè)數(shù)的積為質(zhì)數(shù)，其中只能有個(gè)質(zhì)數(shù)，另外個(gè)數(shù)為，如，它可以排成四個(gè)符合要求的四位數(shù)：，，，。同樣，，，，也都可以排成四個(gè)符合要求的四位數(shù)，因此共有個(gè)符合要求的四位數(shù)。2、給定三種重量的砝碼（每種數(shù)量都有足夠多個(gè)），，，將它們組合湊成有種不同的方法（每種砝碼至少用一塊。）【解析】【分析】枚舉。，，，，，，一共有種方法。

第二十四講1、在到（含）的所有正整數(shù)中，它的數(shù)碼和可被整除的數(shù)共有多少個(gè)？【解析】把中的個(gè)位去掉，得到從中的一個(gè)數(shù)，各位數(shù)字和除以的余數(shù)為、、、、中的一種，之后添加個(gè)位數(shù)字使新生成的數(shù)的各位數(shù)字之和能夠整除。不論的各位數(shù)字之和除以的余數(shù)是多少，個(gè)位數(shù)都有兩種添加方法，所以從這個(gè)數(shù)中各位數(shù)字之和為的倍數(shù)的有（個(gè)），減去一個(gè)，有（個(gè)）；從這個(gè)數(shù)中有和各位數(shù)字之和能被整除，所以從到所有正整數(shù)中，它的數(shù)碼和可被整除的數(shù)共有（個(gè)）。2、在一個(gè)六邊形紙片內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，以這個(gè)點(diǎn)和六變形的個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，最多能剪出_______個(gè)．【解析】設(shè)正六邊形內(nèi)有個(gè)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)有個(gè)三角形，每增加一個(gè)點(diǎn)，就增加個(gè)三角形，個(gè)點(diǎn)最多能剪出個(gè)三角形．時(shí)，可剪出個(gè)三角形．注：設(shè)最多能剪出個(gè)小三角形，則這些小三角形的內(nèi)角和為．換一個(gè)角度看，匯聚到正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)處各角之和為，故這些小三角形的內(nèi)角總和為．于是，解得．

第二十五講1、有多少個(gè)四位數(shù)，滿(mǎn)足個(gè)位上的數(shù)字比千位數(shù)字大，千位數(shù)字比百位大，百位數(shù)字比十位數(shù)字大？【解析】由于四位數(shù)的四個(gè)數(shù)位上的數(shù)的大小關(guān)系已經(jīng)非常明確，而對(duì)于從0～9中任意選取的4個(gè)數(shù)字，它們的大小關(guān)系也是明確的，那么由這4個(gè)數(shù)字只能組成1個(gè)符合條件的四位數(shù)(題目中要求千位比百位大，所以千位不能為0，本身已符合四位數(shù)的首位不能為0的要求，所以進(jìn)行選擇時(shí)可以把0包含在內(nèi))，也就是說(shuō)滿(mǎn)足條件的四位數(shù)的個(gè)數(shù)與從0～9中選取4個(gè)數(shù)字的選法是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么滿(mǎn)足條件的四位數(shù)有個(gè)．2、數(shù)3可以用4種方法表示為一個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和，如3，，，．問(wèn)：1999表示為一個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的和的方法有多少種？【解析】我們將1999個(gè)1寫(xiě)成一行，它們之間留有1998個(gè)空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“＋”號(hào)．例如對(duì)于數(shù)3，上述4種和的表達(dá)方法對(duì)應(yīng)：111，111，111，111．可見(jiàn)，將1999表示成和的形式與填寫(xiě)1998個(gè)空隙處的方式之間是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，而每一個(gè)空隙處都有填“＋”號(hào)和不填“＋”號(hào)2種可能，因此1999可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有21998種．

第二十六講比較分?jǐn)?shù)的大小同學(xué)們從一開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)，就有比較數(shù)的大小問(wèn)題。比較整數(shù)、小數(shù)的大小的方法比較簡(jiǎn)單，而比較分?jǐn)?shù)的大小就不那么簡(jiǎn)單了，因此也就產(chǎn)生了多種多樣的方法。對(duì)于兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三種情況，其中前兩種情況判別大小的方法是：分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較大；分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，分母大的那個(gè)分?jǐn)?shù)比較小。第三種情況，即分子、分母都不同的兩個(gè)分?jǐn)?shù)，通常是采用通分的方法，使它們的分母相同，化為第一種情況，再比較大小。由于要比較的分?jǐn)?shù)千差萬(wàn)別，所以通分的方法不一定是最簡(jiǎn)捷的。下面我們介紹另外幾種方法。1.“通分子”。當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母的最小公倍數(shù)比較大，而分子的最小公倍數(shù)比較小時(shí)，可以把它們化成同分子的分?jǐn)?shù)，再比較大小，這種方法比通分的方法簡(jiǎn)便。如果我們把課本里的通分稱(chēng)為“通分母”，那么這里講的方法可以稱(chēng)為“通分子”。2.化為小數(shù)。這種方法對(duì)任意的分?jǐn)?shù)都適用，因此也叫萬(wàn)能方法。但在比較大小時(shí)是否簡(jiǎn)便，就要看具體情況了。3.先約分，后比較。有時(shí)已知分?jǐn)?shù)不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，可以先約分。4.根據(jù)倒數(shù)比較大小。5.若兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的分母與分子的差相等、則分母（子）大的分?jǐn)?shù)較大；若兩個(gè)假分?jǐn)?shù)的分子與分母的差相等，則分母（子）小的分?jǐn)?shù)較大。也就是說(shuō)，6.借助第三個(gè)數(shù)進(jìn)行比較。有以下幾種情況：（1）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m＞k，k＞n，則m＞n。（2）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若m-k＞n-k，則m＞n。前一個(gè)差比較小，所以m＜n。（3）對(duì)于分?jǐn)?shù)m和n，若k-m＜k-n，則m＞n。注意，（2）與（3）的差別在于，（2）中借助的數(shù)k小于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n；（3）中借助的數(shù)k大于原來(lái)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)m和n。（4）把兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)的分母、分子分別相加，得到一個(gè)新分?jǐn)?shù)。新分?jǐn)?shù)一定介于兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)之間，即比其中一個(gè)分?jǐn)?shù)大，比另一個(gè)分?jǐn)?shù)小。利用這一點(diǎn)，當(dāng)兩個(gè)已知分?jǐn)?shù)不容易比較大小，新分?jǐn)?shù)與其中一個(gè)已知分?jǐn)?shù)容易比較大小時(shí)，就可以借助于這個(gè)新分?jǐn)?shù)。比較分?jǐn)?shù)大小的方法還有很多，同學(xué)們可以在學(xué)習(xí)中不斷發(fā)現(xiàn)總結(jié)，但無(wú)論哪種方法，均來(lái)源于：“分母相同，分子大的分?jǐn)?shù)大；分子相同，分母小的分?jǐn)?shù)大”這一基本方法。練習(xí)11.比較下列各組分?jǐn)?shù)的大?。捍鸢概c提示練習(xí)1

第二十七講工程問(wèn)題（一）顧名思義，工程問(wèn)題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其實(shí)，這類(lèi)題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問(wèn)題，也括行路、水管注水等許多內(nèi)容。在分析解答工程問(wèn)題時(shí)，一般常用的數(shù)量關(guān)系式是：工作量=工作效率×工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作時(shí)間。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫(xiě)工作效率的單位。1.單獨(dú)干某項(xiàng)工程，甲隊(duì)需100天完成，乙隊(duì)需150天完成。甲、乙兩隊(duì)合干50天后，剩下的工程乙隊(duì)干還需多少天？分析與解：以全部工程量為單位1。甲隊(duì)單獨(dú)干需100天，甲的工作效2.某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需36天完成，乙單獨(dú)做需45天完成。如果開(kāi)工時(shí)甲、乙兩隊(duì)合做，中途甲隊(duì)退出轉(zhuǎn)做新的工程，那么乙隊(duì)又做了18天才完成任務(wù)。問(wèn)：甲隊(duì)干了多少天？分析：將題目的條件倒過(guò)來(lái)想，變?yōu)椤耙谊?duì)先干18天，后面的工作甲、乙兩隊(duì)合干需多少天？”這樣一來(lái)，問(wèn)題就簡(jiǎn)單多了。答：甲隊(duì)干了12天。3.單獨(dú)完成某工程，甲隊(duì)需10天，乙隊(duì)需15天，丙隊(duì)需20天。開(kāi)始三個(gè)隊(duì)一起干，因工作需要甲隊(duì)中途撤走了，結(jié)果一共用了6天完成這一工程。問(wèn)：甲隊(duì)實(shí)際工作了幾天？分析與解：乙、丙兩隊(duì)自始至終工作了6天，去掉乙、丙兩隊(duì)6天的工作量，剩下的是甲隊(duì)干的，所以甲隊(duì)實(shí)際工作了4.一批零件，張師傅獨(dú)做20時(shí)完成，王師傅獨(dú)做30時(shí)完成。如果兩人同時(shí)做，那么完成任務(wù)時(shí)張師傅比王師傅多做60個(gè)零件。這批零件共有多少個(gè)？分析與解：這道題可以分三步。首先求出兩人合作完成需要的時(shí)間，例5一水池裝有一個(gè)放水管和一個(gè)排水管，單開(kāi)放水管5時(shí)可將空池灌滿(mǎn)，單開(kāi)排水管7時(shí)可將滿(mǎn)池水排完。如果一開(kāi)始是空池，打開(kāi)放水管1時(shí)后又打開(kāi)排水管，那么再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間池內(nèi)將積有半池水例6甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)，相向而行。走完全程甲需60分鐘，乙需40分鐘。出發(fā)后5分鐘，甲因忘帶東西而返回出發(fā)點(diǎn)，取東西又耽誤了5分鐘。甲再出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間兩人相遇？分析：這道題看起來(lái)像行程問(wèn)題，但是既沒(méi)有路程又沒(méi)有速度，所以不能用時(shí)間、路程、速度三者的關(guān)系來(lái)解答。甲出發(fā)5分鐘后返回，路上耽誤10分鐘，再加上取東西的5分鐘，等于比乙晚出發(fā)15分鐘。我們將題目改述一下：完成一件工作，甲需60分鐘，乙需40分鐘，乙先干15分鐘后，甲、乙合干還需多少時(shí)間？由此看出，這道題應(yīng)該用工程問(wèn)題的解法來(lái)解答。答：甲再出發(fā)后15分鐘兩人相遇。

第二十八講1．難度：★★★★★請(qǐng)問(wèn)至少出現(xiàn)一個(gè)數(shù)碼3，并且是3的倍數(shù)的五位數(shù)共有多少個(gè)？【解析】五位數(shù)共有90000個(gè)，其中3的倍數(shù)有30000個(gè)．可以采用排除法，首先考慮有多少個(gè)五位數(shù)是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3。首位數(shù)碼有8種選擇，第二、三、四位數(shù)碼都有9種選擇．當(dāng)前四位的數(shù)碼確定后，如果它們的和除以余數(shù)為0，則第五位數(shù)碼可以為0、6、9；如果余數(shù)為1，則第五位數(shù)碼可以為2、5、8；如果余數(shù)為2，則第五位數(shù)碼可以為1、4、7?？梢?jiàn)只要前四位數(shù)碼確定了，第五位數(shù)碼都有3種選擇，所以五位數(shù)中是3的倍數(shù)但不含有數(shù)碼3的數(shù)共有個(gè)。所以滿(mǎn)足條件的五位數(shù)共有個(gè)。2．難度：★★★★如圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，如果要求經(jīng)過(guò)C點(diǎn)或D點(diǎn)的最近路線(xiàn)有多少條？【解析】1、方格圖里兩點(diǎn)的最短路徑，從位置低的點(diǎn)向位置高的點(diǎn)出發(fā)的話(huà)，每到一點(diǎn)（如C、D點(diǎn)）只能向前或者向上。2、題問(wèn)的是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，或者D點(diǎn)；那么A到B點(diǎn)就可以分成兩條路徑了A--CB；ADB，那么也就可以分成兩類(lèi)．但是需要考慮一個(gè)問(wèn)題--A到B點(diǎn)的最短路徑會(huì)同時(shí)經(jīng)過(guò)C和D點(diǎn)嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在最短路徑上了．3、ACB，那么C就是必經(jīng)之點(diǎn)了，就需要用到乘法原理了．AC，最短路徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，同樣CB點(diǎn)用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘ADB，同樣道理．最后結(jié)果是735+420=1155條．

第二十九講1．難度：★★★★★在一個(gè)西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成多少片？【解析】將西瓜看做一個(gè)球體，球體上任意一個(gè)切割面都是圓形，所以球面上的切割線(xiàn)是封閉的圓周，考慮每一次切割能增加多少瓜皮片．當(dāng)切1刀時(shí)，瓜皮被切成兩份，當(dāng)切第2刀時(shí)，由于切割線(xiàn)相交，所以瓜皮被切成4分，……，切第n次時(shí)，新增加的切割線(xiàn)與原來(lái)的切割線(xiàn)最多有2(n-1)個(gè)交點(diǎn)．這些交點(diǎn)將第n條切割線(xiàn)分成2(n-1)段，也就是說(shuō)新增加的切割線(xiàn)使瓜皮數(shù)量增加了2(n-1)，所以在西瓜上切6刀，最多能將瓜皮切成。2．難度：★★★★在一個(gè)六邊形紙片內(nèi)有60個(gè)點(diǎn)，以這60個(gè)點(diǎn)和六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形，最多能剪出_______個(gè)．【解析】設(shè)正六邊形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，當(dāng)n=1時(shí)有6個(gè)三角形，每增加一個(gè)點(diǎn)，就增加2個(gè)三角形，n個(gè)點(diǎn)最多能剪出6+2(n+1)=2(n+2)個(gè)三角形．n=60時(shí)，可剪出124個(gè)三角形．注：設(shè)最多能剪出x個(gè)小三角形，則這些小三角形的內(nèi)角和為．換一個(gè)角度看，匯聚到正六邊形六個(gè)頂點(diǎn)處各角之和為，故這些小三角形的內(nèi)角總和為．于是，解得x=124．

第三十講1．難度：★★★★★在1~100中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)相加，其和是偶數(shù)的共有多少種不同的取法？【解析】?jī)蓚€(gè)數(shù)的和是偶數(shù)，通過(guò)前面剛剛學(xué)過(guò)的奇偶分析法，這兩個(gè)數(shù)必然同是奇數(shù)或同是偶數(shù)，而取出的兩個(gè)數(shù)與順序無(wú)關(guān)，所以是組合問(wèn)題。從50個(gè)偶數(shù)中取出2個(gè)，有(種)取法；從50個(gè)奇數(shù)中取出2個(gè)，也有(種)取法。根據(jù)加法原理，一共有1225+1225=2450(種)不同的取法?！拘〗Y(jié)】在本題中，對(duì)兩個(gè)數(shù)的和限定了條件。不妨對(duì)這個(gè)條件進(jìn)行分類(lèi)，如把和為偶數(shù)分成兩奇數(shù)相加或兩偶數(shù)相加．這樣可以把問(wèn)題簡(jiǎn)化。2．難度：★★★★10個(gè)三角形最多將平面分成幾個(gè)部分？【解析】設(shè)n個(gè)三角形最多將平面分成個(gè)部分．n=1時(shí)，=2；n=2時(shí)，第二個(gè)三角形的每一條邊與第一個(gè)三角形最多有個(gè)2交點(diǎn)，三條邊與第一個(gè)三角形最多有23=6（個(gè)）交點(diǎn)．這6個(gè)交點(diǎn)將第二個(gè)三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來(lái)的每一個(gè)部分分成2個(gè)部分，從而平面也增加了6個(gè)部分，即．n=3時(shí)，第三個(gè)三角形與前面兩個(gè)三角形最多有（個(gè)）交點(diǎn)，從而平面也增加了12個(gè)部分，即：．……一般地，第n個(gè)三角形與前面(n-1)個(gè)三角形最多有個(gè)交點(diǎn)，從而平面也增加個(gè)部分，故特別地，當(dāng)n=10時(shí)，，即10個(gè)三角形最多把平面分成個(gè)272部分．

第三十一講1．難度：★★學(xué)校開(kāi)設(shè)6門(mén)任意選修課，要求每個(gè)學(xué)生從中選學(xué)3門(mén)，共有多少種不同的選法？【解析】被選中的門(mén)排列順序不予考慮，所以這是個(gè)組合問(wèn)題。由組合數(shù)公式知，。所以共有20種不同的選法．2．難度：★★★★某校舉行男生乒乓球比賽，比賽分成3個(gè)階段進(jìn)行，第一階段：將參加比賽的48名選手分成8個(gè)小組，每組6人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第二階段：將8個(gè)小組產(chǎn)生的前2名共16人再分成4個(gè)小組，每組4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽；第三階段：由4個(gè)小組產(chǎn)生的4個(gè)第1名進(jìn)行2場(chǎng)半決賽和2場(chǎng)決賽，確定1至4名的名次．問(wèn)：整個(gè)賽程一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？【解析】第一階段中，每個(gè)小組內(nèi)部的6個(gè)人每2人要賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共個(gè)8小組，有場(chǎng)；第二階段中，每個(gè)小組內(nèi)部4人中每2人賽一場(chǎng)，組內(nèi)賽場(chǎng)，共4個(gè)小組，有場(chǎng)；第三階段賽2+2=4場(chǎng)。根據(jù)加法原理，整個(gè)賽程