第四章 假設檢驗(1)

第四章假設檢驗假設檢驗的基本概念§4.1關于總體未知分布或?qū)σ阎植伎傮w中未知參數(shù)的假設稱為統(tǒng)計假設，簡稱假設；對樣本進行考察，從而決定假設是否成立的方法稱為假設檢驗，簡稱檢驗；生產(chǎn)流水線上罐裝可樂不斷地封裝，然后裝箱外運.怎么知道這批罐裝可樂的容量是否合格呢？例1:罐裝可樂的標準容量是250毫升通常的辦法是每隔一段時間進行抽樣檢查.例2(醫(yī)療領域)為了檢驗某種新療法是否比傳統(tǒng)療法更有效，對40名患者進行實驗。把病人分成兩組，每組20人，第一組采用新療法，第二組采用傳統(tǒng)療法。從治療結(jié)果表中，我們能否認為新療法比傳統(tǒng)療法更有效？即第一組的康復人數(shù)比第二組多的原因是因為新療法效果更好，還是由隨機因素引起的？療法康復未康復新療法128傳統(tǒng)療法911例3從某校2013年550名應屆畢業(yè)生的高考成績中隨機抽取了50個，問能否根據(jù)這50個成績判斷該校在2013年高考成績服從正態(tài)分布？

例4從福州市和廈門市2013年售出的房屋中各隨機抽取200套，根據(jù)每套的單價（元/平方米），能否判斷這兩個城市在2013年的房價持平？

以上實際例子的解決都需要我們根據(jù)問題本身提出假設，然后根據(jù)樣本的信息對假設進行檢驗，最后作出“是”與“否”的判斷。檢驗是否為真的假設稱為原假設/零假設,用H0表示與H0對立的假設稱為備擇假設，用H1表示定義：原假設是關于總體參數(shù)的，則稱之為參數(shù)假設;檢驗參數(shù)假設的問題，稱為參數(shù)檢驗；原假設是關于總體分布類型的，則稱之為分布假設；檢驗分布假設的問題，稱之為分布檢驗,或稱為非參數(shù)檢驗.假設檢驗的類型假設檢驗的基本原理提出H0→在H0成立時構(gòu)造統(tǒng)計量W和小概率事件A→進行1次試驗或抽樣→若A發(fā)生→拒絕H0

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若A沒發(fā)生→接受H0“小概率事件”原理：概率很小的事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生?；舅枷耄簽榱嗣枋鲆粋€小概率事件，需預先指定一個很小的數(shù)α

，一般地，取α=0.05或0.01，并把α稱為檢驗的顯著性水平。對于指定的顯著性水平α

，在一定的統(tǒng)計思想下，構(gòu)造一個區(qū)域w（一般是一個區(qū)間或兩個區(qū)間的并集），使得如果由樣本觀測值計算出統(tǒng)計量W的值落在w內(nèi)，則意味著小概率事件A發(fā)生了。稱w為檢驗拒絕域。假設檢驗中的兩類錯誤以真為假(棄真)以假為真(取偽)H0為真決定拒絕H0接受H0H0不真第一類錯誤正確正確第二類錯誤 小概率事件不管多小都可能發(fā)生，再加上樣本的隨機性，它們可能會影響檢驗結(jié)果。實際情況同時減少犯兩類錯誤的概率的唯一辦法是增大樣本容量。假設檢驗的一般步驟(1)根據(jù)實際問題需要,提出H0與H1;(2)選擇統(tǒng)計量W,要求在H0為真時,W的分布已知;(3)選取顯著性水平α,查表確定對應α

的臨界值，從而得到檢驗拒絕域w;(4)利用樣本觀測值代入W,計算出W的值；(5)若W落在拒絕域內(nèi),得出拒絕H0的結(jié)論；若W落在拒絕域外,得出接受H0的結(jié)論?！?.2一個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗設總體X~，關于總體參數(shù)討論4種假設檢驗：1.方差已知，關于期望的假設檢驗2.方差未知，關于期望的假設檢驗3.期望已知，關于方差的假設檢驗4.期望未知，關于方差的假設檢驗

方差已知，關于期望的假設檢驗3.4.由樣本值計算出U的值得拒絕域是5.若U落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。1.提出假設：2.檢驗統(tǒng)計量雙側(cè)檢驗：例1可樂容量總體 (單位:毫升),現(xiàn)在抽取了4罐，其容量分別為248,246,252,242，問封裝系統(tǒng)是否正常工作？(取顯著性水平α=0.05)查表得解：由于U落在拒絕域內(nèi),應拒絕H0；即認為系統(tǒng)不正常。左側(cè)檢驗：右側(cè)檢驗：拒絕域為拒絕域為例2據(jù)統(tǒng)計資料，我國健康成年男子每分鐘脈搏次數(shù)服從正態(tài)分布

，現(xiàn)從某體院男生中隨機抽取了25人，測定他們的每分鐘脈搏次數(shù)后，計算出樣本均值為68.6，假定該體院男生的脈搏次數(shù)服從正態(tài)分布，且標準差不變。問能否認為該體院男生的平均脈搏次數(shù)明顯低于一般健康成年男子？(取顯著性水平α=0.05)解：查表得由于，應拒絕即可以認為該體院男生的平均脈搏次數(shù)明顯低于一般健康成年男子。例3長期統(tǒng)計資料表明，某市輕工產(chǎn)品月產(chǎn)值占工業(yè)產(chǎn)品月總產(chǎn)值的百分比服從方差為1.21的正態(tài)分布。以下是隨機抽查9個月份的數(shù)據(jù)（%）：

30.330.130.529.631.630.031.831.028.8能否認為過去該市輕工產(chǎn)品月產(chǎn)值占工業(yè)產(chǎn)品月總產(chǎn)值的百分比平均大于30%？（取顯著性水平α=0.05）解：查表得由于，應接受即不能認為過去該市輕工產(chǎn)品月產(chǎn)值占工業(yè)產(chǎn)品月總產(chǎn)值的百分比平均大于30%。

方差未知，關于期望的假設檢驗3.4.由樣本值計算出T的值得拒絕域是1.提出假設：5.若T落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。2.檢驗統(tǒng)計量雙側(cè)檢驗：例4用傳統(tǒng)工藝加工的某種水果罐頭中，每瓶的平均維生素C的含量為19(mg).現(xiàn)改變了加工工藝，抽查了16瓶，測得維C含量的平均值為20.8，樣本標準差為1.617.假定水果罐頭中維C含量服從正態(tài)分布。問使用新工藝后維C的含量是否有顯著變化（顯著水平α=0.05）？解:即認為使用新工藝后維C的含量有顯著變化.另外考慮含量是否顯著增大,如何檢驗？查表得由于應拒絕左側(cè)檢驗：右側(cè)檢驗：拒絕域為拒絕域為例5為考察某大學男教師的膽固醇水平，隨機抽取了16名男教師，測定他們的膽固醇后，計算出樣本均值為4.8，樣本標準差為0.4。假定該校男教師的膽固醇水平服從正態(tài)分布，是否可以認為該校男教師的平均膽固醇水平明顯低于5個單位？（取顯著性水平α=0.01）解:即不能認為該校男教師的平均膽固醇水平明顯低于5個單位.查表得由于應接受例6從某單位一年的發(fā)票存根中，隨機抽取了25張，分別記錄下它們的金額（單位：元），計算出樣本均值為81.5，樣本標準差為4.2。假定該單位一年內(nèi)的發(fā)票金額服從正態(tài)分布，能否認為這一年內(nèi)發(fā)票平均金額大于80元？（取顯著性水平α=0.05）解:即可以認為這一年內(nèi)發(fā)票平均金額大于80元.查表得由于應拒絕

期望已知，關于方差的假設檢驗3.4.由樣本值計算出的值得拒絕域是1.提出假設：5.若落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。2.檢驗統(tǒng)計量雙側(cè)檢驗：左側(cè)檢驗：右側(cè)檢驗：拒絕域為拒絕域為例7設維尼綸纖度在正常生產(chǎn)條件下服從正態(tài)分布N(1.405,0.0482),某日抽取5根纖維，測得其纖度為：1.321.361.551.441.40問：某天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差是否正常?（取顯著性水平α=0.05)解:由于所以拒絕,即認為這一天生產(chǎn)的維尼綸纖度的方差不正常.查表得

期望未知，關于方差的假設檢驗3.4.由樣本值計算出的值得拒絕域是1.提出假設：5.若落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。2.檢驗統(tǒng)計量雙側(cè)檢驗：左側(cè)檢驗：右側(cè)檢驗：拒絕域為拒絕域為例8某煉鐵廠在生產(chǎn)正常的情況下，鐵水含碳量服從正態(tài)分布，其方差為0.03。在某段時間抽測了10爐鐵水，算得鐵水含碳量的樣本方差為0.0375.問這段時間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差有無顯著差異？(顯著水平α=0.05)解:由于所以接受,即認為這段時間生產(chǎn)的鐵水含碳量方差與正常情況下的方差無顯著差異.查表得§4.3兩個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差。均值,Y1,Y2,…,是樣本為簡單起見，本節(jié)僅介紹雙側(cè)檢驗，相應的單側(cè)檢驗方法與一個正態(tài)總體參數(shù)的假設檢驗情形完全類似。

3.4.由樣本值計算出U的值得拒絕域是1.提出假設：5.若U落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。2.檢驗統(tǒng)計量例1從甲乙兩廠生產(chǎn)的鋼絲總體X、Y中各取50束作拉力強度試驗，得已知 分析兩廠鋼絲的平均抗拉強度是否有顯著差別？（注：X,Y服從正態(tài)分布，顯著性水平α=0.05）解:4.將統(tǒng)計量U的值，與臨界值比較：5.下結(jié)論:拒絕3.根據(jù)給定的顯著性水平，查表得

1.提出假設：2.計算出即認為兩廠鋼絲的抗拉強度有顯著差別。

3.4.由樣本值計算出T的值得拒絕域是1.提出假設：5.若T落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。2.檢驗統(tǒng)計量例2某煙廠生產(chǎn)兩種香煙，獨立地隨機抽取樣本容量相同的煙葉標本測其尼古丁含量，分別測得： 甲：25,28,23,26,29,22

乙：28,23,30,25,21,27假定尼古丁含量都服從正態(tài)分布且具有公共方差，在顯著性水平α=0.05下，推斷兩種香煙的尼古丁含量有無顯著差異？解：即認為兩種香煙的尼古丁含量無顯著差異.

3.4.由樣本值計算出U的值得拒絕域是1.提出假設：5.若U落在拒絕域內(nèi),則拒絕H0；否則接受H0。2.檢驗統(tǒng)計量例3艾滋病治療的目的是要有效地降低血液中HIV的濃度（nmol/L）。某醫(yī)療機構(gòu)用甲、乙兩種療法分別對200和150名艾滋病病人進行一個療程的治療后，測定這些病人血液中HIV濃度的減少量，已經(jīng)計算出樣本均值分別為0.081和0.062,樣本標準差分別為0.025和0.062。假設它們均服從正態(tài)分布，分析兩種療法對HIV濃度的減少是否存