e的-xcosx的不定積分

e的-xcosx的不定積分要求計算不定積分$\inte^{-x}\cos(x)\,dx$。為了解決這個問題，我們可以嘗試使用分部積分法來進行積分運算。分部積分法是微積分中一種常用的積分計算方法，適用于具有乘積形式的積分。其基本形式為：

$$\intu\,dv=uv-\intv\,du$$

其中$u$和$v$是可微函數，$du$和$dv$分別是$u$和$v$的微分。按照這個公式的推導，我們可以選擇適當的$u$和$dv$，然后分別計算得到對應的$du$和$v$，進而求得原積分。

在這個問題中，我們可以選擇$u=\cos(x)$以及$dv=e^{-x}\,dx$。下面我們將分別計算$du$和$v$。

首先，對于$u=\cos(x)$，我們可以得到它的微分$du$。由于$\cos(x)$是一個常數乘以$\sin(x)$，則有：

$$du=-\sin(x)\,dx$$

接下來，對于$dv=e^{-x}\,dx$，我們可以求出$v$。利用指數函數的積分性質，我們知道：

$$\inte^{-x}\,dx=-e^{-x}$$

因此，我們有$v=-e^{-x}$。

現(xiàn)在我們可以將上述結果帶入分部積分法公式，得到：

$$\inte^{-x}\cos(x)\,dx=-\cos(x)e^{-x}-\int(-e^{-x})(-\sin(x))\,dx$$

化簡上述等式，得到：

$$\inte^{-x}\cos(x)\,dx=-\cos(x)e^{-x}+\inte^{-x}\sin(x)\,dx$$

現(xiàn)在，我們需要計算$\inte^{-x}\sin(x)\,dx$。為了解決這個問題，我們可以再次使用分部積分法。與之前類似，我們選擇$u=\sin(x)$以及$dv=e^{-x}\,dx$，然后計算出對應的$du$和$v$：

$$du=\cos(x)\,dx$$

$$v=-e^{-x}$$

將上述結果帶入分部積分法公式，得到：

$$\inte^{-x}\sin(x)\,dx=-\sin(x)e^{-x}-\int(-e^{-x})(\cos(x))\,dx$$

化簡上述等式，得到：

$$\inte^{-x}\sin(x)\,dx=-\sin(x)e^{-x}-\inte^{-x}\cos(x)\,dx$$

我們可以發(fā)現(xiàn)，右側的積分形式與原積分相同，即$\inte^{-x}\cos(x)\,dx$。因此，我們可以將其移到等式左側，得到：

$$2\inte^{-x}\cos(x)\,dx=-\cos(x)e^{-x}$$

繼續(xù)化簡，得到最終的結果：

$$\inte^{-x}\cos(x)\,dx=-\frac{1}{2}\cos(x)e^{-x}$$

至此，我們已經求得了原積分的結果。要注意的是，分部積分法在這里適用的前提是，我們進行了多次積分運算之后，最終得到的積分形式與原積分相同。這種情況下，我們可以通過代入自身的等式進行化簡和求解。這個結論有時被稱為“積分恒等式”，在積分計算中有著重要的應用價值