軌跡問(wèn)題 立體幾何核心考點(diǎn)專練 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

立體幾何核心考點(diǎn)（三）軌跡問(wèn)題這類問(wèn)題的特征是空間幾何體上的動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中始終保持與某一固定的幾何結(jié)構(gòu)如固定的線段或者固定的平面垂直或者平行，或者動(dòng)點(diǎn)到某個(gè)定點(diǎn)的距離為定值.在這樣的約束條件下，看似毫無(wú)規(guī)律的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)將會(huì)有跡可循，從而為我們后續(xù)進(jìn)一步的討論打下基礎(chǔ).需要注意的是，在上述約束條件的翻譯過(guò)程中，幾何法和坐標(biāo)法均可適用，所以不必拘泥于哪種方法，重要的是將約束條件準(zhǔn)確翻譯，從而找到動(dòng)點(diǎn)實(shí)際的運(yùn)動(dòng)蹤跡.經(jīng)典例題1.已知長(zhǎng)方體，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是A．6 B． C． D．92.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（

）A． B． C． D．3．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則在側(cè)面上的軌跡的長(zhǎng)度是B．C． D．4．已知在三棱錐中，為中點(diǎn)，平面，，，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是A．若為的外心，則 B．若為等邊三角形，則 C．當(dāng)時(shí)，與平面所成角的范圍為 D．當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則在三角形內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為25.若點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C．3 D．二．習(xí)題演練1．棱長(zhǎng)為1的正方體中，為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為A． B． C． D．12．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在其表面上運(yùn)動(dòng)，且，其中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，給出下列結(jié)論正確的有A． B．（1） C． D．6．在四棱錐中，平面，，點(diǎn)是矩形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，，直線與平面所成的角為．記點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則；當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．7．若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，已知到底面的距離與到點(diǎn)的距離之比為正常數(shù)，且動(dòng)點(diǎn)的軌跡是拋物線，則當(dāng)二面角平面角的大小為時(shí)，的值為．2024屆立體幾何核心考點(diǎn)（三）軌跡問(wèn)題一．經(jīng)典例題解析1.已知長(zhǎng)方體，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在長(zhǎng)方體內(nèi)部或表面上，且平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積是A．6 B． C． D．9解析：如圖所示，，，，，分別為，，，，的中點(diǎn)，則，，所以平面平面，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是六邊形及其內(nèi)部．因?yàn)?，，所以，，，到的距離為，所以．2.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方形（包括邊界）內(nèi)運(yùn)動(dòng)，若面，則線段的長(zhǎng)度范圍是（

）A． B． C． D．解析：由題意，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，，作圖如下：在正方體中，易知，，，則共面，平面，平面，平面，同理可得：平面，，平面平面，當(dāng)平面時(shí)，平面，正方體的棱長(zhǎng)為，在中，，解得，同理，在中，，解得，則中邊上的高，即，故選：D.3．如圖所示，在棱長(zhǎng)為的正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面上的動(dòng)點(diǎn)，且面，則在側(cè)面上的軌跡的長(zhǎng)度是B．C． D．4．已知在三棱錐中，為中點(diǎn)，平面，，，下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是A．若為的外心，則 B．若為等邊三角形，則 C．當(dāng)時(shí)，與平面所成角的范圍為 D．當(dāng)時(shí)，為平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，若平面，則在三角形內(nèi)的軌跡長(zhǎng)度為2解析：為的外心，可得，平面，可得，即有，正確；若為等邊三角形，若，又，可得平面，即，由可得，矛盾，故錯(cuò)誤；若時(shí)，設(shè)與平面所成角為，可得，，設(shè)到平面的距離為，由，可得，即有，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，可得的最大值為，，即有的范圍為，，正確；取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，由中位線定理可得，，可得平面平面，可得在線段上，而，可得正確．故選：．5.若點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，則線段長(zhǎng)度的最大值為（

）A． B． C．3 D．解析：分別取，中點(diǎn)，，連接，，，首先與平行且相等，與平行且相等，因此與平行且相等，四邊形是平行四邊形，在同一平面內(nèi)，易得，，所以，所以，又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面.而，則平面，所以點(diǎn)軌跡是矩形（除點(diǎn)）.四邊形是矩形，當(dāng)與重合時(shí)，最大，且最大值為.故選：C.二．習(xí)題演練解析1．棱長(zhǎng)為1的正方體中，為正方體表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且總有，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積為A． B． C． D．1解析：連接，，，則可證平面，故點(diǎn)軌跡圍成圖形為△，又，．2．（多選）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在其表面上運(yùn)動(dòng)，且，其中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，給出下列結(jié)論正確的有A． B．（1） C． D．解析：動(dòng)點(diǎn)在其表面上運(yùn)動(dòng)，且，點(diǎn)的軌跡是以為球心，為半徑的球的球面與正方體的面的交線，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡如圖，則，所以，故選項(xiàng)不符合題意；（1），故選項(xiàng)符合題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是三段相等圓弧，在與點(diǎn)不相鄰的三個(gè)面上，圓弧半徑，圓弧的圓心角為，，故選項(xiàng)符合題意；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是三段相等圓弧，圓弧的長(zhǎng)是四分之一個(gè)圓，半徑是1，如圖，這條軌跡的長(zhǎng)度是：，故選項(xiàng)不符合題意．故選：．6．在四棱錐中，平面，，點(diǎn)是矩形內(nèi)（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，且，，直線與平面所成的角為．記點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，則；當(dāng)三棱錐的體積最小時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為．解析：因?yàn)槠矫?，垂足為，則為直線與平面所成的角，所以；因?yàn)椋?，所以點(diǎn)位于底面矩形內(nèi)的以點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，記點(diǎn)的軌跡為圓弧，連接，則；因?yàn)?，，所以；則弧的長(zhǎng)度為，所以．當(dāng)點(diǎn)位于時(shí)，三棱錐的體積最小，又，所以三棱錐的外接球球心為的中點(diǎn)；因?yàn)?，所以三棱錐的外接球的表面積為．7．若四棱錐的側(cè)面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，已知到底面的距離與到點(diǎn)的距離之比為正常數(shù)，且動(dòng)點(diǎn)的