18學(xué)年高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何2.3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理教學(xué)案北師大版2-11802222208

PAGEPAGE4。。。內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯內(nèi)部文件，版權(quán)追溯§3向量的坐標(biāo)表示和空間向量基本定理3．1&3.2空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示空間向量基本定理eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P22])空間向量的標(biāo)準(zhǔn)正交分解與坐標(biāo)表示學(xué)生小李參加某大學(xué)自主招生考試，在一樓咨詢處小李得知：面試地點由此向東10m，后向南15m，然后乘5號電梯到位于6樓的2號學(xué)術(shù)報告廳參加面試．設(shè)e1是向東的單位向量，e2是向南的單位向量，e3是向上的單位向量．問題1：e1，e2，e3有什么關(guān)系？提示：兩兩垂直．問題2：假定每層樓高為3m，請把面試地點用向量p表示．提示：p＝10e1＋15e2＋15e3.標(biāo)準(zhǔn)正交基與向量坐標(biāo)(1)標(biāo)準(zhǔn)正交基：在給定的空間直角坐標(biāo)系中，x軸、y軸、z軸正方向的單位向量i，j，k叫作標(biāo)準(zhǔn)正交基．(2)標(biāo)準(zhǔn)正交分解：設(shè)i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，對空間任意向量a，存在唯一一組三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，叫作a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解．(3)向量的坐標(biāo)表示：在a的標(biāo)準(zhǔn)正交分解中三元有序?qū)崝?shù)(x，y，z)叫作空間向量a的坐標(biāo)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐標(biāo)表示．(4)向量坐標(biāo)與投影：①i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y(tǒng)，a·k＝z.把x，y，z分別稱為向量a在x軸、y軸、z軸正方向上的投影．②向量的坐標(biāo)等于它在坐標(biāo)軸正方向上的投影．③一般地，若b0為b的單位向量，則稱a·b0＝|a|cos〈a，b〉為向量a在向量b上的投影.空間向量基本定理空間中任給三個向量a，b，c.問題1：什么情況下，向量a，b，c可以作為一個基底？提示：它們不共面時．問題2：若a，b，c是基底，則空間任一向量v都可以由a，b，c表示嗎？提示：可以．如果向量e1，e2，e3是空間三個不共面的向量，a是空間任一向量，那么存在唯一一組實數(shù)λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3.其中e1，e2，e3叫作這個空間的一個基底．a(chǎn)＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3表示向量a關(guān)于基底e1，e2，e3的分解．空間向量基本定理表明，用空間三個不共面的已知向量a，b，c可以表示出空間任一向量；空間中的基底是不唯一的，空間任意三個不共面的向量均可作為空間向量的基底．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P23])空間向量的坐標(biāo)表示[例1]如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有長方體ABCD－A′B′C′D′，AB＝3，BC＝4，AA′＝6.解析：顯然D為原點，設(shè)E1(x，y，z)，易知x＝1，y＝eq\f(3,4)，z＝1，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)，1))2．已知點A的坐標(biāo)是(1,2，－1)，且向量與向量關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱，向量與向量關(guān)于x軸對稱，求向量和向量的坐標(biāo)．解：如圖，過A點作AM⊥平面xOy于M，則直線AM過點C，且CM＝AM，則點C的坐標(biāo)為(1,2,1)，此時＝(1,2,1)，該向量與＝(1,2，－1)關(guān)于平面xOy對稱．過A點作AN⊥x軸于N，則直線AN過點B，且BN＝AN，則B(1，－2,1)，此時＝(1，－2,1)，該向量與關(guān)于x軸對稱．3.在直三棱柱ABO－A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D為A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求，的坐標(biāo)．解：(1)∵＝－＝－(＋)＝－[＋eq\f(1,2)(＋)]＝－－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－4k－2i－j.∴＝(－2，－1，－4)．(2)∵＝－＝－(＋)＝－－＝2j－4i－4k.∴＝(－4,2，－4)．向量a在b上的投影[例2]如圖，已知單位正方體ABCD－A′B′C′D′.(1)求向量在上的投影；(2)是單位向量，且垂直于平面ADD′A′，求向量在上的投影．[思路點撥]a在b上的投影為|a|cos〈a，b〉，只要求出|a|及〈a，b〉即可．[精解詳析](1)法一：向量在上的投影為||cos〈，〉，又正方體棱長為1，∴|CA′|＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3)，∴||＝eq\r(3)，∠DCA′即為與的夾角，在Rt△A′CD中，cos∠A′CD＝eq\f(1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3)，∴在上的投影為||cos〈，〉＝eq\r(3)·eq\f(\r(3),3)＝1.法二：在正方體ABCD－A′B′C′D′中，DC⊥AD，〈，〉＝∠DCA′.∴在上的投影為：||cos〈，〉＝||cos∠DCA′＝||＝1.(2)與的夾角為180°－∠A′CD，∴在上的投影為||cos(180°－∠A′CD)＝－||cos∠D′CA＝－1.[一點通]1．求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出兩個向量a與b的夾角，最后計算|a|cos〈a，b〉，即為向量a在向量b上的投影，它可正、可負(fù)，也可以為零；也可以利用幾何圖形直觀轉(zhuǎn)化求解．2．在確定向量的夾角時要注意向量的方向，如本題中〈，〉與〈，〉是不同的，其和為π.4．已知i，j，k為標(biāo)準(zhǔn)正交基，a＝i＋2j＋3k，則a在i方向上的投影為()A．1 B．－1C.eq\r(14) D．－eq\r(14)解析：a·i＝|a||i|cos〈a，i〉，∴|a|cos〈a，i〉＝eq\f(a·i,|i|)＝(i＋2j＋3k)·i＝1.答案：A5.如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝AA1＝2，則向量在向量上的投影為________．解析：在上的投影為||cos〈，〉，而||＝eq\r(42＋22＋22)＝2eq\r(6)，在Rt△AD1C1中，cos∠D1AC1＝eq\f(|AD1|,|AC1|)＝eq\f(\r(3),3)，∴||cos〈，〉＝2eq\r(2).答案：2eq\r(2)空間向量基本定理及其簡單應(yīng)用[例3]如圖所示，平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)證明A，E，C1，F(xiàn)四點共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z.[思路點撥]要證明四點共面只需證明可用，表示即可；第(2)問中求x＋y＋z只需先把用，，表示出來，求出x，y，z，再求x＋y＋z.[精解詳析](1)證明：＝＋，又＝＋＝eq\f(2,3)＋＝eq\f(2,3)＋，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)，∴＝，∴＝＋，∴A，E，C1，F(xiàn)四點共面．(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋eq\f(2,3)－－eq\f(1,3)＝－AB＋＋eq\f(1,3)，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3).∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).[一點通]1．空間向量基本定理是指用空間三個不共面的已知向量a，b，c構(gòu)成的向量組{a，b，c}可以線性表示出空間任意一個向量，而且表示的結(jié)果是唯一的．2．利用空間的一個基底a，b，c可以表示出所有向量，注意結(jié)合圖形，靈活應(yīng)用三角形法則、平行四邊形法則，及向量的數(shù)乘運算，表示要徹底，結(jié)果只含有a，b，c，不能再有其他向量．6．O，A，B，C為空間四邊形的四個頂點，點M，N分別是邊OA，BC的中點，且＝a，＝b，＝c，且a，b，c表示為()A.eq\f(1,2)(c＋b－a) B.eq\f(1,2)(a＋b－c)C.eq\f(1,2)(a－b＋c) D.eq\f(1,2)(a＋b＋c)解析：＝＋＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋－)＝eq\f(1,2)(b＋c－a)．答案：A7．已知e1，e2，e3是空間中不共面的三個向量，且a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝αa＋βb＋γc，則α＋2β＋γ＝________.解析：∵a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3＝αa＋βb＋γc，∴e1＋2e2＋3e3＝(α＋β＋γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋β＋γ＝1，,α＋β－γ＝2，,α－β＋γ＝3.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＝\f(5,2)，,β＝－1，,γ＝－\f(1,2).))∴α＋2β＋γ＝0.答案：08．如圖所示，已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示如下向量：(1)；(2)(G在B1D1上且＝eq\f(1,2))．解：(1)＝－＝＋－＝－a＋b＋c.(2)＝＋，又＝eq\f(1,3)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(－)＝eq\f(1,3)(c－b)，∴＝a－eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.1．空間任一點P的坐標(biāo)的確定：過P作面xOy的垂線，垂足為P′.在平面xOy中，過P′分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為A，C，則|x|＝|P′C|，|y|＝|AP′|，|z|＝|PP′|.2．空間任意三個不共面的向量都可以作為空間的一個基底，基底中的三個向量e1，e2，e3都不是0.3．空間中任一向量可用空間中不共面的三個向量來唯一表示．4．點A(a，b，c)關(guān)于x軸、y軸、z軸對稱點的坐標(biāo)分別為(a，－b，－c)，(－a，b，－c)，(－a，－b，c)；它關(guān)于xOy面、xOz面、yOz面、原點對稱點的坐標(biāo)分別為(a，b，－c)，(a，－b，c)，(－a，b，c)，(－a，－b，－c)．eq\a\vs4\al([對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練七])1．在以下三個命題中，真命題的個數(shù)是()①三個非零向量a，b，c不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b，c共面；②若兩個非零向量a，b與任何一個向量都不能構(gòu)成空間的一個基底，則a，b共線；③若a，b是兩個不共線的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，則a，b，c構(gòu)成空間的一個基底．A．0個 B．1個C．2個 D．3個解析：③中向量a，b，c共面，故a，b，c不能構(gòu)成空間向量的一個基底，①②均正確．答案：C2．如圖，已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，E是平面A′B′C′D′的中心，a＝eq\f(1,2)，b＝eq\f(1,2)，c＝eq\f(1,3)，＝xa＋yb＋zc，則()A．x＝2，y＝1，z＝eq\f(3,2) B．x＝2，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,2)C．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1 D．x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝eq\f(3,2)解析：＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋A′D′→)＝2a＋b＋eq\f(3,2)c.答案：A3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱長為1，則在上的投影為()A．－eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\r(2) D.eq\r(2)解析：∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，∴||＝eq\r(2)，||＝eq\r(2)，||＝eq\r(2).∴△AB1C是等邊三角形．∴在上的投影為||cos〈，〉＝eq\r(2)×cos60°＝eq\f(\r(2),2).答案：B4．如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是面BB1C1C的中心，且＝a，＝b，＝c，則＝()A.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c B.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c解析：＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,2)(－＋＋)＝c－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)(－c)＋eq\f(1,2)b＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：D5．如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，CC1＝1，則在上的投影是________．解析：在上的投影為||cos〈，〉，在△ABC1中，cos∠BAC1＝eq\f(|AB|,|AC1|)＝eq\f(2,\r(22＋12＋12))＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3)，又||＝eq\r(6).∴||cos〈·〉＝eq\r(6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(6),3)))＝－2.答案：－26．在三棱錐O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則＝________(用a，b，c表示)．解析：如圖，＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,4)(＋)＝＋eq\f(1,4)(－＋－)．＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c7．已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為1的正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，試寫出A，B，C，D，A1，B1，C1，D1各點的坐標(biāo)，并寫出，，，，，，的坐標(biāo)表示．解：∵正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，∴A(1,0,0),B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)．∴＝(1,0,0)，＝(1,1,0)，＝(0,1,0)，＝(0,1,1)，＝(0,0,1)，＝(1,0,1)，＝(1,1,1)．8．如下圖，已知PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，G為△PDC的重心，＝i，＝j(luò)，＝k，試用基底i，j，k表示向量，.解：∵G是△PDC的重心，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)(＋＋＋＋)＝eq\f(1,3)(－k＋j－k＋i＋j)＝eq\f(1,3)i＋eq\f(2,3)j－eq\f(2,3)k，＝＋＋＝－i＋k＋eq\f(1,3)i＋eq\f(2,3)j－eq\f(2,3)k＝－eq\f(2,3)i＋eq\f(2,3)j＋eq\f(1,3)k.3．3空間向量運算的坐標(biāo)表示eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P25])2014年2月，濟青高速臨沂段發(fā)生交通事故，一輛中型車嚴(yán)重變形，駕駛員被困車內(nèi)，消防官兵緊急破拆施救．為防止救援造成的二次傷害，現(xiàn)從3個方向用力拉動駕駛室門，這3個力兩兩垂直，其大小分別為|F1|＝300N，|F2|＝200N，|F3|＝200eq\r(3)N.問題1：若以F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3的方向分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，駕駛室門受到的力的坐標(biāo)是什么？提示：(300,200,200eq\r(3))．問題2：駕駛室門受到的合力有多大？提示：|F|＝500N.空間向量的坐標(biāo)運算若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，則(1)a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2)；(2)a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)；(3)λa＝(λx1，λy1，λz1)；(4)a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2；(5)a∥b?a＝λb?x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)；(6)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0；(7)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))；(8)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2＋z1z2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋z\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)＋z\o\al(2,2))).若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．1．空間向量的加、減、數(shù)乘的坐標(biāo)運算仍是坐標(biāo)，數(shù)量積的運算是實數(shù)．2．利用空間向量的坐標(biāo)可以解決向量的模、夾角、向量的平行與垂直等問題．eq\a\vs4\al([對應(yīng)學(xué)生用書P25])空間向量的坐標(biāo)運算[例1]已知a＝(3,5，－4)，b＝(2,2,8)，求2a＋3b,3a－2b，a·b.[思路點撥]空間向量的加、減、數(shù)乘運算與平面向量的加、減、數(shù)乘運算方法類似，向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)乘積的和．[精解詳析]2a＋3b＝(6,10，－8)＋(6,6,24)＝(12,16,16)，3a－2b＝(9,15，－12)－(4,4,16)＝(5,11，－28)，a·b＝3×2＋5×2－4×8＝－16.[一點通]空間向量的坐標(biāo)運算和平面向量的坐標(biāo)運算類似，兩個向量的加、減、數(shù)乘運算就是向量的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)分別進行加、減、數(shù)乘運算；空間兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積之和．1．已知a＝(1,0，－1)，b＝(1，－2,2)，c＝(－2,3，－1)，那么向量a－b＋2c＝()A．(0,1,2) B．(4，－5,5)C．(－4,8，－5) D．(2，－5,4)解析：a－b＋2c＝(1－1－2×2,0＋2＋6，－1－2－2)＝(－4,8，－5)．答案：C2．已知A，B，C三點的坐標(biāo)分別為(2，－1,2)，(4,5，－1)，(－2,2,3)，求P點坐標(biāo)，使(1)＝eq\f(1,2)(－)；(2)＝eq\f(1,2)(－)．解：＝(2,6，－3)，＝(－4,3,1)．(1)＝eq\f(1,2)(6,3，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，則P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))；(2)設(shè)P為(x，y，z)，則＝(x－2，y＋1，z－2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(3,2)，－2))，所以x＝5，y＝eq\f(1,2)，z＝0，即P點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(1,2)，0)).3．已知向量a＝(1，－2,4)，求同時滿足以下三個條件的向量c：(1)a·c＝0；(2)|c|＝10；(3)c與向量b＝(1,0,0)垂直．解：設(shè)c＝(x，y，z)，由三個條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4z＝0，,x2＋y2＋z2＝100，,x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝4\r(5)，,z＝2\r(5)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－4\r(5)，,z＝－2\r(5).))∴c＝(0,4eq\r(5)，2eq\r(5))或(0，－4eq\r(5)，－2eq\r(5))．用坐標(biāo)運算解決向量的平行與垂直問題[例2]如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．過B作BM⊥AC1于M，求點M的坐標(biāo)．[思路點撥]寫出A，B，C1的坐標(biāo)，設(shè)出M的坐標(biāo)，利用條件BM⊥AC1及M在AC1上建立方程組，求解．[精解詳析]法一：設(shè)M(x，y，z)，由圖可知：A(a,0,0)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)，則＝(－a，a，a)，＝(x－a，y，z)，＝(x－a，y－a，z)．∵⊥，∴·＝0，∴－a(x－a)＋a(y－a)＋az＝0，即x－y－z＝0.①又∵∥，∴x－a＝－λa，y＝λa，z＝λa，即x＝a－λa，y＝λa，z＝λa.②由①②得x＝eq\f(2a,3)，y＝eq\f(a,3)，z＝eq\f(a,3).∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).法二：設(shè)＝λ＝(－aλ，aλ，aλ)，∴＝＋＝(0，－a,0)＋(－aλ，aλ，aλ)＝(－aλ，aλ－a，aλ)．∵BM⊥AC1，∴·＝0即a2λ＋a2λ－a2＋a2λ＝0，解得λ＝eq\f(1,3)，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,3)，\f(a,3)，\f(a,3)))，＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a,3)，\f(a,3)，\f(a,3))).∴M點坐標(biāo)(eq\f(2a,3)，eq\f(a,3)，eq\f(a,3))．[一點通]用坐標(biāo)運算解決向量平行、垂直有關(guān)問題，要注意以下兩個等價關(guān)系的應(yīng)用：(1)若a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)(b為非零向量)，則a∥b?x1＝λx2，且y1＝λy2且z1＝λz2(λ∈R)．若b＝0時，必有a∥b，必要時應(yīng)對b是否為0進行討論．(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.4．已知a＝(1，－5,6)，b＝(0,6,5)，則a與b()A．垂直 B．不垂直也不平行C．平行且同向 D．平行且反向解析：a·b＝0－30＋30＝0，∴a⊥b.答案：A5．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，F(xiàn)是DC的中點，求證：AD⊥D1F.證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，不妨設(shè)正方體的棱長為1，則有D(0,0,0)，A(1,0,0)，D1(0,0,1)，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).∴＝(－1,0,0)，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1)).∴·＝(－1,0,0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，－1))＝0.∴AD⊥D1F.6．已知a＝(1，x,1－x)，b＝(1－x2，－3x，x＋1)，求滿足下列條件時，實數(shù)x的值．(1)a∥b；(2)a⊥b.解：(1)①當(dāng)x＝0時，a＝(1,0,1)，b＝(1,0,1)，a＝b，∴x＝0，滿足a∥b；②當(dāng)x＝1時，a＝(1,1,0)，b＝(0，－3,2)，此時a不平行b，∴x≠1.③當(dāng)x≠0且x≠1時，由a∥b?eq\f(1－x2,1)＝eq\f(－3x,x)＝eq\f(x＋1,1－x)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2＝－3，,\f(x＋1,1－x)＝－3))?x＝2.綜上所述，當(dāng)x＝0或2時，a∥b.(2)∵a⊥b?a·b＝0?(1，x,1－x)·(1－x2，－3x，x＋1)＝0?1－x2－3x2＋1－x2＝0，解得x＝±eq\f(\r(10),5).用空間向量的坐標(biāo)運算解決夾角與距離問題[例3]直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點．(1)求的長；(2)求cos〈，〉的值．[思路點撥]CA，CB，CC1兩兩垂直，可由此建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算求解向量的模及夾角．[精解詳析]以C為原點，以，，為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系．(1)依題意，得B(0,1,0)，N(1,0,1)，＝(1，－1,1)，∴||＝eq\r(3).(2)依題意，得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)．∴＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，∴·＝3，||＝eq\r(6)，||＝eq\r(5).∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(\r(30),10).[一點通]在幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系時，要充分利用幾何體本身的特點，以使各點的坐標(biāo)易求．利用向量的坐標(biāo)運算，可使復(fù)雜的線面關(guān)系的論證、角及距離的計算變得簡單．7．已知空間三點A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，求與的夾角．解：＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，||＝eq\r(4＋1＋9)＝eq\r(14)，||＝eq\r(1＋9＋4)＝eq\r(14)，·＝2－3－6＝－7，∴cos〈，〉＝eq\f(AB→·CA→,|AB→||CA→|)＝eq\f(－7,\r(14)×\r(14))＝－eq\f(1,2).∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝eq\f(2π,3).8．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝eq\f(1,4)CD，H為C1G的中點．(1)求證：EF⊥B1C；(2)求EF與C1G所成角的余弦值；(3)求FH的長．解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系D－xyz，D為坐標(biāo)原點，則有Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，C(0,1,0)，C1(0,1,1)，B1(1,1,1)，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0)).(1)證明：＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0，\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，－\f(1,2)))，＝(0,1,0)－(1,1,1)＝(－1,0，－1)，∴·＝eq\f(1,2)×(－1)＋eq\f(1,2)×0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝0，∴⊥，即EF⊥B1C.(2)∵＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)，0))－(0,1,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4)，－1))，∴||＝eq\f(\r(17),4).又∵·＝eq\f(1,2)×0＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－1)＝eq\f(3,8)，||＝eq\f(\r(3),2).∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(\r(51),17).即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為eq\f(\r(51),17).(3)∵Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，0))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,8)，\f(1,2)))，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(3,8)，\f(1,2))).∴||＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,8)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(41),8).故FH的長為eq\f(\r(41),8).1．空間向量加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、平行、垂直、夾角的坐標(biāo)表示都類似于平面向量，要類比記憶與理解．2．空間向量的坐標(biāo)運算，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，然后利用有關(guān)公式求解．要注意總結(jié)在長方體、直三棱柱、正三棱柱、正四棱錐等特殊幾何體中建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)律．3．利用向量的坐標(biāo)運算可證明向量的垂直與平行問題，利用向量的夾角公式和距離公式可求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題．eq\a\vs4\al([對應(yīng)課時跟蹤訓(xùn)練八])1．下列各組向量中不平行的是()A．a(chǎn)＝(1,2，－2)，b＝(－2，－4,4)B．c＝(1,0,0)，d＝(－3,0,0)C．e＝(2,3,0)，f＝(0,0,0)D．g＝(－2,3,5)，h＝(16，－24,40)解析：對D中向量g，h，eq\f(16,－2)＝eq\f(－24,3)≠eq\f(40,5)，故g，h不平行．答案：D2．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－4,2，x)，c＝(1，－x,2)，若(a＋b)⊥c，則x＝()A．4 B．－4C.eq\f(1,2) D．－6解析：∵a＋b＝(－2,1,3＋x)且(a＋b)⊥c，∴－2－x＋6＋2x＝0，∴x＝－4.答案：B3．若a＝(1，λ，－1)，b＝(2，－1,2)，且a與b的夾角的余弦為eq\f(1,9)，則|a|＝()A.eq\f(9,4) B.eq\f(\r(10),2)C.eq\f(3,2) D.eq\r(6)解析：因為a·b＝1×2＋λ×(－1)＋(－1)×2＝－λ，又因為a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝eq\r(2＋λ2)×eq\r(9)×eq\f(1,9)＝eq\f(1,3)eq\r(2＋λ2)，所以eq\f(1,3)eq\r(2＋λ2