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文檔簡(jiǎn)介

2023年河南省TOP20名校高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)(4月份)

一、單選題(本大題共12小題,共60.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中,選出符合題目的一項(xiàng))

1.設(shè)集合一=集|/>0},B={-1,0,1,2},則ACB=()

A.{-1}B.{1}C.{0,1}D.{1,2}

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z+l|=且z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(x,y),貝ij()

A.x=1B.y=1C.x+y=0D.x—y=0

3.下列直線中,可以作為曲線y=cos(2x-])的對(duì)稱軸的是()

A.x=B.x=gC.%D.x=y

4.尿酸是鳥(niǎo)類和爬行類的主要代謝產(chǎn)物,正常情況下人體內(nèi)的尿酸處于平衡的狀態(tài),但如

果體內(nèi)產(chǎn)生過(guò)多來(lái)不及排泄或者尿酸排泄機(jī)制退化,則體內(nèi)尿酸滯留過(guò)多,當(dāng)血液尿酸濃度

大于7mg/dL時(shí),人體體液變酸,時(shí)間長(zhǎng)會(huì)引發(fā)痛風(fēng),而隨低食物(低口票吟食物)對(duì)提高痛風(fēng)病

人緩解率、降低血液尿酸濃度具有較好的療效.科研人員在對(duì)某類隨低食物的研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn),

在每天定時(shí),定量等特定條件下,可以用對(duì)數(shù)模型U(t)=描述血液尿酸濃度(單

位:mg/dL)隨攝入隨低食物天數(shù)t的變化規(guī)律,其中%為初始血液尿酸濃度,K為參數(shù).已知

Uo=20,在按要求攝入隨低食物50天后,測(cè)得血液尿酸濃度為15,若使血液尿酸濃度達(dá)到

正常值,則需將攝入隨低食物的天數(shù)至少提高到(力“1.49)()

A.69B.71C.73D.75

5.計(jì)劃安排甲、乙兩個(gè)課外興趣小組到5處水質(zhì)監(jiān)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行水樣采集,每個(gè)興趣小組采集3處

水樣,每處水樣至少有1個(gè)興趣小組進(jìn)行采集,則不同的安排方法共有()

A.30種B.32種C.34種D.36種

6.已知拋物線C:y2=2px(p>0)焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為,,點(diǎn)4(3,2「)在C上,直線4F與,交于

點(diǎn)B,則踹=()

A.1B.yplC.qD.2

7.在正方體48C0-4B1C1D1中,M,N,P分別為&B,&G,&。的中點(diǎn),則下列結(jié)論中

錯(cuò)誤的是()

A.MN//AD1B.平面MNP〃平面BCi。

C.MN1CDD.平面MNP1平面4BD

8.已知圓C:(x-l)2+(y-2)2=5,圓C'是以圓/+y2=i上任意一點(diǎn)為圓心,半徑為1

的圓.圓C與圓C'交于A,B兩點(diǎn)、,則當(dāng)44cB最大時(shí),|CC'|=()

A.1B.y/~2C.<3D.2

9.32名業(yè)余棋手組隊(duì)與甲、乙2名專業(yè)棋手進(jìn)行車輪挑戰(zhàn)賽,每名業(yè)余棋手隨機(jī)選擇一名專

業(yè)棋手進(jìn)行一盤比賽,每盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立,若獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)不少于10名,則業(yè)余

棋手隊(duì)獲勝.已知每名業(yè)余棋手與甲比賽獲勝的概率均為g,每名業(yè)余棋手與乙比賽獲勝的概

率均為;,若業(yè)余棋手隊(duì)獲勝,則選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)至少為()

A.24B.25C.26D.27

a

10.已知無(wú)窮數(shù)列{即}滿足:如果冊(cè)1=n>那么am+i=an+「且%=as=1,a3=-3,

a4=4,a2是由與的等比中項(xiàng)?若的前幾項(xiàng)和無(wú)存在最大值S,貝□=()

A.0B.1C.2D.3

11.已知圓臺(tái)。1。的上、下底面半徑分別為r,R,高為h,平面a經(jīng)過(guò)圓臺(tái)。1。的兩條母線,

設(shè)a截此圓臺(tái)所得的截面面積為S,則()

A.當(dāng)/iZR-r時(shí),S的最大值為(R+2r)八

B.當(dāng)/iNR—r時(shí),S的最大值為絲嚶嘩力

C.當(dāng)九<R-r時(shí),S的最大值為(R+2r)h

22

D.當(dāng)九<R—r時(shí),S的最大值為空萼羋山

2(RT)

12.已知a=Ln2,4,b=log32.8,c=lg5.7,則()

A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a

二、填空題(本大題共4小題,共20.0分)

13.己知向量五=(1,2),b=(-2,-1)?寫(xiě)出一個(gè)與方一B垂直的非零向量蕓=.

14.己知曲線/(x)=[曙>°過(guò)曲線上兩點(diǎn)4B分別作曲線的切線交于點(diǎn)

(一十L),—L%<u

P,4P1BP.記4,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為%x2,則/+/=.

15.己知雙曲線C:^|-4=l(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)為A,P為C的一條漸近線上一點(diǎn),4P與

C的另一條漸近線交于點(diǎn)Q,若直線AP的斜率為1,且4為PQ的三等分點(diǎn),則C的離心率為

16.某種平面錢鏈四桿機(jī)構(gòu)的示意圖如圖1所示,4c與BD的交點(diǎn)在四邊形4BCD的內(nèi)部.固定

桿BC的長(zhǎng)度為JI,旋轉(zhuǎn)桿4B的長(zhǎng)度為1,4B可繞著連接點(diǎn)B轉(zhuǎn)動(dòng),在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中,伸縮桿4D

和CD同時(shí)進(jìn)行伸縮,使得4D和CD的夾角為45。,4。的長(zhǎng)度是CD的長(zhǎng)度的。倍.如圖2,若

在連接點(diǎn)B,D之間加裝一根伸縮桿BD,則伸縮桿BD的長(zhǎng)度的最大值為

圖⑴圖⑵

三、解答題(本大題共7小題,共82.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題12.0分)

已知數(shù)列{。工,等差數(shù)列{bn}滿足匕=%+%+i,瓦=-3,b2+b3=-12.

(1)證明:an-an+2=2;

(2)若{廝}為等差數(shù)列,求{an}的前n項(xiàng)和.

18.(本小題12.0分)

太平洋是地球上島嶼最多的大洋,有大小島嶼2萬(wàn)多個(gè),島嶼面積約占世界島嶼總面積的45%,

蘊(yùn)藏著豐富的動(dòng)植物資源.為了解太平洋某海域的島嶼上植物種數(shù)的生態(tài)學(xué)規(guī)律,隨機(jī)選擇了

6個(gè)島嶼,搜集并記錄了每個(gè)島嶼的植物種數(shù)(單位:個(gè))和島嶼面積(單位:平方千米),整理

得到如下數(shù)據(jù):

樣本號(hào)i123456

島嶼面積X61525344454

植物種數(shù)y51015192431

并計(jì)算得=2042,Xiyt=1201.

(1)由數(shù)據(jù)看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.根據(jù)表中前4號(hào)樣本數(shù)據(jù),求y關(guān)于%的線

性回歸方程;

(2)根據(jù)所求的線性回歸方程計(jì)算第5,6號(hào)樣本植物種數(shù)的預(yù)報(bào)值y,并與相應(yīng)植物種數(shù)的真

實(shí)值y進(jìn)行比較.若滿足|y_y|Wl,則可用此回歸方程估計(jì)該海域其他島嶼的植物種數(shù),并

估計(jì)面積為100平方千米的島嶼上的植物種數(shù);若不滿足,請(qǐng)說(shuō)明理由.

,_EC=i(x「x)(%-y)_Y."=ixiy-nxy

參考公式:U——9-o-a=y—bx'

-i-%)£%城一疝

19.(本小題12。分)

如圖,在三棱錐A-BCD中,4BCD=90°,AB=AC=AD.

(1)證明:平面4BD_L平面BCD;

(2)若BD=2,BC=1,當(dāng)直線與平面ACD所成的角最大時(shí),求三棱錐力-BCD的體積.

20.(本小題12.0分)

已知橢圓C:務(wù),=l(a>b>0)的左頂點(diǎn)為4P為C上一點(diǎn),。為原點(diǎn),|P4|=伊。|,

乙4Po=90。,△4「。的面積為1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)B為C的右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)(1,0)且斜率不為。的直線/與C交于M,N兩點(diǎn),證明:3tan^MAB=

tanZ.NBA.

21.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=xlnx-ax2,/'(%)為/。)的導(dǎo)數(shù).

(1)討論「(X)的單調(diào)性;

(2)若直線y=]與曲線y=/(x)有兩個(gè)交點(diǎn),求a的取值范圍.

22.(本小題10.0分)

在直角坐標(biāo)系xOy中,直線I的參數(shù)方程是心:笠;?入出9(£為參數(shù)),曲線G的參數(shù)方程是

『二;'2_2為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線。2的極

坐標(biāo)方程為P=L

(1)求G,。2的直角坐標(biāo)方程;

(2)若直線2與G交于4,B兩點(diǎn),與。2交于C,0兩點(diǎn),|0川=|OB|,且|OC|=|OD|,求|CD|.

23.(本小題12.0分)

已知Q,b均不為零,且滿足/+廬=1.證明:

(l)|a|+網(wǎng)wC;

3/

(2)|a^|+|^-|>1.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解:因?yàn)?={x|x(x-2)<0}={x[0<x<2},B={-1,0,1,2),

則4CB={1}.

故選:B.

由題意可得A={%|0<x<2},根據(jù)交集的定義求解即可.

本題主要考查交集及其運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】C

【解析】解:由題意,z=x+yi(x,yeR),

由|Z+11=\Z-l\,得J(X+1)2+y2=J.+(y—1)2,

整理得:x+y=0,

故選:C.

由已知可得z=x+yiix.yGR),代入|z+1|=|z-i|,利用復(fù)數(shù)的模相等列式化簡(jiǎn)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,考查復(fù)數(shù)模的求法,是基礎(chǔ)題.

3.【答案】A

【解析】解:y=cos(2x-^)=sin2x,

對(duì)于4,當(dāng)x時(shí),y=sinj=1,則x=3是曲線丫=cos(2久一引的對(duì)稱軸,4是;

對(duì)于B,當(dāng)尤=狎,y=sin:=《^±l,則》=部是曲線y=cos(2x-9)的對(duì)稱軸,8不是;

對(duì)于C,當(dāng)%=卯寸,y=sinrr=0±1,則x=]不是曲線y=cos(2x*)的對(duì)稱軸,C不是;

對(duì)于。,當(dāng)*=,時(shí),曠=豆吟=_梟±1,則”與不是曲線y=cos(2x—今的對(duì)稱軸,。不

是.

故選:A.

利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)函數(shù)式,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì),逐項(xiàng)代入驗(yàn)證作答.

本題考查正弦函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.

4.【答案】D

【解析】解:由函數(shù)模型U(t)=—Uo"K3當(dāng)t=50時(shí),[/(t)=15,

可得15=-20/n(50/<),即15=-20/n50-20仇K①.

設(shè)血液尿酸濃度達(dá)到正常值7mg/dL時(shí),攝入天數(shù)為t',

則7=-20加(t'K),即7=-20lnt'-20hiK②,

2£22

則--

-=e5=5

5

50

故選:D.

代入t=50得15=-20"50-20,nK,設(shè)濃度為7mg/dL時(shí),攝入天數(shù)為t',則有7=-20)t'-

20lnK,通過(guò)作差解出t'即可.

本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用,考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

5.【答案】力

【解析】解:依題意,每個(gè)興趣小組采集3處水樣,

每處水樣至少有1個(gè)興趣小組進(jìn)行采集,可分為兩步,

第一步,甲組進(jìn)行采樣,有瑤=10種方法;

第二步,乙組進(jìn)行采樣,有廢x盤=3種方法.

所以共有10x3=30種不同的安排方法.

故選:A.

根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理與組合數(shù)計(jì)算.

本題主要考查了排列組合知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解:■:點(diǎn)2(3,2,?)在拋物線C:y2=2px(p>0)±,

12=2px3,??p=2,F(l,0),

\AF\=I(3-I)2+(2V-3)2=4,

過(guò)點(diǎn)4作l的垂線,垂足為H,由拋物線的定義可知川=\AF\=

4,

設(shè)/與x軸交于點(diǎn)G,則|FG|=p=2,

\AH\=2|FG|,V.AH//FG,

|4B|=2|BF|,.?.尸為AB中點(diǎn),

\BF\

故選:A.

將點(diǎn)4(3,2門)代入拋物線方程中,可得p=2,過(guò)點(diǎn)4作,的垂線,垂足為H,,與x軸交于點(diǎn)G,則

\AH\^2\FG\,所以尸為中點(diǎn),從而可得提的值.

本題考查拋物線的幾何性質(zhì),化歸轉(zhuǎn)化思想,屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】解:對(duì)4在A/liBCi中,因?yàn)镸,N分別為&B,&G的

中點(diǎn),

所以MN〃BC1又BC\〃AD\,所以MN〃AD°A正確.

對(duì)B,在△&BD中,因?yàn)镸,P分別為4山的中點(diǎn),

所以MP〃BD,

因?yàn)镸PC平面BG。,BOu平面BQO,

所以MP〃平面BCi。

因?yàn)镸N//BC],MNC平面BG。,BC】u平面8G。,

所以MN〃平面BG。.

又因?yàn)镸PCMN=M,MP,MNu平面MNP,

所以平面MNP〃平面BQ。,B正確.

對(duì)C,因?yàn)镸N〃4Di,ADr1CD,所以MN1CD,C正確.

對(duì)D,取BO的中點(diǎn)E,連接4E,EG,則N&EC1是二面角①一BD-G的平面角.

設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a,則cos乙4iEG=——+;.))2=1*0,

又0。<“EG<180°,則乙4皿豐90°,

所以平面4BD與平面BGD不垂直.

又平面MNP〃平面Be】。,

所以平面MNP與平面&B。不垂直,。錯(cuò)誤.

故選:D.

根據(jù)中位線以及平行的傳遞性判斷選項(xiàng)A;根據(jù)面面平行的判定定理判斷選項(xiàng)以由平行的性質(zhì)

可判斷選項(xiàng)C;先證明平面4BD與平面BGC不垂直.再根據(jù)平面MNP〃平面86。即可判斷選項(xiàng)

D.

本題考查空間中線線,線面,面面間的位置關(guān)系,考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力,屬于中檔

題.

8.【答案】。

【解析】解:在AABC中,|4C|=|BC|=廳,如圖所示:

顯然。<|明42,“CB是銳角,sin怨=鏢=盥又函數(shù)y=sinx在(0,個(gè)上遞增,

因此當(dāng)且僅當(dāng)公共弦4B最大時(shí),乙4cB最大,此時(shí)弦4B為圓C'的直徑,

在RtAACC'中,4ACC=90。,MC'|=1,所以|CC'|=J|4C|2-|4C'|2=2.

故選:D.

根據(jù)給定條件,結(jié)合等腰三角形性質(zhì)確定頂角最大的條件,再借助直角三角形求解作答.

本題主要考查兩圓的位置關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.

9.【答案】A

【解析】解:設(shè)選擇與甲進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余棋手人數(shù)為X,選擇與乙進(jìn)行比賽且獲勝的業(yè)余

棋手人數(shù)為丫,

選擇與甲進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為小則選擇與乙進(jìn)行比賽的業(yè)余棋手人數(shù)為32-人

易知,X所有可能的取值為0,1,2,…,n,則X?B(n之),則E(X)=:

y所有可能的取值為0,1,2,32-n,則丫一8(32-珥手,則E(Y)=罕,

則獲勝的業(yè)余棋手總?cè)藬?shù)的期望E(X+丫)=E(X)+E(Y)=為+宇=等>10,解得n>24.

故選:A.

由二項(xiàng)分布及其期望計(jì)算即可.

本題考查二項(xiàng)分布及其期望,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】B

【解析】解:由%=1,a4=4,a2是的與的等比中項(xiàng),得。2=±2,

若=2,由%=CI5=1及已知,得。6=2,由=—3,得。7=—3,則=4,

因此數(shù)列{廝}的項(xiàng)依次為:1,2,-3,4,1,2,-3,4,…,數(shù)列{即}是以4為周期的數(shù)列,

顯然Sm=n(%++。4)=4n,數(shù)列{Sm}單調(diào)遞增,無(wú)最大項(xiàng),因此數(shù)列{冊(cè)}的前n項(xiàng)和

無(wú)最大值;

若a?=—2,同理可得數(shù)列{aj的項(xiàng)依次為:1,—2,—3,4,1,—2,—3,4,…,數(shù)列{an}是以

4為周期的數(shù)列,

S1=1,52=—1>S3=—4,S4=°,$5=1,S6=-1,S7=—4,58=0,

數(shù)列{S"}是以4為周期的數(shù)列,且S4n_3=1,S4n-2=-1-S471T=-4,S4rl=0,此時(shí){%}的前Zl項(xiàng)

和%存在最大值,

所以%的最大值S=L

故選:B.

由。2是由與。4的等比中項(xiàng)求出。2,再分情況計(jì)算判斷作答.

本題主要考查數(shù)列的求和,考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

11.【答案】D

【解析】解:如圖,將圓臺(tái)01。補(bǔ)成圓錐PO.

設(shè)圓臺(tái)。1。的母線長(zhǎng)為I,則產(chǎn)=層+(R_r)2,等腰梯形4BCD為過(guò)兩母線的截面.

T"Y

設(shè)PC=%,乙APB=e,由萬(wàn)=7Z?得%='

KX-rlR一廠

22

則S=1[(x+0-x]sin0=2^R-r')I?sin。,

當(dāng)八NR-r時(shí),0<90°,當(dāng)sin。最大,即截面為軸截面時(shí)面積最大,

則S的最大值為:(2R+2r)/i=(R+r)/i.

當(dāng)hVR—r時(shí),9>90°,當(dāng)sin。=1時(shí),截面面積最大,

則S的最大值為離不[2=(R+”£+(廠內(nèi).

2(/?-r)2(7?-r)

故選:D.

通過(guò)將圓臺(tái)補(bǔ)成圓錐,利用圖形分h>R-r和h<R~7■討論即可.

本題主要考查圓臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,解題的關(guān)鍵的是通過(guò)補(bǔ)圖,利用三角形相似和三角形面積公式求

解即可,考查分類討論思想與運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.

12.【答案】C

【解析】解:因?yàn)閍=)2.4>0,b=log32.8>0,

所以尸黯<舞=ln2A*伍3<(^^)2=(竽/=(ln5)2<(,ne)2=1,

則a<b;

2

,ur,,oA2Zn2.42ln2Aln2A

""ZnlOZnlOIn\HlO

因?yàn)镮nQQ>Ine=1,所以c<ln2A=a,

則有c<a<b.

故選:C.

由題意可知a>0,b>0,c>0,用作商法比較a,£)的大小,由換底公式可得c<"2.4=a,從

而得答案.

本題考查考查比較大小問(wèn)題,函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,放縮法的應(yīng)用,屬中檔題.

13.【答案】(1,-1)(答案不唯一)

【解析】解:由題意可知五一方=(3,3),設(shè)不=(x,y),則3x+3y=0,

取x=L則y=-l,則與五一方垂直的非零向量可以為3=(1,-1).

故答案為:(1,一1)(答案不唯一).

首先計(jì)算五一加=(3,3),設(shè)F=(x,y),利用向量垂直,數(shù)量積為0,即可求解.

本題主要考查向量垂直的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】-1

【解析】解:當(dāng)x>0時(shí),/'⑺=擊;當(dāng)》<0時(shí),/⑶=一擊,

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合圖象,不妨設(shè)與<0,x2>0.

1

因?yàn)榍€/(")在點(diǎn)4B處的兩條切線互相垂直,所以一表,

]=—1

x2+l_,

11

整理得打小+/+上=0,所以是,+以=-L

故答案為:-1.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,結(jié)合圖象及垂直的斜率關(guān)系計(jì)算即可.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.

15.【答案】挈

【解析】解:己知直線4P的斜率為1,

設(shè)PQ所在的直線方程為y=x+a,

又雙曲線的漸近線方程為y=±^x,

y=%+a

b,

{y=?

消X可得y=怒,

(y=x+a

聯(lián)立b,

(.y=~aX

消X可得y=黑,

乂A為PQ的三等分點(diǎn),

則纏=也,

人」力+。a-b

即a=3b,

22

即Q2=9b2=9c-9a,

即£=£12,

a3

即C的離心率為吁.

故答案為:子.

由雙曲線的性質(zhì),結(jié)合雙曲線離心率的求法求解即可.

本題考查了雙曲線的性質(zhì),重點(diǎn)考查了雙曲線離心率的求法,屬基礎(chǔ)題.

16.【答案】3

【解析】解:設(shè)乙4BC=0,且。€(0,兀),

在△力BC中,由余弦定理得4c2=AB2+BC2-2AB-BCcosd=3-2y/~2cos0,

又由正弦定理得=空,則sin〃CB=喘

sinZj4cBs\n0AC

在△4CD中,AD=yTzCD,Z-ADC=45°,則N4CD=會(huì)且CD=AC,

在△BCD中,由余弦定理得B/)2=CD2+2-2y/~2CD-cos(^+乙ACB)

=AC2+2+2y/~2ACsinAACB=3-2y/~2cos0+2+2G4c?萼

=5+2y/~2(sin9-cos。)=5+4sin(0-1,

.?.當(dāng)。=與時(shí),5皿9-》取最大值1,可得BO?的最大值為9,

???8。長(zhǎng)度的最大值為3.

故答案為:3.

設(shè)N4BC=0,4£△4BC中,由余弦定理可得=3_2yTlcos9,再由正弦定理得sin4ACB=嚶,

AL,

在ABC。中,由余弦定理可得8。2=5+45譏(。一:),利用三角函數(shù)的性質(zhì),即可得出答案.

本題考查解三角形,考查轉(zhuǎn)化思想,考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力,屬于中檔題.

17.【答案】(1)證明:設(shè)數(shù)列{%}的公差為d,由%+2=-12,得2瓦+3d=-12,

由瓦=-3,得d=-2,故垢=-2n—1,

即時(shí)+an+i=-2n-1①,

遞推,得%i+i+Qn+2=-2/1—3②,

①一②得Qn-an+2=2,

故即-即+2=2得證?

(2)解:若{an}為等差數(shù)列,設(shè)公差為d',

由Q71+2-Qn=一2,可得2d'=—2,則d'=—1.

又???an+an+1=—2n—1,:.2an+d'=—2n—1,:.an=—n,:.ar=—1,

????。那皫醉?xiàng)和sn=%吻=-^-T

【解析】(1)設(shè)數(shù)列{%}的公差為d,由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求得d,從而可得垢=-2n-1,則

an+an+1=-2n-1,an+1+an+2=-2n-3,作差即可證明;

(2)設(shè)數(shù)列{斯}的公差為d',由(1)解得d'=—1,結(jié)合即+an+1=-2n-1求出即=-n,再利用

等差數(shù)列求和公式即可得到答案.

本題主要考查數(shù)列的遞推式,數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查運(yùn)算求解能力,屬于中

檔題.

18.【答案】解:(1)依題意,*=處£詈型=20/=2竽段=12.25,6=學(xué)等

Zj=l演一4%

1201—4x70x12-八

繪42一北需=0?5,。=歹一成=12.25-0.5x20=2.25,

所以所求線性回歸方程為y=o,5x+2.25.

(2)當(dāng)x=44時(shí),y=0.5x44+2.25=24.25-\y-y\=|24.25-24|=0.25<1-

當(dāng)#=54時(shí),y=0.5x54+2.25=29.25,|y-y|=|29.25—31|=1.75>1,

所以不能用此回歸方程估計(jì)該海域其他島嶼的植物種數(shù).

【解析】(1)根據(jù)給定數(shù)表,求出京歹,再利用最小二乘法公式求解作答.

(2)利用(1)中線性回歸方程,按要求計(jì)算并判斷作答.

本題考查線性回歸方程的性質(zhì),屬于中檔題.

19.【答案】解:(1)證明:如圖,取8D的中點(diǎn)G,連接4G,CG.

因?yàn)镹BC。=90°,BG=DG,所以BG=CG(直角三角形斜邊上的中

線等于斜邊的一半)

又因?yàn)?B=AC,G為BD的中點(diǎn),

所以4G1BD,

所以44GB=/.AGD=90°,

又因?yàn)锳G為公共邊,

所以△ABG三△ACG,

所以NAGC=Z.AGB=90°,所以AG1CG,

又因?yàn)?G1BD,BDOCG=G,BD,CGu平面BCD,

所以4G1平面BCO,又因?yàn)?Gu平面4B0,

所以平面ABD1平面EC。;

(2)過(guò)點(diǎn)C作直線CH1平面BCD,

以C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD,CB,屈的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向,建系如圖,

設(shè)直線AB與平面4CD所成的角為a,

_J麗_2a

則sina=|cos伍,瓦?)|

=同而I=Fmv正H

4

sin2a=

(4a24-l)(a2+l)4a4+5a2+l5,

當(dāng)且僅當(dāng)4a2=,即a=?時(shí),等號(hào)成立.

因?yàn)锽。=2,BC=1,Z.BCD=90°,

所以CD=C,

此時(shí)三棱錐A-BCD體積p=1sAecDx4G=gx?x?=噂,

故當(dāng)直線ZB與平面ACC所成的角最大時(shí),三棱錐A-BCD的體積為工.

【解析】(1)取BD的中點(diǎn)G,連接AG,CG,則有4G_L8C,由△4BG三△4CG可得N4GC=NAGB=

90°,AG1CG,由線面垂直的判定定理可得4Gl平面BCO,即得;

(2)設(shè)4G=a(a>0),建立空間坐標(biāo)系,則有時(shí)當(dāng)。=殍時(shí),直線AB與平面4co所成的角最大,

再利用棱錐的體積公式計(jì)算即可.

本題考查線面垂直的判定定理,面面垂直的判定定理,向量法求解線面角問(wèn)題,三棱錐的體積的

求解,化歸轉(zhuǎn)化思想,方程思想,屬中檔題.

20.【答案】解:(1)不妨設(shè)點(diǎn)P在久軸的上方,由橢圓的性質(zhì)可知|0*=a,

???△AP。是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形,?》(一,為代入,+5=1,專片+1=1,

整理得a?=3b2,1?,△4P。的面積為1,.a1a=1,;.a2=4,b2=9,故橢圓C的方程為1+

LL34

孚=1;

4

(2)證明:設(shè)直線/M的斜率為的,直線BN的斜率為七,M(x1,y1)/V(x2,y2),

直線MN的方程為%=my+1,

不妨設(shè)V0V則七=tan4MAB,k2=tanzJVBA,

聯(lián)立{鼠U4,可得(小+3療+2my-3=0,

4=16m2+36>0,則y1+y2=一;%為=

?>?TV2=T,即2啊”2=3(%+%),

/1Z2°

丫13,,、1,3

.==>式z?—1)=映丫2—=2仇+丫2)-曠]=/+2y2=1

―古一(叫+3)巧—畋仍+3y?-前+y?+3y2一拉+獷孑

???3kl=k2,:.3tanMAB=tanzJVBA.

【解析】(1)通過(guò)分析得p(-,個(gè),將其坐標(biāo)代入橢圓方程,結(jié)合AAP。面積和a,b,c的關(guān)系即

可求出橢圓方程;(2)設(shè)直線4M的斜率為右,直線BN的斜率為優(yōu),M(Xi,yi)N(X2/2),直線的

方程為%=my4-1,再將其與橢圓聯(lián)立得到韋達(dá)定理式,通過(guò)化簡(jiǎn)得2myiy2=3(乃+力),最后

計(jì)算萼,將上式代入即可證明其為定值.

k2

本題考查了直線與圓錐曲線的綜合運(yùn)用,屬中檔題.

21.【答案】解:(1)設(shè)g(x)=/'(%)="歡一2ax+1,g(%)的定義域?yàn)?0,+8),

g'Q)=f_2a,

當(dāng)aWO時(shí),g'[x}>0,g(%)在區(qū)間(0,+8)單調(diào)遞增,

當(dāng)a>0時(shí),令g'(%)=0,得%=

若%G(0,/),“(%)>0,g(%)單調(diào)遞增;

若%w(+,+oo),g'x)<0,g(x)單調(diào)遞減.

綜上,當(dāng)Q40時(shí),尸(乃在(0,+8)上單調(diào)遞增;

當(dāng)Q>0時(shí),(。)在區(qū)間(0喧)上單調(diào)遞增,則心+8)上單調(diào)遞減.

22

(2)直線y=臺(tái)與曲線y=f(x)有兩個(gè)交點(diǎn),即關(guān)于x的方程以nx-ax2=自有兩個(gè)解,

即。吟-裊

令等一裊其中%>0,則/5)=?+1|=上竽必,

令s(x)=x-xlnx+e2,則s'(%)=-Inx,

當(dāng)0<x<1時(shí),s'(x)>0,此時(shí)函數(shù)s(%)單調(diào)遞增;

當(dāng)%>1時(shí),s\x)<0,此時(shí)函數(shù)s(%)單調(diào)遞減.

由s(l)=14-e2,s(e2)=0,得0<x<1時(shí),x—xlnx+e2=%(1—Inx)+e2>0,則w'(x)>0;

當(dāng)[VxVe?時(shí),s(x)>s(e2)=0,則"(%)>0;

當(dāng)%>??時(shí),s(x)<s(e2)=0,則w'(%)<0,

所以函數(shù)W。)在區(qū)間(0,。2)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(,,+8))上單調(diào)遞減,

則W(X)max=(P(62)=

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