2023年高考數(shù)學第01講 平面向量的概念及線性運算

第01講平面向量的概念及線性運算

一、知識概要

1向量概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量；向

向量平面向量是自由向量

量的大小叫作向量的模

長度為0的向量，其方向是記作0

零向量

任意的

非零向量。的單位向量為片

單位向量長度等于1的向量

方向相同或相反的非零向量

平行向量或共線向量

叫作平行向量或共線向量0與任一向量共線

兩向量只有相等或不等，不

相等向量長度相等且方向相同的向量

能比較大小

長度相等且方向相反同的向

相反向量

量0的相反向量為0

2向量的線性運算

向量運

定義法則(或幾何意義)運算律

算

―?

a(1)交換律a+b=b+ci

三角形法則

兩個向量和的運(2)結合律

加法

算(Q+0)+C=Q+3+d)

—?

a

平行四邊形法則

求。與b的相反

向量(-匕)的和的

減法a-b=a+(-。)

運算叫作d與方的占

7

差三角形法則

(1)\Aa\=\A\-\a\

(1)4(〃a)=(4〃)a

求實數(shù)a與向量(2)當2>0時，Aa

數(shù)乘(2)(2+〃)a=2a+

。的積的運算與d同方向；當4<0

時，石！與a反方向；

(3)A(a+b)=Aa+Ab

當；1=0時，丸。=()

3.共線向量定理

向量”(aw0)與向量力共線的充要條件是存在唯一的實數(shù)4,使得力=4a.

二、題型精析

[例1]

(1)在平行四邊形A8CD中，4C與3。交于點QE是線段。。的中點，AE的延長線與

交于點尸，若AC=",3O=8,則人尸=().

A.-d+-b

42

C.—a+—b

24

n12,

D.-a+-h

33

(2)如圖1-1所示，四邊形。4OB是以向量。A=",OB=b為邊的平行四邊形，又

BM=LBC,CN=，CD試用。力表示OMQN,MN.

33

BD

O/

圖1T

【策略點擊】

用已知向量表示另外一些向量時,除利用向量的加減法、數(shù)乘等運算外,還應充分利用平面幾

何的一些定理，在求解過程中，盡可能轉化到平行四邊形或三角形中去，充分利用相等向量、相反

向量和線段的比例關系杷未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量.

【解】

(1)【解法一】如圖1一2所示,=+由平行四邊形對角線互相平分及

因:曾△，得

|A3|\EB\3

^AB,^^AF=AD+DF=(AO+OD)+DF=

C.八Id11I,If11八21「

—AC+—BD+-AB=—6T+—/?+-—a——h=—。+—2,故選B.

(22J3223(22J33

,4i

【解法二】如圖1一2所示,Ab=AE+E/=-42而AE=AQ+OE=-AC+

32

-BD=-a+-b,:.AF=-a+-b,^.^Q.

42433

圖1-2

⑵在二OBM中,0M=08+5M=05+工8A=03+,(QA-函」a+為

66、766

0N=0C+CN=-0D+—0D=-0D=—(0A+0B、=Sb

2633、,3、

MN=ON-0M=—(a-\-b\-\—a-\--b\=-a--b.

3、M66J26

【例2】記max{x,y}=」''"min{x,y}=P''設。，〃為平面向量，則

y,x<y,[x,x<y

)

A”,+W，|d-司}”相加I，網(wǎng)

B.mi?+O|Ja-M}?.min

C.max.Q+〃|2,|rz-Z?|2^?\ci.|2+|Z?|2

D.max^pz+Z?|2,|cz-/?|2}..卜|2+1|2

【策略點擊】

判斷一個命題是假命題,用排除法舉出特例極為重要.當排除了多個假命題，真命題就突顯出

來了,當然仍需要厘清確定真命題的理由（選擇題不需要證明，但心中應清楚）.

【解】

max{x,y},min{x,y}就是分別求x,y兩數(shù)中較大的數(shù)與較小的數(shù)作0A=a,0B=b（如

圖1—3所示）,則平行四邊形OACB中,OC=。+乩84=。-0.

AC

otB

圖1-3

當平行四邊形Q4CB為正方形時mn一可｝=卜+可>

|d|=mun(|iz|,|Z?|j.A錯誤；

當平行四邊形O4C8是邊長為1,且-403=30的菱形時，

min｛,+“Ja=1/一,="-6(1=\a|=min｛時,同卜B錯誤;

當平行四邊形。4cB是邊長為1,且2408=60的菱形時,

0^€｛必+以2,|?—〃［2｝=修+以2=3>2=|&|2+仍/(錯誤,故選口.

事實上，當/AOB,,90時，

max1,+>|2,|a-Z?|21=OC2=|?|2+也|2-2同網(wǎng)cos/OAC.Ja『+也『；當AOB>90

時,max+6|2,|?-Z?『｝=BA2=|ap+

\b『一2同同cos/AOA.；當同網(wǎng)=（）時，上述不等式也成立.

-1-1

［例3］如圖1—4所示，在一ABC中,OC=-OA,OD=-OB,AD與8。相交于點M，設

42

OA=a,OB=b

B

圖1-4

⑴試用。和。表示向量OM；

⑵在線段AC上取一點E,在線段3。上取一點P.使EE過點M,設

I13

0E=4。4,0尸=,當EF為AD時,/1==—,此時一+—=7;當E尸為CB時，

22/J

113

彳=一,〃=1,此時；+—=7，有人得出如下結論:不論E]在線段AC,3。上如何變動,

4X〃

13

-+-=7總成立，試問他的這個結論對嗎?請說明理由.

A〃

【策略點擊】

本題是平面向量與平面幾何的綜合問題,即利用平面向量的共線定理判定點共線或直線平

行，又是從特殊到一般的探索性問題.第(1)小題的題型較為常見，第(2)小題則頗有新意，值得細心品

味題中的創(chuàng)意.證明三點共線問題可轉化為證明兩向量平行，這是數(shù)形結合思想的具體體現(xiàn)，但要

弄清兩向量平行的含義，即兩向量所在直線平行或重合時，兩向量平行，因此證得兩向量平行后，若

兩向量所在的兩直線有公共點，則兩直線必重合,從而可得三點共線.

【解】

(1)設=ma+nh,101]AM-OM-OA=nui+nb-a-+nb,

AD=OD-OA=-OB-OA=-a+-b

22

A、M、。三點共線,AM與A￡)共線.

故存在實數(shù)/，使AM=fAO,即（加一1）4+〃力=，（一o+

:\m-\)a+nb=-ta-i--th

Hl—1——t

1消去/■得m-1=-2〃,即771+2〃=1,

n=—t,

2

CM=OM-OC=ma+nb----a=m----\a+nb

4I4

一一-11

CB=OB-OC=b——d=——a+b

44

又C、M、B三點共線,：.CM與CB共線，同理可得4m+〃=L

1313

(2)聯(lián)立Q)(2),解得m=^,n=^.t^OM=-a+^b.

(2)他的結論是對的.理由如下：

13(\\3

EM=OM-OE^-a+-b-Aa^\——A\a+-b

77(7J7

EF=OF-OE=JJOB-AOA=-Aa+"b

又EF與EM共線,故存在實數(shù)左，使得EM

即(；一%)〃+-k^-Aa+/b)=-Aka+/Jkh,

=-2k,

：.-7消去左得工一4=?上?，整理即得'+±=7.

377〃4〃

]=〃女,尸尸

方法提煉

1平面向量的線性運算法則和兩個重要結論

三角形法則和平行四邊形法則是向量線性運算的主要方法，共起點的向量和用平行四邊形

法則，共起點的向量差用三角形法則.

結論(1)向量的中線公式若P為線段A3中點廁OP=g(+06).

結論⑵向量加法的多邊形法貝|J：44+44+A3A，++4-iA,=AA,-

2平面向量線性運算的常用方法與技巧

(1)進行向量加法和減法運算時，需將兩向量平移至共起點.

(2)向量的線性運算中常用的變形如下：

1)化減為加,即運用AB=—BA或A8+B4=0.

2)轉化為“順次首尾相接的形式相加”，運用48+8。=AC.

3)轉化為“同一點出發(fā)的兩個向量的差”，運用。A—。8=r4或=—QA

(3)向量加法的三角形法則適用于任意兩個非零向量相加，且可以推廣到兩個以上的非零

向量相加，這就是向量回路,在解題中應用廣泛.

3共線向量定理

⑴證明三點共線的方法:若AB=2AC則A、B、C三點共線.

(2)若a,h不共線，則4〃+=0的充要條件是2=〃=0.

三、易錯警示

【例】

下列命題不正確的是.

⑴向量。與b共線為與c共線，則a與c共線.

(2)向量。與萬不共線力與c不共線，則。與c不共線.

⑶向量。與b共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)4,使a=2b.

⑷向量AB與向量CO是共線向量廁A,B,C,D必在同一條直線上.

錯解:⑴⑷

【評析及正解】命題⑴⑷確實是錯誤的，但命題⑵(3)也是錯誤的，問題是對向量的概念理解

不深，忽視了特殊向量、零向量，把實數(shù)的有些運算無根據(jù)地類比到向量中而致錯誤.

正確的解法如下：

【解】

命題⑴若8=0,。與c是非零向量,此時滿足條件，但&與c不一定共線，故(1)錯誤.命題(2)若

a=2c,則存在一非零向量8與a,c均不共線，但。與c共線，故⑵錯誤.

命題⑶當匕=0時。//IA，故⑶錯誤.

命題⑷共線向量所在直線可以重合也可以平行，故⑷也是錯誤的，故(1)⑵⑶⑷都是假命題.