2022年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)：函數(shù)的單調(diào)性

2022年高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊(cè)：5.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)

中的應(yīng)用

5.3.1函數(shù)的單調(diào)性

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象變化

1.如圖所示的是導(dǎo)函數(shù)y=F(x)的圖象，那么函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間

C.(x4,x6)D.(X5,X6)

2.設(shè)函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)F(x)的圖象可能為()

CI)

3.若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間

［a,b］上的圖象可能是()

第1頁(yè)共23頁(yè)

d~ab

I)

4.已知f(x)滿足f(4)=f(-2)=l,f(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象如

圖所示，則f(x)<l的解集是.

題組二利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間

5.函數(shù)f(x)=x+lnx()

A.在(0,6)上是增函數(shù)

B.在(0,6)上是減函數(shù)

C.在(0,J上是減函數(shù)，在6)上是增函數(shù)

D.在(0,上是增函數(shù)，在Q,6)上是減函數(shù)

6.下列函數(shù)中，在(0,+oo)內(nèi)為增函數(shù)的是()

A.y=sinxB.y=xex

C.y=x3-xD.y=lnx-x

7.(2020河南開封五縣高二上期末聯(lián)考)函數(shù)y=：+31nx的單調(diào)遞增區(qū)

間為()

C(l,+8)嗚+8)

8.(2020廣西來賓高二下期末)函數(shù)f(x)=x，nx的單調(diào)遞減區(qū)間為

()

A.(0,Ve)B?,+8)

第2頁(yè)共23頁(yè)

C.(粕,+oo)D.(0,q)

9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

(l)f(x)=3x2-21nx;

(2)f(x)=x2?e-x;

(3)f(x)=x+；

10.(2020天津部分區(qū)高二上期末)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+b(a,beR).

(1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線方程為x+y-l=0,求a,b的值;

⑵若a>0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

第3頁(yè)共23頁(yè)

11.(2020浙江金華江南中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)=ax2+2x-|lnx的導(dǎo)函數(shù)

F(x)的一個(gè)零點(diǎn)為x=l.

⑴求a的值；

⑵求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

題組三利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題

12.已知函數(shù)f(x)=.3+ax2-x-l在R上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.(-oo,-V3]U[V3,+OO)B.[-V3,V3J

C.(-oo,-V3)U(V3,+oo)D.(-V3,V3)

13.若函數(shù)f(x)=ax3+3x2+x+b(a>0,b￡R)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間,則

實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

第4頁(yè)共23頁(yè)

A.(0,3)U(3,+oo)B.[3,+oo)

C.(0,3]D.(0,3)

14.若函數(shù)y=x2-2bx+6在(2,8)內(nèi)是增函數(shù),則實(shí)數(shù)b的取值范圍

是.

15.若f(x)=-#+bln(x+2)在(-1,+8)上是減函數(shù)，則b的取值范圍

是,

16.試求函數(shù)f(x)=kx-lnx的單調(diào)區(qū)間.

17.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+(2a-3)x-1.

⑴若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),求實(shí)數(shù)a的值；

⑵若f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

第5頁(yè)共23頁(yè)

能力提升練

題組一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象變化

1.(2020浙江杭州六校高二下期中,上：)若函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)

的圖象如圖所示,則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是()

ABCI)

2.(2020河北冀州中學(xué)高三上期末,#：)在R上可導(dǎo)的函數(shù)f(x)的圖象如

圖所示，則關(guān)于x的不等式xf(x)<0的解集為()

A.(-oo,-l)U(0,l)B.(-l,0)U(l,+oo)

C.(-2,-l)U(l,2)D.(-oo,-2)U(2,+oo)

第6頁(yè)共23頁(yè)

4.(*：)已知函數(shù)f(x)與f(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=等的單調(diào)遞

減區(qū)間為______________.

題組二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用

5.(2020福建三明高二上期末質(zhì)量檢測(cè),*)若x,y￡[-建]，且xsin

x-ysiny>0,則下列不等式一定成立的是()

A.x<y

B.x>y

C.|x|<|y|

D.|x|>|y|

6.(2019山東聊城一中高三上期中,*?)函數(shù)f(x)=sinx+2x1C),f(x)為

f(x)的導(dǎo)函數(shù)，令a《,b=log32,則下列關(guān)系正確的是()

A.f(a)<f(b)

B.f(a)>f(b)

C.f(a)=f(b)

D.f(a)Wf(b)

7.(2020湖南長(zhǎng)沙長(zhǎng)郡中學(xué)高二上期末,*?)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/p>

R,(1)=2,對(duì)任意x￡Rf(x)>2測(cè)f(x)>2x+4的解集為(深度解析)

第7頁(yè)共23頁(yè)

A.(-1,DB.(-l,+(x))

C.(-oo,-l)D.(-℃,+℃))

8.(多選)(*)若函數(shù)g(x)=exf(x)(e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在f(x)

的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì).下列函數(shù)中具有M性

質(zhì)的為()

A.f(x)=2*

B.f(x)=3-x

C.f(x)=x3

D.f(x)=x2+2

9.(多選X*)素?cái)?shù)分布問題是研究素?cái)?shù)性質(zhì)的重要課題，德國(guó)數(shù)學(xué)家高

斯提出了一個(gè)猜想:兀(x)-仁，其中兀(x)表示不大于x的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)，即

隨著x的增大，兀(x)的值近似接近七的值.從猜想出發(fā)，下列推斷正確的

是()

A.當(dāng)x很大時(shí)，隨著x的增大Rx)的增長(zhǎng)速度變慢

B.當(dāng)x很大時(shí)，隨著x的增大Rx)減小

C.當(dāng)x很大時(shí)，在區(qū)間(x,x+n)(n是一個(gè)較大常數(shù))內(nèi),素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)隨x的

增大而減少

D.因?yàn)樨?4)=2,所以兀(4)*

10.(2020江西上饒高二中、高三上第三次段考,")已知函數(shù)f(x)=x+sin

x,若正實(shí)數(shù)a,b滿足f(4a)+f(b-9尸0,則工V的最小值為_______.

ab

11.(*)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+^-l(aeR).

⑴當(dāng)a=-l時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；

第8頁(yè)共23頁(yè)

(2)當(dāng)aW2時(shí)，討論f(x)的單調(diào)性.

12.(2020河南濮陽(yáng)高二上期末,")已知函數(shù)f(x)=lnx-ax(aeR).

⑴求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a>0,求不等式f(x)-fQ-x)>0的解集.

題組三利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題

13.(2020河南新鄉(xiāng)高二上期末,*：)已知函數(shù)f(x)=ex(a-cosx)在R上單

調(diào)遞增，則a的取值范圍為()

A.[l,+oo)B.(-oo,-V2JC.[V2,+oo)D.(-oo,-l]

14.(2020河北保定高二上期末,*)已知函數(shù)f(x)=x2-91nx+3x在其定義

域內(nèi)的子區(qū)間(m-l,m+l)上不單調(diào)廁實(shí)數(shù)m的取值范圍是()

第9頁(yè)共23頁(yè)

15.(2020山西呂梁高二上期末,")已知f(x)=aln*+權(quán)2e>0),若對(duì)任意

兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)X1,X2,都有3^口>2成立，則a的取值范圍是(深度

解析)

A.(0,l]B.(l,+oo)C.(0,l)D.[l,+oo)

16.(2019河北張家口高三上期末,*涵數(shù)f(x)=sinx-alnx在(0,習(xí)上

單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.深度解析

17.(#：)已知函數(shù)f(x)=ax2+ln(x+1).

(1)當(dāng)a==時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

4

⑵若函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,+00)上是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(2020遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期末,")已知aGR,函數(shù)f(x)=ex+ax2.

(1)已知f(X)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記g(x)=f(X),若g(x)在區(qū)間(-00,1]上為

單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑵設(shè)實(shí)數(shù)a>0,求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)x1,X2(X|Wx2),總有f(詈)

成立.附:簡(jiǎn)單復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則為[f(ax+b)],=af(ax+b).

第10頁(yè)共23頁(yè)

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間就是使其導(dǎo)函數(shù)的值小于零的區(qū)間.故選

B.

2.Cf(x)在(-00,1),(4,+/)上為減函數(shù)，在(1,4)上為增函數(shù),...當(dāng)x<l或

x>4時(shí),f(x)<0;當(dāng)l<x<4時(shí),f(x)>0.故選C.

3.A因?yàn)閥=f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間［a,b］上是增函數(shù)，所以函數(shù)f(x)圖象

上的點(diǎn)的切線斜率是遞增的.故選A.

4.答案(-2,4)

解析由f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)的圖象知,f(x)在G*0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)

上單調(diào)遞增.當(dāng)xWO時(shí)，由f(x)<l=f(-2),得-2<xW0;當(dāng)x>0時(shí)，由

f(x)<l=f(4),W0<x<4.綜上所述,f(x)<l的解集為(-2,4).

1r+1

5.Af(x)=l+-=—(x>0),

XX

當(dāng)0<x<6時(shí),f(x)>0,

，f(x)在(0,6)上是增函數(shù).

6.BA中，=(：05x,在(0,+oo)內(nèi)不恒大于0,故A不滿足題意;B

中,y'=ex+xe'=ex(l+x),當(dāng)x￡(0,+oo)時(shí),y>0,故B滿足題意；

c中y=3x2-i,在(0,+8)內(nèi)不恒大于0,故C不滿足題意;D中y=:i=?,

在(0,+00)內(nèi)不恒大于0,故D不滿足題意.故選B.

第11頁(yè)共23頁(yè)

7.D易知函數(shù)y=1+31nx的定義域?yàn)?0,+oo),y=-3|=等，

令丫，=與>0,解得x4.故選D.

8.D由題意得，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),f(x)=2x?Inx+x2?^=2xln

x+x=x(21nx+1).

令F(x)<0,得21nx+l<0,解得0<x<9，

故函數(shù)f(x)=x21nx的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,9).

9.解析(1)易知函數(shù)的定義域?yàn)?0,+oo).

F(x)=6x-N令f(x)=O,解得xi=”,X2=-"(舍去)，用Xi分割定義域，得下表:

X33

X同件,+8)

f(x)-+

f(x)/

...函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，￥),單調(diào)遞增區(qū)間為(f,+8).

(2)易知函數(shù)的定義域?yàn)?-*+8).

f(x)=(x2)'e'x+x2(e-x)-2xe-x-x2e-x=e'x?(2x-x?),令F(x)=O,得x=0或x=2,當(dāng)

X變化時(shí)f(x),f(x)的變化情況如下表：

X(-00,0)(0,2)(2,+oo)

f(x)-+-

f(x)/

.??f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-8,0)和(2,+00卜單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2).

(3)易知函數(shù)的定義域?yàn)?-*0)U(0,+oo).

第12頁(yè)共23頁(yè)

F(x)=l-妥，令f(x)=O,得x=-l或x=l,當(dāng)x變化時(shí)f(x),f(x)的變化情況如

下表：

X(-00,-1)(-1,0)(0,1)(l,+oo)

f(x)+--+

f(x)//

函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為GLO)和(0,1),單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-1)和

(l,+oo).

10.解析(1)Vf(x)=x3-ax2+b(a,b￡R),.*.f(x)=3x2-2ax.

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線方程為x+y-l=0,

?，'⑴=3-2a=-1,解得fa=2,

,?"(l)=l-a+b=0,腫何匕=1.

(2)由⑴得f(x)=3x2-2ax=3x(x-y),

令F(x)=0,得x=0或x=上

a>0,當(dāng)f(x)>0時(shí),Xe(-oo,0)U(p+oo)；當(dāng)f(x)<o時(shí),xe(0,軟

的單調(diào)遞增區(qū)間為(-oo,0),管,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(0號(hào)).

11.解析(l)f(x)=2ax+2-；,

3x

由f⑴=2a+|=0,得a=-|.

⑵由⑴得f(x)=-1x2+2xAnx,

貝ijf(x)=--x+2--=2(x-1)(x-2).

令F(x)=O,得x=l或x=2.

當(dāng)f(x)>0時(shí),l<x<2;

當(dāng)f(x)<0時(shí),0<x<l或x>2.

第13頁(yè)共23頁(yè)

因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2),單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1),(2,+8).

12.B由題意知,f(x尸-3x2+2ax-l,因?yàn)閥=f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，且

y=f(x)的圖象開口向下，所以f(x)W0在R上恒成立，故AFaZ-lZWO,

即-gWaWB.

13.D由題意得f(x)=3ax2+6x+l(a>0),

函數(shù)f(x)恰好有三個(gè)不同的單調(diào)區(qū)間，

.?.f(x)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

.?.A=36-12a>0,解得0<a<3,

???實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,3).故選D.

14.答案(-8,2]

解析由題意得y'=2x-2bNO在(2,8)內(nèi)恒成立，即bWx在(2,8)內(nèi)恒成立,

所以bW2.

15.答案(-8,-1]

解析：f(x)在(-1,+00)上是減函數(shù)，

.?.f(x)WO在(-1,+oo)上恒成立.

f(x)=-x+—,.,.-x+—^0在(-1,+oo)上恒成立，

XI2X+2

即bWx(x+2)在(-l,+oo)上恒成立.

令g(x)=x(x+2)=(x+1)2-1,

則當(dāng)x>-l時(shí),g(x)>-l,.\bW-l.

16.解析易知函數(shù)f(x)=kx-lnx的定義域?yàn)?0,+oo),f(x尸k-g嚀.

當(dāng)kWO時(shí),kx-l<0,.\f(x)<0,

則f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減.

第14頁(yè)共23頁(yè)

當(dāng)k>0時(shí)，令f(x)<0,得0<x<-;

k

令F(x)〉O,得x>i

K

當(dāng)k>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(o,￡),單調(diào)遞增區(qū)間為《,+8).

綜上所述，當(dāng)kWO時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+00),無單調(diào)遞增區(qū)間；

當(dāng)k>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,。，單調(diào)遞增區(qū)間為G，+8).

17.解析由題意得f(x)=3x2+2ax+2a-3=(x+l)(3x+2a-3).

⑴,.,f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,1),

/--I和1是方程f(x)=O的兩個(gè)根，

3—2a

A-=l,.*.a=O.

3

(2)Vf(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞減，

.?.f(x)WO在GU)內(nèi)恒成立.

又二次函數(shù)y=F(x)的圖象開口向上，方程f(x)=O的一根為-1,

3

實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|aWO}.

能力提升練

1.D設(shè)導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)從左到右依次為

X1,X2,X3,其中Xi<0,X3>X2>0,故y=f(x)在(-00兇)上單調(diào)遞減，在(X],X2)上單

調(diào)遞增，在(X2,X3)上單調(diào)遞減，在(X3,+OO)上單調(diào)遞增.故選D.

2.A由f(x)的圖象得,f(x)在(-8,-1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在

(1,+8)上單調(diào)遞增，因此，當(dāng)x￡(-oo,-l)U(l,+oo)時(shí),F(x)>0,當(dāng)xe(-l,l)

時(shí),f(x)<0.

第15頁(yè)共23頁(yè)

則xf(x)<。嘮流?；蛄炙{(lán)S

解得O<X<1或X<-1,故選A.

3.A函數(shù)丫=蒙的導(dǎo)數(shù)為y'=gN

令產(chǎn)0,得x=萼，

當(dāng)X￡(-8,—)時(shí),y，<o,

當(dāng)x式等，等)時(shí),y>0,

當(dāng)x￡(巨產(chǎn),+8)時(shí),yVO.

函數(shù)在(-8,1))和(1~^,+8)上單調(diào)遞減，在(1上單調(diào)

遞增，排除D.

當(dāng)x=0時(shí),y=0,排除B.當(dāng)x=-l時(shí),y=0,當(dāng)x=-2時(shí),y>0,排除C.故選A.

4.答案(0,1),(4,+oo)

解析g'(x)="黑"

(e)

_/'(x)-f(x)

一_―，

由題中圖象可知，當(dāng)x￡(O,D時(shí),f(x)-f(x)<0,此時(shí)g'(x)<o；

當(dāng)*￡(4,+8)時(shí)工a)-嶇)<0,此時(shí)g'(x)<0,

故函數(shù)g(x)=等的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(4,+8).

5.D構(gòu)造函數(shù)f(x)=xsinx,x￡匚則f(x)是偶函數(shù)，且f(x)=sin

x+xcosX.

當(dāng)04W］時(shí)f(x)河因此f(x)在［o用上是增函數(shù)，從而xsinx-ysin

y>O<=>xsinx>ysiny=f(x)>f(y)=f(|x|)>f(|y|)0|x|>|y|,故選D.

6.B由題意得,f(x)=cosx+2f

喏)m"吧)，

第16頁(yè)共23頁(yè)

解得唱)=-*所以f(x)=sinx-x.

所以f(x)=cosx-IWO,

所以f(x)為減函數(shù).

因?yàn)閎=log32>log3V3=1=a,

所以f(a)>f(b),故選B.

7.B令g(x)=f(x)-2x-4,則g(x)=f(x)-2.因?yàn)閒(x)>2,所以F(x)-2>0,即

g，(x)>0,所以g(x)=f(x)-2x-4在R上單調(diào)遞增.又因?yàn)閒(-l)=2,所以

g(-l)=f(-l)-2=0,所以g(x)>Oog(x)>g(-l)=x>-l,所以f(x)>2x+4的解集

是(-l,+oo),故選B.

易錯(cuò)警示構(gòu)造函數(shù)解不等式是利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題的一

個(gè)重要題型，構(gòu)造函數(shù)時(shí)，要結(jié)合導(dǎo)數(shù)與不等式，如本題中構(gòu)造函數(shù)

g(x)=f(x)-2x-4,根據(jù)g'(x)=f(x)-2和f(x)>2得到單調(diào)性.

8.AD對(duì)于A,f(x)=2-x,則g(x)=exf(x)=ex?為R上的增函數(shù)，符

合題意；

對(duì)于B,f(x)=3=,則g(x)=exf(x)=ex,3為R上的減函數(shù)，不符合題

忌；

對(duì)于C,f(x)=x3,則g(x)=exf(x)=ex,x3,

g'(x)=ex,x3+3ex?x2=ex(x3+3x2)=ex?x2(x+3),

當(dāng)x<-3時(shí),g(x)<肘當(dāng)x>-3時(shí)g(x)>肘，g(x)=exf(x)在定義域R上先減

后增,不符合題意；

對(duì)于D,f(x)=x2+2,則g(x)=exf(x)=ex(x2+2),

g'(x)=ex(x2+2)+2xex=ex(x2+2x+2)>0在R上恒成立，符合題意.故選AD.

第17頁(yè)共23頁(yè)

9.AC設(shè)函數(shù)f(x)=m，x>0且xWl,

Inx

貝(Jf(x)岑/小>0且xWl,

P(x)哼嗎，x>0且xWl,

x(lnx)3

當(dāng)Xf+00時(shí),F(x)<0,故當(dāng)x很大吐隨著x的增大，兀(x)的增長(zhǎng)速度變慢,

故A正確涵數(shù)￡汽)=品的圖象如圖所示：

由圖象可得隨著X的增大Rx)并不減小，故B錯(cuò)誤;當(dāng)x很大時(shí)，在區(qū)間

(x,x+n)(n是一個(gè)較大常數(shù))內(nèi)，函數(shù)增長(zhǎng)得慢,素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)隨x的增大而

減少，故C正確;三七2.89>2,故D錯(cuò)誤.故選AC.

In4

10.答案1

解析因?yàn)閒(-x)=-x-sinx=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).又f(x)=l+cosx20

在R上恒成立,，f(x)在R上是增函數(shù).于是

f(4a)+f(b-9)=0u*f(4a)=f(9-b)o4a=9-bQ4a+b=9,又a>0,b>0,

#G+￡)(4a+b)=(5+舞)45+2產(chǎn))=1,當(dāng)且僅當(dāng)

b=2a=3時(shí)取等號(hào)，即工+：的最小值為1.

ab

-717

11.解析⑴當(dāng)a=-l時(shí),f(x)=lnx+x+—1(x>0),f(x)=-+1,f(2)=ln

xX

2+2,f(2)=l,

故所求切線方程為y=x+ln2.

(2)因?yàn)閒(x)=lnx-ax+^^-l(x>0,aW；),

第18頁(yè)共23頁(yè)

所以f(X尸W=2;："a(x>0),令

g(x)=ax2-x+l-a=(x-l)(ax-l+a)(x>0).

⑴當(dāng)a=0時(shí),g(x)=-x+l(x>0),

所以當(dāng)x￡(O,l)時(shí),g(x)>0,f(x)<0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)x￡(l,+oo)時(shí),g(x)<0,F(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

(ii)當(dāng)aWO時(shí)，令g(x)=O,

解得x=l或x=--l.

a

①若a《,則函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減；

②若0<ag,則函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在(*1)上單調(diào)

遞增；

③當(dāng)a<0時(shí)二1<0,

a

若x￡(O,l),則g(x)>O,f(x)<O,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；

若x￡(l,+oo),則g(x)<0,f(x)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.

綜上所述，當(dāng)aWO時(shí)，函數(shù)f(x)在。1)上單調(diào)遞減，在(1,+00)上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞減;當(dāng)0<a<g時(shí)，函數(shù)f(x)在

12.解析⑴易知f(x)的定義域?yàn)?0,+s),F(x)=：a=+,

①若aWO,則f(x)>0恒成立，故f(x)在。+8)上單調(diào)遞增；

②若a>0,貝I」當(dāng)0<x〈工時(shí)f(x)>0,當(dāng)x>工時(shí),f(x)<0,

aa

綜上，當(dāng)aWO時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增

區(qū)間為(0,￡),單調(diào)遞減區(qū)間為(，+8).

(2)：f(x)的定義域?yàn)?0,+oo),

第19頁(yè)共23頁(yè)

fx>0,

\--x>0,.\0<x<-.

Iaa

la>0,

設(shè)F(x)=f(x)-fQ-x)

=lnx-ax-lnQ-x^+aQ-x^

=lnx-ln(：-x)-2ax+2,x￡(0,：),

則F(x)*2-2a=竺，*NO,F(x)在(0,g上單調(diào)遞增,

aX\aX)

又F(￡)=0,??.當(dāng)x￡(o,￡)時(shí),F(x)<0,當(dāng)x￡&；)時(shí),F(x)>0,

.*.f(x)-fQ-x)>0的解集為&￡).

13.C因?yàn)閒(x)=ex(a-cosx)在R上單調(diào)遞增，所以F(x)=ex(a-cosx+sin

x)20恒成立，即a2cosx-sinx恒成立.

令g(x)=cosx-sinx,

貝(Jg(x)=cosx-sinx=V^cos(%+；),

即g(x)可-夜，兩，所以a'Vl故選C.

14.D因?yàn)閒(x)=x2-91nx+3x,

Q

所以f(x)=2xj+3,

令F(x)=O,即2x--+3=0,

X

解得x=|或x=-3(舍去).

所以當(dāng)x￡(0,|)時(shí),F(x)<O,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)*￡(|,+8)時(shí)￡〃)>0/8)

單調(diào)遞增.

因?yàn)閒(x)在區(qū)間(m-l,m+l)上不單調(diào)，

所以m-l<|<m+l,解得#m<|,

因?yàn)?m-l,m+l)是函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的子區(qū)間，所以m-120,即m2l,

第20頁(yè)共23頁(yè)

所以m的取值范圍是[I，).故選D.

15.D由￡色型52)>2

Xl-X2

4s/(^i)-2xi-[f(X2)-2x].

付-------------2->un,

%1-%2

令g(x)=f(x)-2x=alnx+[x2-2x(a>0),則g(x)為增函數(shù)，

所以g'(x)=?+x-220(x>0,a>0)恒成立，即a2x(2-x)恒成立，又當(dāng)x>0

時(shí),x(2-x)的最大值為1,所以a21.

方法技巧解決不等式恒成立問題,常見的解題技巧是分離變量，這樣

可以避免分類討論，如本題中將不等式/x-220恒成立中的a分離出

來，即為a》x(2-x)恒成立.

16.答案(-oo,0]

解析函數(shù)f(x)=sinx-alnx在(0,；)上單調(diào)遞增，即F(x)=cos