第05講 二次函數(shù)壓軸專題訓(xùn)練（解析版）

第05講二次函數(shù)壓軸專題課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)①二次函數(shù)的圖像與系數(shù)之間的關(guān)系②二次函數(shù)的最值問(wèn)題③二次函數(shù)的存在性問(wèn)題能通過(guò)二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系解決二次函數(shù)選擇填空的壓軸題目。能夠利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式求實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題。以及三角形四邊形的面積最值問(wèn)題。利用二次函數(shù)與幾何的關(guān)系，解決二次函數(shù)中的存在性問(wèn)題。知識(shí)點(diǎn)01二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系與開口方向的關(guān)系。對(duì)稱軸與的關(guān)系；對(duì)稱軸在軸左邊或右邊與的符號(hào)的關(guān)系；對(duì)稱軸與±1的關(guān)系可得以及的關(guān)系。函數(shù)與軸交點(diǎn)坐標(biāo)與的關(guān)系。函數(shù)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與的關(guān)系。是自變量為1的函數(shù)值，是自變量為﹣1的函數(shù)值。是自變量為2的函數(shù)值，是自變量為﹣2的函數(shù)值。是自變量為3的函數(shù)值，是自變量為﹣3的函數(shù)值?！炯磳W(xué)即練1】1．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，有下列5個(gè)結(jié)論：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b＝0；⑤b2＞4ac．其中正確的結(jié)論的有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：開口向下，則a＜0，與y軸交于正半軸，則c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，則abc＜0，①正確；∵﹣＝1，則b＝﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，②錯(cuò)誤；∵x＝0時(shí)，y＞0，對(duì)稱軸是直線x＝1，∴當(dāng)x＝2時(shí)，y＞0，∴4a+2b+c＞0，③正確；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，④正確；∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，⑤正確．故選：C．【即學(xué)即練2】2．如圖，根據(jù)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象得到如下結(jié)論：①abc＞0②2a﹣b＝0③a+b+c＝0④3a+c＜0⑤當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大⑥一定存在實(shí)數(shù)x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立．上述結(jié)論，正確的是（）A．①②⑤ B．②③④ C．②③⑥ D．③④⑤【解答】解：∵拋物線開口向上、頂點(diǎn)在y軸左側(cè)、拋物線與y軸交于負(fù)半軸，∴a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正確；∵拋物線過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線過(guò)點(diǎn)（1，0），∴a+b+c＝0，故③正確；∴b＝2a，a+b+c＝0，∴3a+c＝0，故④錯(cuò)誤；∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，∴當(dāng)x＞﹣1時(shí)，y隨x的增大而增大；故⑤錯(cuò)誤；∵函數(shù)最小值為a﹣b+c，∴當(dāng)x0≠﹣1時(shí)，則ax+bx0+c＞a﹣b+c，即ax+bx0＞a﹣b，∴一定存在實(shí)數(shù)x0，使得ax+bx0＞a﹣b成立，故⑥正確；故選：C．【即學(xué)即練3】3．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，現(xiàn)有以下結(jié)論：①abc＞0；②2a﹣b+c＜0；③4a+2b+c＝0；④2a﹣b＝0；⑤．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵拋物線的開口向下，對(duì)稱軸為，與y軸交于正半軸，∴a＜0，b＝﹣2a＞0，c＞0，∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴2a﹣b+c＝a＜0，故②正確；根據(jù)對(duì)稱性，x＝2與x＝0的函數(shù)值相同，∴4a+2b+c＝c＞0，故③錯(cuò)誤；∵b＝﹣2a，∴2a+b＝0，故④錯(cuò)誤；∵拋物線與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為，∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（3，0），∴9a+3b+c＝0，∴，故⑤正確；綜上，正確的有2個(gè)；故選：B．【即學(xué)即練4】4．某二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象如圖所示，下列結(jié)論中一定成立的有（）①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③；④8a+c＞0．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵函數(shù)的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴ab＜0，∵圖象交于y軸的負(fù)半軸，∴c＜0，∴abc＞0，故①正確；∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝1，函數(shù)和x軸的一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），則另外一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，故②錯(cuò)誤；∵函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝﹣＝1，∴a＝﹣b，故③錯(cuò)誤；由②③得，b＝﹣2a，a﹣b+c＝0，故3a+c＝0，而a＞0，即5a＞0，故8a+c＞0，故④正確；故選：B．知識(shí)點(diǎn)02二次函數(shù)的最值問(wèn)題求線段最值問(wèn)題：求圖形的面積最值問(wèn)題：將線段的最值與面積的最值統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值求解。【即學(xué)即練1】5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y＝3x2﹣2x+2上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對(duì)角線作矩形ABCD，連接BD，則對(duì)角線BD的最小值為（）A．2 B．4 C． D．【解答】解：∵y＝3x2﹣2x+2＝3（x﹣）2+，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵四邊形ABCD為矩形，∴BD＝AC，而AC⊥x軸，∴AC的長(zhǎng)等于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)A在拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)A到x軸的距離最小，最小值為，∴對(duì)角線BD的最小值為．故選：C．【即學(xué)即練2】6．如果一個(gè)矩形的周長(zhǎng)與面積的差是定值m（2＜m＜4），我們稱這個(gè)矩形為“定差值矩形”．如圖，在矩形ABCD中，AB＝x，AD＝y(tǒng)，2（x+y）﹣xy＝，那么這個(gè)“定差值矩形”的對(duì)角線AC的長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．【解答】解：∵AC2＝AB2+BC2，∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，∵2（x+y）﹣xy＝，∴xy＝2（x+y）﹣，∴AC2＝x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（x+y）2﹣4（x+y）+7＝（x+y﹣2）2+3，∴當(dāng)x+y＝2時(shí)，AC有最小值為，故選：C．【即學(xué)即練3】7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB運(yùn)動(dòng)：同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，2cm/s的速度沿BC運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s）．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBQ的面積為2cm2；（2）求四邊形PQCA的面積S的最小值．【解答】解：（1）由題意得：PB＝（3﹣t）cm，BQ＝2tcm，S△PBQ＝BQ?PB＝×2t×（3﹣t）＝﹣t2+3t（0≤t≤2），∵S△PBQ＝﹣t2+3t＝2，解得t＝1或t＝2，∴當(dāng)t＝1s或2s時(shí)，△PBQ的面積為2cm2；（2）∵S＝﹣（﹣t2+3t）＝t2﹣3t+6＝（t﹣）2+（0≤t≤2），∵a＝1，∴t＝﹣＝s時(shí)，S有最小值，最小值為cm2．【即學(xué)即練4】8．如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)一次是邊AB，BC，CD，DA上一點(diǎn)（不與各頂點(diǎn)重合），且AE＝AH＝CG＝CF，記四邊形EFGH面積為S（圖中陰影），AE＝x．（1）求S關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出自變量的取值范圍．（2）求x為何值時(shí)，S的值最大，并寫出S的最大值．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D，AB＝CD，AD＝BC，∵AE＝AH＝CG＝CF，∴BE＝DG，BF＝DH，∴△AEH≌△CFG（SAS），△EBF≌△HDG（SAS），所以S＝S矩形ABCD﹣2S△AEH﹣2S△EFB＝2×4﹣2×x2﹣2×（4﹣x）（2﹣x）＝﹣2x2+6x（0＜x＜2）．（2）S＝﹣2x2+6x＝﹣2（x﹣）2+．所以當(dāng)x＝時(shí)，S的值最大，最大值為．【即學(xué)即練5】9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，∠C＝45°，BD平分∠ABC．（1）求證：AB⊥BC；（2）已知AD＝AB＝4，BC＝8，點(diǎn)P，Q分別是線段AD，BC上的點(diǎn)，BQ＝2AP，過(guò)點(diǎn)P作PR∥AB交BD于R，記y表示△PRQ的面積，x表示線段AP的長(zhǎng)度．如果在一個(gè)直角三角形中，它的兩個(gè)銳角都是45°，那么它的兩條直角邊的長(zhǎng)度相等，請(qǐng)你根據(jù)題目條件，寫出表示變量y與x關(guān)系的關(guān)系式．（3）當(dāng)x＝時(shí)，y取得最大值．【解答】（1）證明：∵∠C＝45°，∠BDC＝90°，∴∠DBC＝180°﹣45°﹣90°＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∴∠ABC＝90°；∴AB⊥BC；（2）解：y＝（4﹣x）x＝﹣x2+2x；（3）解：當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最大值2，y＝﹣x2+2x＝﹣（x2﹣4x+4）+2＝﹣（x﹣2）2+2，故當(dāng)x＝2時(shí)，y取得最大值2．故答案為：2，2．【即學(xué)即練6】10．如圖，拋物線與x軸交于A（4，0），B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P為直線AC上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式：（2）如圖1，若PQ⊥AC，垂足為Q，當(dāng)PQ的長(zhǎng)度為最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖2，若PQ⊥AC，垂足為Q，且AQ＝3PQ，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（4，0），C（0，4）代入，∴，解得，∴；（2）如圖1，連接PC，PA，當(dāng)PQ的長(zhǎng)度最大時(shí)，△PAC的面積最大，作PD∥y軸，交直線AC于點(diǎn)D，設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b′，代入點(diǎn)A（4，0），C（0，4），可得：，解得：，得到直線AC的解析式為y＝﹣x+4，設(shè)點(diǎn)，則D（t，﹣t+4），∴，∴，∴當(dāng)t＝2時(shí)，△PAC面積最大，∵A（4，0），C（0，4），∴利用勾股定理可得，又∵，∴△PAC面積最大時(shí)，PQ也最大，即t＝2，此時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）；（3）過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸，垂足為H，交AC于點(diǎn)G，∵OC＝OA＝4，∴∠OCA＝∠OAC＝45°，∵PQ⊥AC，PH⊥x軸，∴∠HGA＝∠OAC＝45°，∴∠HGA＝∠PGQ＝45°＝∠QPG，∴GQ＝PQ，GH＝AH，∴，，∵AQ＝3PQ，GQ＝PQ，∴AG＝2PQ，∴，即，∴GH＝PG，∴G點(diǎn)是PH的中點(diǎn)，設(shè)，G（t，﹣t+4），∴，解得t＝2或t＝4（舍），∴P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4）．知識(shí)點(diǎn)03二次函數(shù)的存在性問(wèn)題存在等腰三角形：設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式表示出三角形的三邊，分別選取其中兩邊為腰，利用腰相等建立方程求解。存在直角三角形：設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式表示出三角形的三邊的平方，在利用各自為斜邊的平方等于兩直角邊的平方的和建立方程求解。存在平行四邊形：設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合已知點(diǎn)討論各自為對(duì)角線時(shí)的情況。利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平行四邊形對(duì)角線的性質(zhì)——相互平分建立方程求解。即兩條對(duì)角線兩邊端點(diǎn)求得的中點(diǎn)坐標(biāo)相等?！炯磳W(xué)即練1】11．?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2﹣2x+c與直線y＝kx+b都經(jīng)過(guò)A（0，﹣3），B（3，0）兩點(diǎn)，該拋物線的頂點(diǎn)為C．（1）求此拋物線和直線AB的解析式；（2）設(shè)直線AB與該拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，在線段EB上是否存在一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)N，使四邊形CEMN是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）設(shè)點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB面積的最大值．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣2x+c經(jīng)過(guò)A（0，﹣3）、B（3，0）兩點(diǎn)，∴∴∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，∵直線y＝kx+b經(jīng)過(guò)A（0，﹣3）、B（3，0）兩點(diǎn)，∴解得∴直線AB的解析式為y＝x﹣3；（2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，﹣4），∵CE∥y軸，∴E（1，﹣2），∴CE＝2，如圖，點(diǎn)M在x軸下方，四邊形CEMN為平行四邊形，則CE＝MN，設(shè)M（a，a﹣3），則N（a，a2﹣2a﹣3），∴MN＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴﹣a2+3a＝2，解得：a＝2，a＝1（舍去），∴M（2，﹣1），綜合可得M點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣1）．（3）如圖，作PG∥y軸交直線AB于點(diǎn)G，設(shè)P（m，m2﹣2m﹣3），則G（m，m﹣3），∴PG＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，∴S△PAB＝S△PGA+S△PGB＝＝，∴當(dāng)m＝時(shí)，△PAB面積的最大值是，∴此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）．【即學(xué)即練2】12．如圖1所示，已知直線y＝kx+m與拋物線y＝ax2+bx+c分別交于x軸和y軸上同一點(diǎn)，交點(diǎn)分別是點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（0，6），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝4．（1）請(qǐng)分別求出k，m，a，b的值；（2）如圖2，點(diǎn)Q是線段BC上一點(diǎn)，且，點(diǎn)M是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求線段MQ+MA的最小值；（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PBC是直角三角形？若存在請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo)，不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．?【解答】解：（1）∵直線y＝kx+m過(guò)點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（0，6），∴，∴，∴y＝﹣x+6，∵拋物線y＝ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)B（6，0）和點(diǎn)C（0，6），對(duì)稱軸為直線x＝4，∴，∴，∴y＝x2﹣4x+6，∴k＝﹣1，m＝6，a＝，b＝﹣4；（2）過(guò)點(diǎn)Q作QN⊥y軸，垂足為N，作A（2，0）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'（﹣2，0），∵OB＝OC＝6，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°，∴△CNQ是等腰直角三角形，∴NQ＝CN＝＝4，∴ON＝OC﹣CN＝2，∴Q（4，2），∴MQ+MA＝MQ+MA'≥QA'＝＝2，∴MQ+MA的最小值為2．（3）∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝4，∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，y），∵C（0，6），B（6，0），∴PC2＝16+（y﹣6）2＝y(tǒng)2﹣12y+52，∴PC2＝4+y2，∴PC2＝72，∴當(dāng)∠PBC＝90°時(shí)，y2﹣12y+52＝4+y2+72，解得y＝﹣2，當(dāng)∠PCB＝90°時(shí)，4+y2＝y(tǒng)2﹣12y+52+72，解得y＝10，當(dāng)∠BPC＝90°時(shí)，y2﹣12y+52+4+y2＝72，解得y＝3±，∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，﹣2）或（4，10）或（4，3+）或（4，3﹣）．【即學(xué)即練3】13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB和拋物線交于點(diǎn)A（﹣4，0），B（0，4），且拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣1．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)N在第四象限的拋物線上，且△NAB是以AB為底的等腰三角形，求N點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)P到直線AB的距離最大，并求出最大距離．【解答】解：（1）設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，∵對(duì)稱軸x＝﹣1，A（﹣4，0），∴C（2，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+4）（x﹣2），把B（0，4）代入得到a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x+4）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4．（2）如圖1中，∵A（﹣4，0），B（0，4），∴直線AB的解析式為y＝x+4，∴線段AB的中垂線的解析式為y＝﹣x，設(shè)直線y＝﹣x交拋物線于N，則NA＝BN．由解得或（舍棄），∴點(diǎn)N坐標(biāo)（2，﹣2）．（3）如圖2中，設(shè)P（m，﹣m2﹣m+4），∵S△PAB＝S△PAO+S△PBO﹣S△AOB∴S△PAB＝×4×（﹣m2﹣m+4）+×4×（﹣m）﹣×4×4＝﹣m2﹣4m＝﹣（m+2）2+4，∵﹣1＜0，∴m＝﹣2時(shí)，△PAB面積最大，最大值為4，設(shè)P到AB的距離為h，則此時(shí)h最大，∴?AB?h＝4，∴h＝．∴當(dāng)P（﹣2，4）設(shè)，點(diǎn)P到AB的距離最大，最大值為．【即學(xué)即練4】14．如圖，直線y＝﹣2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y＝﹣2x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）P為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）M為直線AB上的動(dòng)點(diǎn)，N為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)O，A，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）∵直線y＝﹣2x+4與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，∴A（2，0），B（0，4），把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣2x2+bx+c，得到，解得，∴拋物線的解析式為y＝﹣2x2+2x+4．（2）設(shè)P（m，﹣2m+4）則Q（﹣m，2m﹣4），把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入y＝﹣2x2+2x+4中，得2m﹣4＝﹣2m2﹣2m+4，解得m＝﹣1，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（﹣1+，6﹣2）或（﹣1﹣，6+2）．（3）設(shè)M（m，﹣2m+4），由題意A（2，0），①當(dāng)OA為平行四邊形OAMN的邊時(shí)，MN＝0A＝2，則N（m﹣2，﹣2m+4），把點(diǎn)N坐標(biāo)代入y＝﹣2x2+2x+4中，得﹣2m+4＝﹣2（m﹣2）2+2（m﹣2）＝4，整理得m2﹣6m+6＝0，解得m＝3±，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（3+，﹣2﹣2）或（3﹣，﹣2+2）．②當(dāng)OA為對(duì)角線時(shí)，∵OA與MN互相平分，OA的中點(diǎn)（1，0），∴N（2﹣m，2m﹣4），把N點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝﹣2x2+2x+4，得到2m﹣4＝﹣2（2﹣m）2＝2（2﹣m）+4，整理得m2﹣2m﹣2＝0，解得m＝1，∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（1+，2﹣2）或（1﹣，2+2）．綜上所述滿足條件的點(diǎn)M坐標(biāo)為（3+，﹣2﹣2）或（3﹣，﹣2+2）或（1+，2﹣2）或（1﹣，2+2）．【即學(xué)即練5】15．如圖，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)C在y軸正半軸上，OA＝2OC，將矩形OABC繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到矩形ODEF．拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過(guò)F、D、B三個(gè)點(diǎn)，其頂點(diǎn)在直線y＝x﹣上，直線L：y＝kx+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)E和點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線y＝ax2+bx+c上第一象限任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交直線L于點(diǎn)M．（1）求abc的值；（2）設(shè)P點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，求線段PM的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；（3）以A、B、P、M四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形會(huì)是平行四邊形嗎？如果會(huì)，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)，如果不會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）由題意可設(shè)F（﹣m，0），則D（0，2m），B（2m，m），把D、F、B三點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝ax2+bx+c可得，解得，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2m，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），∵頂點(diǎn)在直線y＝x﹣上，∴m＝×﹣，∴m＝2，∴a＝﹣，b＝，c＝4，∴拋物線解析式為y＝﹣x2+x+4，∴abc＝﹣．（2）（1）可知A（4，0），E（﹣2，4），設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線AE的解析式為y＝﹣x+，∵P（t，﹣t2+t+4），M（t，﹣t+），∴PM＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+）＝﹣t2+t+（0＜t＜）．（3）會(huì)是平行四邊形．理由：當(dāng)PM＝AB＝2時(shí)，﹣t2+t+＝2，解得t＝或4（舍棄），∴t＝時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)（，）．題型01二次函數(shù)的圖像與系數(shù)的關(guān)系【典例1】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①abc＜0；②4a﹣2b+c＞0；③a﹣b＞m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)）；④若點(diǎn)（﹣3，y1）和點(diǎn)（3，y2）在該圖象上，則y1＞y2；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【解答】解：∵二次函數(shù)開口向下，且與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，∴a＜0，c＞0，∵對(duì)稱軸為x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴abc＞0，故①錯(cuò)誤；∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝﹣1，x＝0時(shí)，y＝c＞0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，∴②正確；∵拋物線開口向下，對(duì)稱軸為：x＝﹣1，∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y有最大值a﹣b+c，∴當(dāng)x＝m時(shí)，函數(shù)值不大于a﹣b+c，∴a﹣b+c≥am2+bm+c．∴a﹣b≥m（am+b）（m為任意實(shí)數(shù)），∴③錯(cuò)誤；點(diǎn)（﹣3，y1）到對(duì)稱軸的距離為：﹣1﹣（﹣3）＝2，（3，y2）到對(duì)稱軸的距離為：3﹣（﹣1）＝4，∵拋物線開口向下，∴y1＞y2，∴④正確．故選：D．【典例2】拋物線y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常數(shù)且a≠0，c＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0）．下列四個(gè)結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過(guò)B（﹣1，0）；②2a+c＞0；③點(diǎn)P1（t+2022，y1），P2（t+2023，y2），在拋物線上，且y1＞y2，則t＞﹣2021；④若m，n（m＜n）是方程ax2+2ax+c＝p的兩個(gè)根，其中p＞0，則﹣3＜m＜n＜1．其中正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：①∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，0），∴9a﹣6a+c＝0，∴3a+c＝0，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，a+2a+c＝0，∴3a+c＝0，∴該拋物線一定經(jīng)過(guò)B（﹣1，0），故此項(xiàng)正確；②由①得：c＝﹣3a，∵c＞0，∴﹣3a＞0，∴a＜0，∵3a+c＝0，∴2a+c＝﹣a，∴2a+c＞0，故此項(xiàng)正確；③拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，當(dāng)t＝﹣2021時(shí)，P1（1，y1），P2（2，y2），∵a＜0，∴y1＞y2，∴t＝﹣2021也符合題意與t＞﹣2021矛盾，故此項(xiàng)錯(cuò)誤．④∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c，對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，拋物線y＝ax2+2ax+c對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴拋物線y＝ax2﹣2ax+c圖象向左平移2個(gè)單位得到拋物線y＝ax2+2ax+c的圖象，∵拋物線y＝ax2﹣2ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣1，0），（3，0），∴拋物線y＝ax2+2ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，0），（1，0），∵m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的兩個(gè)根，∴m，n是拋物線y1＝ax2+2ax+c與直線y＝p交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∵p＞0，∴﹣3＜m＜n＜1，故此項(xiàng)正確，故選：C．【典例3】已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），圖象的一部分如圖所示，該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線．對(duì)于下列結(jié)論：①abc＜0；②b2﹣4ac＞0；③a+b+c＝0；④（其中）；⑤若A（x1，y1）和B（x2，y2）均在該函數(shù)圖象上，且x1＞x2＞1，則y1＞y2．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)共有（）個(gè)．A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：①由圖可知：∵圖象開口向下，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，圖象與y軸相交于正半軸，∴a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故①不正確；②∵函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2﹣4ac＞0，故②正確；③∵該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，0），對(duì)稱軸為直線，∴該函數(shù)與x軸另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），∴當(dāng)x＝1時(shí)，y＝a+b+c＝0，故③正確；④∵對(duì)稱軸為直線，函數(shù)開口向下，∴當(dāng)時(shí)，y有最大值，把代入得：，把x＝m代入得：y＝am2+bm+c，∵，∴，則，故④正確；⑤∵函數(shù)開口向下，∴離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)函數(shù)值越小，∵對(duì)稱軸為直線，x1＞x2＞1，∴y1＜y2，故⑤不正確，綜上：正確的有②③④．故選：B．【典例4】如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2）．下列結(jié)論：①b＞0；②方程ax2+bx+c+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③a+b+c＞0；④a﹣c＝2．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），∴﹣＝﹣1，∴b＝2a＞0，①正確；∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），∴方程ax2+bx+c＝﹣2有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴方程ax2+bx+c+2＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，②正確；由圖象可得x＝﹣3時(shí)，y＞0，∵拋物線對(duì)稱軸為直線x＝﹣1，∴x＝1時(shí)，y＝a+b+c＞0，③正確．∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣2），∴a﹣b+c＝a﹣2a+c＝﹣a+c＝﹣2，∴a﹣c＝2，④正確．故選：A．【典例5】如圖，是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對(duì)稱軸是直線x＝1．對(duì)于下列說(shuō)法：①ab＜0；②3a+c＞0；③2a+b＝0；④a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，其中正確結(jié)論為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解答】解：①∵對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號(hào)，∴ab＜0，故正確；②∵對(duì)稱軸x＝﹣＝1，∴2a+b＝0；故正確；③∵2a+b＝0，∴b＝﹣2a，∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故錯(cuò)誤；④根據(jù)圖示知，當(dāng)x＝1時(shí)，有最大值；當(dāng)m≠1時(shí)，有am2+bm+c＜a+b+c，所以a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）．故正確．⑤如圖，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y不只是大于0．故錯(cuò)誤．故選：B．題型02二次函數(shù)的綜合應(yīng)用【典例1】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（﹣2，0），B（4，0），C（0，8）．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形？如果存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，求△CBF的最大面積及此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．【解答】解：（1）由題意得：，解得：．∴拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+8；（2）存在使△PCD是等腰三角形，理由：∵y＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，∴拋物線對(duì)稱軸為直線x＝1，∴D（1，0），且C（0，8），∴OD＝1，OC＝8．∴CD＝＝，當(dāng)PC＝CD時(shí)，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥DP于點(diǎn)E，則DE＝PE，∵DE＝OC＝8，∴PD＝2DE＝16，∴P（1，16）；當(dāng)PD＝CD＝時(shí)，此時(shí)有兩解，如圖，則有P1（1，﹣）或P2（1，）；當(dāng)PC＝PD時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥CD于點(diǎn)F，如圖，∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸上，∴可設(shè)P（1，m），則PD＝m，∵PC＝PD，PF⊥CD，∴DF＝CD＝．∵PD∥OC，∴∠OCD＝∠FDP．∵∠DOC＝∠PFD＝90°，∴△COD∽△DFP．∴．∴，∴m＝．∴P（1，）．綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，16）或（1，）或（1，）或（1，）；（3）設(shè)直線EF交x軸于點(diǎn)H，如圖，∵B（4，0），∴OB＝4．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+n，則：，解得：．∴直線BC的解析式為y＝﹣2x+8．∵EF⊥x軸，∴設(shè)E（p，﹣2p+8），則F（p，﹣p2+2p+8），∴EH＝﹣2p+8，F(xiàn)H＝﹣p2+2p+8．∴EF＝FH﹣EH＝﹣p2+4p．∴S△BCF＝S△FCE+S△FBE＝EF×BO＝（﹣p2+4p）×4＝﹣2p2+8p＝﹣2（p﹣2）2+8．∵﹣2＜0，∴當(dāng)p＝2時(shí)，S△BCF，有最大值8，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4）．∴當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，△CBF的面積最大，最大面積為8，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4）．【典例2】如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3），點(diǎn)D為直線OD與拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）在x軸下方的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)P為此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求此拋物線的解析式；（2）若直線OD為，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)P在直線OD下方時(shí)，求△POD面積的最大值．【解答】解：（1）由拋物線y＝ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)為C（0，﹣3）可知：c＝﹣3，把點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3可得：，解得：，故拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；（2）由題意可得方程組：，解得：或，又∵點(diǎn)D為直線OD與拋物線y＝ax2+bx+c在x軸下方的一個(gè)交點(diǎn)．∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣3）；（3）設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），①當(dāng)點(diǎn)P在第三象限時(shí)，設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G，設(shè)點(diǎn)P（m，m2﹣2m﹣3），將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：y＝sx+t并解得：直線PD的表達(dá)式為：y＝mx﹣3﹣2m，則OG＝3+2m，S△POD＝OG×（XD﹣XP）＝，②當(dāng)點(diǎn)P在第四象限時(shí)，設(shè)PD交y軸于點(diǎn)M，同理可得：S△POD＝OM×（XD﹣XP）＝，綜上，S△POD＝，∵﹣1＜0，故S△POD有最大值，當(dāng)時(shí)，其最大值為．【典例3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+b與二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+n交于點(diǎn)A（3，0），B（0，3）兩點(diǎn)．（1）求一次函數(shù)y＝kx+b和二次函數(shù)y＝﹣x2+mx+n的解析式．（2）點(diǎn)P是二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且位于直線AB上方，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交直線AB于點(diǎn)Q，當(dāng)△PAB面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)M在二次函數(shù)圖象上，點(diǎn)N在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上，若以點(diǎn)A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．【解答】解：（1）將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入二次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，即二次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+3；將點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式得：，解得：，故一次函數(shù)表達(dá)式為：y＝﹣x+3；（2）過(guò)點(diǎn)P作PH∥y軸交AB于點(diǎn)H，設(shè)點(diǎn)P（x，﹣x2+2x+3），則點(diǎn)H（x，﹣x+3），則△PAB面積＝S△PHA+S△PHB＝PH×OA＝（﹣x2+2x+3+x﹣3）＝﹣（x2﹣3x），∵＜0，故△PAB面積有最大值，此時(shí)點(diǎn)P（，）；（3）由拋物線的表達(dá)式知，其對(duì)稱軸為x＝1，設(shè)點(diǎn)N（1，t），設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（m，﹣m2+2m+3），當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：3＝m+1，解得：m＝2，則點(diǎn)M（2，3）；當(dāng)AM或AN為對(duì)角線時(shí)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：3+m＝1或3+1＝m，解得：m＝﹣2或4，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）；綜上，點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（﹣2，﹣5）或（4，﹣5）或（2，3）．【典例4】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0），B（6，0），與y軸交于點(diǎn)C．且直線y＝mx+n過(guò)點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，點(diǎn)P是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)M，交直線BD于點(diǎn)N．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）連接MB、MD，當(dāng)△MDB的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)Q，使得以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（6，0）代入y＝﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+5x+6；（2）如圖：在拋物線y＝﹣x2+5x+6中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，∴C的坐標(biāo)為（0，6），∵點(diǎn)C與點(diǎn)D關(guān)于x軸對(duì)稱，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣6），∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），∴直線BD的解析式為y＝x﹣6，設(shè)P（m，0），則M（m，﹣m2+5m+6），N（m，m﹣6），∴MN＝﹣m2+4m+12，∴S△MDB＝MN?|xB﹣xD|＝（﹣m2+4m+12）×6＝﹣3m2+12m+36＝﹣3（m﹣2）2+48，∵﹣3＜0，∴當(dāng)m＝2時(shí)，S△MDB最大，此時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）；（3）存在點(diǎn)Q，使得以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，理由如下：由（2）知P坐標(biāo)為（2，0），∴M（2，12），N（2，﹣4），①當(dāng)∠QMN＝90°時(shí)，如圖：∴QM∥x軸，∴Q（0，12）；②當(dāng)∠MNQ＝90°時(shí)，如圖：∴NQ∥x軸，∴Q（0，﹣4）；③當(dāng)∠MQN＝90°時(shí)，如圖：設(shè)Q（0，n），則QM2+QN2＝MN2，即4+（12﹣n）2+4+（n+4）2＝（12+4）2，解得，n＝4±2，∴Q（0，4+2）或（0，4﹣2）．綜上，存在以Q，M，N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（0，12）或（0，﹣4）或（0，4+2）或（0，4﹣2）．【典例5】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC．（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為直線BC上方的拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線交線段BC于M，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線交線段BC于N，求△PMN的周長(zhǎng)的最大值．（3）若點(diǎn)N為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得以B，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解答】解：（1）將點(diǎn)A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+2得，，解得，∴該拋物線的解析式為y＝﹣；（2）如圖，拋物線y＝﹣與y軸交點(diǎn)C（0，2），∵PM⊥y軸，PN⊥x軸，∴PM∥OB，∠MPN＝∠BOC＝90°，∴∠PMN＝∠CBO，∴△PMN∽△OBC，設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n，則，∴，∴直線BC的解析式為y＝﹣+2，設(shè)P（x，﹣），則N（x，﹣+2），∴PN＝﹣，對(duì)稱軸為：直線x＝，∵2≤x＜3，∴x＝2時(shí)，PN的最大值為，∴＝，∴△PMN周長(zhǎng)的最大值為，（3）存在，由題意得，B（3，0），C（0，2），設(shè)N（1，n），M（x，y），①當(dāng)四邊形CMNB是平行四邊形時(shí)，，∴x＝﹣2，∴M（﹣2，﹣）；②當(dāng)四邊形CNBM是平行四邊形時(shí)，，∴x＝2，∴M（2，2）；③當(dāng)四邊形CNMB是平行四邊形時(shí)，，∴x＝4，∴M（4，﹣），綜上所述，M（2，2）或（4，﹣）或（﹣2，﹣）．1．將拋物線y＝2x2向左平移3個(gè)單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝2x2+3 D．y＝2x2﹣3【解答】解：將拋物線y＝2x2向左平移3個(gè)單位，得y＝2（x+3）2；故所得拋物線的解析式為y＝2（x+3）2．故選：A．2．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…01234…y…212510…下列各選項(xiàng)中，正確的是（）A．這個(gè)函數(shù)的圖象開口向下 B．a(chǎn)bc＞0 C．這個(gè)函數(shù)的最大值為10 D．關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無(wú)解【解答】解：A、由圖表中數(shù)據(jù)可得出：對(duì)稱軸為直線x＝1，而x＝1時(shí)，函數(shù)有最小值y＝1，所以二次函數(shù)y＝ax2+bx+c開口向上，a＞0，故A錯(cuò)誤；B、∵﹣＝1，a＞0，∴b＝﹣2a＜0，∵x＝0時(shí)，y＝c＝2，∴abc＜0，故B錯(cuò)誤；C、∵拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x增大而增大，故C錯(cuò)誤；D、∵拋物線開口向上，函數(shù)有最小值y＝1，∴拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0無(wú)解，故D正確．故選：D．3．已知拋物線y＝2（x﹣2）2+1，A（﹣3，y1），B（3，y2），C（4，y3）是拋物線上三點(diǎn)，則y1，y2，y3由小到大依序排列是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1【解答】解：∵二次函數(shù)y＝2（x﹣2）2+1，中a＝2＞0∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x＝﹣＝2，∵B（3，y2），C（4，y3）中橫坐標(biāo)均大于2，∴它們?cè)趯?duì)稱軸的右側(cè)y3＞y2．A（﹣3，y1）中橫坐標(biāo)小于2，∵它在對(duì)稱軸的左側(cè)，它關(guān)于x＝2的對(duì)稱點(diǎn)為2×2﹣（﹣3）＝7，A點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是D（7，y1）7＞4＞3，∵a＞0時(shí)，拋物線開口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大，∴y1＞y3＞y2．故選：D．4．一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：由，解得或，∴一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）的交點(diǎn)為（1，a﹣1），（，0），A、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＞0，由一次函數(shù)y＝ax﹣1（a≠0）與二次函數(shù)y＝ax2﹣x（a≠0）可知，兩圖象交于點(diǎn)（1，a﹣1），則交點(diǎn)在y軸的右側(cè)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＜0，兩圖象的一個(gè)交點(diǎn)在x軸上，另一個(gè)交點(diǎn)在第四選項(xiàng)，故本選項(xiàng)正確，符合題意；D、由拋物線可知，a＜0，由直線可知，a＞0，a的取值矛盾，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；故選：C．5．如圖，排球運(yùn)動(dòng)員站在點(diǎn)O處練習(xí)發(fā)球，將球從O點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y（m）與運(yùn)行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣k）2+h．已知球與O點(diǎn)的水平距離為6m時(shí)，達(dá)到最高2.6m，球網(wǎng)與O點(diǎn)的水平距離為9m．高度為2.43m，球場(chǎng)的邊界距O點(diǎn)的水平距離為18m，則下列判斷正確的是（）A．球不會(huì)過(guò)網(wǎng) B．球會(huì)過(guò)球網(wǎng)但不會(huì)出界 C．球會(huì)過(guò)球網(wǎng)并會(huì)出界 D．無(wú)法確定【解答】解：∵球與O點(diǎn)的水平距離為6m時(shí)，達(dá)到最高2.6m，∴拋物線為y＝a（x﹣6）2+2.6過(guò)點(diǎn)，∵拋物線y＝a（x﹣6）2+2.6過(guò)點(diǎn)（0，2），∴2＝a（0﹣6）2+2.6，解得：a＝﹣，故y與x的關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，當(dāng)x＝9時(shí)，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，所以球能過(guò)球網(wǎng)；當(dāng)y＝0時(shí)，﹣（x﹣6）2+2.6＝0，解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）故會(huì)出界．故選：C．6．若二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（2﹣m，n）、D（m，n）（y1≠n）則下列命題正確的是（）A．若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＜y2 B．若a＜0且y1＜y2，則|1﹣x1|＜|1﹣x2| C．若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，則a＜0 D．若x1+x2＝2（x1≠x2），則AB∥CD【解答】解：∵拋物線過(guò)點(diǎn)D（m，n），C（2﹣m，n）兩點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱軸為x＝＝1，若a＞0且|x1﹣1|＞|x2﹣1|，則y1＞y2，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，若a＜0且y1＜y2，則|1﹣x1|＞|1﹣x2|，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，若|x1﹣1|＞|x2﹣1|且y1＞y2，則a＞0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，若x1+x2＝2（x1≠x2），則AB∥CD，故選項(xiàng)D正確．故選：D．7．拋物線y＝ax2+bx+c的對(duì)稱軸是直線x＝﹣2．拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)（﹣4，0）和點(diǎn)（﹣3，0）之間，其部分圖象如圖所示．①b﹣4a＝0；②a+b+c＞0；③c＜3a；④b2+2b＞4ac．所述4個(gè)結(jié)論中正確的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．①③④【解答】解：∵拋物線的對(duì)稱軸為，∴b＝4a，∴4a﹣b＝0，故①正確；由圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＜0，即a+b+c＜0．故②不正確；由圖象可知，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＞0，即a﹣b+c＞0，∵b＝4a，∴﹣3a+c＞0，即c＞3a．故③不正確；∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，3），∴，∴4ac﹣b2＝12a．∵b＝4a，∴4ac﹣b2＝3b，∴b2﹣4ac+2b＝﹣b＞0，∴b2+2b＞4ac．故④正確．故選：B．8．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0），對(duì)稱軸為x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②b2＞4ac；③若關(guān)于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；④a＜．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：∵拋物線開口向上，∴a＞0，∵拋物線交y軸于負(fù)半軸，∴c＜0，∵﹣＞0，∴b＜0，∴abc＞0，故①正確．∵拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，∴﹣＝1，∴2a+b＝0，故②正確．∵拋物線y＝ax2+bx+c與y軸的交點(diǎn)在（0，﹣1）的下方，∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣1一定有兩個(gè)交點(diǎn)，∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+1＝0一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故③正確；∵x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，∵x＝﹣1時(shí)，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即c＝﹣3a，而c＜﹣1，∴﹣3a＜﹣1，∴a＞，故④錯(cuò)誤．故選：C．9．點(diǎn)A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．若y1＜y2，寫出一個(gè)符合條件的a的值．【解答】解：∵y＝x2﹣2x+3，∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝﹣＝1，∴點(diǎn)A（2，y1）關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)為（0，y1），∵點(diǎn)A（2，y1），B（a，y2）在二次函數(shù)y＝x2﹣2x+3的圖象上．且y1＜y2，∴a＞2或a＜0，故a的值可以是3，故答案為：3（答案不唯一）．10．關(guān)于x的函數(shù)y＝（k﹣2）x2﹣（2k﹣1）x+k的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍是．【解答】解：根據(jù)題意得：，解得k＞﹣且k≠2．故答案為：k＞﹣且k≠2．11．一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖所示），橋高為8米，拱高6米，跨度20米．相鄰兩支柱間的距離均為5米，則支柱MN的高度為米．【解答】解：建直角坐標(biāo)系，如圖：根據(jù)題目條件，A、B、C的坐標(biāo)分別是（﹣10，0）、（10，0）、（0，6）．將B、C的坐標(biāo)代入y＝ax2+c，得：，解得：a＝﹣，c＝6．∴拋物線的表達(dá)式是y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）；在y＝﹣x2+6（﹣10≤x≤10）中，令x＝5得y＝﹣×52+6＝4.5，∴支柱MN的長(zhǎng)度是8﹣4.5＝3.5（米）；故答案為：3.5．12．拋物線y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣1，0），B（3，0），交y軸的負(fù)半軸于C，頂點(diǎn)為D．下列結(jié)論：①2a+b＝0；②2c＜3b；③當(dāng)m≠1時(shí)，a+b＜am2+bm；④當(dāng)△ABD是等腰直角三角形時(shí)，則a＝；⑤當(dāng)△ABC是等腰三角形時(shí)，a的值有3個(gè)．其中結(jié)論正確的是.（填序號(hào)）【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），即y＝ax2﹣2ax﹣3a，∵b＝﹣2a，∴2a+b＝2a﹣2a＝0，所以①正確；∵c＝﹣3a，∴2c﹣3b＝﹣6a+6a＝0，所以②錯(cuò)誤；∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，∴當(dāng)x＝1時(shí)，y有最小值，∴a+b+c＜am2+bm+c（m≠1），即a+b＜am2+bm（m≠1），所以③正確；過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于E點(diǎn)，如圖，∵D（1，﹣4a），∴DE＝4a，∵△ABD是等腰直角三角形，∴DE＝AB，即4a＝×4，解得a＝，所以④正確；∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3a），∴AC2＝1+9a2，BC2＝9+9a2，AB2＝16，當(dāng)AC＝AB時(shí)，1+9a2＝16，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），當(dāng)BC＝AB時(shí)，9+9a2＝16，解得a1＝，a2＝﹣（舍去），綜上所述，a的值為或，所以⑤錯(cuò)誤．故答案為：①③④．13．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連結(jié)AC．（1）求這條拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)