專題1.3 線段的垂直平分線（學生版）

專題1.3線段的垂直平分線1.理解線段垂直平分線的概念；2.掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理；3.能運用線段的垂直平分線的有關知識進行證明或計算；4.理解并掌握三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)，能夠運用其解決實際問題；5.能夠利用尺規(guī)作出三角形的垂直平分線。知識點01線段垂直平分線的性質(zhì)與判定【知識點】線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.應用：常用來證明兩條線段相等線段垂直平分線的判定定理：到一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.應用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上【知識拓展1】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求長度例1．（2022春·江蘇淮安·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點D，交于點E，連接．若的周長是，，則的周長是___________．【即學即練】1．（2023春·江蘇蘇州·八年級期中）如圖，在中，垂直平分，交邊于點，交邊于點，若，的周長為14，則的周長為______．【知識拓展2】利用線段垂直平分線的性質(zhì)求角度例2．（2022春·山西臨汾·八年級期末）如圖，在中，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【即學即練】2．（2022春·江蘇南京·八年級階段練習）如圖，點P為三邊垂直平分線的交點，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【知識拓展3】垂直平分線的判定例3．32．（2022春·廣西南寧·八年級?？计谥校┬≤娮隽艘粋€如圖所示的風箏，其中，，則是的______線．【即學即練3】3．（2022春·江蘇蘇州·八年級蘇州高新區(qū)第二中學?？茧A段練習）如圖，已知，，與交于O，．求證：(1)；(2)點O在線段的垂直平分線上．【知識拓展4】復雜的尺規(guī)作圖例4．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學年八年級上學期期末調(diào)研數(shù)學試卷）我們規(guī)定：在同一平面內(nèi)的點A以直線為對稱軸進行翻折后得到點，稱作點A的“一次對稱點”，將一次對稱點再以直線為對稱軸進行翻折后得到點，稱作點A的“二次對稱點”．(1)如圖1，依題意畫出點A的“二次對稱點”，并說出以為頂點的三角形的形狀；(2)如圖2，已知直線與直線的夾角是，點A在直線上，依題意畫出點A的“二次對稱點”，并說出以為頂點的三角形的形狀；(3)如圖3，如果“二次對稱點”落在上，且點A在直線上，請依題意畫出直線，保留作圖痕跡．【即學即練4】4．（北京市燕山區(qū)2022-2023學年八年級上學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷）下面是小青設計的“過直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程．已知：直線l及直線l外一點P．求作：直線，使得．作法：如圖，①在直線l上取點A，連接；②作線段的垂直平分線，分別交直線l，直線于點B，O；③以點O為圓心，長為半徑畫弧，交直線于另一點Q；④作直線．所以直線就是所求作的直線．根據(jù)小青設計的尺規(guī)作圖過程，(1)使用直尺和圓規(guī)，補全圖形；（保留作圖痕跡）(2)完成下面的證明．證明：連接，∵線段的垂直平分線交于點O，∴，（_____________________）（填推理的依據(jù)）又∵，______，∴，（_____________________）（填推理的依據(jù)）∴，∴．【知識拓展5】線段垂直平分線的綜合運用例5．（2022春·陜西漢中·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，與相交于點F，連結(jié)并延長交于點G，的平分線交的延長線于點H，連接．則下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【即學即練5】5．（2022春·重慶九龍坡·八年級重慶實驗外國語學校?？茧A段練習）如圖，是等腰的角平分線，，，過點A作的垂線，過點C作的平行線，兩線交于點G．與交于E，與交于F，連接，點N是線段上的動點，點M是線段上的動點，連接，，下列四個結(jié)論：①；②；③；④；⑤其中正確的是________（填寫番號）知識點02三角形的垂直平分線【知識點】1.三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)定理:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等.銳角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形內(nèi)；直角三角形三邊的垂直平分線交點在斜邊上；鈍角三角形三邊的垂直平分線交點在三角形外.2.已知等腰三角形的底邊和底邊上的高作等腰三角形.【知識拓展1】三角形的垂直平分線的實際應用例1．（2022春·黑龍江佳木斯·八年級期末）如圖，是三條直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路交叉點的距離都相等，則可供選擇的地址有（

）．A．一處 B．兩處 C．三處 D．四處【即學即練1】1．（2022春·廈門·八年級?？计谥校┤鐖D，、、表示三個居民小區(qū)，為了居民生活的方便，現(xiàn)準備建一個生活超市，使它到這三個居民小區(qū)的距離相等，那么生活超市應建在（）A．，兩邊中線的交點處B．，兩邊高線的交點處C．與這兩個角的角平分線的交點處D．，兩邊的垂直平分線的交點處【知識拓展2】三角形的垂直平分線的相關計算與證明例2．（2022春·全國·八年級期末）如圖，的垂直平分線相交于點，若等于，則___________．【即學即練2】2．（2022春·陜西商洛·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，的垂直平分線，相交于點O，求證：點O在的垂直平分線上．【知識拓展3】例3．（2022春·吉林長春·八年級長春市第八十七中學期末）如圖，正方形紙片：①先對折使與重合，得到折痕；②折疊紙片，使得點A落在的點H上，沿和剪下．則判定為等邊三角形的依據(jù)是（

）A．三邊都相等的三角形是等邊三角形 B．三個角都相等的三角形是等邊三角形C．有兩個角是60°的三角形是等邊三角形 D．有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形【即學即練3】3．（2022春·天津·八年級天津市第五十五中學期末）有一張長方形紙片，按下面步驟進行折疊：第一步：如圖①，點E在邊上，沿折疊，點B落在點處；第二步：如圖②，沿折疊，使點A落在延長線上的點處，折痕為．有下列結(jié)論：（）①是等邊三角形

②

③垂直平分A．只有②正確 B．只有①②正確C．只有①③正確 D．①②③都正確題組A基礎過關練1．（2022春·河北秦皇島·八年級期末）三角形內(nèi)到三個頂點的距離相等的點是（）A．三條中線的交點 B．三條高的交點C．三條角平分線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點2.（2022春·吉林長春·九年級吉林省第二實驗學校期末）如圖，在中，，分別以A、C為圓心，大于長的一半為半徑畫弧，兩弧相交于點M、N，連接，與、分別相交于點D、E，連接，當，時，周長為（

）A．6 B．7 C．8 D．93．（2022春·江蘇南京·八年級?？茧A段練習）甲、乙、丙三家分別位于的三個頂點處，現(xiàn)要建造一個核酸檢測點，使得三家到核酸檢測點的距離相等，則核酸檢測點應建造在（）A．三邊垂直平分線的交點 B．三條角平分線的交點C．三條高的交點 D．三條中線的交點4．（2022春·遼寧撫順·八年級階段練習）如圖，在中，邊的垂直平分線交于點D，交于點E，已知與的周長分別為19和11，則的長等于______．5．（2022春·上海徐匯·八年級上海市南洋模范中學?？计谥校M足底邊為已知線段的等腰三角形的頂點在______上．6．（2022春·遼寧大連·八年級期末）如圖，中，，，．(1)作邊的垂直平分線，交于點；（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)連接，求的度數(shù)；(3)的周長為______．7．（2022春·廣東梅州·九年級?？茧A段練習）如圖，六個完全相同的小長方形拼成了一個大長方形，是其中一個小長方形對角線，請在大長方形中完成下列畫圖，要求：①僅用無刻度直尺；②保留必要的畫圖痕跡．(1)在圖（1）中畫一個角，使點或點是這個角的頂點，且為這個角的一邊；(2)在圖（2）中畫出線段的垂直平分線，并簡要說明畫圖的方法（不要求證明）．8．（2022春·廣東汕頭·八年級汕頭市龍湖實驗中學?？计谥校┤鐖D，在中，，D為BC的中點，，垂足為點E，，交CE的延長線于點F．(1)求證：；(2)求證：AB垂直平分DF．9．（2022·江蘇連云港·八年級?？茧A段練習）如圖，、兩個村莊的坐標分別為、，一輛汽車從原點出發(fā)，在軸上行駛．(1)汽車行駛到什么位置時離村莊最近？寫出此位置的坐標．(2)請在圖中畫出汽車到兩村莊的距離相等的位置，并求出此時的距離和．10．（2022春·八年級課時練習）已知：如圖，直線和直線分別是線段和線段的垂直平分線，為交點．求證：點到點，，的距離相等．11.（2022春·全國·八年級期中）如圖，在10×10的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點（即三角形的頂點都在格點上）．(1)在圖中作出關于直線l對稱的；（要求：A與，B與，C與相對應）(2)的面積是．(3)若有一格點P到點A、B的距離相等（），則網(wǎng)格中滿足條件的點P共有個；(4)在直線l上找一點Q，使的值最小．（要求：圖中標注點Q，要有作圖痕跡）題組B能力提升練1．（2022春·黑龍江佳木斯·八年級期末）如圖，D是內(nèi)部的一點，，．下列結(jié)論：①；②；③；④平分．其中結(jié)論正確的序號是（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2．（2022春·浙江杭州·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，，，平分交于E，于D．下列結(jié)論：①；②點E在線段的垂互平分線上；③；④．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（2022春·遼寧盤錦·八年級?？茧A段練習）如圖，三角形中，的平分線交BC于點D，過點D作，，垂足分別為E，F(xiàn)，下面四個結(jié)論：①；②一定平行；③垂直平分；④；其中正確的是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④4．（2022春·遼寧大連·八年級期末）如圖，中，，的垂直平分線，相交于點，若等于，則______．（用含的式子表示）5．（2022春·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，平分，下列結(jié)論：點在的垂直平分線上；；；圖中的三個三角形都是等腰三角形．其中正確結(jié)論的序號是______．6．（2022春·八年級單元測試）如圖所示，點為內(nèi)一點，分別作出點關于、的對稱點，，連接交于，交于，，則的周長為_______．7．（北京市門頭溝區(qū)2022—2023學年八年級上學期期末調(diào)研數(shù)學試卷）已知，如圖，在中，是的平分線，且，過點C作的垂線，交的延長線于點H．以直線為對稱軸作點A的對稱點P，連接．(1)依題意補全圖形；(2)直接寫出與的位置關系；(3)用等式表示線段與之間的數(shù)量關系，并證明．8．（2022春·廣東東莞·八年級期中）如圖，已知點A在y軸正半軸上，以為邊作等邊，點P在x軸正半軸上，以為邊在第一象限內(nèi)作等邊，連并延長交x軸于點C．(1)證明：(2)求的度數(shù)(3)連接，求證：垂直平分9．（2022春·江蘇南通·八年級期中）【了解概念】如圖1，已知A，B為直線MN同側(cè)的兩點，點P為直線的一點，連接，，若，則稱點P為點A，B關于直線l的“等角點”．(1)【理解運用】如圖2，在中，D為上一點，點D，E關于直線對稱，連接并延長至點F，判斷點B是否為點D，F(xiàn)關于直線的“等角點”，并說明理由；(2)【拓展提升】如圖2，在（1）的條件下，若，，點Q是射線上一點，且點D，Q關于直線的“等角點”為點C，請利用尺規(guī)在圖2中確定點Q的位置，并求出的度數(shù)；(3)【拓展提升】如圖3，在中，，的平分線交于點O，點O到AC的距離為1，直線l垂直平分邊，點P為點O，B關于直線l“等角點”，連接，，當時，的值為．10．（2022春·全國·八年級期末）對于平面直角坐標系中的線段及點Q，給出如下定義：若點Q滿足，則稱點Q為線段的“中垂點”；當時，稱點Q為線段的“完美中垂點”．(1)如圖1，，下列各點中，線段的中垂點是__________(2)如圖2，點A為x軸上一點，若為線段OA的“完美中垂點”，則線段OQ的兩個“完美中垂點”的坐標是______和________，兩者的距離是________(3)如圖3，若點A為x軸正半軸上一點，點Q為線段的“完美中垂點”，點在y軸上，在線段上方畫出線段的“完美中垂點”M，直接寫出________（用含m的式子表示）．并求出．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022春·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，，，我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊形叫做“等形”，連接等形的對角線、，下列結(jié)論：①；②垂直平分；③四邊形的面積；④若，，點，分別是，邊上的動點，且，則，其中正確的結(jié)論是（

）A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④2．（2022春·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標系中，點，，點C在AB的垂直平分線上，且，則點C的坐標為______．3．（2022秋·陜西榆林·七年級統(tǒng)考期中）如圖，已知是等邊三角形，D是邊上的一個動點（異于點B、C），過點D作，垂足為E，的垂直平分線分別交于點F、G，連接．當點D在邊上移動時，有下列三個結(jié)論：①一定為等腰三角形；②一定為等邊三角形；③可能為等腰三角形．其中正確的有__________．（填所有正確結(jié)論的序號）4．（2022春·四川廣安·八年級校考期末）如圖，在中．，平分交于E，于D．下列結(jié)論：①；②點E在線段的垂直平分線上：③；④；⑤，其中正確的有___________（填結(jié)論正確的序號）．5．（2022春·江蘇南京·八年級期中）在中，，D為內(nèi)一點，連接，，延長到點E，使，(1)如圖1，延長到點F，使得