專訓(xùn)13.3.1.2 三線合一的計算+證明-簡單數(shù)學(xué)之2021-2022學(xué)年八年級上冊考點(diǎn)專訓(xùn)（解析版）（人教版）

專訓(xùn)13.3.1.2三線合一的計算+證明一、單選題1．下面是教師出示的作圖題．已知：線段，，小明用如圖所示的方法作，使，上的高．作法：①作射線，以點(diǎn)為圓心、※為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心、△為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，；③作直線，交于點(diǎn)；④以點(diǎn)為圓心、為半徑在上方畫孤，交直線于點(diǎn)，連接，．對于橫線上符號代表的內(nèi)容，下列說法不正確的是（）A．※代表“線段的長” B．△代表“任意長”C．△代表“大于的長” D．代表“線段的長”【答案】B【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的三線合一的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：正確作法如下：①作射線，以點(diǎn)為圓心、線段a的長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于DE為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，；③作直線，交于點(diǎn)；④以點(diǎn)為圓心、線段的長為半徑在上方畫孤，交直線于點(diǎn)，連接，．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)作圖，理解題意并靈活運(yùn)用線段的垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的三線合一的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．2．己知：等腰．求作：一點(diǎn)O，使點(diǎn)O到三邊的距離相等．小明的作法是：（1）作的平分線；（2）作邊的垂直平分線；（3）直線與射線交于O，點(diǎn)O即為所求的點(diǎn)（作圖痕跡如圖1）．小麗的作法是：（1）作的平分線；（2）作的平分線；（3）射線與射線交于點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求的點(diǎn)（作圖痕跡如圖2）．對于兩人的作法．下列說法正確的是（）A．小明對，小麗不對 B．小麗對，小明不對C．兩人都對 D．兩人都不對【答案】C【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，則可得三角形角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離，所以只要作△ABC任兩個內(nèi)角的角平分線，其交點(diǎn)O便是所求作的點(diǎn)．【詳解】小明的作法正確．∵AB=AC，由作法知，GH垂直平分BC∴∠BAC的角平分線在直線GH上∴O點(diǎn)是△ABC的兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理知，點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等小麗的作法正確小麗作的是△ABC的兩內(nèi)角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理知，其交點(diǎn)O到△ABC三邊的距離相等故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、用尺規(guī)作圖作角平分線和線段的垂直平分線等知識，關(guān)鍵是清楚等腰三角形三線合一的性質(zhì)，頂點(diǎn)的平分線也垂直平分底邊．3．如圖，中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F，DE＝2，則BF的長為（）A．4 B．3 C．5 D．6【答案】A【分析】過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，由題意易得AD平分∠CAB，則有DE=DH，然后根據(jù)等積法可進(jìn)行求解．【詳解】解：過點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，如圖所示：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠CAB，∵DE⊥AB，DE＝2，∴DE=DH=2，∵，∴，∴；故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．4．在中，，兩個完全一樣的三角尺按如圖所示擺放．它們一組較短的直角邊分別在，上，另一組較長的對應(yīng)邊的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)P，交邊于點(diǎn)D，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．平分 B． C．垂直平分 D．【答案】D【分析】先根據(jù)角平分線的判定定理得到BP平分∠ABC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AD=DC，BD垂直平分AC，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：如圖．由題意得，PE⊥AB，PF⊥BC，PE=PF，∴BP平分∠ABC，∵AB=BC，∴AD=DC，BD垂直平分AC，故選項A、B、C正確，不符合題意；只有當(dāng)△ABC是等邊三角形時，才能得出AB=2AD，故選項D錯誤，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．也考查了等腰三角形的性質(zhì)．5．如圖，在中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，點(diǎn)E、F分別是AD的三等分點(diǎn)，若的面積為12cm2，則圖中陰影部分的面積為（）cm2．A．4 B．4.5 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，，利用三角形面積公式得到，所以圖中陰影部分的面積．【詳解】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，∴，，∴（同底等高的三角形面積相等），∴圖中陰影部分的面積（cm2）．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用和的面積相等是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在中，，，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由作圖和等腰三角形的性質(zhì)可知，CF平分∠ACB，求出∠ACB即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)作圖痕跡知，是的垂線，∵，∴是等腰三角形，∴是的垂直平分線．即平分．∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-基本作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．7．如圖，在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上分別截取AP，AQ，使AP=AQ，再分別以點(diǎn)P，Q為圓心，以大于PQ的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內(nèi)交于點(diǎn)R，作射線AR，交BC于點(diǎn)D．若BC=6，則BD的長為()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡以及等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：由作圖過程可知射線AD為∠BAC的平分線，即∠BAD=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=CD，∴BD=BC=×6=3，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的尺規(guī)作圖，等腰三角形的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)射線AD為∠BAC的平分線是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，，是的中線，且，是的角平分線，交的延長線于點(diǎn)，則的長為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，求出∠DAE=∠EAB=30°，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠F=∠BAE=30°，從而得到∠DAE=∠F，根據(jù)等角對等邊求出AD=DF，即可求解.【詳解】∵AB=AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°，∵AE是∠BAD的角平分線，∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=60°=30°，∵DF//AB∴∠F=∠BAE=30°，∴∠DAE=∠F=30°，∴AD=DF=6；故答案為:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.9．如圖所示，在中，內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)，，與交于點(diǎn)，交于，交于，連接，下列結(jié)論：①；②；③垂直平分；④，其中，正確的有（）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】D【分析】利用角平分線的性質(zhì)以及已知條件對①②③④進(jìn)行一一判斷，從而求解．【詳解】解：∵PA平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠PAB=∠CAB，∠PBE=∠CBE，∵∠CBE=∠CAB+∠ACB，∠PBE=∠PAB+∠APB，∴∠ACB=2∠APB；故①正確；過P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∵內(nèi)角與外角的平分線相交于點(diǎn)，∴PM=PN=PS，∴PC平分∠BCD，∵S△PAC：S△PAB=(AC?PN)：(AB?PM)=AC：AB；故②正確；∵BE=BC，BP平分∠CBE，∴BP垂直平分CE（三線合一），故③正確；∵PG//AD，∴∠FPC=∠DCP，∵PC平分∠DCB，∴∠DCP=∠PCF，∴∠PCF=∠CPF，故④正確．故選：D．【點(diǎn)睛】此題綜合性較強(qiáng)，主要考查了角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等是解答本題的關(guān)鍵．10．如圖是等腰的頂角的平分線，E點(diǎn)在上，F(xiàn)點(diǎn)在上，且平分，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證明△AED≌△AFE，利用等式的性質(zhì)可得EB=CF，再利用全等三角形的性質(zhì)可得∠EDA=∠FDA，根據(jù)等腰三角形三線合一可得∠ADB=∠ADC=90°，根據(jù)等角的余角相等可得∠BDE=∠CDF，根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得∠BED=∠CFD，條件無法證明∠BDE=∠DAE．【詳解】解：∵AD是等腰△ABC的頂角的平分線，∴∠EAD=∠FAD，AB=AC，∵AD平分∠EDF，∴∠EDA=∠FDA，在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFE（ASA），∴AE=AF，∴AB-AE=AC-AF，∴EB=FC，故A正確；∵AD是等腰△ABC的頂角的平分線，∴AD⊥CB，∴∠ADB=∠ADC=90°，∵△AED≌△AFE，∴∠EDA=∠FDA，∴∠BDE=∠CDF，故B正確；∵△AED≌△AFE，∴∠AED=∠AFD，∴∠BED=∠CFD，故C正確；假設(shè)∠DAE=∠BDE，則∠DAE+∠EDA=90°，∴DE⊥AB，∵條件中沒有DE⊥AB，∴∠DAE=∠BDE錯誤，故D錯誤；故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等腰三角形三線合一．11．如圖，在中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)．某數(shù)學(xué)興趣小組分析圖形后得出以下結(jié)論：①；②；③；④．上述結(jié)論一定正確的是（）

A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】根據(jù)，可以證明△BCD是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，判斷①正確，然后證明，可以判斷①正確，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，根據(jù)BE平分∠ABC，且BE⊥AC，可以證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，從而判斷④正確，如圖，過點(diǎn)G作于K，利用角平分線的性質(zhì)可證明，根據(jù)直角三角形中斜邊大于直角邊即可證明結(jié)論③錯誤．【詳解】解：，∵是邊的中點(diǎn)，故②正確；，，在和中，，，故①正確；平分，且，在和中，，，故④正確；如圖，過點(diǎn)G作于K，

平分，且，，∵在中，＞，＜，故③錯誤．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，仔細(xì)分析圖形并熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．二、填空題12．已知中，，，如果是邊的中點(diǎn)，那么_____度．【答案】40【分析】首先利用等腰三角形的底角的度數(shù)求得另一個底角的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求得答案即可．【詳解】解：∵AB=AC，∠B=50°，

∴∠C=∠B=50°，

∵D是邊BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，

∴∠CAD=40°，

故答案為：40．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線，若△ABD的周長為16，△ABC的周長為24，則AD的長為_________．【答案】4【分析】先由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出BD=CD，再根據(jù)△ABD的周長為16，得到AB+BD+AD=16，即AB+AC+BC+2AD=32，再將AB+AC+BC=24代入，即可求出AD的長．【詳解】解：∵△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分線，∴BD=CD．∵△ABD的周長為16，∴AB+BD+AD=16，∴2AB+2BD+2AD=32，∴AB+AC+BC+2AD=32，∵△ABC的周長為24，∴AB+AC+BC=24，∴24+2AD=32，∴AD=4．故答案為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．同時考查了三角形的周長，等式的性質(zhì)．14．如圖，在ABCD中，以A為圓心，以AB長為半徑作弧，交AD于點(diǎn)F，連接BF，再分別以B，F(xiàn)為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)G，連接AG并延長，交BC于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)M，則的度數(shù)為___________．【答案】90°【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到∠AMB=90°．【詳解】解：由作圖可知：AB=AF，AE平分∠BAD，∴AE⊥BF，∴∠AMB=90°．故答案為：90°．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形“三線合一”的知識．15．如圖，在中，邊上的中線平分，P是線段上的一點(diǎn)，，若，則_________．【答案】【分析】連接PB，PC，過P作PH⊥AC，垂足為H，設(shè)PF=x，求出CD的長，從而算出△ABC的面積，再根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=，求出x值，可得結(jié)果．【詳解】解：連接PB，PC，過P作PH⊥AC，垂足為H，∵AP平分∠BAC，∴PF=PH，設(shè)PF=x，則PH=x，PG=2x，∵CA=CB=10，CD是AB中線，AB=12，∴AD=BD=6，則CD==8，∴S△ABC==48，又S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP====48解得：x=，即PG=，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形三線合一的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用△ABC的面積列出方程．16．如圖，等腰三角形ABC底邊BC的長為4cm，面積是12cm2，D為BC邊上的中點(diǎn)，腰AB的垂直平分線EF交AD于M，交AC于點(diǎn)F，則BM+DM的值為_____cm．【答案】6．【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長，再根據(jù)EF是線段AB的垂直平分線可知AM＝BM，則可得出答案．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝12，解得AD＝6（cm），∵EF是線段AB的垂直平分線，∴AM＝BM，∴BM+MD＝AM+DM＝AD＝6（cm），故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在中，，點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)為中點(diǎn)時，；④當(dāng)為等腰三角形時，．其中正確的是______（填序號）．【答案】①③【分析】①根據(jù)三角形外角和、角的和差以及等量代換即可得證；②根據(jù)已知條件不能證明；③根據(jù)等腰三角形的三線合一、三角形內(nèi)角和以及外角和即可得證；④分三種情況，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形外角和即可得出結(jié)論．【詳解】解：①,，故①正確；②點(diǎn)為線段上一動點(diǎn)不能證明，故②錯誤；③為中點(diǎn)，，由①知，即，故③正確；④由①知，當(dāng)時，,；當(dāng)時，此時不成立；當(dāng)時，綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時，或，故④錯誤；故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和及外角和，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．18．如圖，在中，，平分，點(diǎn)，分別是和上的任意一點(diǎn)，設(shè)．

（1）連接交于點(diǎn)，則______（填表示相等或大小關(guān)系的符號）；（2）若，，，則的最小值是______．【答案】【分析】（1）連接CP，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得到BH為AC垂直平分線，進(jìn)而得到AP=CP，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”即可求解；（2）由“垂線段最短”得當(dāng)CD⊥AB時，CD有最小值，即m有最小值為CD的最小值，根據(jù)面積法即可求出CD最小值．【詳解】解：（1）如圖，連接CP，∵，平分，∴AH=CH，BH⊥AC，∴BH為AC垂直平分線，∴AP=CP，∴PA+PD=PC+PD≥CD，即m≥CD．

故答案為：≥；（2）由“垂線段最短”得當(dāng)CD⊥AB時，CD有最小值，即m有最小值為CD的最小值．當(dāng)CD⊥AB時，,即，∴CD=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，垂線段最短等知識，熟練掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．三、解答題19．如圖，，，三點(diǎn)在同一直線上，，．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)已知中的條件兩角夾邊可判定△ADC≌△ADB，由全等三角形的性質(zhì)可得AB=AC；（2）由AB=AC和∠1=∠2可得AE⊥BC．【詳解】解：（1）證明：，，在和中，，，；（2）證明：在中，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)以及等腰三角形的判定及性質(zhì)問題，能夠熟練掌握這些性質(zhì)和判定是解決問題的關(guān)鍵．20．如圖，OC平分∠MON，P為OC上一點(diǎn)，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A、B，連接AB，AB與OP交于點(diǎn)E．（1）求證：ΔOPA≌ΔOPB；（2）若AB＝6，求AE的長．【答案】（1）見解析；（2）3【分析】（1）根據(jù)角平分線得PA＝PB，再根據(jù)PO＝PO，即可得到Rt△AOP≌Rt△BOP；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得到AE＝BE，進(jìn)而得出AE＝AB＝3．【詳解】（1）證明：∵OC平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，∴PA＝PB又OP＝OP，∴RtΔOPA≌RtΔOPB；（2）解：∵△OPA≌ΔOPB，∴OA＝OB．又OE平分∠AOB，∴AE＝BE∴AE＝AB＝3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確相關(guān)定理，熟練運(yùn)用已知條件進(jìn)行證明和求解．21．如圖，在中，，且，求的度數(shù)．

【答案】77°【分析】由條件可先求得∠DAE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求得∠AED．【詳解】.解：為等腰三角形，且為底邊上的高為的平分線（三線合一）【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形底邊上的高、中線和頂角的平分線相互重合是解題的關(guān)鍵．22．如圖，已知平分，，是的中點(diǎn)，試說明的理由，【答案】見解析【分析】先由角平分線定義得出∠BAD=∠CAD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，那么∠EBA=∠E，由等角對等邊得出AE=AB，又F是BE的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可證明AF⊥BE．【詳解】解：證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵BE∥AD，∴∠EBA=∠BAD，∠E=∠CAD，∴∠EBA=∠E，∴AE=AB，又∵F是BE的中點(diǎn)，∴AF⊥BE．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．得出AE=AB是解題的關(guān)鍵．23．如圖﹐在中﹐﹐D為的中點(diǎn)﹐點(diǎn)F在上﹐延長至點(diǎn)E﹐使﹐求與之間的位置關(guān)系．【答案】AD∥EF【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義和外角的定義，可得∠AEF=∠BAD，進(jìn)而可證明AD∥EF．【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵D為BC中點(diǎn)，∴AD⊥BC，AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD=∠BAC，∵AE=AF，∴∠E=∠AFE，∵∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠E+∠AFE，∴∠AEF=∠BAD，∴AD∥EF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定、三角形的外角性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)．24．如圖在四邊形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，連接DE并延長交CB的延長線于點(diǎn)F，點(diǎn)G在邊BC上，且∠1＝∠2（1）說明△ADE≌△BFE的理由；（2）聯(lián)結(jié)EG，那么EG與DF的位置關(guān)系是，請說明理由．【答案】（1）證明見解析，（2）EG⊥DF，理由見解析【分析】（1）由AD∥BC，得出∠1＝∠F，因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，得AE＝BE，即可證明△ADE≌△BFE；（2）可證∠2＝∠F，從而有DG＝FG，再通過（1）中全等知DE＝EF，由等腰三角形三線合一即可證出EG⊥DF．【詳解】解：（1）∵AD∥BC，∴∠1＝∠F，∵E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，在△ADE和△BFE中，，∴△ADE≌△BFE（ASA），（2）如圖，EG⊥DF，∵∠1＝∠F，∠1＝∠2，∴∠2＝∠F，∴DG＝FG，由（1）知：△ADE≌△BFE，∴DE＝EF，∴EG⊥DF．故答案為：EG⊥DF．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的三線合一等知識，找出全等所需的條件是解題的關(guān)鍵．25．如圖，中，AD是邊BC上的高，CF是邊AB上的中線，DC＝BF，點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連接DF，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DF＝AB＝BF，進(jìn)而證明DC＝DF，根據(jù)等腰三角形的三線合一證明結(jié)論；（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．【詳解】解：（1）連接DF，∵AD是邊BC上的高，∴，∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，∴DF＝AB＝BF，∵DC＝BF，∴DC＝DF，∵點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)．∴；（2）∵DC＝DF，∴，∴，∵DF＝BF，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊中線定理、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；關(guān)鍵在于掌握好相關(guān)考點(diǎn)的基礎(chǔ)知識，靈活運(yùn)用．26．如圖，在等腰三角形中，，，是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，從向運(yùn)動，同時點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向運(yùn)動，速度都是1個單位/秒，時間是秒（），連接、、、．（1）請判斷形狀，并證明你的結(jié)論．（2）以、、、四點(diǎn)組成的四邊形面積是否發(fā)生變化？若不變，求出這個值；若變化，用含的式子表示．【答案】（1）△EDF為等腰直角三角形，證明見詳解；（2）不變，16【分析】（1）由“SAS”可證△BDE≌△ADF，可得DE=DF，∠BDE=∠ADF，由余角的性質(zhì)可得∠EDF=90°，可得結(jié)論；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得S△BDE=S△ADF，可得S四邊形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABD，可求解．【詳解】△EDF為等腰直角三角形，

∵AB=AC，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，

∴AD=BD=CD=BC，AD平分∠BAC，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，

∵點(diǎn)E、F速度都是1個單位/秒，時間是t秒，

∴BE=AF，在△BDE和△ADF中

∴△BDE≌△ADF（SAS），

∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，

∵∠BDE+∠ADE=90°，

∴∠ADF+∠ADE=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形；故答案為△EDF為等腰直角三角形

（2）四邊形AEDF面積不變，

理由：∵由（1）可知，△BDE≌△ADF，

∴S△BDE=S△ADF，

∴S四邊形AEDF=S△ADF+S△ADE=S△ABD=S△ABC，

∴S四邊形AEDF=××AC×AB=××8×8=16故答案為不變，面積為16【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△BDE≌△ADF是本題的關(guān)鍵．27．如圖，在中，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，，，垂足分別為，，連接．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）先證明，再證明，從而可得結(jié)論；（2）連接，，先證明，再證明，可得，，再證明是等腰直角三角形，可得從而可得結(jié)論．【詳解】證明：（1），，．，．．．．（2）連接，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，平分，由可得：．．又，．，．．是等腰直角三角形．．【點(diǎn)睛】本題考查的的三角形全等的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．28．《淮南子?天文訓(xùn)》中記載了一種確定東西方向的方法，大意是：日出時，在地面上點(diǎn)處立一根桿，在地面上沿著桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步（步是古代的一種長度單位），在點(diǎn)處立一根桿；日落時，在地面上沿著點(diǎn)處的桿的影子的方向取一點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的距離為10步，在點(diǎn)處立一根桿．取的中點(diǎn)，那么直線表示的方向?yàn)闁|西方向．（1）上述方法中，桿在地面上的影子所在直線及點(diǎn)的位置如圖所示．使用直尺和圓規(guī)，在圖中作的中點(diǎn)（保留作圖痕跡）；

（2）在如圖中，確定了直線表示的方向?yàn)闁|西方向．根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線表示的方向?yàn)槟媳狈较?，完成如下證明．證明：在中，______________，是的中點(diǎn)，（______________）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较颍敬鸢浮浚?）圖見詳解；（2），等腰三角形的三線合一【分析】（1）分別以點(diǎn)A、C為圓心，大于AC長的一半為半徑畫弧，交于兩點(diǎn)，然后連接這兩點(diǎn)，與AC的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)D；（2）由題意及等腰三角形的性質(zhì)可直接進(jìn)行作答．【詳解】解：（1）如圖所示：

（2）證明：在中，，是的中點(diǎn)，（等腰三角形的三線合一）（填推理的依據(jù)）．∵直線表示的方向?yàn)闁|西方向，∴直線表示的方向?yàn)槟媳狈较?；故答案為，等腰三角形的三線合一．【點(diǎn)睛】本題主要考查垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握垂直平分線的尺規(guī)作圖及等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC上一個動點(diǎn)，連接AD，BE．（1）已知∠ABC＝∠C，線段AD與BE交于點(diǎn)O，且滿足∠AOE＝∠AEO．①如圖1，若∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，則∠EBC的度數(shù)為．（直接寫出答案）②如圖2，猜想∠BAD與∠CBE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（2）如圖3，AD，BE都為△ABC的高，點(diǎn)G，點(diǎn)F分別在線段AD和射線BE上，且滿足AG＝BC，BF＝AC，過點(diǎn)F作FM⊥AB于M，過點(diǎn)G作GN⊥AB于點(diǎn)N，猜想FM，GN和AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）①；②（2），證明見解析【分析】（1）①根據(jù)∠BAC＝60°，AD平分∠BAC可得，根據(jù)對頂角以及三角形內(nèi)角和可求得∠EBC的度數(shù)；②根據(jù)等腰三角形等邊對等角，三角形內(nèi)角和，三角形的外角等知識證明即可；（2）作交AB于H點(diǎn)，則AD、BE、CH交于點(diǎn)I，根據(jù)對應(yīng)邊關(guān)系即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）①且AD平分∠BAC，根據(jù)已知證，然后再證明∴，且，，故答案為：；②；證明如下：，且，，，，，又，，且，；（2）如圖，作交AB于H點(diǎn)，則AD、BE、CH交于點(diǎn)I，，，，，，又，且，，，,,又,,又,且,,,,即．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形綜合問題，涉及到的知識點(diǎn)有三角形內(nèi)角和，三角形的外角，全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊的等量關(guān)系轉(zhuǎn)換在一條線段上是解題的關(guān)鍵．30．已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P為AE的中點(diǎn)，連接DP．（1）如圖1，點(diǎn)A，B，D在同一條直線上，直接寫出DP與AE的位置關(guān)系；（2）將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AD落在圖2所示的位置時，點(diǎn)C，D，P恰好在同一條直線上．①在圖2中，按要求補(bǔ)全圖形，并證明∠BAE=∠ACP；②連接BD，交AE于點(diǎn)F．判斷線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）DP⊥AE；（2）①見解析；②BF=DF，證明見解析【分析】（1）已知△ADE是等腰直角三角形，P為AE的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)即可得DP⊥AE；（2）①根據(jù)題目要求，補(bǔ)全圖形，根據(jù)已知條件易證∠BAE+∠CAE=90°，∠ACP+∠CAE=90°．再根據(jù)同角的余角相等即可證得∠BAE=∠ACP．②線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BF=DF．過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H．易證△BAH≌△ACP，由全等三角形的性質(zhì)可得BH=AP=DP．再△BFH≌△DFP，由此可得BF=DF．【詳解】（1）DP與AE的位置關(guān)系：DP⊥AE；理由如下：∵△ADE是等腰直角三角形，P為AE的中點(diǎn)，∴DP⊥AE；（2）①補(bǔ)全圖形，如圖：證明：∵∠BAC=90°，∴∠BAE+∠CAE=90°．∵△ADE是等腰直角三角形，且P為AE的中點(diǎn)，∴DP⊥AE，即∠APD=90°．∵點(diǎn)C，D，P在同一條直線上，∴∠ACP+∠CAE=90°．∴∠BAE=∠ACP．②線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系：BF=DF．證明：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AE于點(diǎn)H．∴∠AHB=∠APD=90°．∵∠BAE=∠ACP，AB=AC，∴△BAH≌△ACP(AAS)．∴BH=AP=DP．∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，∴△BFH≌△DFP(AAS)．∴BF=DF．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．31．（1）（問題原型）如圖，在等腰直角三角形中，，．過作，且，連結(jié)，過點(diǎn)作的邊上的高，易證，從而得到的面積為_________．（2）（初步探究）如圖，在中，，，過作，且，連結(jié)．用含的代數(shù)式表示的面積并說明理由．（3）（簡單應(yīng)用）如圖，在等腰中，，，過作，且，連結(jié)，求的面積（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）32；（2）；答案見解析；（3）．【分析】（1）【問題原型】根據(jù)AAS證明出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論（2）【初步探究】過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E，由垂直的性質(zhì)就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．進(jìn)而由三角形的面積公式得出結(jié)論．（3）【簡單應(yīng)用】過點(diǎn)A作AF⊥BC與F，過點(diǎn)D作DE⊥BC的延長線于點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)可以得出，由條件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面積公式就可以得出結(jié)論．【詳解】解：（1）【問題原型】如圖，

∵過點(diǎn)D作BC的垂線，與BC的延長線交于點(diǎn)E．

∴∠BED=∠ACB=90°，

∵線段AB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BD，

∴AB=BD，∠ABD=90°．

∴∠ABC+∠DBE=90°．

∵∠A+∠ABC=90°．

∴∠A=∠DBE．

在△ABC和△BDE中，∴△ABC≌△BDE（AAS）

∴BC=DE=8．∴S△BCD=32，（2）【初步探究】．理由：過做上以垂足為，∵，∴．∵，∴．∴．在△ABC和△BDE中，∵．∴=a．∴（3）【簡單應(yīng)用】過做于，過做于．∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．

∵∠ABD=90°，

∴∠ABF+∠DBE=90°，

∴∠FAB=∠EBD．

∵線段BD是由線段AB旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB=BD．

在△AFB和△BED中，∴△AFB≌△BED（AAS），∴．∵，，，∴∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的面積公式的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．32．如圖，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：△ACD≌△CBF；（2）連結(jié)DF，求證：AB垂直平分DF；（3）連結(jié)AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）△ACF是等腰三角形，理由見解析【分析】（1）由AAS證明△ACD≌△CBF即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得CD＝BF，由CD＝BD，得BF＝BD，證出∠ABC＝∠ABF，由等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（3）由全等三角形的性質(zhì)得AD＝CF，由垂直平分線的性質(zhì)得AD＝AF，得出AF＝CF即可．【詳解】（1）證明：∵CE⊥AD，∠BCF+∠ADC＝90°，∵∠BCA＝90°，BF∥AC，∴∠CBF＝180°﹣∠BCA＝90°，∴∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠CFB＝∠ADC，在△ACD和△CBF中，，∴△ACD≌△CBF（AAS）；（2）證明：由（1）得：△ACD≌△CBF，∴CD＝BF，∵D為BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD，∴BF＝BD，∵∠BCA＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABF＝90°﹣∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠ABF，∵BF＝BD，∴AB垂直平分DF；（3）解：△ACF是等腰三角形，理由如下，如圖：連接AF由（1）得：△ACD≌△CBF，∴AD＝CF，由（2）得：AB垂直平分DF，∴AD＝AF，∴AF＝CF，∴△ACF是等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．33．在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別是