2023-2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)培優(yōu)教案5.1《平面向量的概念及線性運算》 (原卷版)

頁第五章平面向量、復(fù)數(shù)第一節(jié)平面向量的概念及線性運算核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合平面向量的有關(guān)概念，考查對向量特性的理解，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合向量的線性運算，考查用向量刻畫平面圖形的能力，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．3．結(jié)合向量的線性運算的幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合的思想，凸顯直觀想象的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模)平面向量是自由向量，可在平面內(nèi)自由平移零向量長度為eq\a\vs4\al(0)的向量記作0，其方向是任意的單位向量長度等于eq\a\vs4\al(1)個單位的向量非零向量a的單位向量為±eq\f(a,|a|)平行向量方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量)0與任一向量平行或共線相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不相等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算(1)交換律：a＋b＝b＋a；(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.[澄清盲點誤點]一、關(guān)鍵點練明1．下列說法正確的是()A．方向相同的向量叫做相等向量B．共線向量是在同一條直線上的向量C．零向量的長度等于0D．eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))就是eq\o(AB,\s\up7(→))所在的直線平行于eq\o(CD,\s\up7(→))所在的直線2．(多選)下列各式中結(jié)果為零向量的為()A．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(OM,\s\up7(→))C．eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(BO,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))D．eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(BD,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))3．設(shè)a與b是兩個不共線向量，且向量a＋xb與－(b－2a)共線，則x＝________.二、易錯點練清1．(多選)下列命題中，正確的是()A．向量eq\o(AB,\s\up7(→))的長度與向量eq\o(BA,\s\up7(→))的長度相等B．向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反C．兩個有共同起點且相等的向量，其終點必相同D．零向量與任意數(shù)的乘積都為零2．若四邊形ABCD滿足eq\o(AD,\s\up7(→))∥eq\o(BC,\s\up7(→))且|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝|eq\o(DC,\s\up7(→))|，則四邊形ABCD的形狀是______________．考點一平面向量的基本概念[典例](1)已知a，b是兩個非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)＋b＝0B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)與b共線反向D．存在正實數(shù)λ，使a＝λb(2)下列說法中，正確的是()A．a(chǎn)與b共線，b與c共線，則a與c共線B．任意兩個相等的非零向量的始點與終點總是一平行四邊形的四個頂點C．向量a與b不共線，則a與b都是非零向量D．有相同起點的兩個非零向量不平行[方法技巧]解決向量問題的關(guān)鍵點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．(2)共線向量即平行向量，它們均與起點無關(guān)．(3)相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．(4)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．(5)非零向量a與eq\f(a,|a|)的關(guān)系：eq\f(a,|a|)是a方向上的單位向量，因此單位向量eq\f(a,|a|)與a方向相同．(6)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實數(shù)，可以比較大?。?7)在解決向量的概念問題時，要注意兩點：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．[針對訓(xùn)練]1．設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，一定能使eq\f(a,|a|)＋eq\f(b,|b|)＝0成立的是()A．a(chǎn)＝2bB．a(chǎn)∥bC．a(chǎn)＝－eq\f(1,3)bD．a(chǎn)⊥b2．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0，假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3考點二平面向量的線性運算考法(一)平面向量的線性運算[例1](1)若D為△ABC的邊AB的中點，則eq\o(CB,\s\up7(→))＝()A．2eq\o(CD,\s\up7(→))－eq\o(CA,\s\up7(→))B．2eq\o(CA,\s\up7(→))－eq\o(CD,\s\up7(→))C．2eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(CA,\s\up7(→))D．2eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))(2)如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(NC,\s\up7(→))，BN與CM相交于點E，設(shè)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，則eq\o(AE,\s\up7(→))等于()A.eq\f(2,5)a＋eq\f(1,5)bB．eq\f(1,5)a＋eq\f(2,5)bC.eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)bD．eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b[方法技巧]向量線性運算的解題策略(1)常用的法則是平行四邊形法則和三角形法則，一般共起點的向量求和用平行四邊形法則，求差用三角形法則，求首尾相連的向量的和用三角形法則．(2)找出圖形中的相等向量、共線向量，將所求向量與已知向量轉(zhuǎn)化到同一個平行四邊形或三角形中求解．(3)用基本向量表示某個向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；③運用法則找關(guān)系；④化簡結(jié)果．考法(二)利用向量的線性運算求參數(shù)[例2]如圖，一直線EF與平行四邊形ABCD的兩邊AB，AD分別交于E，F(xiàn)兩點，且交其對角線AC于K，其中，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up7(→))，eq\o(AF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))，eq\o(AK,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ的值為()A.eq\f(2,9)B．eq\f(2,7)C.eq\f(2,5)D．eq\f(2,3)[方法技巧]利用向量的線性運算求參數(shù)的方法與向量的線性運算有關(guān)的參數(shù)問題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量線性運算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運算，然后通過建立方程組即可求得相關(guān)參數(shù)．[針對訓(xùn)練]1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點，eq\o(MB,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\f(3,2)eq\o(MC,\s\up7(→))＝0，D是AC的中點，teq\o(MB,\s\up7(→))＝eq\o(DM,\s\up7(→))，則實數(shù)t的值為()A.eq\f(1,2)B．eq\f(1,3)C．2D．12.(多選)如圖所示，在△ABC中，D是AB的中點，下列關(guān)于向量eq\o(CD,\s\up7(→))表示不正確的是()A．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(DB,\s\up7(→))B．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(BC,\s\up7(→))＋eq\o(DA,\s\up7(→))C．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))D．eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CB,\s\up7(→))3．在正六邊形ABCDEF中，對角線BD，CF相交于點P，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AF,\s\up7(→))，則x＋y＝________.考點三共線向量定理的應(yīng)用[典例](1)已知a，b是不共線的向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三點共線，則λ，μ的關(guān)系一定成立的是()A．λμ＝1B．λμ＝－1C．λ－μ＝－1D．λ＋μ＝2(2)設(shè)e1與e2是兩個不共線向量，eq\o(AB,\s\up7(→))＝3e1＋2e2，eq\o(CB,\s\up7(→))＝ke1＋e2，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3e1－2ke2，若A，B，D三點共線，則k的值為________．[方法技巧]平面向量共線定理的3個應(yīng)用證明向量共線若存在實數(shù)λ，使a＝λb，則a與非零向量b共線證明三點共線若存在實數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))，eq\o(AB,\s\up7(→))與eq\o(AC,\s\up7(→))有公共點A，則A，B，C三點共線求參數(shù)的值利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值[針對訓(xùn)練]1．已知向量a＝(1,3)，b＝(m,6)，若a∥b，則m＝________.2．設(shè)兩個非零向量a與b不共線．(1)若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，求證：A，B，D三點共線；(2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線．一、創(chuàng)新思維角度——融會貫通學(xué)妙法結(jié)論“eq\o(OP,\s\up7(→))＝meq\o(OA,\s\up7(→))＋neq\o(OB,\s\up7(→))(m，n∈R)，m＋n＝1?A，P，B三點共線”的妙用．1.如圖，在△ABC中，eq\o(AN,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，P是BN上的一點，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝meq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up7(→))，則實數(shù)m的值為()A.eq\f(9,11)B．eq\f(5,11)C.eq\f(3,11)D．eq\f(2,11)2．A，B，C是圓O上不同的三點，線段CO與線段AB交于點D(點O與點D不重合)，若eq\o(OC,\s\up7(→))＝λeq\o(OA,\s\up7(→))＋μeq\o(OB,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(0,1)B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2)]D．(－1,0)二、創(chuàng)新考查方式——領(lǐng)悟高考新動向1．已知平面上點O與線段AB，若線段AB上有n(n＞1)個異于端點A，B的互異動點P1，P2，…，Pn，且滿足eq\o(OPK,\s\up7(→))＝λKeq\o(OA,\s\up7(→))＋μKeq\o(OB,\s\up7(→))，λK，μK∈R,1≤K≤n，K∈Z，則(λ1λ2…λn)·(μ1μ2…μn)的取值范圍是()A．(0，eq\f(1,2n))B．(0，eq\f(1,4n))C．(0，eq\f(1,4n)]D．[eq\f(1,4n)，＋∞)2.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，大約在公元222年，趙爽為《周髀算經(jīng)》一書作序時，介紹了“勾股圓方圖”，亦稱“趙爽弦圖”(以弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角形再加上中間的一個小正方形組成的)．類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖所示的圖形，它是由3個全等的三角形與中間的一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，設(shè)DF＝2AF，則()A．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,13)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(9,13)eq\o(AB,\s\up7(→))B．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,27)eq\o(AB,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(3,13)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(9,13)eq\o(AB,\s\up7(→))D．eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(2,13)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(6,13)eq\o(AB,\s\up7(→))3.窗的運用是中式園林設(shè)計的重要組成部分，常常運用象征、隱喻、借景等手法，將民族文化與哲理融入其中，營造出廣闊的審美意境．從窗的外形看，常見的有圓形、菱形、正六邊形、正八邊形等．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正八邊形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x軸，現(xiàn)用如下方法等可能地確定點M：點M滿足2eq\o(OM,\s\up7(→))＋eq\o(OPi,\s\up7(→))＋eq\o(OPj,\s\up7(→))＝0(其中1≤i，j≤8且i，j∈N*，i≠j)，則點M(異于點O)落在坐標(biāo)軸上的概率為()A.eq\f(3,5)B．eq\f(3,7)C.eq\f(3,8)D．eq\f(2,7)eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．(多選)設(shè)a，b是非零向量，記a與b所成的角為θ，下列四個條件中，使eq\f(a,|a|)＝eq\f(b,|b|)成立的充要條件是()A．a(chǎn)∥bB．θ＝0C．a(chǎn)＝2bD．θ＝π2．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則eq\o(EB,\s\up7(→))＋eq\o(FC,\s\up7(→))＝()A．eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))C.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up7(→))D．eq\o(BC,\s\up7(→))3．設(shè)a是非零向量，λ是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()A．a(chǎn)與λa的方向相反B．a(chǎn)與λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a|D．|－λa|≥|λ|·a4.如圖，在正六邊形ABCDEF中，eq\o(BA,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＋eq\o(EF,\s\up7(→))＝()A．0B．eq\o(BE,\s\up7(→))C．eq\o(AD,\s\up7(→))D．eq\o(CF,\s\up7(→))5．在△ABC中，O為△ABC的重心，若eq\o(BO,\s\up7(→))＝λeq\o(AB,\s\up7(→))＋μeq\o(AC,\s\up7(→))，則λ－2μ＝()A．－eq\f(1,2)B．－1C.eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)二、綜合練——練思維敏銳度1．已知兩個非零向量a，b互相垂直，若向量m＝4a＋5b與n＝2a＋λb共線，則實數(shù)λ的值為()A．5B．3C.eq\f(5,2)D．22．設(shè)平面向量a，b不共線，若eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋5b，eq\o(BC,\s\up7(→))＝－2a＋8b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝3(a－b)，則()A．A，B，D三點共線B．A，B，C三點共線C．B，C，D三點共線D．A，C，D三點共線3．已知點O，A，B不在同一條直線上，點P為該平面上一點，且2eq\o(OP,\s\up7(→))＝2eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))，則()A．點P在線段AB上B．點P在線段AB的反向延長線上C．點P在線段AB的延長線上D．點P不在直線AB上4．(多選)在△ABC中，點E，F(xiàn)分別是邊BC和AC的中點，P是AE與BF的交點，則有()A．eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))B．eq\o(AB,\s\up7(→))＝2eq\o(EF,\s\up7(→))C．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CB,\s\up7(→))D．eq\o(CP,\s\up7(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up7(→))5．設(shè)向量a，b不共線，eq\o(AB,\s\up7(→))＝2a＋pb，eq\o(BC,\s\up7(→))＝a＋b，eq\o(CD,\s\up7(→))＝a－2b，若A，B，D三點共線，則實數(shù)p的值為()A．－2B．－1C．1D．26．(多選)已知向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝(1，－3)，eq\o(OB,\s\up7(→))＝(－2,1)，eq\o(OC,\s\up7(→))＝(t＋3，t－8)，若點A，B，C能構(gòu)成三角形，則實數(shù)t可以為()A．－2B．eq\f(1,2)C．1D．－17．已知點O為△ABC的外接圓的圓心，且eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(CO,\s\up7(→))＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于()A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實數(shù)λ的值為()A．1B．－eq\f(1,2)C．1或－eq\f(1,2)D．－1或－eq\f(1,2)9．在△ABC中，D為△ABC所在平面內(nèi)一點，且eq\o(AD,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，則eq\f(S△BCD,S△ABD)＝()A.eq