2023-2024年新高考數(shù)學一輪復習培優(yōu)教案7.4《直線、平面垂直的判定與性質(zhì)》 (原卷版)

頁第四節(jié)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.會推導直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理，凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)．2．常與幾何體的體積計算相結合，會應用直線和平面垂直、平面和平面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證明空間的線、面垂直關系，凸顯直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng)．[理清主干知識]1．直線與平面垂直(1)定義：直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說直線l與平面α互相垂直．(2)判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.直線和平面所成的角(1)定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角，一條直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；一條直線和平面平行或在平面內(nèi)，則它們所成的角是eq\a\vs4\al(0).(2)范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).3．平面與平面垂直(1)二面角的有關概念①二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所構成的角叫做二面角的平面角．(2)平面和平面垂直的定義兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．(3)平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l?β))?α⊥β性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α4.謹記五個結論(1)若兩平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．(2)若一條直線垂直于一個平面，則它垂直于這個平面內(nèi)的任何一條直線(證明線線垂直的一個重要方法)．(3)垂直于同一條直線的兩個平面平行．(4)一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則這一條直線與另一個平面也垂直．(5)兩個相交平面同時垂直于第三個平面，它們的交線也垂直于第三個平面．[澄清盲點誤點]一、關鍵點練明1．“直線a與平面M內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直”是“直線a與平面M垂直”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．設α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則下列命題中正確的是()A．若l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，則l⊥mC．若l∥β，則α∥βD．若α∥β，則l∥m3．如圖，已知∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有________________；與AP垂直的直線有________．4．已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，連接PB，PC，PA，AC，BD，則一定互相垂直的平面有________對．二、易錯點練清1．已知直線a，b，c，若a⊥b，b⊥c，則a與c的位置關系為________________．2．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線n滿足n⊥l，則n與β________(填“一定”或“不一定”)垂直．考點一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例]如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[方法技巧]證明線面垂直的4種方法(1)線面垂直的判定定理：l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α.(2)面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.(3)性質(zhì)：①a∥b，b⊥α?a⊥α；②α∥β，a⊥β?a⊥α.(4)α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l?l⊥γ.(客觀題可用)[針對訓練]1．已知S是Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.2.如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.考點二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)[典例]如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1上的一點，AA1⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AA1＝AB＝2AD＝2DC.(1)若M是DD1的中點，證明：平面AMB⊥平面A1MB1；(2)設四棱錐M-ABB1A1與四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積分別為V1與V2，求eq\f(V1,V2)的值．[方法技巧]面面垂直判定的兩種方法與一個轉(zhuǎn)化兩種方法(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)一個轉(zhuǎn)化在已知兩個平面垂直時，一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化．在一個平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直[針對訓練]1.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝∠AA1C＝90°，平面AA1C1C⊥平面ABC.(1)求證：AA1⊥A1B；(2)若AA1＝2，BC＝3，∠A1AC＝60°，求點C到平面A1ABB1的距離．2.如圖，四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，F(xiàn)D⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.(1)求證：EF⊥AC；(2)求幾何體EF-ABCD的體積．考點三平行與垂直的綜合問題1．平行關系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面、面面平行時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在應用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向是由題目的具體條件而定的，不可過于“模式化”．2．垂直關系之間的轉(zhuǎn)化在證明線面垂直、面面垂直時，一定要注意判定定理成立的條件．同時抓住線線、線面、面面垂直的轉(zhuǎn)化關系，即：在證明兩平面垂直時，一般先從現(xiàn)有的直線中尋找平面的垂線，若這樣的直線在圖中不存在，則可通過作輔助線來解決．[典例]如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．(1)求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.[方法技巧]平行與垂直的綜合問題主要是利用平行關系、垂直關系之間的轉(zhuǎn)化去解決．注意遵循“空間”到“平面”、“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化關系．[針對訓練]如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝eq\r(6)，DE＝3，∠BAD＝60°，G為BC的中點．(1)求證：FG∥平面BED；(2)求證：BD⊥平面AED；(3)求點F到平面BED的距離．創(chuàng)新考查方式——領悟高考新動向立體幾何中的動態(tài)問題立體幾何中的“動態(tài)問題”是指空間圖形中的某些點、線、面的位置是不確定的、可變的一類開放型問題，因其某些點、線、面位置的不確定，往往成為學生進行一些常規(guī)思考、轉(zhuǎn)化的障礙；但又因其是可變的，開放的，更有助于學生空間想象能力及綜合思維能力的培養(yǎng)，本節(jié)利用運動變化的觀點對幾種動態(tài)問題的類型加以分析，探求解決此類問題的若干途徑．一、“動態(tài)”中研究“特定靜態(tài)”——“一題多考”[例1]如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P是體對角線AC1上的動點(點P與A，C1不重合)．則下列結論中錯誤的是()A．存在點P，使得平面A1DP∥平面B1CD1B．存在點P，使得AC1⊥平面A1DPC．S1，S2分別是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影圖形的面積，對任意點P，S1≠S2D．對任意點P，△A1DP的面積都不等于eq\f(\r(2),6)[名師微點]本題通過P在體對角線AC1上的“動”考查了面面平行、線面垂直、投影圖形的面積等問題，實現(xiàn)了一題多考，解決此類問題的關鍵是掌握幾何體的結構特征和平行與垂直的判定定理及性質(zhì)定理，需具備較強的直觀想象能力．二、“動態(tài)”中研究“以靜制動”——“最值問題”[例2]已知在如圖所示的正三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA，PB，PC的長為eq\r(2)，底面△ABC的邊長為2，D為AC的中點，E為AB的中點，M是PD上的動點，N是平面PCE上的動點，則AM＋MN的最小值為()A.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)B.eq\f(\r(3)＋1,2)C.eq\f(\r(6),4)D.eq\f(\r(3),2)[名師微點]對于立體幾何中的雙動點問題，可先固定一個動點，如本題先固定點M，那么MN的最小值就是點M到平面PCE的距離，進而求得AM＋MN的最小值．這類題通常需要利用展開圖，數(shù)形結合，達到化動為靜，以靜制動的目的，從而求解．三、“動態(tài)”中研究“變量”——“翻折問題”[例3](多選)如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A′-BCD(如圖2)，使平面A′BD⊥平面BCD，則下列結論正確的是()A．A′C⊥BDB．∠BA′C＝90°C．CA′與平面A′BD所成的角為30°D．四面體A′-BCD的體積為eq\f(1,6)[名師微點]解決翻折問題，要分析翻折前后的“變量與不變量”，在翻折前要標注重要的點或重要的量，分析其在翻折后的變化情況．具體到本例，應重視垂直關系“BA′⊥DA′，CD⊥BD”，才能順利地由平面A′BD⊥平面BCD得出CD⊥平面A′BD，CD⊥BA′，再得到BA′⊥平面A′CD，從而解決問題．eq\a\vs4\al([課時跟蹤檢測])1．若m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列命題正確的是()A．若α⊥β，m⊥β，則m∥αB．若m∥α，n⊥m，則n⊥αC．若m∥α，n∥α，m?β，n?β，則α∥βD．若m∥β，m?α，α∩β＝n，則m∥n2．已知m，n是空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個互相垂直的平面，則下列命題正確的是()A．若m?α，則m⊥βB．若m?α，n?β，則m⊥nC．若m?α，m⊥β，則m∥αD．若α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α3．若α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列命題正確的是()A．若α∩β＝m，n?α，m⊥n，則α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m，α∩γ＝n，則m⊥nC．若m不垂直于平面α，則m不可能垂直于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，則α∥β4.如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，過C1作C1H⊥底面ABC，垂足為H，則點H在()A．直線AC上B．直線AB上C．直線BC上D．△ABC內(nèi)部5.一種特殊的四面體叫做“鱉臑”，它的四個面均為直角三角形．如圖，在四面體P-ABC中，設E，F(xiàn)分別是PB，PC上的點，連接AE，AF，EF(此外不再增加任何連線)，則圖中直角三角形最多有()A．6個B．8個C．10個D．12個6．日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面．在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為()A．20°B．40°C．50°D．90°7．(多選)如圖，線段AB為圓O的直徑，點E，F(xiàn)在圓O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圓O所在平面垂直，且AB＝2，AD＝EF＝1.則()A．DF∥平面BCEB．異面直線BF與DC所成的角為30°C．△EFC為直角三角形D．VC-BEF∶VF-ABCD＝1∶48．若α，β是兩個相交平面，m為一條直線，則下列命題中，所有真命題的序號為________．①若m⊥α，則在β內(nèi)一定不存在與m平行的直線；②若m⊥α，則在β內(nèi)一定存在無數(shù)條直線與m垂直；③若m?α，則在β內(nèi)不一定存在與m垂直的直線；④若m?α，則在β內(nèi)一定存在與m垂直的直線．9．在如圖所示的實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，活動彈子M，N分別在正方形對角線AC，BF上移動，若CM＝BN，則MN長度的最小值為________．10．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，AA1＝AB＝2，∠A1AB＝60°.(1)求證：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，且AC⊥B1C1，求該三棱柱的體積．11.如圖，D為圓錐的頂點，O是圓錐底面的圓心，△ABC是底面的內(nèi)接