2023-2024學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)第Page\*MergeFormat1頁(yè)共NUMPAGES\*MergeFormat20頁(yè)2023-2024學(xué)年浙江省杭州地區(qū)（含周邊）重點(diǎn)中學(xué)高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而求出傾斜角.【詳解】直線的斜率是，設(shè)傾斜角為，解得故選：A2．某班共有45名學(xué)生，其中女生25名，為了解學(xué)生的身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣的方法進(jìn)行調(diào)查，若樣本中有5名女生．則樣本中男生人數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．9【答案】A【分析】設(shè)出未知數(shù)，根據(jù)比例關(guān)系列出方程，求出答案.【詳解】設(shè)樣本中男生人數(shù)為x，由題意可得，解得故選：A3．在平行六面體中，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量基本定理可得答案．【詳解】.故選：B.4．已知向量，，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出，，兩邊平方后，得到，求出夾角.【詳解】因?yàn)?，，所以，，設(shè)與的夾角為，，則，故，解得，解得，故選：D5．甲、乙兩同學(xué)對(duì)同一組數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，甲同學(xué)得到的數(shù)據(jù)均值為，方差為，乙同學(xué)不小心丟掉了一個(gè)數(shù)據(jù)，得到的均值仍為，方差為2，則下列判斷正確的是（

）A． B．C． D．與2的大小關(guān)系無(wú)法判斷【答案】C【分析】根據(jù)題設(shè)知丟失的數(shù)據(jù)為，結(jié)合方差公式有，即可得答案.【詳解】由題意知，丟失的數(shù)據(jù)為，才可保證甲乙得到的均值相等，結(jié)合方差公式，，所以乙所得方差，即.故選：C6．已知圓，直線與圓C相交于兩點(diǎn)，若圓C上存在點(diǎn)P，使得為正三角形，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】由題意可得，進(jìn)而得到圓心C到直線AB的距離為1，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由圓，則圓心，半徑，因?yàn)閳AC上存在點(diǎn)P，使得為正三角形，即，則，故圓心C到直線AB的距離為，則，解得或.故選：C.7．棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)N在以A為球心半徑為1的球面上，點(diǎn)M在平面內(nèi)且與平面所成角為，則M，N兩點(diǎn)間的最近距離是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)線面角求出，M在以C為圓心為半徑的圓上，結(jié)合圖形可知，當(dāng)M，N都在正方形ABCD內(nèi)，且與AC共線時(shí)，M，N兩點(diǎn)間的距離最小，從而求出最小值.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)M在平面內(nèi)，且與平面所成角為，可得，又正方體的棱長(zhǎng)為2，解得，所以M在以C為圓心為半徑的圓上，

則當(dāng)M，N都在正方形ABCD內(nèi)，且與AC共線時(shí)，M，N兩點(diǎn)間的距離最小，又因?yàn)椋宰钚【嚯x為故選：B8．第19屆亞運(yùn)會(huì)的樣物由“琮琮”“宸宸”和“蓮蓮”三類組成，現(xiàn)有印著三類吉祥物的掛件各2個(gè)同類吉舉物完全相同，無(wú)區(qū)別，若把這6個(gè)掛件分給3位同學(xué)，每人2個(gè)，則恰好有一位同學(xué)得到同類吉祥物掛件的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將掛件兩兩一組看成6個(gè)個(gè)體，先求出分個(gè)3位同學(xué)的種數(shù)，再求出有一位同學(xué)得到同類吉祥物掛件的種數(shù)，即可求解.【詳解】令6個(gè)掛件分別是，則把這6個(gè)掛件分給3位同學(xué)，共有種情況，恰好有一位同學(xué)得到同類吉祥物掛件的有種，恰好有一位同學(xué)得到同類吉祥物掛件的概率是故選:B.二、多選題9．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限 B．復(fù)數(shù)z的模為1C． D．復(fù)數(shù)z虛部為【答案】BC【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可判斷B；根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷C；根據(jù)復(fù)數(shù)的虛部的定義即可判斷D.【詳解】由，得，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，A錯(cuò)誤；，B正確；，C正確；復(fù)數(shù)z虛部為，D錯(cuò)誤．故選：BC.10．地?cái)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示：“點(diǎn)數(shù)不大于2”，等件B表示：“點(diǎn)數(shù)大于2”，事件C表示：“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，求件D表示：“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列說(shuō)法正確的有（

）A． B．C．事件A與D相互獨(dú)立 D．事件A與B互斥不對(duì)立【答案】AC【分析】根據(jù)事件的關(guān)系和運(yùn)算及相互獨(dú)立事件與互斥事件的定義一一判斷即可.【詳解】由題意:事件A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2；事件B表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是3或4或5或6；事件C表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或3或5；事件D表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或4或所以表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或2或3或5，則，故A正確；表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2，則，故B錯(cuò)誤；由得事件A與D相互獨(dú)立，故C正確；顯然事件A與B互斥且對(duì)立，故D錯(cuò)誤．故選：AC11．若A，B是平面內(nèi)不重合的兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)圓，該軌跡最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱作阿波羅尼斯圓．已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，點(diǎn)P的軌跡為圓C，則（

）A．圓C的方程為B．設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為20C．若P點(diǎn)不在x軸上，圓C與線段AB交于點(diǎn)Q，則PQ平分D．的最大值為72【答案】ACD【分析】設(shè)點(diǎn)代入關(guān)系式，化簡(jiǎn)可得的軌跡方程為一個(gè)圓，可判斷；利用，化為圓心到點(diǎn)的距離加上圓的半徑后，再平方再減去即可判斷；根據(jù)阿波羅尼斯圓結(jié)論判斷是否為線段內(nèi)分點(diǎn)即可判斷；根據(jù)，將轉(zhuǎn)化為，當(dāng),,三點(diǎn)共線時(shí)得出最大值即可判斷.【詳解】設(shè)，由得，故正確；由題可知，故的最大值為圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方減去25，即圓心到點(diǎn)的距離加上圓的半徑后，再平方再減去25即可，因?yàn)閳A上動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離最大值為，所以的最大值為，故不正確；因?yàn)闉閳A與線段的交點(diǎn)，所以設(shè)，且，所以，因?yàn)?，所以是線段的內(nèi)分點(diǎn)，所以平分，故正確；因?yàn)?，，所以，?dāng),,，四點(diǎn)共線時(shí)，，且有最大值為，所以的最大值為，故正確．故選：.12．已知正四面體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別為和的重心，P為線段上一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．四點(diǎn)不共面B．若，則平面C．過(guò)點(diǎn)的平面截正四面體外接球所得截面面積為D．正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱即此圓柱下底面在底面上，上底圓面與面、面、面均只有一個(gè)公共點(diǎn)則這個(gè)圓柱的側(cè)面積的最大值為【答案】BCD【分析】對(duì)于選項(xiàng)A可由點(diǎn)為重心得到，進(jìn)而可得，則選項(xiàng)A可判定；取與交于點(diǎn)，由得到，可得與點(diǎn)P重合，則選項(xiàng)B即可判定；找到球心，由勾股定理球的半徑即可判定選項(xiàng)C；設(shè)圓柱上底面所在截面的正三角形的邊長(zhǎng)為，再用求高和底面半徑，用表達(dá)，利用體積公式構(gòu)建函數(shù)，求得最值即可判定選項(xiàng)D.【詳解】如圖取線段的中點(diǎn)E，連接,則點(diǎn)分別在線段上，又點(diǎn)M，N分別為和的重心,所以,則，可得M，N，C，D四點(diǎn)共面故選項(xiàng)A不正確；連接，設(shè)與交于點(diǎn)，因?yàn)樵谥校尹c(diǎn)分別為和的重心，所以，即有,則由題意可知當(dāng)時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)P重合，即此時(shí)點(diǎn)P在線段DM上，又三棱錐為正四面體，則M為底面的中心，因此，平面，即平面，即選項(xiàng)B正確；由選項(xiàng)B知，當(dāng)時(shí)，平面，正四面體的外接球的球心為P，，故過(guò)點(diǎn)的平面截正四面體外接球所得截面面積為，即選項(xiàng)C正確；棱錐中一個(gè)平行于底面的截面所成正三角形的內(nèi)切圓為正四面體內(nèi)接一個(gè)圓柱的上底面，若截面所成正三角形邊長(zhǎng)為，則圓柱體的高，圓柱底面半徑為，所以其側(cè)面積，故當(dāng)時(shí)，，則D正確．故選：BCD.三、填空題13．已知圓臺(tái)的上下底面半徑分別為和，母線與下底面所成的角為，則該圓臺(tái)的表面積為．【答案】【分析】根據(jù)圓臺(tái)的表面積，即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上、下底面的半徑分別為、，母線長(zhǎng)為，則，，則圓臺(tái)的表面積故答案為：14．圓與圓的公共弦的長(zhǎng)為．【答案】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長(zhǎng).【詳解】將圓與圓的方程作差可得，所以，兩圓相交弦所在直線的方程為，圓的圓心為原點(diǎn)，半徑為，原點(diǎn)到直線的距離為，所以，兩圓的公共弦長(zhǎng)為.故答案為：.15．正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】【分析】將平面沿直線折起使得點(diǎn)A、C、、四點(diǎn)共面，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，分別交和于點(diǎn)E和F點(diǎn)即C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值CE，設(shè)，利用勾股定理可得答案.【詳解】將平面沿直線折起使得點(diǎn)A，C，，四點(diǎn)共面，過(guò)點(diǎn)C作的垂線，分別交和于點(diǎn)E和F點(diǎn)即C，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線，此時(shí)取最小值CE，設(shè)，則，，由，即，解得，即的最小值為故答案為：

16．已知圓，從坐標(biāo)原點(diǎn)O向圓C作兩條切線OP，OQ，切點(diǎn)分別為P，Q，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)到直線距離范圍得出到直線距離范圍，再得出點(diǎn)到直線距離與關(guān)系得出范圍.【詳解】由題可知，在中，，即，所在軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，到直線的距離為，則到直線的距離為，到直線的距離也可表示為，，可得的取值范圍是故答案為:四、解答題17．某市政府為了倡議市民節(jié)約用電，計(jì)劃對(duì)居民生活用電費(fèi)用實(shí)施階梯式電價(jià)制度，即確定一戶居民月均用電量標(biāo)準(zhǔn)a，用電量不超過(guò)a的部分按照平價(jià)收費(fèi)，超出部分按議價(jià)收費(fèi)．為了確定一個(gè)合理的標(biāo)準(zhǔn)，從某小區(qū)抽取了100戶居民進(jìn)行用電量調(diào)查單位，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：(1)求x的值：(2)求被調(diào)查用戶的月用電量平均值：同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表(3)若使居民用戶的水費(fèi)支出不受影響，應(yīng)確定a值為多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）直接根據(jù)概率和為1計(jì)算得到答案.（2）直接根據(jù)平均值公式計(jì)算得到答案.（3）確定分位數(shù)在之間，計(jì)算得到答案.【詳解】（1），解得；（2）；（3）；；故分位數(shù)在之間，設(shè)為，，解得.18．在平面直角坐標(biāo)系中，己知兩直線和，定點(diǎn)(1)若直線恰好為的角平分線BD所在的直線，直線是中線CM所在的直線，求的邊BC所在直線的方程：(2)若直線l過(guò)點(diǎn)A與直線在第一象限交于點(diǎn)P，與x正半軸交于點(diǎn)Q，求當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)直線I的方程【答案】(1)(2)【分析】（1）求出關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，設(shè)，表達(dá)出的中點(diǎn)，代入直線方程求出，結(jié)合點(diǎn)在直線BC上，所以的方程即為BC方程，求出答案；（2）考慮直線l的斜率不存在和存在兩種情況，表達(dá)出的面積，求出最值，得到答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則線段的中點(diǎn)在直線上，且直線與直線垂直，，解得，故設(shè)點(diǎn)，則的中點(diǎn)，把點(diǎn)B、點(diǎn)M分別代入直線，得，，解得，故，因?yàn)槭墙荁的平分線，所以點(diǎn)在直線BC上，所以的方程即為BC方程：；（2）①直線l的斜率不存在時(shí)，，，，此時(shí)，②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，顯然斜率不為0（此時(shí)與x無(wú)交點(diǎn)），設(shè)，則聯(lián)立直線l與直線得，，解得，故，中，令得，故，故，由點(diǎn)P在第一象限、點(diǎn)Q在x軸的正半軸，故，解得：或，所以，綜合①②可知：的最小值為1，此時(shí)19．如圖，在三棱柱中，，，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，且平面，(1)求棱的長(zhǎng)度：(2)若，且的面積，求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定與性質(zhì)解三角形即可；（2）先證明三棱柱為直三棱柱，再建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算平面所成角即可．【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在三棱柱中，可得，且，四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，∵平面，，又D為的中點(diǎn)，為等腰三角形，∵，，則；（2）由（1）知，，，平面，所以，故，由（1）知，平面，平面，則，又三棱柱中，∴又，∴，∵又平面，平面，三棱柱為直三棱柱，∴為直角三角形，可得，又在三棱柱中，，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，,設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，令，則，，平面的一個(gè)法向量為，易得平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面與平面的夾角為，，平面與平面的夾角的余弦值為.20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知(1)求角；(2)是的角平分線，若，，求的面積．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系及已知得，即可得角；（2）由余弦定理得，由及面積公式得，求得，進(jìn)而應(yīng)用面積公式求面積.【詳解】（1）由，得：，即，又，所以.（2）在中，得：①，又，得：，化簡(jiǎn)得：②，由①②得：，所以21．如圖，三棱臺(tái)中，，，D為線段AC上靠近C的三等分點(diǎn)(1)在線段BC上求一點(diǎn)E，使平面，并求的值：(2)若，，點(diǎn)到平面ABC的距離為，且點(diǎn)在底面ABC的射影落在內(nèi)部，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)取BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)為E，(2)【分析】（1）取BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)E，連接，，，證出平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可得出平面，由此可得出結(jié)論.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】（1）取BC的靠近點(diǎn)C的三等分點(diǎn)E，連接，，，則，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，，，平面，平面，平面，平面，平面平面，平面，平面，?dāng)時(shí)，平面（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，由，即，解得，點(diǎn)在底面的射影落在內(nèi)部，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，令得，，由，又，得，因?yàn)?，所以，，直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則