相似三角形的應(yīng)用與位似-九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步考點(diǎn)知識(shí)清單+例題講解+課后練習(xí)(人教版)(原卷版)

相似三角形的應(yīng)用與位似知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形的應(yīng)用：利用影長測(cè)量物體的高度：①測(cè)量原理：測(cè)量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比和“在同一時(shí)刻物高與影長的比”的原理解決。②測(cè)量方法：在同一時(shí)刻測(cè)量出參照物和被測(cè)量物體的影長來，再計(jì)算出被測(cè)量物的長度。利用相似測(cè)量河的寬度（測(cè)量距離）：①測(cè)量原理：測(cè)量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上，必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形。②測(cè)量方法：通過測(cè)量便于測(cè)量的線段，利用三角形相似，對(duì)應(yīng)邊成比例可求出河的寬度。借助標(biāo)桿或直尺測(cè)量物體的高度：利用桿或直尺測(cè)量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點(diǎn)和盲區(qū)的知識(shí)構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度。【類型一：利用相似求高度】1．某校同學(xué)參與“項(xiàng)目式學(xué)習(xí)”綜合實(shí)踐活動(dòng)，小明所在的數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用所學(xué)知識(shí)測(cè)量旗桿EF的高度，他在距離旗桿40米的D處立下一根3米高的豎直標(biāo)桿CD，然后調(diào)整自己的位置，當(dāng)他與標(biāo)桿的距離BD為4米時(shí)，他的眼睛、標(biāo)桿頂端和旗桿頂位于同一直線上，若小明的眼睛離地面高度AB為1.6米，求旗桿EF的高度．2．為了測(cè)量成都熊貓基地觀光瞭望塔“竹筍”建筑物AB的高度，小軍同學(xué)采取了如下方法：在地面上點(diǎn)C處平放一面鏡子，并在鏡子上做一個(gè)標(biāo)記，然后人向后退，直至站在點(diǎn)D處恰好看到建筑物AB的頂端A在鏡子中的像與鏡子上的標(biāo)記重合（如圖所示）．其中B，C，D三點(diǎn)在同一條直線上．已知小軍的眼睛距離地面的高度ED的長約為1.75m，BC和CD的長分別為40m和1m，求建筑物AB的高度．（說明：由物理知識(shí)，可知∠ECF＝∠ACF）3．小明利用剛學(xué)過的測(cè)量知識(shí)來測(cè)量學(xué)校內(nèi)一棵古樹的高度．一天下午，他和學(xué)習(xí)小組的同學(xué)帶著測(cè)量工具來到這棵古樹前，由于有圍欄保護(hù)，他們無法到達(dá)古樹的底部B，如圖所示．于是他們先在古樹周圍的空地上選擇一點(diǎn)D，并在點(diǎn)D處安裝了測(cè)量器CD，測(cè)得∠ACD＝135°；再在BD的延長線上確定一點(diǎn)G，使DG＝5米，并在G處的地面上水平放置了一個(gè)小平面鏡，小明沿著BG方向移動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，他剛好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，此時(shí)，測(cè)得FG＝2米，小明眼睛與地面的距離EF＝1.6米，測(cè)量器的高度CD＝0.5米．已知點(diǎn)F、G、D、B在同一水平直線上，且EF、CD、AB均垂直于FB，則這棵古樹的高度AB為多少米？（小平面鏡的大小忽略不計(jì)）【類型二：利用相似求高度】4．周末，小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量家門前小河的寬．測(cè)量時(shí)，他們選擇了河對(duì)岸岸邊的一棵大樹，將其底部作為點(diǎn)A，在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B，使得AB與河岸垂直，并在點(diǎn)B豎起標(biāo)桿BC，再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D，豎起標(biāo)桿DE，使得點(diǎn)E與點(diǎn)C，A共線．CB⊥AD，ED⊥AD，測(cè)得BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝9m．測(cè)量示意圖如圖所示．請(qǐng)根據(jù)相關(guān)測(cè)量信息，求河寬AB．5．如圖，為了估算池塘的寬度AB，在池塘邊不遠(yuǎn)處選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)C，在近河邊分別選N，M．使得B，N，C三點(diǎn)共線，A，M，C三點(diǎn)共線且MN∥AB．經(jīng)測(cè)量MN＝38m，CM＝21m，AM＝63m，求池塘AB的寬度．6．如圖，為了估計(jì)河的寬度，我們可以在河對(duì)岸選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A，在近岸取點(diǎn)B，使AB與河岸垂直，在近岸取點(diǎn)C，E，使BC⊥AB，CE⊥BC，AE與BC交于點(diǎn)D．已測(cè)得BD＝30米，DC＝10米，EC＝11米，求河寬AB．【類型三：利用相似求其它】7．小明為了測(cè)量出一深坑的深度，采取如下方案：如圖，在深坑左側(cè)用觀測(cè)儀AB從觀測(cè)出發(fā)點(diǎn)A觀測(cè)深坑底部P，且觀測(cè)視線剛好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)E，在深坑右側(cè)用觀測(cè)儀CD從測(cè)出發(fā)點(diǎn)C觀測(cè)深坑底部P，且觀測(cè)視線恰好經(jīng)過深坑邊緣點(diǎn)F，點(diǎn)B，E，F(xiàn)，D在同一水平線上．已知AB⊥EF，CD⊥EF，觀測(cè)儀AB高2m，觀測(cè)儀CD高1m，BE＝1.6m，F(xiàn)D＝0.8m，深坑寬度EF＝8.8m，請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)計(jì)算深坑深度多少米？8．【學(xué)科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角i等于反射角r．這就是光的反射定律．【同題解決】如圖2．小紅同學(xué)正在使用手電筒進(jìn)行物理光學(xué)實(shí)驗(yàn)，地面上從左往右依次是墻、木板和平面鏡，手電筒的燈泡在點(diǎn)G處，手電筒的光從平面鏡上點(diǎn)B處反射后，恰好經(jīng)過木板的邊緣點(diǎn)F，落在墻上的點(diǎn)E處，點(diǎn)E到地面的高度DE＝3.5m，點(diǎn)F到地面的高度CF＝1.5m，燈泡到木板的水平距離AC＝5.4m，本板到墻的水平距離為CD＝4m．圖中點(diǎn)A，B，C，D在同一條直線上．（1）求BC的長；（2）求燈泡到地面的高度AG．9．如圖①，有一塊三角形余料△ABC，它的邊BC＝10，高AD＝6．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB，AC上，AD交PN于點(diǎn)E，則加工成的正方形零件的邊長為多少？小穎解得此題的答案為，小穎善于反思，她又提出了如下的問題：（1）如果原題中所要加工的零件是一個(gè)矩形，且此矩形由兩個(gè)并排放置的正方形組成．如圖②，此時(shí)，這個(gè)矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少？（2）如果原題中所要加工的零件只是一個(gè)矩形，如圖③，這樣，此矩形零件的相鄰兩邊長就不能確定，但這個(gè)矩形的面積有最大值，求這個(gè)矩形面積的最大值以及這個(gè)矩形面積達(dá)到最大值時(shí)矩形零件的相鄰兩邊長又分別是多少？10．為了在校園內(nèi)有效開展勞動(dòng)教育，東方紅學(xué)校利用學(xué)校東南邊靠墻的一塊面積為單位1的Rt△ABC的空地，把這塊空地劃分成七八九年級(jí)三個(gè)部分，如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)P是BC邊上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C不重合），矩形AFPE的頂點(diǎn)F，E分別在AB，AC上．七年級(jí)為矩形AFPE部分，八九年級(jí)為△PEC和△BPF兩部分．（1）若BP：PC＝2：3，求S△BPF；（2）已知BC＝2，S△ABC＝1．設(shè)BP＝x，矩形AFPE的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（3）在（2）的情形下，考慮實(shí)際情況，要求七年級(jí)所分面積最大．求出七年級(jí)所分矩形AFPE部分的面積在x為多少時(shí)取得最大值，并求出最大值是多少．知識(shí)點(diǎn)一：位似：位似的定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線，對(duì)應(yīng)邊互相，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做。注意：①位似的兩個(gè)圖形一定。所以位似具有相似的性質(zhì)。②對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線一定。③對(duì)應(yīng)邊一定。位似圖形與坐標(biāo)：在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于?！绢愋鸵唬何凰频男再|(zhì)】11．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，把△ABC放大得到△A'B'C'，且位似比為2：5，以下說法中錯(cuò)誤的是（）第11題第12題A．△ABC∽△A'B'C′ B．AO：AA'＝2：5 C．AB：A'B'＝2：5 D．AC∥A'C′12．如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點(diǎn)O，且，則＝（）A． B． C． D．13．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為位似中心，若A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，4），AB＝，則線段CD長為（）第13題第14題A．2 B．4 C．2 D．14．如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O為位似中心．已知，△ABC的面積為1，則△DEF的面積是（）A．3 B．4 C．9 D．16【類型二：利用位似性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)】15．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)E（﹣4，8），F(xiàn)（﹣2，﹣2），以原點(diǎn)O為位似中心，將△EFO縮小為原來的一半，則點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E1的坐標(biāo)是（）A．（﹣2，4） B．（﹣8，16） C．（﹣8，16）或（8，﹣16） D．（﹣2，4）或（2，﹣4）16．如圖在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），C（8，0），B（8，4），A（0，4），已知矩形OA′B′C′與矩形OABC位似，位似中心是原點(diǎn)O，矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，且點(diǎn)B′在第一象限，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)是．第16題第17題17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點(diǎn)A，B，E在x軸上，若OA＝3，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（9，18） B．（9，12） C．（6，12） D．（3，6）18．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△OAB的頂點(diǎn)為O（0，0），A（2，2），B（4，2），如圖．若以點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)作與△OAB的相似比為的位似圖形△OCD，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）第18題第19題A．（﹣1，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣2）19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A'B'C'位似，且原點(diǎn)O為位似中心，其位似比為1：2，若點(diǎn)B（﹣4，﹣2），則其對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'的坐標(biāo)為（）A．（2，8） B．（8，2） C．（4，8） D．（8，4）【類型三：相似與位似的作圖】20．如圖，在7×4方格紙中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，用無刻度直尺作圖．（1）在圖1中的線段AC上找一個(gè)點(diǎn)E，使AE＝AC；（2）在圖2中作一個(gè)格點(diǎn)△CDE，使△CDE與△ABC相似．21．如圖所示，△ABC的各頂點(diǎn)都在8×8網(wǎng)格的格點(diǎn)上，每個(gè)小正方形的邊長都為1，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△AB1C1．（1）在圖1中畫出△AB1C1；（2）在圖2中畫一個(gè)格點(diǎn)△DEF，使△DEF∽△ABC，且相似比為：1．22．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的位置如圖所示．（1）將△ABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1．（2）以原點(diǎn)O為位似中心，在第四象限內(nèi)作出△ABC的位似圖形△A2B2C2，且△A2B2C2與△ABC的相似比為2：1．23．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的位置如圖所示，每個(gè)小正方形的邊長為1，以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)畫一個(gè)△DEF，使它與△ABC位似，且相似比為1：2（點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)點(diǎn)D，E，F(xiàn)）．（1）畫出△DEF；（2）線段AC的中點(diǎn)變換后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）△DEF的周長為．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O（0，0），A（6，3），B（0，5）．（1）畫出△OAB繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后得到的△OA1B1；（2）連接AA1，∠OAA1的度數(shù)為°；（3）以