2023年山東省濟南市南山區(qū)中考數(shù)學模擬試卷（附答案詳解）

2023年山東省濟南市南山區(qū)中考數(shù)學模擬試卷

1.-3的絕對值是（）

A.3B.—3C.0Dl

2.如圖所示的幾何體是由6個大小相同的小正方體組成，它的主視圖為

()

主視方向

3.長江是我國第一大河，它的全長約為6300千米，6300這個數(shù)用科學記數(shù)法表示為（）

A.63x102B.6.3x102C.6.3x103D.6.3x104

4.自新冠肺炎疫情發(fā)生以來，全國人民共同抗疫，十堰市張灣區(qū)積極普及科學防控知識,

下面是科學防控知識的圖片，圖片上有圖案和文字說明，其中的圖案是軸對稱圖形的是（）

5.如圖，a〃b,N4BD的平分線交直線a于點C,CEJL直線c于

點E,zl=24°,則42的大小為（）

A.114°

B.142°

C.147°

D.156°

6.下列計算正確的是()

A.(a—l)z=a2—1B.4a-2a=8a2

C.2a—a=2D.a8a2=a4

7.某學校組織學生到社區(qū)開展公益宣傳活動，成立了“垃圾分類”“文明出行”“低碳環(huán)

保”三個宣傳隊，如果小華和小麗每人隨機選擇參加其中一個宣傳隊，則她們恰好選到同一

個宣傳隊的概率是（）

11C2

---

A.963

8.如圖，在平面直角坐標系中，△4BC的頂點都在方格線的格點上，將△ABC繞點P順時針

方向旋轉(zhuǎn)90。，得到則點P的坐標為（）

A.(0,4)B.(1,1)C.(1,2)D.(2,1)

9.如圖，在△4BC中，AB=AC,分別以點4、8為圓心，以適當

的長為半徑作弧，兩弧分別交于E,F,作直線EF,。為8c的中

點，M為直線EF上任意一點.若=4,△力BC面積為10,貝ijBM+

MD長度的最小值為（）

.5

4?2

B.3

C.4

D.5

10.關(guān)于二次函數(shù)y=ax2-4ax-5（a力0）的三個結(jié)論：①對任意實數(shù)m,都有勺=2+m

與X2=2—m對應(yīng)的函數(shù)值相等：②若3<%<4,對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，則—0.75<a<

-1或1<a<0.75；③若拋物線與x軸交于不同兩點A,B,且4B<6,則a<-1.25或a>1.

其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

11.分解因式：4-x2=.

12.在一個不透明的袋子中裝有除顏色外其他均相同的6個紅球，3個黑球，要使從中隨機

摸取1個球是黑球的概率為a則要往袋中添加黑球個.

13.如圖，將一個正八邊形與一個正六邊形如圖放置，頂點A、B、C、。四點共線，E為公

共頂點.則/BEC三

14.已知AO為。。的直徑，A8CD為平行四邊形，BC與。。

交于點B、E,若4。=4B=2，？，則圖中陰影部分的面積為

15.某市為提倡居民節(jié)約用水，自今年I月1日起調(diào)整居民用水價格.圖中匕、G分別表示

去年、今年水費y（元）與用水量x（m3）之間的關(guān)系.小雨家去年用水量為150m3,若今年用水

量與去年相同，水費將比去年多元.

16.如圖，在平面直角坐標系中，等邊AAOB,點A的坐標

為（一1,0）,每一次將AAOB繞著點。順時針方向旋轉(zhuǎn)60。，同

時每邊擴大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△40B「第二

次旋轉(zhuǎn)后得到△人2。82,…，依次類推，則點42022的坐標為

Ba

17.計算:

1

|-5|-(7T-2020)°+2cos60°+(2)-1.

18.解不等式組2>3，并寫出該不等式組的整數(shù)解.

13(x+1)>4%+2

19.如圖，在平行四邊形A5CD中，AE,CP分別平分NB40和NOCB,交對角線于點E,

F.求證:

BE=DF.

20.中華文化源遠流長，文學方面，《西游記》、《三國演義》、《水滸傳》、《紅樓夢》

是我國古代長篇小說中的典型代表，被稱為“四大古典名著”某中學為了解學生對四大名著

的閱讀情況，就“四大古典名著你讀完了幾部”的問題在全校學生中進行了抽樣調(diào)查，根據(jù)

調(diào)查結(jié)果繪制成如圖尚不完整的統(tǒng)計圖.

A

請根據(jù)以上信息，解決下列問題：

(1)本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是部，中位數(shù)是部；

(2)扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為度；

(3)請將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(4)該校共有1560名學生.估計該校沒有讀過四大名著的學生有多少人？

21.圖1是一款筆記本電腦支架，它便于電腦散熱，減輕使用者的頸椎壓力.圖2是支架與電

腦底部的接觸面以及側(cè)面的抽象圖.已知AC,互相平分于點O,AC=BD=24cm,若

^AOB=60°,Z.DCE=28".

(圖1)

(1)求CD的長.

(2)求點。到底架CE的高DF.(結(jié)果精確到0.1cm；參考數(shù)據(jù):sin28。?0.47,cos28"?0.88,

tan28°?0.53)

22.如圖，AB是。。的直徑，點尸是84延長線上一點，PC是。。的切線，切點為C,過

點B作BD1PC交PC的延長線于點D,連接BC.

(1)求證：8c平分/PBC；

(2)若BC=2C，BD=3,求。。的直徑AB的長.

23.某旅游商品經(jīng)銷店欲購進A、B兩種紀念品，B種紀念品每件進價是A種紀念品每件進

價的1.5倍，用600元購買A種紀念品的數(shù)量比用同樣金額購買8種紀念品的數(shù)量多10件.

(1)求A、B兩種紀念品的每件進價分別為多少元？

(2)若該商店A種紀念品每件售價25元，B種紀念品每件售價37元，該商店準備購進A、B

兩種紀念品共40件，且A種紀念品不少于30件，問應(yīng)該怎樣進貨，才能使總獲利最大，最

大利潤為多少元？

24.如圖，反比例函數(shù)y=(的圖象經(jīng)過點4(一2門,1),射線AB與反比例函數(shù)的圖象的另

一個交點為B(—l,a),射線AC與x軸交于點E,與)，軸交于點C,/.BAC=75°,ADly軸,

垂足為D.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)求0c的長；

(3)在x軸上是否存在點P,使得AAPE與△4CC相似，若存在，請求出滿足條件點尸的坐標，

若不存在，請說明理由.

25.在△ABC中，NBAC=90。，4B=AC,點。為直線BC上一動點(點。不與8,C重合),

以AO為邊在A。的右側(cè)作正方形AQEF,連接CF.

(1)觀察猜想

如圖1,當點。在線段BC上時，

①BC與CF的位置關(guān)系為：；

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：.(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學思考

如圖2,當點。在線段C8的延長線上時，結(jié)論①②是否仍然成立？若成立，請給予證明：

若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明，

(3)拓展延伸

如圖3,當點。在線段BC的延長線上時，延長BA交CF于點G,連接GE.若4B=2y/~2,CD=1,

請求出GE的長.

26.已知對稱軸為直線x=|的拋物線經(jīng)過4(-1,0),C(0,-4)兩點，拋物線與x軸的另一個

交點為B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,若點尸為第四象限拋物線上一點，連接OP,BC交于點。，連接BP,求衿黑的

最大值；

(3)如圖2,若點。為拋物線上一點，且當tan/BCQ=；,求點。的坐標.

圖1圖2

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：-3的絕對值是3,

故選：A.

根據(jù)絕對值的概念可得-3的絕對值就是數(shù)軸上表示-2的點與原點的距離.進而得到答案.

此題主要考查了絕對值，關(guān)鍵是掌握概念：數(shù)軸上某個數(shù)與原點的距離叫做這個數(shù)的絕對值.

2.【答案】B

【解析】解：從正面看，底層是三個小正方形，上層右邊是一個小正方形.

故選：B.

根據(jù)主視圖的意義和畫法進行判斷即可.

本題考查簡單組合體的三視圖，主視圖就是從正面看物體所得到的圖形.

3.【答案】C

【解析】解:6300=6.3X103,

故選：C.

科學記數(shù)法的表示形式為axl(r的形式，其中l(wèi)w|a|<10,"為整數(shù).確定"的值時，要看把原

數(shù)變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，”的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值210時，

"是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值<1時，〃是負整數(shù).

此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中l(wèi)S|a|<10,〃

為整數(shù)，表示時關(guān)鍵要確定〃的值以及〃的值.

4.【答案】B

【解析】解：4、不是軸對稱圖形，不合題意；

8、是軸對稱圖形，符合題意；

C、不是軸對稱圖形，不合題意；

。、不是軸對稱圖形，不合題意.

故選：B.

根據(jù)軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖

形叫做軸對稱圖形進行分析即可.

此題主要考查了軸對稱圖形，正確掌握軸對稱圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

5.【答案】C

【解析】解：,??乙1=24。，CEJ_直線c于點E,

/.EAC=90°-Z1=90°-24°=66°,

???a//b,

/.EAC=乙ABD=66°,

乙WD的平分線交直線a于點C,

11

乙CBD=^ABD=5x66°=33°,

42=180°-4CBD=180°-33°=147°,

故選：C.

根據(jù)互余得出4E4C,再利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可.

本題考查平行線的性質(zhì)；熟練掌握角平分線的定義，平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】B

【解析】解：A、(a-1)2=a2-2a+l,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

B、4a-2a=8a2,原計算正確，故此選項符合題意；

C、2a-a=a,原計算錯誤，故此選項不符合題意；

D.a8^a2=a6,原計算錯誤，故此選項不符合題意.

故選：B.

根據(jù)完全平方公式，單項式乘單項式的運算法則，合并同類項的運算法則，同底數(shù)幕的除法的運

算法則求出每個式子的值，再判斷即可.

本題考查了單項式乘單項式法則，同底數(shù)基的除法，完全平方公式，合并同類項法則等知識點，

能正確求出每個式子的值是解此題的關(guān)鍵.

7.【答案】C

【解析】解：把“垃圾分類”“文明出行”“低碳環(huán)?！比齻€宣傳隊分別記為4、B、C,

畫樹狀圖如下：

開始

〃詳ABC

/N/?\/N

小麗ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，小華和小麗恰好選到同一個宣傳隊的結(jié)果有3種，

.?.小華和小麗恰好選到同一個宣傳隊的概率為5=1,

故選：C.

畫樹狀圖，共有9種等可能的結(jié)果，小華和小麗恰好選到同一個宣傳隊的結(jié)果有3利再由概率

公式求解即可.

本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果求出”，再從中選

出符合事件A或8的結(jié)果數(shù)目相，然后根據(jù)概率公式求出事件A或B的概率.正確畫出樹狀圖是

解題的關(guān)鍵.

8.【答案】C

【解析】解：由圖知，旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為(1,2),

故選：C.

選兩組對應(yīng)點，連接后作其中垂線，兩中垂線的交點即為點P.

本題主要考查坐標與圖形的變化-旋轉(zhuǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì).

9.【答案】D

【解析】解：連接A。，交直線EF于點N,設(shè)EF交48于點G,

由題意得，直線EF為線段的垂直平分線，

???AG=BG,EF±AB,

???當點M與點N重合時，BM+MD長度最小，最小值即為AQ的長.

■-■AB=AC,。為8c的中點，

???AD1BC,

vBC=4,△4BC面積為10,

1

X4XD-o

2-24

解得4。=5.

故選：D.

連接AO,交直線EF于點N,設(shè)EF交A8于點G,當點”與點N重合時，BM+MO長度最小,

最小值即為A。的長，結(jié)合已知條件求出4。即可.

本題考查作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題，

熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題是解答本題的關(guān)鍵.

10.【答案】B

【解析】解：?二次函數(shù)y=ax2-4ax-5的對稱軸為直線x==2,

.1.xx=2+m與久2=2—?n關(guān)于直線x=2對稱，

對任意實數(shù)機，都有X1-2+?n與犯=2-m對應(yīng)的函數(shù)值相等；

故①正確；

當x=3時、y——3a—5,當x=4時，y=-5,

若a>0時，當3W無W4時，-3a-5<y4-5,

「當3Sx<4時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，分別是一5,-6,-7,-8,

-9<-3a-5<-8

4

???1WQV§，

若a<0時，當3<x<4時，—54y4-3a—5,

??,當34xW4時，對應(yīng)的y的整數(shù)值有4個，分別是一5,-4,-3,-2,

:.—2W—3。-5V—1

4

-a<-1,

故②錯誤；

若a>0,拋物線與“軸交于不同兩點A,B,且4BW6,

AZ1>0,當％=5時，25a-20a-5>0,

.(16a2+20a>0

,(5a-5>0

a>1,

若Q<o,拋物線與x軸交于不同兩點A,B,且4BW6,

/.J>0,當％=5時，25a-20a-5<0,

.fl6a2+20a>0

,(5a-5<0

綜上所述：當QV-：或QNI時，拋物線與x軸交于不同兩點A,B,且4B46.故③正確;

故選：B.

由題意可求次函數(shù)y=ax2-4ax-5的對稱軸為直線x=-嘿=2,由對稱性可判斷①；分a>0

或a<0兩種情況討論，由題意列出不等式，可求解，可判斷②；分a>0或a<0兩種情況討論,

由題意列出不等式組，可求解，可判斷③；即可求解.

本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，拋物線與x軸的交點等

知識，理解題意列出不等式(組)是本題的關(guān)鍵.

11.【答案】(2-x)(2+x)

【解析】解：4-X2=(2-%)(2+%),

故答案為:(2-x)(2+x).

直接利用平方差公式進行分解即可.

此題主要考查了公式法分解因式，關(guān)鍵是掌握平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-fe).

12.【答案】3

【解析】解：設(shè)往袋中添加x個黑球，

根據(jù)題意得：送土」，

6+3+%2

解得：%=3,

經(jīng)檢驗x=3是方程的解，

故答案為：3.

設(shè)往袋中添加X個黑球，利用概率公式得到：差?=:，然后求解即可.

6+3+x2

本題考查了概率公式的知識，解題的關(guān)鍵是了解摸到黑球的概率所表示的意義，難度不大.

13.【答案】75。

【解析】解：由多邊形的內(nèi)角和可得，

/.ABE=(8-2*80。=135。，

O

???Z,EBC=180°-乙ABE=180°-135°=45°,

...乙DCE=(6-2)x180。=120。,

6

???LBCE=180°-乙DCE=60°,

由三角形的內(nèi)角和得：

乙BEC=180°-乙EBC-Z.BCE=180°-45°-60°=75°.

故答案為：75。.

根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，分別得出N4BE=135。，Z.DCE=120°,再根據(jù)平角的定義和三角形的內(nèi)

角和算出4BEC.

本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵.

14.【答案】3廳

【解析】解：連接8。，DE,過8作8QJ.4。于Q,

乙ABD=90°,

???AO=0D=AB=2<3.

???AB=^AD,

：.^LADB=30°,

:.乙4=60°,

???四邊形ABC。是平行四邊形，

:.Z.A=zC=60°,

???A、B、E、拉四點共圓，

???乙DEC=Z-A=60°=zC

:.DE=DC,

??.△DEC是等邊三角形，

???DE=DC=EC=AB=2>J~3,

AB=2C，4BQA=90°,乙4=60°,

???乙ABQ=30°,

???AQ=^AB=C，

BQ=VAB2-AQ2=J(2q)2—(二)2=3，

?:AD]IBC,

點拉到8C的距離是3,

二陰影部分的面積S=S?DEC=；X2-\/-3x3=3V-3>

故答案為：3V~W

連接B。，DE,過B作BQL4D于Q,根據(jù)圓周角定理求出乙1BD=90。，求出4力=60。，根據(jù)平

行四邊形的性質(zhì)求出DC=48=2/耳，求出△DEC是等邊三角形，再求出答案即可.

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，扇形的面積計算

等知識點，能把求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

15.【答案】210

【解析】解：設(shè)當x>120時，％對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=—+b，

（120k+/?=480ZHJ/C=6

1160k+b=720，"lb=-240'

即當％〉120時，0對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=6%-240,

當％=150時，y=6xl50-240=660,

由圖象可知，去年的水價是480+160=3（元/n?）,故小雨家去年用水量為150瓶3,需要繳費：

150x3=450（元），

660-450=210（元）,

即小雨家去年用水量為150nl3,若今年用水量與去年相同，水費將比去年多210元，

故答案為：210.

根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)可以求得x>120時，％對應(yīng)的函數(shù)解析式，從而可以求得％=150時對應(yīng)

的函數(shù)值，由匕的的圖象可以求得x=150時對應(yīng)的函數(shù)值，從而可以計算出題目中所求問題的答

案，本題得以解決.

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想

解答.

16.【答案】（-22022,0）

【解析】解：???4（-1,0），

???OA=1,

???每次旋轉(zhuǎn)角度為60。，

6次旋轉(zhuǎn)360°,

???2022+6=374,

.?.第2022次旋轉(zhuǎn)后，點/與點A的位置相同，都在x軸的負半軸上，

第一次旋轉(zhuǎn)后，。&=2,

第二次旋轉(zhuǎn)后，0Az=22,

第三次旋轉(zhuǎn)后，。4=23,

.??第2022次旋轉(zhuǎn)后，O&022=22°22,

???點4022的坐標為（一22。22,0）.

故答案為：（—22。22,0）.

根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為60。，可知每旋轉(zhuǎn)6次點4的位置重復出現(xiàn)，由此可知第2022次旋轉(zhuǎn)后，點4與

點4的位置相同，都在x軸的負半軸上，再由04t=2%即可求解.

本題考查圖形的旋轉(zhuǎn),熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度找到點的坐標規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

17.【答案】解：原式=5—l+2x；+3

=5-1+14-3

=8.

【解析】直接利用絕對值以及零指數(shù)幕的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值、負整數(shù)指數(shù)基的性質(zhì)分別

化簡得出答案.

此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵.

三>口①

18.【答案】解：｛2>30,

3(x+1)>4x+2②

解不等式①得，x>-2；

解不等式②得x<1,

不等式組的解集是：一2<%<1,

??.不等式組的整數(shù)解是：-1,0.

【解析】此題可先根據(jù)一元一次不等式組解出x的取值，根據(jù)x是整數(shù)解得出x的可能取值.

本題考查了解一元一次不等式組，不等式組的整數(shù)解的應(yīng)用，能根據(jù)不等式的解集求出不等式組

的解集是解此題的關(guān)鍵.

19.【答案】證明：???四邊形ABCD是平行四邊形，

???AB//CD,AB=CD,^BAD=ADCB,

:.乙ABE=4CDF,

-AE,分另U平分484。和NDC8,

11

???乙BAE=乙BAD,乙DCF="DCB,

:.乙BAE=Z.DCE,

???△/BEgZkCDFQ4s4),

???BE=DF.

【解析】先由平行四邊形的性質(zhì)得到/B〃CD,AB=CD,乙BAD=乙DCB,求得N/BE=乙CDF,

再證△CDF(ASA)f然后由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)等知識，熟練掌握平

行四邊形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型.

20.【答案】1254

【解析】解：(1)本次調(diào)查的人數(shù)為：10+25%=40(人)，

讀1部的學生有：40-2-10-8-6=14(人)，

故本次調(diào)查所得數(shù)據(jù)的眾數(shù)是1部，中位數(shù)是(2+2)+2=2(部),

故答案為：1,2；

(2)扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角為：360。x捻=54。，

故答案為：54;

(3)由(1)知,讀1部的學生有14人,

(4)1560X4=78(人),

答：估計該校沒有讀過四大名著的學生有78人.

(1)根據(jù)讀3部的人數(shù)和所占的百分比，可以求得本次調(diào)查的人數(shù)，然后即可得到眾數(shù)和中位數(shù);

(2)根據(jù)統(tǒng)計圖中的數(shù)據(jù)，可以得到扇形統(tǒng)計圖中“4部”所在扇形的圓心角的度數(shù)；

(3)根據(jù)(1)中讀1部的人數(shù)，可以將條形統(tǒng)計圖補充完整；

(4)利用樣本估計總體即可.

本題考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖、中位數(shù)、眾數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題

需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合思想解答.

21.【答案】解：(1)AC=BD=24cm,AC,互相平分于點O,

:.OA=OB=OC=OD=12cm,

乙COD=乙AOB=60°,

AOB與△COD均是正三角形，

.??CD=12cm；

(2)在RtACDF中，sinzDCF=黑，

即DF=CD-sinzDCF=12xsin28°*12x0.47=5.64?5.6(cm),

答：點。到底架CE的高為5.6cm.

【解析】(1)根據(jù)題意得出。4=OB=0C=0D=12cm,由=Z.AOB=60°,證明△ZOB與

△COO均是正三角形，即可得出答案；

(2)在中，利用正弦定義求解即可.

本題主要考查了等邊三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形，對頂角性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

三角函數(shù)的定義，準確計算.

22.【答案】(1)證明：連接OC.如圖，

???PC與O。相切，

/.OC1PC,即NOCP=90。，

???BD1PD,

???Z-BDP=90°.

:.OC//BD,

:.Z.BCO=乙CBD,

???OB=OC,

:.Z.PBC=乙BCO,

:.Z-PBC=(CBD,

???BC平分乙PBD；

(2)解：連接AC,如圖，

???/8為00的直徑，

???Z-ACB=90°,

???乙ACB=乙CDB=90°.

Z-ABC=乙CBD,

???△ABCsACBD,

?.B?C_AB———,

BDBC

:.BC2=AB?BD,即(2/3)2=48x3，

???AB=4.

【解析】(1)連接。C.如圖，利用切線的性質(zhì)得到NOCP=90。，則可判斷。C〃BD,所以NBCO=

乙CBD,然后證明NPBC=4CBD即可；

(2)連接AC,如圖，根據(jù)圓周角定理得到44cB=90。，再證明N4BC=aBD,然后利用相似比

可計算出AB的長.

本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了圓周角定理可相似三角形的

判定與性質(zhì).

23.【答案】解：(1)設(shè)A種紀念品的進價為x元，則B紀念品的進價為1.5%元，由題意，得

600600.

—=1^+d10n)

解得：x=20,

經(jīng)檢驗，x=20滿足題意，

故1.5x=30,

答：A、B兩種紀念品的進價分別為20元，30元；

(2)設(shè)總利潤為W元，購買A種紀念品a件，由題意，得

=(25-20)a+(37-30)(40-a),

=-2a+280.

???k——2<0,

W隨a的增大而減小，

二當a=30時，W最大=220元.

即，當購進A種紀念品30件，8種紀念品10件時，獲利最大，為220元.

【解析】(1)設(shè)A種紀念品的進價為x元，B紀念品的進價為1.5元，根據(jù)600元購買4種紀念品的

數(shù)量比用同樣金額購買8種紀念品的數(shù)量多10件得出方程求出答案；

(2)設(shè)總利潤為W元，根據(jù)利潤=每件利潤x數(shù)量建立W與a之間的關(guān)系式，由一次函數(shù)的性質(zhì)求

出其解即可.

本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一次函數(shù)的解析式的運用，解答時求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵.

二^BAM=45",

vZ.BAC=75",

Z.DAC=750-45°=30°,

CD=AD-tanzD/lC=2x3x?=2：

(3)存在,

如圖，?：0C=CD-0D=1,

0E—>/~30C—A/-3>

①當月P_Lx軸時，A4PE?△C04則：0P、=AD=2C，

P[(—2C,0),

②當AP1AE時，△APE-△DCA,-：APr=1,4Ap2Pl=90°-30°=60°AP2Pl=ZP1+

tan乙4P2Pl=1+C=?

則P2=(一亨,0)，

綜上所述，滿足條件點P的坐標為(-2C,0),(-亨,0).

【解析】(1)根據(jù)反比例函數(shù)y=：的圖象經(jīng)過點4(一2，耳,1),即可得到結(jié)論：

(2)過點8作BM14。于M,把B(-l,a)代入y=三口得a=2，^,得到B(-l,2，3)，求得AM=

BM=2y/~3-l,得到404c=75°-45°=30°,于是得到結(jié)論；

(3)如圖，①當月PLx軸時，A4PE?ACZM,②當API4E時，△APE?△DCA根據(jù)相似三角形

的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

本題考查了反比例函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三

角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】BC1CFBC=CF+CD

【解析】解：⑴①???正方形AOE/中，AD^AF,/.DAF=90°,

Z.BAC=Z.DAF=90",

:.乙BAD=Z-CAF

(AD=AF

在與△FAC中，\^BAD=^CAF,

(AB=AC

-t-ADABAFAC(SAS)f

:.乙

B=Z.ACFf

???Z,ACB+/-ACF=90°,

即BC1C尸;

故答案為：BC1CF；

②由①得：△DABGAFAC,

???CF=BD,

??,BC=BD+CD,

???BC=CF4-CD；

故答案為：BC=CF+CD；

(2)BCJLCF成立；BC=CD+C尸不成立，CD=。/+8C.理由如下:

???正方形AOEF中，AD=AFfZ,DAF=90°,

???乙BAC=Z.DAF=90°,

:.4BAD=Z.CAF,

AD=AF

在△048與△/4c中，IABAD=Z-CAF,

AB=AC

???Z.ABD=Z.ACF,

???4B/C=90°,AB=ACf

???乙ACB=Z-ABC=45°.

???乙480=180°-45°=135°,

???乙BCF=4ACF-乙ACB=135°-45°=90°,

???BC1CF,

?：CD=DB+BC,DB=CF,

/.CD=CF^BC；

(3)解：過A作4H1BC于H,過七作EM1BD于M,EN1C尸于N,

如圖3所示：

???/.BAC=90°,AC=AB=

???BC=>T2AB=4,

vAH1BC,

1

AH=”C=BH=CH=2,圖3

???DH=CH+CD=3,

,?,四邊形ADEb是正方形，

-.AD=DEfZ.ADE=90°,

?:BC1.CF,EM上BD,EN1CF,

??.四邊形CMEN是矩形，

???NE=CM,EM=CN,

vZ.AHD=/.ADC=乙EMD=90°,

???^ADH+乙EDM=乙EDM+乙DEM=90°,

???Z.ADH=乙DEM,

g△DEM(A4S),

.??EM=DH=3,DM=AH=2,

/.CN=EM=3,EN=CM=3,

VZ.ABC=45°,

???乙BGC=45",

.?.△BCG是等腰直角三角形，

???CG=BC=4,

GN=1,

在RtAEGN中，由勾股定理得：EG=V12+32=/To.

(1)由正方形的性質(zhì)得到NB4C=4。力尸=90。，證出△兄4c(S4S),由全等三角形的性質(zhì)

和余角的關(guān)系進而得到結(jié)論；

②由全等三角形的性質(zhì)得到CF=BD,進而得出結(jié)論；

(2)推出△DABgAFAC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的角的性質(zhì)可得到結(jié)論.

(3)過A作4“1BC于“，過E作EM_LB。于M,ENLCF于N,證△4?！扒倚EM(>L4S),推出

EM=DH=3,DM=AH=2,推出CN=EM=3,EN=CM=3,由^BCG是等腰直角三角形，

推出CG=BC=4,推出GN=CG-CN=1,再由勾股定理即可解決問題.

本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，勾股定理，

等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)等知識；本題綜合性強，正確的作出輔助線構(gòu)

造全等三角形是解題的