經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用

一,二元函數(shù)地極值三,二元函數(shù)地最值二,條件極值拉格朗日乘數(shù)法四,小結(jié)四.六多元函數(shù)地極值及其應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分某商店賣兩種品牌地果汁,本地品牌每瓶?jī)r(jià)一元,外地品牌每瓶?jī)r(jià)一.二元,店主估計(jì),如果本地品牌地每瓶賣x元,外地品牌地每瓶賣y元,則每天可賣出本地品牌地果汁七零-五x+四y瓶,外地品牌地果汁八零+六x-七y瓶.問(wèn)題問(wèn):店主每天以什么價(jià)格賣兩種品牌地果汁可取得最大利潤(rùn)？每天地利潤(rùn)為求最大利潤(rùn)即為求二元函數(shù)地最大值.問(wèn)題地分析本節(jié)將利用偏導(dǎo)數(shù)討論多元函數(shù)地極值與最值問(wèn)題.一,二元函數(shù)地極值播放一.二元函數(shù)極值設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x零,y零)地某鄰域內(nèi)有定義,對(duì)于該鄰域內(nèi)異于(x零,y零)地點(diǎn),如果都滿足不等式f(x,y)>f(x零,y零),則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x零,y零)取得極小值f(x零,y零).如果都滿足不等式f(x,y)<f(x零,y零),則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x零,y零)取得極大值f(x零,y零).極大值,極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值地點(diǎn)稱為極值點(diǎn).定義(一)(二)(三)例一例二例三二.二元函數(shù)取得極值地條件設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x零,y零)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x零,y零)處有極值,則定理推廣到三元函數(shù)設(shè)函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x零,y零,z零)具有偏導(dǎo)數(shù),且在點(diǎn)(x零,y零,z零)處有極值,則（必要條件）與一元函數(shù)類似,凡能使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零地點(diǎn),均稱為函數(shù)地駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)如何判定一個(gè)駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意:（具有偏導(dǎo)數(shù)）例如,點(diǎn)(零,零)是函數(shù)z=xy地駐點(diǎn),但不是極值點(diǎn)而(零,零)是地極值點(diǎn),但函數(shù)在該點(diǎn)地偏導(dǎo)數(shù)不存在.結(jié)論:二元函數(shù)地極值在駐點(diǎn)或一階偏導(dǎo)數(shù)不存在地點(diǎn)處取得.問(wèn)題設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x零,y零)地某鄰域內(nèi)具有直到二階地連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),又f'x(x零,y零)=零,f'y(x零,y零)=零,設(shè)A=f''xx(x零,y零),B=f''xy(x零,y零),C=f''yy(x零,y零),則（一）當(dāng)AC-B二>零時(shí),具有極值,且當(dāng)A<零(或C<零)時(shí)有極大值,當(dāng)A>零(或C>零)時(shí)有極小值;（二）當(dāng)AC-B二<零時(shí)不取得極值;（三）當(dāng)AC-B二=零時(shí)可能有極值,也可能沒(méi)有極值.這里不作討論定理（充分條件）求函數(shù)極值地一般步驟:第一步解方程組f'x(x,y)=零,f'y(x,y)=零,求出所有駐點(diǎn).第二步對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)(x零,y零),求出二階偏導(dǎo)數(shù)地值A(chǔ),B,C.第三步確定AC-B二地符號(hào),根據(jù)定理作出判斷是否取得極值,是極大值還是極小值,如取得極值,求出f(x零,y零).例四求函數(shù)地極值.解令求得駐點(diǎn)為（一,零）（一,二）（-三,零）（-三,二）再求出二階偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(-三,二)處,AC-B二=七二>零又A<零,所以函數(shù)在(-三,二)處取得極大值f(-三,二)=三一;在點(diǎn)(一,零)處,AC-B二=七二>零又A>零,所以函數(shù)在(一,零)處取得極小值f(一,零)=-五;在點(diǎn)(一,二)處,AC-B二=-七二<零,所以函數(shù)在(一,二)處不取得極值;在點(diǎn)(-三,零)處,AC-B二=-七二<零,所以函數(shù)在(-三,零)處不取得極值;無(wú)條件極值:對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外,并無(wú)其它條件.二,條件極值拉格朗日乘數(shù)法實(shí)例:某有二零元,現(xiàn)用來(lái)購(gòu)買兩種物品:筆與本子,設(shè)它購(gòu)買x支筆,y本本子達(dá)到最佳效果,效果函數(shù)u(x,y)=lnx+lny如果筆每支２元,本子每本五元,問(wèn)它如何分配這二零元以達(dá)到最佳效果？問(wèn)題地實(shí)質(zhì):求函數(shù)u(x,y)=lnx+lny在二x+五y=二零條件下地極值.條件極值:對(duì)自變量有附加條件地極值．拉格朗日乘數(shù)法:要找函數(shù)z=f(x,y)在條件φ(x,y)=零下地可能極值點(diǎn),其步驟如下:（一）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,λ)=f(x,y)+λφ(x,y)其λ為參數(shù),稱為拉格朗日乘數(shù).（二）令F'x=零,F'y=零,F'λ=零,解出x,y,λ,其(x,y)就是可能地極值點(diǎn)地坐標(biāo).（三）判斷求出地(x,y)是否為極值點(diǎn),一般實(shí)際問(wèn)題由問(wèn)題地實(shí)際意義判定.拉格朗日乘數(shù)法地推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到條件多于兩個(gè)地情況:要求函數(shù)u=f(x,y,z,t)在條件φ(x,y,z,t)=零與ψ(x,y,z,t)=零下地極值.（一）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)F(x,y,z,t,λ一,λ二)=f(x,y,z,t)+λ一φ(x,y,z,t)+λ二ψ(x,y,z,t)其λ一,λ二為參數(shù),（二）令對(duì)所以自變量與參數(shù)偏導(dǎo)數(shù)為零解出,即得可能極值點(diǎn)地坐標(biāo).三,二元函數(shù)地最值一,有界閉區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)地最值將函數(shù)在D內(nèi)地所有駐點(diǎn)處地函數(shù)值及在D地邊界上地最大值與最小值相互比較,其最大者即為最大值,最小者即為最小值.多元函數(shù)最值地兩種情況:二,實(shí)際問(wèn)題地最值實(shí)際問(wèn)題,如果根據(jù)實(shí)際意義確定函數(shù)地最值一定能在D地內(nèi)部取得,且D地內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn),那么函數(shù)在該點(diǎn)上一定取得最值.例五求函數(shù)f(x,y)=xy-x二-y二在有界閉區(qū)域D:x二+y二≤一上地最大值與最小值.解先求D內(nèi)地駐點(diǎn)令求得駐點(diǎn)(零,零)經(jīng)驗(yàn)證,在（零,零）取得極大值f(零,零)=零再求函數(shù)在D地邊界上地最大值與最小值.該問(wèn)題就是求f(x,y)在條件x二+y二=一下地極值.——拉格朗日乘數(shù)法設(shè)F(x,y,λ)=xy-x二-y二+λ(x二+y二-一),令解得可能地極值點(diǎn)綜上,f(x,y)在D上地最大值是零,最小值是解令經(jīng)驗(yàn)證,這兩點(diǎn)是函數(shù)地極值點(diǎn)。例六求地最大值與最小值.解如圖,先求函數(shù)在D內(nèi)地駐點(diǎn)故f(二,一)=四為極大值解方程組再求f(x,y)在邊界上地最值求得區(qū)域D內(nèi)唯一駐點(diǎn)(二,一)在邊界x=零與y=零上,函數(shù)值均為零.比較可知f(二,一)=四為最大值,f(四,二)=-六四為最小值.解例八設(shè)某工廠生產(chǎn)甲產(chǎn)品數(shù)量S(噸)與所用兩種原料A,B地?cái)?shù)量x,y(噸)間地關(guān)系式S(x,y)=零.零零五x二y,現(xiàn)準(zhǔn)備向銀行貸款一五零萬(wàn)元購(gòu)原料,已知A,B原料每噸單價(jià)分別為一萬(wàn)元與二萬(wàn)元,問(wèn)怎樣購(gòu)兩種原料,才能使生產(chǎn)地?cái)?shù)量最多?該問(wèn)題就是求S(x,y)=零.零零五x二y在條件x+二y=一五零下地最大值.作拉格朗日函數(shù)因僅有一個(gè)駐點(diǎn),且最大值一定存在,故在點(diǎn)(一零零,二五)處取得最大值S(一零零,二五)=一二五（噸）即購(gòu)A原料一零零噸,B原料二五噸時(shí),可以使產(chǎn)量達(dá)到最大.例九求表面積為a二體積為最大地長(zhǎng)方體地體積.分析:該問(wèn)題可以看成,求在表面積為a二條件下地長(zhǎng)方體地體積地最大值.目地函數(shù):條件:求偏導(dǎo),解方