（小白高考）新高考數(shù)學(xué)(零基礎(chǔ))一輪復(fù)習(xí)教案8.5《雙曲線》 (教師版)

頁第五節(jié)雙曲線核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.結(jié)合雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點(diǎn)三角形，凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng)．2．結(jié)合雙曲線幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線)，考查求相關(guān)量的計(jì)算，凸顯邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．[理清主干知識(shí)]1．雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距．集合P＝{M|||MF1|﹣|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a＞0，b＞0)圖形性質(zhì)范圍x≤﹣a或x≥a，y∈Ry≤﹣a或y≥a，x∈R對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(﹣a,0)，A2(a,0)A1(0，﹣a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2是雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2是雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a是雙曲線的實(shí)半軸長，b是雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)3．常用結(jié)論(1)雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.(2)若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c﹣a.(3)等軸雙曲線①定義：中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，實(shí)半軸長與虛半軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線．②性質(zhì)：a＝b；e＝eq\r(2)；漸近線互相垂直；等軸雙曲線上任意一點(diǎn)到中心的距離是它到兩焦點(diǎn)距離的等比中項(xiàng)．(4)共軛雙曲線①定義：如果一條雙曲線的實(shí)軸和虛軸分別是另一條雙曲線的虛軸和實(shí)軸，那么這兩條雙曲線互為共軛雙曲線．②性質(zhì)：它們有共同的漸近線；它們的四個(gè)焦點(diǎn)共圓；它們的離心率的倒數(shù)的平方和等于1.[澄清盲點(diǎn)誤點(diǎn)]一、關(guān)鍵點(diǎn)練明1．(雙曲線的定義)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2﹣eq\f(y2,9)＝1的左、右焦點(diǎn)．若點(diǎn)P在雙曲線上，且|PF1|＝5，則|PF2|＝()A．5B．3C．7D．3或7解析：選D∵||PF1|﹣|PF2||＝2，∴|PF2|＝7或3.2．(雙曲線的實(shí)軸)雙曲線2x2﹣y2＝8的實(shí)軸長是()A．2B．2eq\r(2)C．4D．4eq\r(2)解析：選C雙曲線2x2﹣y2＝8的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,8)＝1，故實(shí)軸長為4.3．(雙曲線的漸近線)若雙曲線C：eq\f(x2,m)﹣y2＝1(m>0)的一條漸近線方程為3x＋2y＝0，則實(shí)數(shù)m＝()A.eq\f(4,9)B．eq\f(9,4)C.eq\f(2,3)D．eq\f(3,2)答案：A4．(雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程)以橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為__________．解析：設(shè)所求的雙曲線方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，得焦點(diǎn)為(±1,0)，頂點(diǎn)為(±2,0)．所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0)，焦點(diǎn)為(±2,0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2﹣a2＝3，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1.答案：x2﹣eq\f(y2,3)＝15．(雙曲線的離心率)若雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,4)＝1(a＞0)的離心率為eq\f(\r(5),2)，則a＝________.解析：設(shè)焦距為2c，則eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，即c2＝eq\f(5,4)a2.由c2＝a2＋4得eq\f(5,4)a2＝a2＋4，所以a2＝16，所以a＝4.答案：4二、易錯(cuò)點(diǎn)練清1．(忽視雙曲線定義的條件)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0,4)，F(xiàn)2(0，﹣4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是________________．解析：由|PF1|﹣|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，則b2＝c2﹣a2＝7，所以所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線eq\f(y2,9)﹣eq\f(x2,7)＝1的下支．答案：雙曲線eq\f(y2,9)﹣eq\f(x2,7)＝1的下支2．(忽視雙曲線上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最小距離)已知雙曲線x2﹣eq\f(y2,16)＝1上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于4，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于________．解析：設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝4，則||PF1|﹣|PF2||＝2，故|PF2|＝6或2，又雙曲線上的點(diǎn)到它的焦點(diǎn)的距離的最小值為c﹣a＝eq\r(17)﹣1>2，故|PF2|＝6.答案：63．(忽視焦點(diǎn)的位置)以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線的一條漸近線的傾斜角為eq\f(π,3)，則雙曲線的離心率為________．解析：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1，則漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，由題意可得eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，b＝eq\r(3)a，可得c＝2a，則e＝eq\f(c,a)＝2；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1，則漸近線的方程為y＝±eq\f(a,b)x，由題意可得eq\f(a,b)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3)，a＝eq\r(3)b，可得c＝eq\f(2\r(3),3)a，則e＝eq\f(2\r(3),3).綜上可得e＝2或e＝eq\f(2\r(3),3).答案：2或eq\f(2\r(3),3)考點(diǎn)一雙曲線的定義及其應(yīng)用考法(一)利用定義求軌跡方程[例1]已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x﹣3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________________．[解析]如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，根據(jù)兩圓外切的充要條件，得|MC1|﹣|AC1|＝|MA|，|MC2|﹣|BC2|＝|MB|.因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以|MC2|﹣|MC1|＝|BC2|﹣|AC1|＝3﹣1＝2<6.這表明動(dòng)點(diǎn)M到兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)2且小于|C1C2|.根據(jù)雙曲線的定義知，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M到C2的距離大，到C1的距離小)，且a＝1，c＝3，則b2＝8，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則其軌跡方程為x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≤﹣1)．[答案]x2﹣eq\f(y2,8)＝1(x≤﹣1)考法(二)求解“焦點(diǎn)三角形”問題[例2]已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2﹣y2＝1的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，∠F1PF2＝60°，則|PF1|·|PF2|＝()A．2B．4C．6D．8[解析]由雙曲線的方程得a＝1，c＝eq\r(2)，由雙曲線的定義得||PF1|﹣|PF2||＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1|·|PF2|cos60°，即(2eq\r(2))2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣|PF1|·|PF2|＝(|PF1|﹣|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.[答案]B考法(三)利用定義求最值[例3]已知F是雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最小值為________．[解析]因?yàn)镕是雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，所以F(﹣4,0)，設(shè)其右焦點(diǎn)為H(4,0)，則由雙曲線的定義可得|PF|＋|PA|＝2a＋|PH|＋|PA|≥2a＋|AH|＝4＋eq\r(4－12＋0－42)＝4＋5＝9.[答案]9[方法技巧]雙曲線定義的應(yīng)用(1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程．(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|﹣|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系．[提醒]在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．[針對(duì)訓(xùn)練]1．已知點(diǎn)O(0,0)，A(﹣2,0)，B(2,0)．設(shè)點(diǎn)P滿足|PA|﹣|PB|＝2，且P為函數(shù)y＝3eq\r(4－x2)圖象上的點(diǎn)，則|OP|＝()A.eq\f(\r(22),2)B．eq\f(4\r(10),5)C.eq\r(7)D．eq\r(10)解析：選D由|PA|﹣|PB|＝2<|AB|＝4，知點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支，點(diǎn)P的軌跡方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq\r(4－x2)，所以x2＝eq\f(13,4)，y2＝eq\f(27,4)，所以|OP|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq\r(10)，故選D.2．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2﹣eq\f(y2,3)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上且|OP|＝2，則△PF1F2的面積為()A.eq\f(7,2)B．3C.eq\f(5,2)D．2解析：選B法一：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知F1(﹣2,0)，F(xiàn)2(2,0)．又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝16.不妨令點(diǎn)P在雙曲線C的右支上，則有|PF1|﹣|PF2|＝2，兩邊平方，得|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1|·|PF2|＝4，所以|PF1|·|PF2|＝6，則S△PF1F2＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|＝eq\f(1,2)×6＝3，故選B.法二：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，則由題意可知F1(﹣2,0)，F(xiàn)2(2,0)．又|OP|＝2，所以|OP|＝|OF1|＝|OF2|，所以△PF1F2是直角三角形，所以S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f(θ,2))＝eq\f(3,tan45°)＝3(其中θ＝∠F1PF2)，故選B.考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程[典例](1)經(jīng)過點(diǎn)M(2eq\r(3)，2eq\r(5))且與雙曲線eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,2)＝1有相同漸近線的雙曲線方程是()A.eq\f(x2,18)﹣eq\f(y2,12)＝1B.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,18)＝1C.eq\f(y2,18)﹣eq\f(x2,12)＝1D．eq\f(y2,12)﹣eq\f(x2,18)＝1(2)已知曲線C的方程為eq\f(x2,k2－2)﹣eq\f(y2,6－k)＝1(k∈R)，則下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)k＝8時(shí)，曲線C為橢圓，其焦距為4＋eq\r(15)B．當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C為雙曲線，其離心率為eq\r(3)C．存在實(shí)數(shù)k，使得曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D．當(dāng)k＝3時(shí)，曲線C為雙曲線，其漸近線與圓(x﹣4)2＋y2＝9相切[解析](1)設(shè)所求雙曲線的方程為eq\f(x2,3)﹣eq\f(y2,2)＝λ，將點(diǎn)M(2eq\r(3)，2eq\r(5))代入得eq\f(2\r(3)2,3)﹣eq\f(2\r(5)2,2)＝λ，解得λ＝﹣6，所以雙曲線方程為eq\f(y2,12)﹣eq\f(x2,18)＝1，故選D.(2)對(duì)于A，當(dāng)k＝8時(shí)，曲線C的方程為eq\f(x2,62)＋eq\f(y2,2)＝1，軌跡為橢圓，焦距2c＝2eq\r(62－2)＝4eq\r(15)，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)k＝2時(shí)，曲線C的方程為eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,4)＝1，軌跡為雙曲線，則a＝eq\r(2)，c＝eq\r(6)，∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(3)，B正確；對(duì)于C，若曲線C表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－k＜0，,k2－2＜0，))解集為空集，∴不存在實(shí)數(shù)k，使得曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)k＝3時(shí)，曲線C的方程為eq\f(x2,7)﹣eq\f(y2,3)＝1，其漸近線方程為y＝±eq\f(\r(21),7)x，則圓(x﹣4)2＋y2＝9的圓心到漸近線的距離d＝eq\f(|±4\r(21)|,\r(21＋49))＝eq\f(4\r(3),\r(10))＝eq\f(2\r(30),5)≠3，∴雙曲線的漸近線與圓(x﹣4)2＋y2＝9不相切，D錯(cuò)誤．故選B.[答案](1)D(2)B[方法技巧]待定系數(shù)法求雙曲線方程的5種類型類型一與雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型二若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x或y＝﹣eq\f(b,a)x，則可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(λ≠0)類型三與雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－k)﹣eq\f(y2,b2＋k)＝1(﹣b2＜k＜a2)類型四過兩個(gè)已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為eq\f(x2,m)﹣eq\f(y2,n)＝1(mn＞0)或者eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1(mn＜0)類型五與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為eq\f(x2,a2－λ)﹣eq\f(y2,λ－b2)＝1(b2＜λ＜a2)[針對(duì)訓(xùn)練]1．雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為(﹣3,0)，且C的離心率為eq\f(3,2)，則C的方程為()A.eq\f(y2,4)﹣eq\f(x2,5)＝1B．eq\f(y2,5)﹣eq\f(x2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,5)＝1D．eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,4)＝1解析：選C由題意，可得c＝3，又由e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2)，∴a＝2，又b2＝32﹣22＝5，故C的方程為eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,5)＝1，故選C.2．設(shè)雙曲線C的方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線為l.若C的一條漸近線與l平行，另一條漸近線與l垂直，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,4)＝1B．x2﹣eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,4)﹣y2＝1D．x2﹣y2＝1解析：選D法一：由題知y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則過焦點(diǎn)和點(diǎn)(0，b)的直線方程為x＋eq\f(y,b)＝1，而eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝0和eq\f(x,a)﹣eq\f(y,b)＝0，由l與一條漸近線平行，與另一條漸近線垂直，得a＝1，b＝1，故選D.法二：由題知雙曲線C的兩條漸近線互相垂直，則a＝b，即漸近線方程為x±y＝0，排除B、C.又知y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，l過點(diǎn)(1,0)，(0，b)，所以eq\f(b－0,0－1)＝﹣1，b＝1，故選D.考點(diǎn)三雙曲線的幾何性質(zhì)考法(一)求雙曲線的漸近線方程[例1](1)已知雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M為雙曲線上一點(diǎn)，若cos∠F1MF2＝eq\f(1,4)，|MF1|＝2|MF2|，則此雙曲線的漸近線方程為()A．y＝±eq\r(3)xB．y＝±eq\f(\r(3),3)xC．y＝±xD．y＝±2x[解析]由題意，得|MF1|﹣|MF2|＝2a，又|MF1|＝2|MF2|，∴|MF1|＝4a，|MF2|＝2a，∴cos∠F1MF2＝eq\f(16a2＋4a2－4c2,2×4a×2a)＝eq\f(1,4)，化簡(jiǎn)得c2＝4a2，即a2＋b2＝4a2，∴b2＝3a2，又a>0，b>0，∴eq\f(b,a)＝eq\r(3)，∴此雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，故選A.[答案]A[方法技巧]涉及雙曲線漸近線的幾個(gè)常用結(jié)論(1)求雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)或eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線方程的方法是令右邊的常數(shù)等于0，即令eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝0，得y＝±eq\f(b,a)x，或令eq\f(y2,a2)﹣eq\f(x2,b2)＝0，得y＝±eq\f(a,b)x.(2)已知漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，可設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．[提醒]兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱．考法(二)求雙曲線的離心率[例2]若雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線與圓(x﹣3)2＋y2＝1無交點(diǎn)，則C的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(2),4)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，＋∞))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，＋∞))[解析]∵雙曲線漸近線為bx±ay＝0與圓(x﹣3)2＋y2＝1無交點(diǎn)，∴圓心到漸近線的距離大于半徑，即eq\f(3b,\r(a2＋b2))＞1，∴8b2＞a2，∴8(c2﹣a2)＞a2，即8c2>9a2，∴e＝eq\f(c,a)＞eq\f(3\r(2),4).故選C.[答案]C[方法技巧]1．求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2﹣a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍．(3)因?yàn)殡x心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能有效簡(jiǎn)化計(jì)算．(4)通過特殊位置求出離心率．2．雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系：當(dāng)k>0時(shí)，k＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(c2－a2),a)＝eq\r(\f(c2,a2)－1)＝eq\r(e2－1)；當(dāng)k<0時(shí)，k＝﹣eq\f(b,a)＝﹣eq\r(e2－1).[方法技巧]1．求解與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題的方法(1)幾何法：如果題中給出的條件有明顯的幾何特征，那么可以考慮用圖形的性質(zhì)來求解，特別是用雙曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求解．(2)代數(shù)法：若題中給出的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，將雙曲線的范圍(或最值)問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)等函數(shù)的范圍(或最值)問題，然后利用配方法、判別式法、基本不等式法、函數(shù)的單調(diào)性及三角函數(shù)的有界性等求解．(3)不等式法：借助題目給出的不等信息列出不等關(guān)系式求解．2．解決與雙曲線有關(guān)的范圍(或最值)問題時(shí)的注意點(diǎn)(1)雙曲線上本身就存在最值問題，如異支雙曲線上兩點(diǎn)間的最短距離為2a(實(shí)軸長)．(2)雙曲線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離最值，常用兩點(diǎn)間的距離公式轉(zhuǎn)化為區(qū)間上的最值問題，有時(shí)也用雙曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題．(3)雙曲線上的點(diǎn)到定直線的距離的最值解法同(2)所述，或用平行切線法．(4)點(diǎn)在雙曲線上，求相關(guān)式子(目標(biāo)函數(shù))的取值范圍，常用參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題，或根據(jù)平面幾何知識(shí)，或引入一個(gè)參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決．(5)由直線和雙曲線的位置關(guān)系，求直線或雙曲線中某個(gè)參數(shù)的范圍，常把所求參數(shù)作為函數(shù)中的因變量來求解．(6)所構(gòu)建的函數(shù)關(guān)系式中變量的取值范圍往往受到雙曲線自變量范圍的影響．[針對(duì)訓(xùn)練]1．(多選)已知雙曲線C過點(diǎn)(3，eq\r(2))，且漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，則下列結(jié)論正確的是()A．C的方程為eq\f(x2,3)﹣y2＝1B．C的離心率為eq\r(3)C．曲線y＝ex﹣2﹣1經(jīng)過C的一個(gè)焦點(diǎn)D．直線x﹣eq\r(2)y﹣1＝0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)解析：選AC∵雙曲線C過點(diǎn)(3，eq\r(2))，且漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),3)x，∴設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,3)＝λ(λ≠0)，∴eq\f(9,9)﹣eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)＝λ，∴eq\f(x2,9)﹣eq\f(y2,3)＝eq\f(1,3)，∴eq\f(x2,3)﹣y2＝1，∴A正確．∴離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2,3)eq\r(3)，∴B錯(cuò)誤．∵雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣2,0)，(2,0)，而曲線y＝ex﹣2﹣1經(jīng)過點(diǎn)(2,0)，∴C正確．聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,3)－y2＝1，,x－\r(2)y－1＝0，))得y2﹣2eq\r(2)y＋2＝0.Δ＝(﹣2eq\r(2))2﹣4×1×2＝8﹣8＝0.∴直線x﹣eq\r(2)y﹣1＝0與C只有一個(gè)公共點(diǎn)，∴D錯(cuò)誤，故選A、C.2．已知直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，且與圓x2＋y2＝8交于點(diǎn)M，N，若|MN|≥2eq\r(5)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A．(1，eq\r(6)]B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞))D．[eq\r(6)，＋∞)解析：選C設(shè)圓心到直線l的距離為d(d>0)，因?yàn)閨MN|≥2eq\r(5)，所以2eq\r(8－d2)≥2eq\r(5)，即0<d≤eq\r(3).又d＝eq\f(2,\r(1＋k2))，所以eq\f(2,\r(1＋k2))≤eq\r(3)，解得|k|≥eq\f(\r(3),3).由直線l：y＝kx＋2過雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F和虛軸的上端點(diǎn)B(0，b)，得|k|＝eq\f(b,c).所以eq\f(b,c)≥eq\f(\r(3),3)，即eq\f(b2,c2)≥eq\f(1,3)，所以eq\f(c2－a2,c2)≥eq\f(1,3)，即1﹣eq\f(1,e2)≥eq\f(1,3)，所以e≥eq\f(\r(6),2)，于是雙曲線的離心率e的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，＋∞)).3．已知F為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且BF垂直于x軸．若AB的斜率為3，則C的離心率為________．解析：設(shè)B(c，yB)，因?yàn)锽為雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1上的點(diǎn)，所以eq\f(c2,a2)﹣eq\f(y\o\al(2,B),b2)＝1，所以yeq\o\al(2,B)＝eq\f(b4,a2).因?yàn)锳B的斜率為3，所以yB＝eq\f(b2,a)，eq\f(\f(b2,a),c－a)＝3，所以b2＝3ac﹣3a2，所以c2﹣a2＝3ac﹣3a2，所以c2﹣3ac＋2a2＝0，解得c＝2a或c＝a(舍去)，所以C的離心率e＝eq\f(c,a)＝2.答案：2eq\a\vs4\al([課時(shí)跟蹤檢測(cè)])一、基礎(chǔ)練——練手感熟練度1．雙曲線eq\f(x2,2)﹣y2＝1的實(shí)軸長為()A．4B．2C．2eq\r(3)D．2eq\r(2)解析：選D由題知a2＝2，∴a＝eq\r(2)，故實(shí)軸長為2a＝2eq\r(2)，故選D.2．雙曲線eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝1的漸近線方程為()A．y＝±eq\f(1,2)xB．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\r(2)xD．y＝±2x解析：選C雙曲線eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝1的漸近線方程為eq\f(x2,5)﹣eq\f(y2,10)＝0，整理得y2＝2x2，解得y＝±eq\r(2)x，故選C.3．已知雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，則b＝()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2)D．12解析：選A因?yàn)殡p曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的漸近線方程為y＝±eq\f(b,2)x，又漸近線方程為y＝±eq\r(3)x，所以eq\f(b,2)＝eq\r(3)，b＝2eq\r(3)，故選A.4．設(shè)雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，一條漸近線為y＝eq\f(1,2)x，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,16)＝1C.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,16)＝1D．x2﹣eq\f(y2,4)＝1解析：選A因?yàn)殡p曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虛軸長為4，所以2b＝4，b＝2，因?yàn)殡p曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線為y＝eq\f(1,2)x，所以eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)?a＝2b＝4，所以雙曲線M的方程為eq\f(x2,16)﹣eq\f(y2,4)＝1，故選A.5．若a＞1，則雙曲線eq\f(x2,a2)﹣y2＝1的離心率的取值范圍是()A．(eq\r(2)，＋∞)B．(eq\r(2)，2)C．(1，eq\r(2))D．(1,2)解析：選C由題意得雙曲線的離心率e＝eq\f(\r(a2＋1),a)，即e2＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2).∵a＞1，∴0＜eq\f(1,a2)＜1，∴1＜1＋eq\f(1,a2)＜2，∴1＜e＜eq\r(2).6．已知雙曲線C：eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,3)＝1，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離是________．解析：雙曲線C：eq\f(x2,6)﹣eq\f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，則C的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,0)．C的漸近線方程為y＝±eq\f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq\f(1,\r(2))x，即x±eq\r(2)y＝0，則C的焦點(diǎn)到其漸近線的距離d＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).答案：(3,0)eq\r(3)二、綜合練——練思維敏銳度1．若實(shí)數(shù)k滿足0＜k＜9，則曲線eq\f(x2,25)﹣eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)﹣eq\f(y2,9)＝1的()A．離心率相等B．虛半軸長相等C．實(shí)半軸長相等D．焦距相等解析：選D由0<k<9，易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上，由eq\r(25＋9－k)＝eq\r(25－k＋9)，得兩雙曲線的焦距相等．2．設(shè)雙曲線eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B,C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為()A．±eq\f(1,2)B．±eq\f(\r(2),2)C．±1D．±eq\r(2)解析：選C由題設(shè)易知A1(﹣a,0)，A2(a,0)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a))).∵A1B⊥A2C，∴eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(－\f(b2,a),c－a)＝﹣1，整理得a＝b.∵漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±x，∴漸近線的斜率為±1.3．已知雙曲線eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,2)＝1的右焦點(diǎn)為F，P為雙曲線左支上一點(diǎn)，點(diǎn)A(0，eq\r(2))，則△APF周長的最小值為()A．4(1＋eq\r(2))B．4＋eq\r(2)C．2(eq\r(2)＋eq\r(6))D．eq\r(6)＋3eq\r(2)解析：選A設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F′，易得點(diǎn)F(eq\r(6)，0)，△APF的周長l＝|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋2a＋|PF′|＋|AP|，要使△APF的周長最小，只需|AP|＋|PF′|最小，易知當(dāng)A，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值，故l＝2|AF|＋2a＝4(1＋eq\r(2))．故選A.4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq\r(5)，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A，若△AFO的面積為1，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,2)﹣eq\f(y2,8)＝1B．eq\f(x2,4)﹣y2＝1C.eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,16)＝1D．x2﹣eq\f(y2,4)＝1解析：選D因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又雙曲線C的離心率為eq\r(5)，所以eq\r(1＋\f(b2,a2))＝eq\r(5)，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以雙曲線C的方程為x2﹣eq\f(y2,4)＝1，故選D.5．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線分別交于D，E兩點(diǎn)．若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為()A．4B．8C．16D．32解析：選B由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x.因?yàn)镈，E分別為直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線的交點(diǎn)，所以不妨設(shè)D(a，b)，E(a，﹣b)，所以S△ODE＝eq\f(1,2)×a×|DE|＝eq\f(1,2)×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，所以c≥4，所以2c≥8，所以C的焦距的最小值為8，故選B.6．已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線l的傾斜角為eq\f(π,3)，且C的一個(gè)焦點(diǎn)到l的距離為eq\r(3)，則雙曲線C的方程為()A.eq\f(x2,12)﹣eq\f(y2,4)＝1B．eq\f(x2,4)﹣eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,3)﹣y2＝1D．x2﹣eq\f(y2,3)＝1解析：選D由eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝0可得y＝±eq\f(b,a)x，即漸近線的方程為y＝±eq\f(b,a)x，又一條漸近線l的傾斜角為eq\f(π,3)，所以eq\f(b,a)＝taneq\f(π,3)＝eq\r(3).因?yàn)殡p曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)(c,0)到l的距離為eq\r(3)，所以eq\f(|bc|,\r(a2＋b2))＝b＝eq\r(3)，所以a＝1，所以雙曲線的方程為x2﹣eq\f(y2,3)＝1.7．雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，若|F1A|＝2|F2A|，則cos∠AF2F1等于()A.eq\f(\r(3),2)B．eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(5),5)D．eq\f(1,4)解析：選C因?yàn)殡p曲線的一條漸近線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以b＝2a.又|F1A|＝2|F2A|，且|F1A|﹣|F2A|＝2a，所以|F2A|＝2a，|F1A|＝4a，而c2＝5a2，得2c＝2eq\r(5)a，所以cos∠AF2F1＝eq\f(|F1F2|2＋|F2A|2－|F1A|2,2|F1F2||F2A|)＝eq\f(20a2＋4a2－16a2,2×2\r(5)a×2a)＝eq\f(\r(5),5)，故選C.8．(多選)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：eq\f(x2,a2)﹣eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝eq\r(6)|OP|，則下列說法正確的是()A．|F2P|＝bB．雙曲線的離心率為eq\r(3)C．雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\r(3)xD．點(diǎn)P在直線x＝eq\f(\r(3),3)a上解析：選ABD由雙曲線的性質(zhì)可知，雙曲線的一條漸近線方程為y＝eq\f(b,a)x，即bx﹣ay＝0，設(shè)焦點(diǎn)F1(﹣c,0)，F(xiàn)2(c,0)(a>0，b>0，c>0)，因?yàn)檫^F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，所以|F2P|＝eq\f(|bc－a×0|,\r(a2＋b2))＝eq\f(bc,c)＝b，故A正確；因?yàn)閨OP|＝eq\r(|OF2|2－|PF2|2)＝eq\r(c2－b2)＝a，所以|PF1|＝eq\r(6)|O